5 三角函数的应用
6 利用三角函数测高
课时学习目标 素养目标达成
1.经历应用三角函数解决实际问题的过程,进一步体会三角函数在解决问题过程中的作用. 模型观念、应用意识
2.能够把实际问题转化为数学问题,能够借助计算器进行有关三角函数的计算. 模型观念、应用意识、几何直观
3.会利用直角三角形的边角关系测物体的高度. 模型观念、应用意识、运算能力
基础主干落实 夯基筑本 积厚成势
新知要点 对点小练
1.方向角:指南或指北方向线与目标方向线所成的小于90°的角. 2.利用三角函数测高 类型关系结论测量倾斜角∠3=∠ 1 可测得∠3底部可以到达的物体的高度 MN=AC+AN· tan ∠MCE 由AN,AC, ∠MCE, 可得出MN底部不可以到达的物体的高度 MN=+AC由∠MCE, ∠MDE, AC,AB, 可得出MN
1.如图,小明和小华同时从P处分别向北偏东60°和南偏东30°方向出发,他们的速度分别是3 m/s和4 m/s,则20 s后他们之间的距离为(D) A.70 m B.80 m C.90 m D.100 m 2.如图要测量小河两岸相对的两点P,A的距离,点P位于点A正北方向,点C位于点A的西北方向,若测得PC=50米,则小河宽PA为 50 米.
重点典例研析 纵横捭阖 挥斥方遒
重点1与方向角有关的问题(模型观念、运算能力、应用意识、几何直观)
【典例1】(教材溯源·P21习题T4·2024泸州中考)如图,海中有一个小岛C,某渔船在海中的A点测得小岛C位于东北方向上,该渔船由西向东航行一段时间后到达B点,测得小岛C位于北偏西30°方向上,再沿北偏东60°方向继续航行一段时间后到达D点,这时测得小岛C位于北偏西60°方向上.已知A,C相距30 n mile.求C,D间的距离(计算过程中的数据不取近似值).
【解析】过C作CH⊥AB于点H,
∵∠CAB=45°,AC=30 n mile,
∴AH=CH=15 n mile,
∵∠CBH=60°,
∴BC===10(n mile),
过D作DG⊥AB于点G,
∴∠DBG=90°-60°=30°,
∴∠BDG=60°,
∴∠CDB=60°,
∴CD===20(n mile),
答:C,D间的距离为20 n mile.
【举一反三】
(2023·眉山中考)一渔船在海上A处测得灯塔C在它的北偏东60°方向,渔船向正东方向航行12海里到达点B处,测得灯塔C在它的北偏东45°方向,若渔船继续向正东方向航行,则渔船与灯塔C的最短距离是 (6+6) 海里.
【技法点拨】
运用三角函数解决实际问题的三个步骤
重点2测量物体的高度(模型观念、运算能力、应用意识、几何直观)
【典例2】(教材再开发·P23补充例题)安阳红旗渠机场于2023年11月29日正式通航,很多市民共同见证了这一历史时刻.如图,市民甲在C处看见飞机A的仰角为45°,同时另一市民乙在斜坡CF上的D处看见飞机A的仰角为30°,若斜坡CF的坡比为1∶3,铅垂高度DG=30 米(点E,G,C,B在同一水平线上).求飞机距离地面的高度.(结果保留根号)
【解析】过点D作DH⊥AB于点H,如图,
∵斜坡CF的坡比为1∶3,铅垂高度DG=30 米,
∴=,
∴CG=90 米,
∵DG⊥BG,AB⊥BG,
∴四边形BHDG是矩形,
∴BH=DG=30 米,DH=BG,
∵∠ABC=90°,∠ACB=45°,
∴△ABC是等腰直角三角形,
∴AB=BC,
设AB=BC=x 米,则AH=AB-BH=(x-30)米,DH=BG=CG+BC=(90+x)米,
在Rt△ADH中,tan∠ADH==,
∴=,
解得x=60+90,
∴AB=米,
答:飞机距离地面的高度为米.
【举一反三】
(2024·山西中考)研学实践:为重温解放军东渡黄河“红色记忆”,学校组织研学活动.同学们来到毛主席东渡黄河纪念碑所在地,在了解相关历史背景后,利用航模搭载的3D扫描仪采集纪念碑的相关数据.
数据采集:如图,点A是纪念碑顶部一点,AB的长表示点A到水平地面的距离.航模从纪念碑前水平地面的点M处竖直上升,飞行至距离地面20米的点C处时,测得点A的仰角∠ACD=18.4°;然后沿CN方向继续飞行,飞行方向与水平线的夹角∠NCD=37°,当到达点A正上方的点E处时,测得AE=9米;……
数据应用:已知图中各点均在同一竖直平面内,E,A,B三点在同一直线上.请根据上述数据,计算纪念碑顶部点A到地面的距离AB的长.(结果精确到1米.参考数据:sin 37°≈0.60,cos 37°≈0.80,tan 37°≈0.75,sin 18.4°≈0.32,cos 18.4°≈0.95,tan 18.4°≈0.33)
【解析】延长CD交AB于点H,
由题意得,四边形CMBH为矩形,
∴CM=HB=20米,
在Rt△ACH中,∠AHC=90°,∠ACH=18.4°,
∴tan∠ACH=,
∴CH==≈,
在Rt△ECH中,∠EHC=90°,∠ECH=37°,
∴tan∠ECH=,
∴CH==≈,
设AH=x米.
∵AE=9米,
∴EH=(x+9)米,
∴=,
解得x≈7.1,
∴AB=AH+HB≈7.1+20=27.1≈27(米)
答:点A到地面的距离AB的长约为27米.
素养当堂测评 (10分钟·20分)
1.(3分·应用意识)如图,一艘轮船航行至O点时,测得某灯塔A位于它的北偏东40°方向,且它与灯塔A相距13 海里,继续沿正东方向航行,航行至点B处时,测得灯塔A恰好在它的正北方向,则AB的距离可表示为(A)
A.13cos 40° 海里 B.13sin 40° 海里
C. 海里 D. 海里
2.(3分·应用意识、运算能力)如图,某货船以24 海里/时的速度从A处向正东方向的D处航行,在点A处测得某岛C在北偏东60°的方向.该货船航行30 分钟后到达B处,此时测得该岛在北偏东30°的方向上.则货船在航行中离小岛C的最短距离是(B)
A.12 海里 B.6 海里
C.12 海里 D.24 海里
3.(3分·模型观念、运算能力)如图,某同学用一个有60°角的直角三角板估测学校旗杆AB的高度.他将与60°角相邻的直角边水平放在1.5 m高的支架CD上,三角板的斜边与旗杆的顶点在同一直线上,他又量得DB的距离为5 m,则旗杆AB的高度约为 10 m.(结果精确到1 m,取1.73)
4.(3分·应用意识、运算能力、几何直观)如图,建筑物AB和CD的水平距离为30 m,从A点测得D点的俯角为30°,测得C点的俯角为60°,则建筑物CD的高为 20 m.
5.(8分·模型观念、应用意识、运算能力)如图,为了测量河对岸A,B两点间的距离,数学兴趣小组在河岸南侧选定观测点C,测得A,B均在C的北偏东37°方向上,沿正东方向行走100 米至观测点D,测得A在D 的正北方向,B在D的北偏西53°方向上.求A,B两点间的距离(精确度到1 米).(参考数据:sin 37°≈0.60,cos 37°≈0.80,tan 37°≈0.75,sin 53°≈0.80,cos 53°≈0.60, tan 53°≈1.33)
【解析】根据题意得A,B,C三点共线,
∵CE∥AD,∴∠A=∠ECA=37°,
∴∠CBD=∠A+∠ADB=37°+53°=90°,
∴∠ABD=90°,在Rt△BCD中,∠BDC=90°-53°=37°,CD=100 米,cos∠BDC=,
∴BD=CD·cos 37°≈100×0.80=80(米),
在Rt△ABD中,∠A=37°,BD=80 米,tan A=,∴AB=≈≈107(米).
答:A,B两点间的距离约为107 米.
训练升级,请使用 “课时过程性评价 六”5 三角函数的应用
6 利用三角函数测高
课时学习目标 素养目标达成
1.经历应用三角函数解决实际问题的过程,进一步体会三角函数在解决问题过程中的作用. 模型观念、应用意识
2.能够把实际问题转化为数学问题,能够借助计算器进行有关三角函数的计算. 模型观念、应用意识、几何直观
3.会利用直角三角形的边角关系测物体的高度. 模型观念、应用意识、运算能力
基础主干落实 夯基筑本 积厚成势
新知要点 对点小练
1.方向角:指南或指北方向线与目标方向线所成的小于90°的角. 2.利用三角函数测高 类型关系结论测量倾斜角∠3=∠ 可测得∠3底部可以到达的物体的高度 MN=AC+AN· 由AN,AC, ∠MCE, 可得出MN底部不可以到达的物体的高度 MN=+AC由∠MCE, ∠MDE, AC,AB, 可得出MN
1.如图,小明和小华同时从P处分别向北偏东60°和南偏东30°方向出发,他们的速度分别是3 m/s和4 m/s,则20 s后他们之间的距离为( ) A.70 m B.80 m C.90 m D.100 m 2.如图要测量小河两岸相对的两点P,A的距离,点P位于点A正北方向,点C位于点A的西北方向,若测得PC=50米,则小河宽PA为 米.
重点典例研析 纵横捭阖 挥斥方遒
重点1与方向角有关的问题(模型观念、运算能力、应用意识、几何直观)
【典例1】(教材溯源·P21习题T4·2024泸州中考)如图,海中有一个小岛C,某渔船在海中的A点测得小岛C位于东北方向上,该渔船由西向东航行一段时间后到达B点,测得小岛C位于北偏西30°方向上,再沿北偏东60°方向继续航行一段时间后到达D点,这时测得小岛C位于北偏西60°方向上.已知A,C相距30 n mile.求C,D间的距离(计算过程中的数据不取近似值).
【举一反三】
(2023·眉山中考)一渔船在海上A处测得灯塔C在它的北偏东60°方向,渔船向正东方向航行12海里到达点B处,测得灯塔C在它的北偏东45°方向,若渔船继续向正东方向航行,则渔船与灯塔C的最短距离是 海里.
【技法点拨】
运用三角函数解决实际问题的三个步骤
重点2测量物体的高度(模型观念、运算能力、应用意识、几何直观)
【典例2】(教材再开发·P23补充例题)安阳红旗渠机场于2023年11月29日正式通航,很多市民共同见证了这一历史时刻.如图,市民甲在C处看见飞机A的仰角为45°,同时另一市民乙在斜坡CF上的D处看见飞机A的仰角为30°,若斜坡CF的坡比为1∶3,铅垂高度DG=30 米(点E,G,C,B在同一水平线上).求飞机距离地面的高度.(结果保留根号)
【举一反三】
(2024·山西中考)研学实践:为重温解放军东渡黄河“红色记忆”,学校组织研学活动.同学们来到毛主席东渡黄河纪念碑所在地,在了解相关历史背景后,利用航模搭载的3D扫描仪采集纪念碑的相关数据.
数据采集:如图,点A是纪念碑顶部一点,AB的长表示点A到水平地面的距离.航模从纪念碑前水平地面的点M处竖直上升,飞行至距离地面20米的点C处时,测得点A的仰角∠ACD=18.4°;然后沿CN方向继续飞行,飞行方向与水平线的夹角∠NCD=37°,当到达点A正上方的点E处时,测得AE=9米;……
数据应用:已知图中各点均在同一竖直平面内,E,A,B三点在同一直线上.请根据上述数据,计算纪念碑顶部点A到地面的距离AB的长.(结果精确到1米.参考数据:sin 37°≈0.60,cos 37°≈0.80,tan 37°≈0.75,sin 18.4°≈0.32,cos 18.4°≈0.95,tan 18.4°≈0.33)
素养当堂测评 (10分钟·20分)
1.(3分·应用意识)如图,一艘轮船航行至O点时,测得某灯塔A位于它的北偏东40°方向,且它与灯塔A相距13 海里,继续沿正东方向航行,航行至点B处时,测得灯塔A恰好在它的正北方向,则AB的距离可表示为( )
A.13cos 40° 海里 B.13sin 40° 海里
C. 海里 D. 海里
2.(3分·应用意识、运算能力)如图,某货船以24 海里/时的速度从A处向正东方向的D处航行,在点A处测得某岛C在北偏东60°的方向.该货船航行30 分钟后到达B处,此时测得该岛在北偏东30°的方向上.则货船在航行中离小岛C的最短距离是( )
A.12 海里 B.6 海里
C.12 海里 D.24 海里
3.(3分·模型观念、运算能力)如图,某同学用一个有60°角的直角三角板估测学校旗杆AB的高度.他将与60°角相邻的直角边水平放在1.5 m高的支架CD上,三角板的斜边与旗杆的顶点在同一直线上,他又量得DB的距离为5 m,则旗杆AB的高度约为 m.(结果精确到1 m,取1.73)
4.(3分·应用意识、运算能力、几何直观)如图,建筑物AB和CD的水平距离为30 m,从A点测得D点的俯角为30°,测得C点的俯角为60°,则建筑物CD的高为 m.
5.(8分·模型观念、应用意识、运算能力)如图,为了测量河对岸A,B两点间的距离,数学兴趣小组在河岸南侧选定观测点C,测得A,B均在C的北偏东37°方向上,沿正东方向行走100 米至观测点D,测得A在D 的正北方向,B在D的北偏西53°方向上.求A,B两点间的距离(精确度到1 米).(参考数据:sin 37°≈0.60,cos 37°≈0.80,tan 37°≈0.75,sin 53°≈0.80,cos 53°≈0.60, tan 53°≈1.33)
