9 弧长及扇形的面积
课时学习目标 素养目标达成
1.探索弧长计算公式及扇形面积计算公式 几何直观、空间观念
2.理解弧长计算公式及扇形面积计算公式并应用 模型观念、应用意识、运算能力
基础主干落实 夯基筑本 积厚成势
新知要点 对点小练
1.弧长计算公式 在半径为R的圆中,n°的圆心角所对的弧长的计算公式为l= . 1.已知一个扇形的半径为6,弧长为2π,则这个扇形的圆心角为( ) A.30° B.60° C.90° D.120°
2.扇形面积计算公式 如果扇形的半径为R,圆心角为n°,那么扇形面积的计算公式为S扇形= . 比较扇形面积公式与弧长公式还可得到S扇形= . 2.(1)计算半径为1,圆心角为60°的扇形面积为( ) A. B. C. D.π (2)一个扇形的面积为7π cm2,半径为6 cm,则此扇形的圆心角是 .
重点典例研析 纵横捭阖 挥斥方遒
重点1 弧长公式及应用(几何直观、运算能力)
【典例1】(教材再开发·P100例1拓展)如图,A,P,B,C是☉O上的四个点,∠APC=∠CPB=60°.
(1)求∠ACB的度数;
(2)若BC=6,求的长.
【举一反三】
1.(2024·常熟模拟)如图,在☉O中,点A,B,C在圆上,∠ACB=45°,☉O的半径的长为2,则劣弧AB的长是( )
A.2π B.π C. D.
2.如图,正方形ABCD的边长是3,将对角线AC绕点A顺时针旋转∠CAD的度数,点C旋转后的对应点为E,则的长是 (结果保留π).
【技法点拨】
弧长相关计算的两个步骤
重点2 扇形及相关阴影面积的计算(模型观念、运算能力)
【典例2】(2023·郴州中考)如图,在☉O中,AB是直径,点C是圆上一点.在AB的延长线上取一点D,连接CD,使∠BCD=∠A.
(1)求证:直线CD是☉O的切线;
(2)若∠ACD=120°,CD=2,求图中阴影部分的面积(结果用含π的式子表示).
【举一反三】
1.如图,某数学兴趣小组将边长为3的正方形铁丝框ABCD变形为以A为圆心,AB为半径的扇形(忽略铁丝的粗细),则所得扇形DAB的面积为( )
A.6 B.7 C.8 D.9
2.(2024·济南期末)如图1,一个扇形纸片的圆心角为90°,半径为10.如图2,将这张扇形纸片折叠,使点A与点O恰好重合,折痕为CD,图中阴影为重合部分,则阴影部分的面积为 .(结果保留π)
素养当堂测评 (10分钟·16分)
1.(4分·几何直观、运算能力)如图,在☉O中,半径AO⊥BO,C为上一点,连接AC,BC,AB,OC,若∠ABC=15°,CO=2,则的长度为( )
A. B. C. D.
2.(4分·几何直观、运算能力)如图,在△ABC中,∠A=30°,∠C=45°,BC=2,则的长度为( )
A. B. C.π D.2π
3.(4分·模型观念、运算能力)某花园内有一块五边形的空地如图所示,为了美化环境,现计划在以五边形各顶点为圆心,4 m长为半径的扇形区域(阴影部分)种上花草,那么种上花草的扇形区域总面积是( )
A.16π m2 B.12π m2
C.24π m2 D.48π m2
4.(4分·模型观念、运算能力)已知一个扇形的圆心角为100°,半径是6,则这个扇形的面积是( )
A.15π B.10π C.5π D.2.5π9 弧长及扇形的面积
课时学习目标 素养目标达成
1.探索弧长计算公式及扇形面积计算公式 几何直观、空间观念
2.理解弧长计算公式及扇形面积计算公式并应用 模型观念、应用意识、运算能力
基础主干落实 夯基筑本 积厚成势
新知要点 对点小练
1.弧长计算公式 在半径为R的圆中,n°的圆心角所对的弧长的计算公式为l= πR . 1.已知一个扇形的半径为6,弧长为2π,则这个扇形的圆心角为(B) A.30° B.60° C.90° D.120°
2.扇形面积计算公式 如果扇形的半径为R,圆心角为n°,那么扇形面积的计算公式为S扇形= πR2 . 比较扇形面积公式与弧长公式还可得到S扇形= lR . 2.(1)计算半径为1,圆心角为60°的扇形面积为(B) A. B. C. D.π (2)一个扇形的面积为7π cm2,半径为6 cm,则此扇形的圆心角是 70° .
重点典例研析 纵横捭阖 挥斥方遒
重点1 弧长公式及应用(几何直观、运算能力)
【典例1】(教材再开发·P100例1拓展)如图,A,P,B,C是☉O上的四个点,∠APC=∠CPB=60°.
(1)求∠ACB的度数;
(2)若BC=6,求的长.
【自主解答】(1)∵∠APC=∠CPB=60°,
∴∠ABC=∠APC=60°,∠BAC=∠BPC=60°,
∴∠ACB=180°-∠ABC-∠BAC=60°;
(2)连接OB,OC,过点O作OD⊥BC于点D,
∵∠BAC=60°,∴∠BOC=2∠BAC=120°.
∵OD⊥BC于点D,OB=OC,
∴∠BOD=∠BOC=60°,BD=BC=×6=3,
∵Rt△BOD中,sin∠BOD=,
∴OB===2,
∴==π.
【举一反三】
1.(2024·常熟模拟)如图,在☉O中,点A,B,C在圆上,∠ACB=45°,☉O的半径的长为2,则劣弧AB的长是(B)
A.2π B.π C. D.
2.如图,正方形ABCD的边长是3,将对角线AC绕点A顺时针旋转∠CAD的度数,点C旋转后的对应点为E,则的长是 π (结果保留π).
【技法点拨】
弧长相关计算的两个步骤
重点2 扇形及相关阴影面积的计算(模型观念、运算能力)
【典例2】(2023·郴州中考)如图,在☉O中,AB是直径,点C是圆上一点.在AB的延长线上取一点D,连接CD,使∠BCD=∠A.
(1)求证:直线CD是☉O的切线;
(2)若∠ACD=120°,CD=2,求图中阴影部分的面积(结果用含π的式子表示).
【解析】(1)连接OC,
∵AB是直径,∴∠ACB=∠OCA+∠OCB=90°,
∵OA=OC,∠BCD=∠A,∴∠OCA=∠A=∠BCD,
∴∠BCD+∠OCB=∠OCD=90°,∴OC⊥CD,∵OC是☉O的半径,
∴直线CD是☉O的切线.
(2)∵∠ACD=120°,∠ACB=90°,
∴∠A=∠BCD=120°-90°=30°,∴∠DOC=2∠A=60°,
在Rt△OCD中,tan∠DOC==tan 60°,又CD=2,
∴=,解得OC=2,∴S阴影=S△OCD-=×2×2-=2-.
【举一反三】
1.如图,某数学兴趣小组将边长为3的正方形铁丝框ABCD变形为以A为圆心,AB为半径的扇形(忽略铁丝的粗细),则所得扇形DAB的面积为(D)
A.6 B.7 C.8 D.9
2.(2024·济南期末)如图1,一个扇形纸片的圆心角为90°,半径为10.如图2,将这张扇形纸片折叠,使点A与点O恰好重合,折痕为CD,图中阴影为重合部分,则阴影部分的面积为 - .(结果保留π)
素养当堂测评 (10分钟·16分)
1.(4分·几何直观、运算能力)如图,在☉O中,半径AO⊥BO,C为上一点,连接AC,BC,AB,OC,若∠ABC=15°,CO=2,则的长度为(A)
A. B. C. D.
2.(4分·几何直观、运算能力)如图,在△ABC中,∠A=30°,∠C=45°,BC=2,则的长度为(C)
A. B. C.π D.2π
3.(4分·模型观念、运算能力)某花园内有一块五边形的空地如图所示,为了美化环境,现计划在以五边形各顶点为圆心,4 m长为半径的扇形区域(阴影部分)种上花草,那么种上花草的扇形区域总面积是(C)
A.16π m2 B.12π m2
C.24π m2 D.48π m2
4.(4分·模型观念、运算能力)已知一个扇形的圆心角为100°,半径是6,则这个扇形的面积是(B)
A.15π B.10π C.5π D.2.5π
