5 确定圆的条件
课时学习目标 素养目标达成
1.了解三角形的外接圆、三角形外心等概念 抽象能力、几何直观
2.探索不在同一直线上的三点确定一个圆 几何直观、空间观念、模型观念、推理能力
3.会用尺规过不在同一直线上的三个点作圆 几何直观、空间观念
基础主干落实 夯基筑本 积厚成势
新知要点 对点小练
1.确定圆的条件 圆的确定条件画一个圆,必须确定 和半径的长度 过点作圆(1)过一个点可作 个圆,过两个点可作 个圆. (2) 的三个点确定一个圆
1.下列条件中不能确定一个圆的是( ) A.已知圆心与半径 B.已知直径与圆心 C.过三角形的三个顶点 D.过平面上的三个已知点
2.三角形的外接圆及外心 三角形的 外接圆三角形 确定的圆 三角形的 外心定 义三角形的外接圆的 ,即三角形的三边 的交点 性 质三角形的外心到三角形 的距离相等
2.(1)下列语句中,正确的是( ) A.任何一个圆都只有一个圆内接三角形 B.钝角三角形的外心在三角形内部 C.三角形的外心是到三角形三边的距离相等的交点 D.三角形的外心是三角形三边垂直平分线交点 (2)已知在△ABC中,AB=3, BC=4, AC=5,则△ABC的外心在( ) A.△ABC内 B.△ABC外 C.BC边中点处 D.AC边中点处
重点典例研析 纵横捭阖 挥斥方遒
重点1 确定圆的条件(几何直观、运算能力)
【典例1】(教材再开发·P85“做一做”拓展)
图示为残损轮子,已知弧上三点A,B,C.
(1)画出该轮子的圆心.
(2)若△ABC是等腰三角形,底边BC=16 cm,腰AB=10 cm,求轮子的半径R.
【举一反三】
(2024·南京质检)如图,在平面直角坐标系中,有一圆弧经过三个点A,B,C,且点A,B,C的坐标分别为(0,4),(-4,4),(-6,2).
(1)该圆弧所在圆的圆心M的坐标为 ;
(2)☉M的直径为 ;
(3)点D(-5,-2)在☉M (填“内”“外”或“上”);
(4)点O到☉M上最远的点的距离为 .
重点2 三角形的外接圆(推理能力、运算能力)
【典例2】(教材再开发·P86随堂练习拓展)
(1)请借助网格和一把无刻度直尺找出△ABC的外心点O;
(2)设每个小方格的边长为1,求出外接圆☉O的面积.
【举一反三】
如图,△ABC是☉O的内接三角形,AB为☉O的直径,CD平分∠ACB,交☉O于点D,连接AD,点E在弦CD上,且ED=AD,连接AE.
(1)求证:∠BAE=∠CAE;
(2)若∠B=60°,AB=8,求AE的长.
素养当堂测评 (10分钟·16分)
1.(4分·几何直观、空间观念)如图,点A,B,C均在直线l上,点P在直线l外,则经过其中任意三个点,最多可画出圆的个数为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
2.(4分·几何直观、空间观念)如图,平面直角坐标系中一条圆弧经过网格点A,B,C,其中,B点坐标为(4,4),则该圆弧所在圆的圆心坐标为( )
A.(2,1) B.(2,2) C.(2,0) D.(2,-1)
3.(4分·几何直观、运算能力)如图,△ABC内接于☉O,AD为☉O的直径,连接OC,若∠COD=2∠B,AC=8,则OA的长为( )
A.4 B.1 C.2 D.
4.(4分·模型观念、运算能力)直角三角形的两条直角边分别为12 cm和5 cm,则其外接圆的半径为 . 5 确定圆的条件
课时学习目标 素养目标达成
1.了解三角形的外接圆、三角形外心等概念 抽象能力、几何直观
2.探索不在同一直线上的三点确定一个圆 几何直观、空间观念、模型观念、推理能力
3.会用尺规过不在同一直线上的三个点作圆 几何直观、空间观念
基础主干落实 夯基筑本 积厚成势
新知要点 对点小练
1.确定圆的条件 圆的确定条件画一个圆,必须确定 圆心的位置 和半径的长度 过点作圆(1)过一个点可作 无数 个圆,过两个点可作 无数 个圆. (2) 不在同一条直线上 的三个点确定一个圆
1.下列条件中不能确定一个圆的是(D) A.已知圆心与半径 B.已知直径与圆心 C.过三角形的三个顶点 D.过平面上的三个已知点
2.三角形的外接圆及外心 三角形的 外接圆三角形 三个顶点 确定的圆 三角形的 外心定 义三角形的外接圆的 圆心 ,即三角形的三边 垂直平分线 的交点 性 质三角形的外心到三角形 三个顶点 的距离相等
2.(1)下列语句中,正确的是(D) A.任何一个圆都只有一个圆内接三角形 B.钝角三角形的外心在三角形内部 C.三角形的外心是到三角形三边的距离相等的交点 D.三角形的外心是三角形三边垂直平分线交点 (2)已知在△ABC中,AB=3, BC=4, AC=5,则△ABC的外心在(D) A.△ABC内 B.△ABC外 C.BC边中点处 D.AC边中点处
重点典例研析 纵横捭阖 挥斥方遒
重点1 确定圆的条件(几何直观、运算能力)
【典例1】(教材再开发·P85“做一做”拓展)
图示为残损轮子,已知弧上三点A,B,C.
(1)画出该轮子的圆心.
(2)若△ABC是等腰三角形,底边BC=16 cm,腰AB=10 cm,求轮子的半径R.
【解析】(1)如图所示,分别作弦AB和AC的垂直平分线,交点O即为所求的圆心;
(2)如图,连接AO,OB,BC,BC交OA于点D.
∵BC=16 cm,AB=AC,
∴BD=8 cm,∵AB=10 cm,
∴AD===6(cm),
设轮子的半径为R,在Rt△BOD中,OD=(R-6)cm,
∴R2=82+(R-6)2,解得R=cm,
∴轮子的半径R为cm.
【举一反三】
(2024·南京质检)如图,在平面直角坐标系中,有一圆弧经过三个点A,B,C,且点A,B,C的坐标分别为(0,4),(-4,4),(-6,2).
(1)该圆弧所在圆的圆心M的坐标为 (-2,0) ;
(2)☉M的直径为 4 ;
(3)点D(-5,-2)在☉M 内 (填“内”“外”或“上”);
(4)点O到☉M上最远的点的距离为 2+2 .
重点2 三角形的外接圆(推理能力、运算能力)
【典例2】(教材再开发·P86随堂练习拓展)
(1)请借助网格和一把无刻度直尺找出△ABC的外心点O;
(2)设每个小方格的边长为1,求出外接圆☉O的面积.
【解析】(1)如图所示,点O即为所求;
(2)连接OB,
由勾股定理得OB==,
∴外接圆☉O的面积为π×()2=10π.
【举一反三】
如图,△ABC是☉O的内接三角形,AB为☉O的直径,CD平分∠ACB,交☉O于点D,连接AD,点E在弦CD上,且ED=AD,连接AE.
(1)求证:∠BAE=∠CAE;
(2)若∠B=60°,AB=8,求AE的长.
【解析】(1)∵ED=AD,∴∠DEA=∠DAE,
∴∠DCA+∠CAE=∠DAB+∠BAE,
∵CD平分∠ACB,
∴∠DCA=∠DCB,
由圆周角定理得∠DAB=∠DCB,
∴∠DAB=∠DCA,
∴∠BAE=∠CAE;
(2)如图,连接BD,
∵AB为☉O的直径,∴∠ACB=∠ADB=90°,
∵CD平分∠ACB,∴=,
∴AD=BD=AB=4,
由圆周角定理得∠ADC=∠ABC=60°,
∵ED=AD,∴△EAD为等边三角形,
∴AE=AD=4.
素养当堂测评 (10分钟·16分)
1.(4分·几何直观、空间观念)如图,点A,B,C均在直线l上,点P在直线l外,则经过其中任意三个点,最多可画出圆的个数为(C)
A.1 B.2 C.3 D.4
2.(4分·几何直观、空间观念)如图,平面直角坐标系中一条圆弧经过网格点A,B,C,其中,B点坐标为(4,4),则该圆弧所在圆的圆心坐标为(C)
A.(2,1) B.(2,2) C.(2,0) D.(2,-1)
3.(4分·几何直观、运算能力)如图,△ABC内接于☉O,AD为☉O的直径,连接OC,若∠COD=2∠B,AC=8,则OA的长为(A)
A.4 B.1 C.2 D.
4.(4分·模型观念、运算能力)直角三角形的两条直角边分别为12 cm和5 cm,则其外接圆的半径为 6.5 cm .
