1 锐角三角函数
第2课时
课时学习目标 素养目标达成
1.理解正弦和余弦的意义,能够运用sin A、cos A表示直角三角形两边的比. 模型观念、运算能力
2.能根据直角三角形中的边角关系,进行简单的计算. 模型观念、运算能力、应用意识
基础主干落实 九层之台 起于累土
新知要点 对点小练
正弦与余弦的认识 函数正弦余弦条件在直角三角形中定义锐角的 对边 与斜边的比值 锐角的 邻边 与斜边的比值 表示 ∠A的正弦.记作sin A,即sin A= ∠A的余弦.记作cos A,即cos A= 关系∠A的对边=斜边×sin A, 斜边=∠A的对边÷sin A∠A的邻边=斜边×cos A, 斜边=∠A的邻边÷cos A倾斜度sin A的值越 大 ,AB越陡 cos A的值越 小 ,AB越陡
1.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,则cos A=(C) A. B. C. D. 2.在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=5,AC=4,则sin B的值等于(B) A. B. C. D. 3.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,sin A=,BC=8,则AB的值为(C) A.6 B.8 C.10 D.12
重点典例研析 循道而行 方能致远
重点1计算锐角三角函数(模型观念、运算能力)
【典例1】(教材再开发·P6习题T1延伸)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,D为AC上的一点,CD=3,AD=BD=5.求∠A的三角函数值.
【解析】在Rt△BCD中,∵CD=3,BD=5,∴BC===4,
又AC=AD+CD=8,
∴AB===4,
则sin A===,cos A===,tan A===.
【举一反三】
(2024·眉山中考)如图,在矩形ABCD中,AB=6,BC=8,点E在DC上,把△ADE沿AE折叠,点D恰好落在BC边上的点F处,则cos∠CEF的值为(A)
A. B. C. D.
重点2锐角三角函数的应用(模型观念、运算能力、应用意识)
【典例2】(教材再开发·P5例2强化)已知:如图,在△ABC中,AD是边BC上的高,E为边AC的中点,BC=21,AD=8,sin B=.
求:(1)线段DC的长;
(2)tan∠EDC的值.
【解析】(1)∵AD是BC边上的高,
∴△ABD和△ACD是直角三角形,
在Rt△ABD中,∵sin B=,AD=8,
∴=,
∴AB=10,
∴BD==6,
又∵BC=21,
∴CD=BC-BD=15;
(2)在Rt△ACD中,
∵E为斜边AC的中点,
∴ED=EC=AC,
∴∠C=∠EDC,
∴tan∠EDC=tan C==.
【举一反三】
1.(2024·西安期末)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,cos A=,AC=4,那么AB的长为(C)
A.3 B.5 C. D.
2.如图是一架人字梯,已知AB=AC,两梯脚之间的距离BC=m米,AC与地面BC的夹角为α,则人字梯AC长为(C)
A.米 B.msin α米 C.米 D.米
【技法点拨】
锐角三角函数的两个应用
1.已知一个锐角的三角函数值,求直角三角形的边长或两条边的比.
2.已知一个锐角的某一个三角函数值,求这个锐角的其他三角函数值.
素养当堂测评 (10分钟·20分)
1. (4分·模型观念、运算能力)如图,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AD⊥BC于点D,下列结论中,正确的是(C)
A.sin B= B.cos C=
C.sin C= D.tan C=
2.(4分·模型观念、运算能力)在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=3BC,则cos B= .
3.(4分·模型观念、运算能力)在Rt△ABC中,∠C=90°,cos B=,如果AB=14,那么AC= 4 .
4.(8分·模型观念、运算能力)如图,在△ABC中,AB=10,BC=4,sin B=,求AC的长.
【解析】如图,过点A作AH⊥BC,交BC的延长线于点H,则∠AHB=90°.
∵sin B==,AB=10,
∴AH=6.
在Rt△AHB中,由勾股定理得BH===8.
又∵BC=4,
∴HC=BH-BC=8-4=4,
∴AC===2.
训练升级,请使用 “课时过程性评价 二”1 锐角三角函数
第1课时
课时学习目标 素养目标达成
1.经历探索刻画梯子倾斜程度的过程,理解正切的概念,感受正切与现实生活的联系. 模型观念、运算能力
2.了解坡度、坡角等概念,并能用正切进行简单的计算. 模型观念、运算能力、应用意识
基础主干落实 夯基筑本 积厚成势
新知要点 对点小练
1.正切 1.(1)在△ABC中,∠C=90°,则tan A等于(C) A. B. C. D. (2)在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=4,BC=3,则tan A的值为(A) A. B. C. D.
2.坡度和坡角 概念内容联系坡度 (坡比)坡面的 铅直高度 与 水平宽度 的比,通常用字母i表示 坡度是坡角的正切,即i=tan α=h∶l 坡角坡面与水平面的夹角
2.(1)如图,大坝某段横截面迎水坡AB的坡度i=1∶2,若坝高BC=30 m,则坝底AC的长度为(B) A.30 m B.60 m C.30 m D.90 m (2)如果一斜坡的坡比是1∶2.4,那么该斜坡坡角的正切值是 .
重点典例研析 纵横捭阖 挥斥方遒
重点1计算锐角的正切值(模型观念、运算能力)
【典例1】(教材再开发·P3“定义”拓展)如图1,在正方形ABCD中,点E在线段BC上,连接AE,将△ABE沿着AE折叠得到△AFE,延长EF交CD于点G.
(1)求证:DG=FG.
(2)如图2,当点E是BC的中点时,求tan∠CGE的值.
【自主解答】(1)因为四边形ABCD是正方形,所以AB=AD,∠B=∠D=90°,
因为将△ABE沿着AE折叠得到△AFE,
所以AB=AF,∠B=∠AFE=90°,
所以AD=AF,又因为AG=AG,
所以Rt△ADG≌Rt△AFG,
所以DG=FG;
(2)设BC=CD=2a,
因为点E是BC的中点,
所以BE=CE=a,
因为将△ABE沿着AE折叠得到△AFE,
所以BE=EF=a,
因为EG2=EC2+CG2,
所以=a2+,
所以DG=a,
所以GC=2a-a=,
所以tan∠CGE===.
【举一反三】
(2024·榆林一模)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,D是BC的中点,AC=6,tan∠ABC=,则BD的长为(B)
A.8 B.6 C.4 D.3
【技法点拨】
锐角正切值的两种计算方法
1.直接法:在直角三角形中,根据条件计算锐角的对边与邻边的比值,计算正切值;
2.转化法:利用等量关系、添加辅助线等方法将锐角“转移”到一个直角三角形中,计算正切值.
重点2正切的应用——坡度(模型观念、运算能力、应用意识)
【典例2】(教材再开发·P4随堂练习T2强化)如图所示,一河道准备建造一条长600米的防水堤坝,横截面是梯形ABCD,坝顶宽6米,坝高8米,斜坡AB的坡度iAB=1∶3,斜坡CD的坡度iCD=1∶2.5.求斜坡AB和坝底AD的长度.
【解析】过点B作BG⊥AD于点G,过点C作CH⊥AD于点H,
由题意,得BC=GH=6,BG=CH=8,
因为iAB=1∶3,iCD=1∶2.5,
所以=,=,
即=,=,
所以AG=24,DH=20,
所以AB==8,AD=AG+GH+DH=50,
所以斜坡AB的长度是8米,坝底AD的长度是50米.
【举一反三】
(2024·南昌一模)如图,已知传送带AB与地面AC所成斜面坡度为i=1∶,如果它把物体送到离地面3米高的地方,那么物体所经过的路程为 3 米.
素养当堂测评 (10分钟·15分)
1. (5分·模型观念、运算能力、应用意识)如图,在坡度i=1∶3的斜坡上栽两棵树,它们之间的株距(相邻两棵树间的水平距离)为9 m,则这两棵树之间的坡面距离为(C)
A.2 m B.9 m
C.3 m D.10 m
2.(5分·模型观念、运算能力)如图是一个自动扶梯的示意图,则tan β= .
3.(5分·模型观念、运算能力)将∠BAC放置在4×4的正方形网格中,顶点A,B,C都在格点上,则tan∠BAC的值为 1 .
训练升级,请使用 “课时过程性评价 一”1 锐角三角函数
第1课时
课时学习目标 素养目标达成
1.经历探索刻画梯子倾斜程度的过程,理解正切的概念,感受正切与现实生活的联系. 模型观念、运算能力
2.了解坡度、坡角等概念,并能用正切进行简单的计算. 模型观念、运算能力、应用意识
基础主干落实 夯基筑本 积厚成势
新知要点 对点小练
1.正切 1.(1)在△ABC中,∠C=90°,则tan A等于( ) A. B. C. D. (2)在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=4,BC=3,则tan A的值为( ) A. B. C. D.
2.坡度和坡角 概念内容联系坡度 (坡比)坡面的 与 的比,通常用字母i表示 坡度是坡角的正切,即i=tan α=h∶l 坡角坡面与水平面的夹角
2.(1)如图,大坝某段横截面迎水坡AB的坡度i=1∶2,若坝高BC=30 m,则坝底AC的长度为( ) A.30 m B.60 m C.30 m D.90 m (2)如果一斜坡的坡比是1∶2.4,那么该斜坡坡角的正切值是 .
重点典例研析 纵横捭阖 挥斥方遒
重点1计算锐角的正切值(模型观念、运算能力)
【典例1】(教材再开发·P3“定义”拓展)如图1,在正方形ABCD中,点E在线段BC上,连接AE,将△ABE沿着AE折叠得到△AFE,延长EF交CD于点G.
(1)求证:DG=FG.
(2)如图2,当点E是BC的中点时,求tan∠CGE的值.
【举一反三】
(2024·榆林一模)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,D是BC的中点,AC=6,tan∠ABC=,则BD的长为( )
A.8 B.6 C.4 D.3
【技法点拨】
锐角正切值的两种计算方法
1.直接法:在直角三角形中,根据条件计算锐角的对边与邻边的比值,计算正切值;
2.转化法:利用等量关系、添加辅助线等方法将锐角“转移”到一个直角三角形中,计算正切值.
重点2正切的应用——坡度(模型观念、运算能力、应用意识)
【典例2】(教材再开发·P4随堂练习T2强化)如图所示,一河道准备建造一条长600米的防水堤坝,横截面是梯形ABCD,坝顶宽6米,坝高8米,斜坡AB的坡度iAB=1∶3,斜坡CD的坡度iCD=1∶2.5.求斜坡AB和坝底AD的长度.
【举一反三】
(2024·南昌一模)如图,已知传送带AB与地面AC所成斜面坡度为i=1∶,如果它把物体送到离地面3米高的地方,那么物体所经过的路程为 米.
素养当堂测评 (10分钟·15分)
1. (5分·模型观念、运算能力、应用意识)如图,在坡度i=1∶3的斜坡上栽两棵树,它们之间的株距(相邻两棵树间的水平距离)为9 m,则这两棵树之间的坡面距离为( )
A.2 m B.9 m
C.3 m D.10 m
2.(5分·模型观念、运算能力)如图是一个自动扶梯的示意图,则tan β= .
3.(5分·模型观念、运算能力)将∠BAC放置在4×4的正方形网格中,顶点A,B,C都在格点上,则tan∠BAC的值为 . 1 锐角三角函数
第2课时
课时学习目标 素养目标达成
1.理解正弦和余弦的意义,能够运用sin A、cos A表示直角三角形两边的比. 模型观念、运算能力
2.能根据直角三角形中的边角关系,进行简单的计算. 模型观念、运算能力、应用意识
基础主干落实 九层之台 起于累土
新知要点 对点小练
正弦与余弦的认识 函数正弦余弦条件在直角三角形中定义锐角的 与斜边的比值 锐角的 与斜边的比值 表示 ∠A的正弦.记作sin A,即sin A= ∠A的余弦.记作cos A,即cos A= 关系∠A的对边=斜边×sin A, 斜边=∠A的对边÷sin A∠A的邻边=斜边×cos A, 斜边=∠A的邻边÷cos A倾斜度sin A的值越 ,AB越陡 cos A的值越 ,AB越陡
1.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,则cos A=( ) A. B. C. D. 2.在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=5,AC=4,则sin B的值等于( ) A. B. C. D. 3.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,sin A=,BC=8,则AB的值为( ) A.6 B.8 C.10 D.12
重点典例研析 循道而行 方能致远
重点1计算锐角三角函数(模型观念、运算能力)
【典例1】(教材再开发·P6习题T1延伸)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,D为AC上的一点,CD=3,AD=BD=5.求∠A的三角函数值.
【举一反三】
(2024·眉山中考)如图,在矩形ABCD中,AB=6,BC=8,点E在DC上,把△ADE沿AE折叠,点D恰好落在BC边上的点F处,则cos∠CEF的值为( )
A. B. C. D.
重点2锐角三角函数的应用(模型观念、运算能力、应用意识)
【典例2】(教材再开发·P5例2强化)已知:如图,在△ABC中,AD是边BC上的高,E为边AC的中点,BC=21,AD=8,sin B=.
求:(1)线段DC的长;
(2)tan∠EDC的值.
【举一反三】
1.(2024·西安期末)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,cos A=,AC=4,那么AB的长为( )
A.3 B.5 C. D.
2.如图是一架人字梯,已知AB=AC,两梯脚之间的距离BC=m米,AC与地面BC的夹角为α,则人字梯AC长为( )
A.米 B.msin α米 C.米 D.米
【技法点拨】
锐角三角函数的两个应用
1.已知一个锐角的三角函数值,求直角三角形的边长或两条边的比.
2.已知一个锐角的某一个三角函数值,求这个锐角的其他三角函数值.
素养当堂测评 (10分钟·20分)
1. (4分·模型观念、运算能力)如图,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AD⊥BC于点D,下列结论中,正确的是( )
A.sin B= B.cos C=
C.sin C= D.tan C=
2.(4分·模型观念、运算能力)在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=3BC,则cos B= .
3.(4分·模型观念、运算能力)在Rt△ABC中,∠C=90°,cos B=,如果AB=14,那么AC= .
4.(8分·模型观念、运算能力)如图,在△ABC中,AB=10,BC=4,sin B=,求AC的长.
