6 直线和圆的位置关系
第1课时
课时学习目标 素养目标达成
1.了解直线和圆的三种位置关系及切线的概念 抽象能力、几何直观
2.掌握直线和圆的三种位置关系的判断及切线的性质 模型观念、几何直观、推理能力、运算能力
基础主干落实 九层之台 起于累土
新知要点 对点小练
1.直线与圆的位置关系 直线l与圆的三种位置关系名称相交相切相离图示d与r的关系dr交点个数210
1.(1)已知圆的半径为3,某直线到圆心的距离是2,则此直线与圆的位置关系为( ) A.相离 B.相切 C.相离或相切 D.相交 (2)已知☉O的半径r为3 cm,圆心O到直线l的距离d为4 cm,直线l与☉O的公共点个数为( ) A.0 B.1 C.2 D.以上都不对 (3)行驶在水平路面上的汽车,若把路面看成直线,则此时转动的车轮与地面的位置关系是( ) A.相交 B.相切 C.相离 D.不确定
2.切线的定义与性质 2.(1)如果直线AB与☉O只有一个公共点,那么直线AB与☉O的位置关系是 . (2)如图,PA为☉O的切线,连接OP,OA.若∠A=50°,则∠POA的度数为 .
重点典例研析 循道而行 方能致远
重点1 直线和圆的位置关系(几何直观、运算能力)
【典例1】(教材再开发·P90例1拓展)如图,已知∠APB=30°,OP=3 cm,☉O的半径为1 cm,若圆心O沿着BP的方向在直线BP上移动.
(1)当圆心O移动的距离为1 cm时,☉O与直线PA的位置关系是什么
(2)若圆心O移动的距离是d,当☉O与直线PA相交时,d的取值范围是什么
【举一反三】
1.(2024·温州质检)已知☉O的半径是5,直线l与☉O相交,圆心O到直线l的距离可能是( )
A.4 B.5 C.6 D.10
2.已知☉O的半径为6,圆心O到直线l的距离为d,若☉O与直线l有公共点,则d的取值范围是 .
重点2 切线的性质及应用(推理能力、运算能力)
【典例2】(教材再开发·P90“议一议”拓展)如图,AB是☉O的直径,点D在射线BA上,DC与☉O相切于点C,过点B作BE⊥DC,交DC的延长线于点E,连接BC,OC.
(1)求证:BC是∠ABE的平分线;
(2)若DC=8,DA=4,求AB的长.
【举一反三】
1.(2023·重庆中考A卷)如图,AC是☉O的切线,B为切点,连接OA,OC.若∠A=30°, AB=2,BC=3,则OC的长度是( )
A.3 B.2 C. D.6
2.如图,在☉O中,E是直径AB延长线上一点,CE切☉O于点C,若CE=2BE,则∠E的余弦值为( )
A. B. C. D.
【技法点拨】
切线的三条性质
1.切线和圆只有一个公共点.
2.圆心到切线的距离等于圆的半径.
3.圆的切线垂直于过切点的半径.
素养当堂测评 (10分钟·16分)
1.(4分·模型观念、运算能力)已知☉O的直径为6 cm,点O到直线l的距离为4 cm,则l与☉O的位置关系是( )
A.相离 B.相切
C.相交 D.相切或相交
2.(4分·模型观念、运算能力)已知☉O的周长为12π cm,某直线到圆心O的距离为5 cm,则这条直线与☉O公共点的个数为( )
A.2 B.1 C.0 D.不能确定
3.(4分·几何直观、运算能力)如图,AB是圆O的直径,D是BA延长线上一点,DC与圆O相切于点C,连接BC,∠ABC=20°,则∠BDC的度数为( )
A.50° B.45° C.40° D.35°
4.(4分·几何直观、运算能力)如图,△ABC中,AB=AC,点O是BC边上一点,以点O为圆心,OB为半径作☉O与边AC相切于点A,若BC=9,则OB的长等于 . 6 直线和圆的位置关系
第2课时
课时学习目标 素养目标达成
1.了解三角形的内切圆及内心的概念 抽象能力、几何直观
2.掌握切线的判定定理 几何直观、模型观念、推理能力、运算能力
基础主干落实 博观约取 厚积薄发
新知要点 对点小练
1.切线的判定定理 过半径外端且 垂直 于这条半径的直线. 1.已知☉O的半径为5,直线EF经过☉O上一点P(点E,F在点P的两旁),下列条件能判定直线EF与☉O相切的是(D) A.OP=5 B.OE=OF C.O到直线EF的距离是4 D.OP⊥EF
2.三角形的内切圆 2.☉O是△ABC的内切圆,则点O是△ABC的(C) A.三条边的垂直平分线的交点 B.三条中线的交点 C.三条角平分线的交点 D.三条高的交点
重点典例研析 精钻细研 学深悟透
重点1 切线的判定(模型观念、推理能力)
【典例1】(教材再开发·P93习题T1拓展)如图,已知AB是☉O的直径,AC平分∠DAB交☉O于C,过点C作CD⊥AD于点D.求证:直线CD与☉O相切.
【解析】如图,连接OC,
∵OA=OC,∴∠OAC=∠OCA,
∵AC平分∠DAB,∴∠OAC=∠DAC,
∴∠OCA=∠DAC,∴OC∥AD,
又∵AD⊥CD,∴OC⊥CD,
∴直线CD与☉O相切.
【举一反三】
(2024·泉州一模)如图,△ABC内接于☉O,AB是☉O的直径,∠A=60°.点E在AB的延长线上,BE=OB.过点E作ED⊥AC,交AC的延长线于点D.求证:DE是☉O的切线.
【证明】过点O作OF⊥DE于F,
∵AB是☉O的直径,∴∠ACB=90°,∠A=60°,∴∠ABC=30°,
∵ED⊥AC,∴∠D=90°=∠ACB,∴∠E=∠ABC=30°,∴OF=OE,
∵BE=OB,∴OB=OE,∴OF=OB,∴DE是☉O的切线.
重点2 三角形的内切圆(推理能力、运算能力)
【典例2】(教材再开发·P93习题T2补充)
如图,点E是△ABC的内心,AE的延长线与△ABC的外接圆相交于点D.
求证:DE=DB.
【自主解答】连接BE,∵E是△ABC的内心,
∴∠BAD=∠CAD,∠ABE=∠CBE,
又∵∠CBD=∠CAD,
∴∠BED=∠BAD+∠ABE=∠CAD+∠CBE,
∠DBE=∠CBD+∠CBE=∠CAD+∠CBE,∴∠BED=∠DBE,∴DE=DB.
【举一反三】
1.(2024·晋中一模)如图,点O是△ABC内切圆的圆心,已知∠ABC=50°,∠ACB=80°,则∠BOC的度数是(B)
A.100° B.115° C.125° D.130°
2.(2024·广州期末)如图,Rt△ABC的内切圆分别与AB,BC相切于D点、E点,若BD=1,AD=4,则CE=(D)
A. B. C. D.
【技法点拨】
三角形内切圆的性质
1.三角形内切圆的圆心是三角形内角平分线的交点.
2.三角形内切圆的圆心到三边的距离相等.
素养当堂测评 (10分钟·16分)
1.(4分·模型观念、推理能力)如图,点B在☉A上,点C在☉A外,以下条件不能判定BC是☉A切线的是(D)
A.∠A=50°,∠C=40°
B.∠B-∠C=∠A
C.AB2+BC2=AC2
D.☉A与AC的交点是AC的中点
2.(4分·几何直观、运算能力)如图,在△ABC中,∠A=80°,I是△ABC的内心,连接BI,CI,则∠BIC的度数是(C)
A.110° B.120° C.130° D.140°
3.(8分·推理能力、运算能力)如图,已知AB为☉O的弦,C为☉O上一点,∠C=
∠BAD, 且BD⊥AB于B.
(1)求证:AD是☉O的切线;
(2)若☉O的半径为3,AB=4,求AD的长.
【解析】(1)如图,连接AO并延长交☉O于点E,连接BE,则∠ABE=90°,
∴∠EAB+∠E=90°.
∵∠E=∠C,∠C=∠BAD,
∴∠EAB+∠BAD=90°.
∴AD是☉O的切线.
(2)由(1)可知∠ABE=90°,直径AE=2AO=6,AB=4,∴BE==2.
∵∠E=∠C=∠BAD,BD⊥AB,∴cos∠BAD=cos E.
∴=,即=.∴AD=.6 直线和圆的位置关系
第2课时
课时学习目标 素养目标达成
1.了解三角形的内切圆及内心的概念 抽象能力、几何直观
2.掌握切线的判定定理 几何直观、模型观念、推理能力、运算能力
基础主干落实 博观约取 厚积薄发
新知要点 对点小练
1.切线的判定定理 过半径外端且 于这条半径的直线. 1.已知☉O的半径为5,直线EF经过☉O上一点P(点E,F在点P的两旁),下列条件能判定直线EF与☉O相切的是( ) A.OP=5 B.OE=OF C.O到直线EF的距离是4 D.OP⊥EF
2.三角形的内切圆 2.☉O是△ABC的内切圆,则点O是△ABC的( ) A.三条边的垂直平分线的交点 B.三条中线的交点 C.三条角平分线的交点 D.三条高的交点
重点典例研析 精钻细研 学深悟透
重点1 切线的判定(模型观念、推理能力)
【典例1】(教材再开发·P93习题T1拓展)如图,已知AB是☉O的直径,AC平分∠DAB交☉O于C,过点C作CD⊥AD于点D.求证:直线CD与☉O相切.
【举一反三】
(2024·泉州一模)如图,△ABC内接于☉O,AB是☉O的直径,∠A=60°.点E在AB的延长线上,BE=OB.过点E作ED⊥AC,交AC的延长线于点D.求证:DE是☉O的切线.
重点2 三角形的内切圆(推理能力、运算能力)
【典例2】(教材再开发·P93习题T2补充)
如图,点E是△ABC的内心,AE的延长线与△ABC的外接圆相交于点D.
求证:DE=DB.
【举一反三】
1.(2024·晋中一模)如图,点O是△ABC内切圆的圆心,已知∠ABC=50°,∠ACB=80°,则∠BOC的度数是( )
A.100° B.115° C.125° D.130°
2.(2024·广州期末)如图,Rt△ABC的内切圆分别与AB,BC相切于D点、E点,若BD=1,AD=4,则CE=( )
B. C. D.
【技法点拨】
三角形内切圆的性质
1.三角形内切圆的圆心是三角形内角平分线的交点.
2.三角形内切圆的圆心到三边的距离相等.
素养当堂测评 (10分钟·16分)
1.(4分·模型观念、推理能力)如图,点B在☉A上,点C在☉A外,以下条件不能判定BC是☉A切线的是( )
A.∠A=50°,∠C=40°
B.∠B-∠C=∠A
C.AB2+BC2=AC2
D.☉A与AC的交点是AC的中点
2.(4分·几何直观、运算能力)如图,在△ABC中,∠A=80°,I是△ABC的内心,连接BI,CI,则∠BIC的度数是( )
A.110° B.120° C.130° D.140°
3.(8分·推理能力、运算能力)如图,已知AB为☉O的弦,C为☉O上一点,∠C=
∠BAD, 且BD⊥AB于B.
(1)求证:AD是☉O的切线;
(2)若☉O的半径为3,AB=4,求AD的长.6 直线和圆的位置关系
第1课时
课时学习目标 素养目标达成
1.了解直线和圆的三种位置关系及切线的概念 抽象能力、几何直观
2.掌握直线和圆的三种位置关系的判断及切线的性质 模型观念、几何直观、推理能力、运算能力
基础主干落实 九层之台 起于累土
新知要点 对点小练
1.直线与圆的位置关系 直线l与圆的三种位置关系名称相交相切相离图示d与r的关系dr交点个数210
1.(1)已知圆的半径为3,某直线到圆心的距离是2,则此直线与圆的位置关系为(D) A.相离 B.相切 C.相离或相切 D.相交 (2)已知☉O的半径r为3 cm,圆心O到直线l的距离d为4 cm,直线l与☉O的公共点个数为(A) A.0 B.1 C.2 D.以上都不对 (3)行驶在水平路面上的汽车,若把路面看成直线,则此时转动的车轮与地面的位置关系是(B) A.相交 B.相切 C.相离 D.不确定
2.切线的定义与性质 2.(1)如果直线AB与☉O只有一个公共点,那么直线AB与☉O的位置关系是 相切 . (2)如图,PA为☉O的切线,连接OP,OA.若∠A=50°,则∠POA的度数为 40° .
重点典例研析 循道而行 方能致远
重点1 直线和圆的位置关系(几何直观、运算能力)
【典例1】(教材再开发·P90例1拓展)如图,已知∠APB=30°,OP=3 cm,☉O的半径为1 cm,若圆心O沿着BP的方向在直线BP上移动.
(1)当圆心O移动的距离为1 cm时,☉O与直线PA的位置关系是什么
(2)若圆心O移动的距离是d,当☉O与直线PA相交时,d的取值范围是什么
【解析】(1)如图,当点O向左移动1 cm时,PO'=PO-O'O=3-1=2(cm),
作O'C⊥PA于点C,
∵∠APB=30°,∴O'C=PO'=1 cm,
∵圆的半径为1 cm,∴当圆心O移动的距离为1 cm时,☉O与直线PA的位置关系是相切.
(2)当点O由O'向左继续移动时,PA与圆相交,当移动到C″时,相切,
此时C″P=PO'=2 cm,
∵OP=3 cm,∴OC″=OP+C″P=3+2=5(cm),
∴点O移动的距离d的范围满足1 cm【举一反三】
1.(2024·温州质检)已知☉O的半径是5,直线l与☉O相交,圆心O到直线l的距离可能是(A)
A.4 B.5 C.6 D.10
2.已知☉O的半径为6,圆心O到直线l的距离为d,若☉O与直线l有公共点,则d的取值范围是 0≤d≤6 .
重点2 切线的性质及应用(推理能力、运算能力)
【典例2】(教材再开发·P90“议一议”拓展)如图,AB是☉O的直径,点D在射线BA上,DC与☉O相切于点C,过点B作BE⊥DC,交DC的延长线于点E,连接BC,OC.
(1)求证:BC是∠ABE的平分线;
(2)若DC=8,DA=4,求AB的长.
【解析】(1)∵DC是☉O的切线,
∴OC⊥DC,
∵BE⊥DC,∴OC∥BE,
∴∠OCB=∠CBE,
∵OC=OB,∴∠OCB=∠OBC,
∴∠OBC=∠CBE,
即BC是∠ABE的平分线;
(2)设☉O的半径为r,则OD=r+4,
在Rt△OCD中,OD2=OC2+CD2,
即(r+4)2=r2+82,
解得r=6,∴AB=2r=12.
【举一反三】
1.(2023·重庆中考A卷)如图,AC是☉O的切线,B为切点,连接OA,OC.若∠A=30°, AB=2,BC=3,则OC的长度是(C)
A.3 B.2 C. D.6
2.如图,在☉O中,E是直径AB延长线上一点,CE切☉O于点C,若CE=2BE,则∠E的余弦值为(B)
A. B. C. D.
【技法点拨】
切线的三条性质
1.切线和圆只有一个公共点.
2.圆心到切线的距离等于圆的半径.
3.圆的切线垂直于过切点的半径.
素养当堂测评 (10分钟·16分)
1.(4分·模型观念、运算能力)已知☉O的直径为6 cm,点O到直线l的距离为4 cm,则l与☉O的位置关系是(A)
A.相离 B.相切
C.相交 D.相切或相交
2.(4分·模型观念、运算能力)已知☉O的周长为12π cm,某直线到圆心O的距离为5 cm,则这条直线与☉O公共点的个数为(A)
A.2 B.1 C.0 D.不能确定
3.(4分·几何直观、运算能力)如图,AB是圆O的直径,D是BA延长线上一点,DC与圆O相切于点C,连接BC,∠ABC=20°,则∠BDC的度数为(A)
A.50° B.45° C.40° D.35°
4.(4分·几何直观、运算能力)如图,△ABC中,AB=AC,点O是BC边上一点,以点O为圆心,OB为半径作☉O与边AC相切于点A,若BC=9,则OB的长等于 3 .
