8 圆内接正多边形
课时学习目标 素养目标达成
1.了解圆内接正多边形的概念及相关计算 抽象能力、几何直观、运算能力
2.会用尺规作圆的内接正方形和正六边形 空间观念、应用意识、推理能力
基础主干落实 筑牢根基 行稳致远
新知要点 对点小练
1.圆内接正多边形的相关概念 定义顶点都在 圆上的正多边形,这个圆叫做该正多边形的 中心正多边形的 半径正多边形的 边心距中心到正多边形的一边的 中心角正多边形的每一边所对的 的圆心角
1.圆内接正三角形的边长是12 cm,则该圆的半径长是( ) A.3 cm B.4 cm C.3 cm D.4 cm
2.圆内接正n边形的计算 中心角每个内角=180°- 每个外角
2.如图,五边形ABCDE是☉O的内接正五边形,则正五边形中心角∠COD的度数是( ) A.60° B.36° C.76° D.72°
重点典例研析 启思凝智 教学相长
重点1 圆内接正多边形的概念与计算(推理能力、运算能力)
【典例1】(教材再开发·P97例题拓展)如图,在☉O的内接正八边形ABCDEFGH中,AB=2,连接BG,DG.
(1)求证:DG∥AB;
(2)DG的长为 .
【举一反三】
(2024·合肥二模)如图,正五边形ABCDE的外接圆为☉O,点P是劣弧DE上一点,连接AC,AP,CP,则∠ACP+∠CAP的度数是( )
A.72° B.108° C.128° D.144°
重点2 正多边形的作法及应用(空间观念、应用意识)
【典例2】(教材再开发·P98“做一做”变式)如图,已知☉O,用尺规作☉O的内接正四边形ABCD.(写出结论,不写作法,保留作图痕迹,并把作图痕迹用黑色签字笔描黑)
【举一反三】
1.(2024·福州模拟)如图,将☉O的圆周十二等分,圆内接矩形ABCD的面积为20,则圆内接正六边形面积为( )
A.25 B.30 C.35 D.40
2.若用n个全等的正五边形按如图方式拼接可以拼成一个环状,使相邻的两个正五边形有公共顶点,所夹的锐角为24°,图中所示的是前3个正五边形的拼接情况,拼接一圈后,中间会形成一个正多边形,则n的值为( )
A.5 B.6 C.8 D.10
素养当堂测评 (10分钟·20分)
1.(4分·几何直观、运算能力)如图,正六边形ABCDEF内接于☉O,P为上的一点(点P不与点A,B重合),则∠CPE的度数为( )
A.45° B.55° C.60° D.65°
2.(4分·几何直观、运算能力)如图,正五边形ABCDE内接于☉O,连接AC,则∠ACD的度数是( )
A.72° B.70° C.60° D.45°
3.(4分·几何直观、运算能力)已知正六边形ABCDEF外接圆的半径为6,则这个正六边形的面积为( )
A.54 B.54 C.36 D.36
4.(8分·推理能力、运算能力)如图,在正五边形ABCDE中,连接AC,AD,CE,CE交AD于点F.
(1)求∠CAD的度数.
(2)若AB=2,求DF的长.8 圆内接正多边形
课时学习目标 素养目标达成
1.了解圆内接正多边形的概念及相关计算 抽象能力、几何直观、运算能力
2.会用尺规作圆的内接正方形和正六边形 空间观念、应用意识、推理能力
基础主干落实 筑牢根基 行稳致远
新知要点 对点小练
1.圆内接正多边形的相关概念 定义顶点都在 同一 圆上的正多边形,这个圆叫做该正多边形的 外接圆 中心正多边形的 外接圆的圆心 半径正多边形的 外接圆的半径 边心距中心到正多边形的一边的 距离 中心角正多边形的每一边所对的 外接圆 的圆心角
1.圆内接正三角形的边长是12 cm,则该圆的半径长是(B) A.3 cm B.4 cm C.3 cm D.4 cm
2.圆内接正n边形的计算 中心角每个内角=180°- 每个外角
2.如图,五边形ABCDE是☉O的内接正五边形,则正五边形中心角∠COD的度数是(D) A.60° B.36° C.76° D.72°
重点典例研析 启思凝智 教学相长
重点1 圆内接正多边形的概念与计算(推理能力、运算能力)
【典例1】(教材再开发·P97例题拓展)如图,在☉O的内接正八边形ABCDEFGH中,AB=2,连接BG,DG.
(1)求证:DG∥AB;
(2)DG的长为 .
【解析】(1)∵八边形ABCDEFGH是☉O的内接正八边形,
∴=======,∴=,
∴∠ABG=∠BGD,∴AB∥DG;
(2)如图,连接OD,OE,OF,过点E,F分别作DG的垂线,垂足为M,N,
则MN=EF=AB=2,
∵八边形ABCDEFGH是☉O的内接正八边形,
∴∠DOE=∠EOF==45°,
∴∠NGF=∠DOF=45°=∠MDE,
在Rt△MDE中,∠MDE=45°,DE=2,
∴MD=DE=,
同理NG=,
∴DG=+2+=2+2.
答案:2+2
【举一反三】
(2024·合肥二模)如图,正五边形ABCDE的外接圆为☉O,点P是劣弧DE上一点,连接AC,AP,CP,则∠ACP+∠CAP的度数是(B)
A.72° B.108° C.128° D.144°
重点2 正多边形的作法及应用(空间观念、应用意识)
【典例2】(教材再开发·P98“做一做”变式)如图,已知☉O,用尺规作☉O的内接正四边形ABCD.(写出结论,不写作法,保留作图痕迹,并把作图痕迹用黑色签字笔描黑)
【解析】①作☉O的任意直径AC;②过点O作直径AC的中垂线交圆于B,D两点;③连接AB,AD,BC,DC,则如图所示,四边形ABCD即为所求.
【举一反三】
1.(2024·福州模拟)如图,将☉O的圆周十二等分,圆内接矩形ABCD的面积为20,则圆内接正六边形面积为(B)
A.25 B.30 C.35 D.40
2.若用n个全等的正五边形按如图方式拼接可以拼成一个环状,使相邻的两个正五边形有公共顶点,所夹的锐角为24°,图中所示的是前3个正五边形的拼接情况,拼接一圈后,中间会形成一个正多边形,则n的值为(B)
A.5 B.6 C.8 D.10
素养当堂测评 (10分钟·20分)
1.(4分·几何直观、运算能力)如图,正六边形ABCDEF内接于☉O,P为上的一点(点P不与点A,B重合),则∠CPE的度数为(C)
A.45° B.55° C.60° D.65°
2.(4分·几何直观、运算能力)如图,正五边形ABCDE内接于☉O,连接AC,则∠ACD的度数是(A)
A.72° B.70° C.60° D.45°
3.(4分·几何直观、运算能力)已知正六边形ABCDEF外接圆的半径为6,则这个正六边形的面积为(B)
A.54 B.54 C.36 D.36
4.(8分·推理能力、运算能力)如图,在正五边形ABCDE中,连接AC,AD,CE,CE交AD于点F.
(1)求∠CAD的度数.
(2)若AB=2,求DF的长.
【解析】(1)∵五边形ABCDE是正五边形,
∴AB=BC=CD=DE=AE,BA∥CE,AD∥BC,DE∥AC,AC=AD=CE,
∠BAE=×(5-2)×180°=108°.
∴四边形ABCF是菱形,∴∠BAC=∠CAD,
同理:∠CAD=∠DAE,
∴∠BAC=∠CAD=∠DAE=×108°=36°;
(2)∵四边形ABCF是菱形,
∴CF=AF=AB=2.
∵∠BAC=∠CAD=∠DAE=36°,
同理∠DCE=36°,
∴△DCF∽△DAC,
∴=,即CD2=DF·AD,
设DF=x,则AD=x+2,
∴22=x(x+2),即x2+2x-4=0,
解得x=-1(舍去负值).
∴DF的长是-1.
