第三章 圆 单元复习课
体系自我构建 联动千帆 系结万流
目标维度评价 涓涓不壅 终为江河
维度1 基础知识的应用
1.(2024·连云港中考)如图,将一根木棒的一端固定在O点,另一端绑一重物.将此重物拉到A点后放开,让此重物由A点摆动到B点.则此重物移动路径的形状为( )
A.倾斜直线 B.抛物线
C.圆弧 D.水平直线
2.(2023·连云港中考)如图,甲是由一条直径、一条弦及一段圆弧所围成的图形;乙是由两条半径与一段圆弧所围成的图形;丙是由不过圆心O的两条线段与一段圆弧所围成的图形.下列叙述正确的是( )
A.只有甲是扇形 B.只有乙是扇形
C.只有丙是扇形 D.只有乙、丙是扇形
3.(2023·宿迁中考)在同一平面内,已知☉O的半径为2,圆心O到直线l的距离为3,点P为圆上的一个动点,则点P到直线l的最大距离是( )
A.2 B.5 C.6 D.8
4.(2024·湖南中考)如图,AB,AC为☉O的两条弦,连接OB,OC,若∠A=45°,则∠BOC的度数为( )
A.60° B.75° C.90° D.135°
维度2 基本技能(方法)、基本思想的应用
5.(2024·临夏州中考)如图,AB是☉O的直径,∠E=35°,则∠BOD=( )
A.80° B.100°
C.120° D.110°
6.(2023·湖北中考)如图,在☉O中,直径AB与弦CD相交于点P,连接AC,AD,BD,若∠C=20°,∠BPC=70°,则∠ADC=( )
A.70° B.60° C.50° D.40°
7.(2023·安徽中考)如图,正五边形ABCDE内接于☉O,连接OC,OD,则∠BAE-
∠COD =( )
A.60° B.54° C.48° D.36°
8.(2024·凉山州中考)数学活动课上,同学们要测一个如图所示的残缺圆形工件的半径,小明的解决方案是:在工件圆弧上任取两点A,B,连接AB,作AB的垂直平分线CD交AB于点D,交于点C,测出AB=40 cm,CD=10 cm,则圆形工件的半径为( )
A.50 cm B.35 cm C.25 cm D.20 cm
9.(2024·福建中考)如图,已知点A,B在☉O上,∠AOB=72°,直线MN与☉O相切,切点为C,且C为的中点,则∠ACM等于( )
A.18° B.30° C.36° D.72°
10.(2023·广州中考)如图,△ABC的内切圆☉I与BC,CA,AB分别相切于点D,E,F,若☉I的半径为r,∠A=α,则(BF+CE-BC)的值和∠FDE的大小分别为( )
A.2r,90°-α B.0,90°-α
C.2r,90°- D.0,90°-
11.(2023·青岛中考)如图,四边形ABCD是☉O的内接四边形,∠B=58°,∠ACD=40°.若☉O的半径为5,则的长为( )
A.π B.π C.π D.π
12.(2023·衡阳中考)如图,用若干个全等的正五边形排成圆环状,图中所示的是其中3个正五边形的位置.要完成这一圆环排列,共需要正五边形的个数是 .
13.(2023·北京中考)如图,OA是☉O的半径,BC是☉O的弦,OA⊥BC于点D,AE是☉O的切线,AE交OC的延长线于点E.若∠AOC=45°,BC=2,则线段AE的长为 .
14.(2023·黑龙江中考)如图,AB是☉O的直径,PA切☉O于点A,PO交☉O于点C,连接BC,若∠B=28°,则∠P= °.
15.(2024·甘肃中考)如图,AB是☉O的直径,=,点E在AD的延长线上,且
∠ADC=∠AEB.
(1)求证:BE是☉O的切线;
(2)当☉O的半径为2,BC=3时,求tan∠AEB的值.
16.(2023·阜新中考)如图,AB是☉O的直径,点C,D是☉O上AB异侧的两点,DE⊥CB,交CB的延长线于点E,且BD平分∠ABE.
(1)求证:DE是☉O的切线.
(2)若∠ABC=60°,AB=4,求图中阴影部分的面积.
维度3 实际生产生活中的运用
17.(2023·自贡中考)第29届自贡国际恐龙灯会“辉煌新时代”主题灯组上有一幅不完整的正多边形图案,小华量得图中一边与对角线的夹角∠ACB=15°,算出这个正多边形的边数是( )
A.9 B.10 C.11 D.12
18.(2023·兰州中考)如图1是一段弯管,弯管的部分外轮廓线如图2所示是一条圆弧,圆弧的半径OA=20 cm,圆心角∠AOB=90°,则=( )
A.20π cm B.10π cm
C.5π cm D.2π cm
19.(2023·雅安中考)如图,某小区要绿化一扇形OAB空地,准备在小扇形OCD内种花,在其余区域内(阴影部分)种草,测得∠AOB=120°,OA=15 m,OC=10 m,则种草区域的面积为( )
A. m2 B. m2
C. m2 D. m2
20.(2023·山西中考)中国高铁的飞速发展,已成为中国现代化建设的重要标志.如图是高铁线路在转向处所设计的圆曲线(即圆弧),高铁列车在转弯时的曲线起点为A,曲线终点为B,过点A,B的两条切线相交于点C,列车在从A到B行驶的过程中转角α为60°.若圆曲线的半径OA=1.5 km,则这段圆曲线的长为( )
A. km B. km
C. km D. km
21.(2023·郴州中考)如图,某博览会上有一圆形展示区,在其圆形边缘的点P处安装了一台监视器,它的监控角度是55°,为了监控整个展区,最少需要在圆形边缘上共安装这样的监视器 台.
22.(2023·衢州中考)如图是一个圆形餐盘的正面及其固定支架的截面图,凹槽ABCD是矩形.当餐盘正立且紧靠支架于点A,D时,恰好与BC边相切,则此餐盘的半径等于 cm.
维度4 跨学科应用
23.(与地理结合)(2022·遵义中考)数学小组研究如下问题:遵义市某地的纬度约为北纬28°,求北纬28°纬线的长度.
小组成员查阅相关资料,得到如下信息:
信息一:在地球仪上,与赤道平行的圆圈叫做纬线;
信息二:如图,赤道半径OA约为6 400千米,弦BC∥OA,以BC为直径的圆的周长就是北纬28°纬线的长度.
(参考数据:π≈3,sin 28°≈0.47,cos 28°≈0.88,tan 28°≈0.53)
根据以上信息,北纬28°纬线的长度约为 千米.
【感悟思想】体会本章数学思想的“润物无声”
数学思想 应用载体
方程思想 利用垂径定理求弦长及半径
转化思想 与扇形有关的阴影面积计算
分类思想 判断直线与圆、点与圆的位置关系
数形结合思想 圆与直角坐标系相结合的问题第三章 圆 单元复习课
体系自我构建 联动千帆 系结万流
目标维度评价 涓涓不壅 终为江河
维度1 基础知识的应用
1.(2024·连云港中考)如图,将一根木棒的一端固定在O点,另一端绑一重物.将此重物拉到A点后放开,让此重物由A点摆动到B点.则此重物移动路径的形状为(C)
A.倾斜直线 B.抛物线
C.圆弧 D.水平直线
2.(2023·连云港中考)如图,甲是由一条直径、一条弦及一段圆弧所围成的图形;乙是由两条半径与一段圆弧所围成的图形;丙是由不过圆心O的两条线段与一段圆弧所围成的图形.下列叙述正确的是(B)
A.只有甲是扇形 B.只有乙是扇形
C.只有丙是扇形 D.只有乙、丙是扇形
3.(2023·宿迁中考)在同一平面内,已知☉O的半径为2,圆心O到直线l的距离为3,点P为圆上的一个动点,则点P到直线l的最大距离是(B)
A.2 B.5 C.6 D.8
4.(2024·湖南中考)如图,AB,AC为☉O的两条弦,连接OB,OC,若∠A=45°,则∠BOC的度数为(C)
A.60° B.75° C.90° D.135°
维度2 基本技能(方法)、基本思想的应用
5.(2024·临夏州中考)如图,AB是☉O的直径,∠E=35°,则∠BOD=(D)
A.80° B.100°
C.120° D.110°
6.(2023·湖北中考)如图,在☉O中,直径AB与弦CD相交于点P,连接AC,AD,BD,若∠C=20°,∠BPC=70°,则∠ADC=(D)
A.70° B.60° C.50° D.40°
7.(2023·安徽中考)如图,正五边形ABCDE内接于☉O,连接OC,OD,则∠BAE-
∠COD =(D)
A.60° B.54° C.48° D.36°
8.(2024·凉山州中考)数学活动课上,同学们要测一个如图所示的残缺圆形工件的半径,小明的解决方案是:在工件圆弧上任取两点A,B,连接AB,作AB的垂直平分线CD交AB于点D,交于点C,测出AB=40 cm,CD=10 cm,则圆形工件的半径为(C)
A.50 cm B.35 cm C.25 cm D.20 cm
9.(2024·福建中考)如图,已知点A,B在☉O上,∠AOB=72°,直线MN与☉O相切,切点为C,且C为的中点,则∠ACM等于(A)
A.18° B.30° C.36° D.72°
10.(2023·广州中考)如图,△ABC的内切圆☉I与BC,CA,AB分别相切于点D,E,F,若☉I的半径为r,∠A=α,则(BF+CE-BC)的值和∠FDE的大小分别为(D)
A.2r,90°-α B.0,90°-α
C.2r,90°- D.0,90°-
11.(2023·青岛中考)如图,四边形ABCD是☉O的内接四边形,∠B=58°,∠ACD=40°.若☉O的半径为5,则的长为(C)
A.π B.π C.π D.π
12.(2023·衡阳中考)如图,用若干个全等的正五边形排成圆环状,图中所示的是其中3个正五边形的位置.要完成这一圆环排列,共需要正五边形的个数是 10 .
13.(2023·北京中考)如图,OA是☉O的半径,BC是☉O的弦,OA⊥BC于点D,AE是☉O的切线,AE交OC的延长线于点E.若∠AOC=45°,BC=2,则线段AE的长为 .
14.(2023·黑龙江中考)如图,AB是☉O的直径,PA切☉O于点A,PO交☉O于点C,连接BC,若∠B=28°,则∠P= 34 °.
15.(2024·甘肃中考)如图,AB是☉O的直径,=,点E在AD的延长线上,且
∠ADC=∠AEB.
(1)求证:BE是☉O的切线;
(2)当☉O的半径为2,BC=3时,求tan∠AEB的值.
【解析】(1)设CD与AB的交点为F,连接BD,OC,OD,
∵=,∴BC=BD,
∵OC=OD,∴点O,B在CD的垂直平分线上,
∴OB垂直平分CD,∴∠AFD=90°,
∵∠ADC=∠AEB,∴CD∥BE,
∴∠ABE=∠AFD=90°,∴AB⊥BE,
∵AB是☉O的直径,∴BE是☉O的切线;
(2)∵☉O的半径为2,∴AB=2×2=4,
∵AB是☉O的直径,∴∠ACB=90°,
∵BC=3,∴AC===,
∴tan∠ABC==,
∵=,∴∠ADC=∠ABC,
∵∠AEB=∠ADC,∴∠AEB=∠ABC,
∴tan∠AEB=tan∠ABC=.
16.(2023·阜新中考)如图,AB是☉O的直径,点C,D是☉O上AB异侧的两点,DE⊥CB,交CB的延长线于点E,且BD平分∠ABE.
(1)求证:DE是☉O的切线.
(2)若∠ABC=60°,AB=4,求图中阴影部分的面积.
【解析】(1)连接OD,
∵DE⊥CB,∴∠E=90°.
∵BD平分∠ABE,∴∠ABD=∠DBE.
∵OD=OB,∴∠ODB=∠ABD,
∴∠ODB=∠DBE,
∴OD∥BE,∴∠ODE=180°-∠E=90°.
∵OD是☉O的半径,∴DE是☉O的切线.
(2)连接OC,过点O作OF⊥BC,垂足为F,
∵∠ABC=60°,OB=OC,∴△OBC是等边三角形,
∴OB=OC=BC=AB=2,∠BOC=60°.
在Rt△OBF中,OF=OB·sin 60°=2×=,
∴图中阴影部分的面积=扇形BOC的面积-△BOC的面积=-BC·OF=-×2×=-.
维度3 实际生产生活中的运用
17.(2023·自贡中考)第29届自贡国际恐龙灯会“辉煌新时代”主题灯组上有一幅不完整的正多边形图案,小华量得图中一边与对角线的夹角∠ACB=15°,算出这个正多边形的边数是(D)
A.9 B.10 C.11 D.12
18.(2023·兰州中考)如图1是一段弯管,弯管的部分外轮廓线如图2所示是一条圆弧,圆弧的半径OA=20 cm,圆心角∠AOB=90°,则=(B)
A.20π cm B.10π cm
C.5π cm D.2π cm
19.(2023·雅安中考)如图,某小区要绿化一扇形OAB空地,准备在小扇形OCD内种花,在其余区域内(阴影部分)种草,测得∠AOB=120°,OA=15 m,OC=10 m,则种草区域的面积为(B)
A. m2 B. m2
C. m2 D. m2
20.(2023·山西中考)中国高铁的飞速发展,已成为中国现代化建设的重要标志.如图是高铁线路在转向处所设计的圆曲线(即圆弧),高铁列车在转弯时的曲线起点为A,曲线终点为B,过点A,B的两条切线相交于点C,列车在从A到B行驶的过程中转角α为60°.若圆曲线的半径OA=1.5 km,则这段圆曲线的长为(B)
A. km B. km
C. km D. km
21.(2023·郴州中考)如图,某博览会上有一圆形展示区,在其圆形边缘的点P处安装了一台监视器,它的监控角度是55°,为了监控整个展区,最少需要在圆形边缘上共安装这样的监视器 4 台.
22.(2023·衢州中考)如图是一个圆形餐盘的正面及其固定支架的截面图,凹槽ABCD是矩形.当餐盘正立且紧靠支架于点A,D时,恰好与BC边相切,则此餐盘的半径等于 10 cm.
维度4 跨学科应用
23.(与地理结合)(2022·遵义中考)数学小组研究如下问题:遵义市某地的纬度约为北纬28°,求北纬28°纬线的长度.
小组成员查阅相关资料,得到如下信息:
信息一:在地球仪上,与赤道平行的圆圈叫做纬线;
信息二:如图,赤道半径OA约为6 400千米,弦BC∥OA,以BC为直径的圆的周长就是北纬28°纬线的长度.
(参考数据:π≈3,sin 28°≈0.47,cos 28°≈0.88,tan 28°≈0.53)
根据以上信息,北纬28°纬线的长度约为 33 792 千米.
【感悟思想】体会本章数学思想的“润物无声”
数学思想 应用载体
方程思想 利用垂径定理求弦长及半径
转化思想 与扇形有关的阴影面积计算
分类思想 判断直线与圆、点与圆的位置关系
数形结合思想 圆与直角坐标系相结合的问题
