第一章 直角三角形的边角关系 单元复习课
体系自我构建 方寸之间 尽显乾坤
目标维度评价 怀揣梦想 勇攀高峰
维度1基础知识的应用
1.(2024·天津中考)cos 45°-1的值等于( )
A.0 B.1 C.-1 D.-1
2.(2024·云南中考)如图,在△ABC中,若∠B=90°,AB=3,BC=4,则tan A=( )
A. B. C. D.
3.(2024·达州中考)如图,由8个全等的菱形组成的网格中,每个小菱形的边长均为2,∠ABD=120°,其中点A,B,C都在格点上,则tan∠BCD的值为( )
A.2 B.2 C. D.3
4.(2024·浙江中考)如图,在△ABC中,AD⊥BC,AE是BC边上的中线,AB=10,AD=6,tan∠ACB=1.
(1)求BC的长;
(2)求sin∠DAE的值.
维度2基本技能(方法)、基本思想的应用
5.(2024·泸州中考)宽与长的比是的矩形叫做黄金矩形,黄金矩形给我们以协调、匀称的美感.如图,把黄金矩形ABCD沿对角线AC翻折,点B落在点B'处,AB'交CD于点E,则sin∠DAE的值为( )
A. B. C. D.
6.(2023·长春中考)学校开放日即将来临,负责布置的林老师打算从学校图书馆的顶楼拉出一条彩旗绳AB到地面,如图所示.已知彩旗绳与地面形成25°角(即∠BAC=25°),彩旗绳固定在地面的位置与图书馆相距32米(即AC=32 米),则彩旗绳AB的长度为( )
A.32sin 25°米 B.32cos 25°米 C.米 D.米
7.(2024·江西中考)将图1所示的七巧板,拼成图2所示的四边形ABCD,连接AC,则tan∠CAB= .
8.(2024·上海中考)在平行四边形ABCD中,∠ABC是锐角,将CD沿直线l翻折至AB所在直线,对应点分别为C',D',若AC'∶AB∶BC=1∶3∶7,则cos∠ABC= .
维度3实际生产生活中的运用
9.(2024·雅安中考)在数学课外实践活动中,某小组测量一栋楼房CD的高度(如图),他们在A处仰望楼顶,测得仰角为30°,再往楼的方向前进50米至B处,测得仰角为60°,那么这栋楼的高度为(人的身高忽略不计)( )
A.25米 B.25米
C.25米 D.50米
10.(2024·德阳中考)某校学生开展综合实践活动,测量一建筑物CD的高度,在建筑物旁边有一高度为10米的小楼房AB,小李同学在小楼房楼底B处测得C处的仰角为60°,在小楼房楼顶A处测得C处的仰角为30° (AB、CD在同一平面内,B、D在同一水平面上),则建筑物CD的高为 米.( )
A.20 B.15 C.12 D.10+5
11.(2024·眉山中考)如图,斜坡CD的坡度i=1∶2,在斜坡上有一棵垂直于水平面的大树AB,当太阳光与水平面的夹角为60°时,大树在斜坡上的影子BE长为10米,则大树AB的高为 米.
12.(2024·赤峰中考)综合实践课上,航模小组用无人机测量古树AB的高度.如图,点C处与古树底部A处在同一水平面上,且AC=10米,无人机从C处竖直上升到达D处,测得古树顶部B的俯角为45°,古树底部A的俯角为65°,则古树AB的高度约为 米.(结果精确到0.1米;参考数据:sin 65°≈0.906,cos 65°≈0.423,tan 65°≈2.145)
13.(2024·湖南中考)如图,图1为《天工开物》记载的用于舂(chōng)捣谷物的工具——“碓(duì)”的结构简图,图2为其平面示意图.已知AB⊥CD于点B,AB与水平线l相交于点O,OE⊥l.若BC=4分米,OB=12分米,∠BOE=60°,则点C到水平线l的距离CF为 分米(结果用含根号的式子表示).
14.(2024·广安中考)风电项目对于调整能源结构和转变经济发展方式具有重要意义.某电力部门在某地安装了一批风力发电机,如图1,某校实践活动小组对其中一架风力发电机的塔杆高度进行了测量,图2为测量示意图(点A,B,C,D均在同一平面内,AB⊥BC).已知斜坡CD长为20米,斜坡CD的坡角为60°,在斜坡顶部D处测得风力发电机塔杆顶端A点的仰角为20°,坡底与塔杆底的距离BC=30米,求该风力发电机塔杆AB的高度.(结果精确到个位;参考数据:sin 20°≈0.34,cos 20°≈0.94,tan 20°≈0.36,≈1.73)
15.(2024·重庆中考A卷)如图,甲、乙两艘货轮同时从A港出发,分别向B,D两港运送物资,最后到达A港正东方向的C港装运新的物资.甲货轮沿A港的东南方向航行40海里后到达B港,再沿北偏东60°方向航行一定距离到达C港.乙货轮沿A港的北偏东60°方向航行一定距离到达D港,再沿南偏东30°方向航行一定距离到达C港.
(参考数据:≈1.41,≈1.73,≈2.45)
(1)求A,C两港之间的距离(结果保留小数点后一位);
(2)若甲、乙两艘货轮的速度相同(停靠B,D两港的时间相同),哪艘货轮先到达C港 请通过计算说明.
维度4跨学科应用
16.(与物理结合)(2024·广元中考)小明从科普读物中了解到,光从真空射入介质发生折射时,入射角α的正弦值与折射角β的正弦值的比值叫做介质的“绝对折射率”,简称“折射率”.它表示光在介质中传播时,介质对光作用的一种特征.
(1)若光从真空射入某介质,入射角为α,折射角为β,且cos α=,β=30°,求该介质的折射率;
(2)现有一块与(1)中折射率相同的长方体介质,如图①所示,点A,B,C,D分别是长方体棱的中点,若光线经真空从矩形A1D1D2A2对角线交点O处射入,其折射光线恰好从点C处射出.如图②,已知α=60°,CD=10 cm,求截面ABCD的面积.
【感悟思想】 体会本章数学思想的“润物无声”
数学思想 应用载体
数形结合思想 在解直角三角形时,常通过画图来协助分析解决问题,加深对解直角三角形本质的理解
转化思想 将斜三角形转化为直角三角形,是解决相关问题的重要的思想方法,常用的方法是作三角形的高
方程思想 通过设未知数表示三角形中的数量关系,构造方程解决问题
建模思想 解直角三角形在生产、生活中有着广泛的应用,这就要求我们能从实际问题出发去分析、抽象、构建直角三角形模型第一章 直角三角形的边角关系 单元复习课
体系自我构建 方寸之间 尽显乾坤
目标维度评价 怀揣梦想 勇攀高峰
维度1基础知识的应用
1.(2024·天津中考)cos 45°-1的值等于(A)
A.0 B.1 C.-1 D.-1
2.(2024·云南中考)如图,在△ABC中,若∠B=90°,AB=3,BC=4,则tan A=(C)
A. B. C. D.
3.(2024·达州中考)如图,由8个全等的菱形组成的网格中,每个小菱形的边长均为2,∠ABD=120°,其中点A,B,C都在格点上,则tan∠BCD的值为(B)
A.2 B.2 C. D.3
4.(2024·浙江中考)如图,在△ABC中,AD⊥BC,AE是BC边上的中线,AB=10,AD=6,tan∠ACB=1.
(1)求BC的长;
(2)求sin∠DAE的值.
【解析】(1)∵AD⊥BC,AB=10,AD=6,
∴BD===8;
∵tan∠ACB=1,∴CD=AD=6,
∴BC=BD+CD=8+6=14;
(2)∵AE是BC边上的中线,
∴CE=BC=7,∴DE=CE-CD=7-6=1,∵AD⊥BC,
∴AE===,
∴sin∠DAE===.
维度2基本技能(方法)、基本思想的应用
5.(2024·泸州中考)宽与长的比是的矩形叫做黄金矩形,黄金矩形给我们以协调、匀称的美感.如图,把黄金矩形ABCD沿对角线AC翻折,点B落在点B'处,AB'交CD于点E,则sin∠DAE的值为(A)
A. B. C. D.
6.(2023·长春中考)学校开放日即将来临,负责布置的林老师打算从学校图书馆的顶楼拉出一条彩旗绳AB到地面,如图所示.已知彩旗绳与地面形成25°角(即∠BAC=25°),彩旗绳固定在地面的位置与图书馆相距32米(即AC=32 米),则彩旗绳AB的长度为(D)
A.32sin 25°米 B.32cos 25°米 C.米 D.米
7.(2024·江西中考)将图1所示的七巧板,拼成图2所示的四边形ABCD,连接AC,则tan∠CAB= .
8.(2024·上海中考)在平行四边形ABCD中,∠ABC是锐角,将CD沿直线l翻折至AB所在直线,对应点分别为C',D',若AC'∶AB∶BC=1∶3∶7,则cos∠ABC= 或 .
维度3实际生产生活中的运用
9.(2024·雅安中考)在数学课外实践活动中,某小组测量一栋楼房CD的高度(如图),他们在A处仰望楼顶,测得仰角为30°,再往楼的方向前进50米至B处,测得仰角为60°,那么这栋楼的高度为(人的身高忽略不计)(A)
A.25米 B.25米
C.25米 D.50米
10.(2024·德阳中考)某校学生开展综合实践活动,测量一建筑物CD的高度,在建筑物旁边有一高度为10米的小楼房AB,小李同学在小楼房楼底B处测得C处的仰角为60°,在小楼房楼顶A处测得C处的仰角为30° (AB、CD在同一平面内,B、D在同一水平面上),则建筑物CD的高为 米.(B)
A.20 B.15 C.12 D.10+5
11.(2024·眉山中考)如图,斜坡CD的坡度i=1∶2,在斜坡上有一棵垂直于水平面的大树AB,当太阳光与水平面的夹角为60°时,大树在斜坡上的影子BE长为10米,则大树AB的高为 (4-2) 米.
12.(2024·赤峰中考)综合实践课上,航模小组用无人机测量古树AB的高度.如图,点C处与古树底部A处在同一水平面上,且AC=10米,无人机从C处竖直上升到达D处,测得古树顶部B的俯角为45°,古树底部A的俯角为65°,则古树AB的高度约为 11.5 米.(结果精确到0.1米;参考数据:sin 65°≈0.906,cos 65°≈0.423,tan 65°≈2.145)
13.(2024·湖南中考)如图,图1为《天工开物》记载的用于舂(chōng)捣谷物的工具——“碓(duì)”的结构简图,图2为其平面示意图.已知AB⊥CD于点B,AB与水平线l相交于点O,OE⊥l.若BC=4分米,OB=12分米,∠BOE=60°,则点C到水平线l的距离CF为 (6-2) 分米(结果用含根号的式子表示).
14.(2024·广安中考)风电项目对于调整能源结构和转变经济发展方式具有重要意义.某电力部门在某地安装了一批风力发电机,如图1,某校实践活动小组对其中一架风力发电机的塔杆高度进行了测量,图2为测量示意图(点A,B,C,D均在同一平面内,AB⊥BC).已知斜坡CD长为20米,斜坡CD的坡角为60°,在斜坡顶部D处测得风力发电机塔杆顶端A点的仰角为20°,坡底与塔杆底的距离BC=30米,求该风力发电机塔杆AB的高度.(结果精确到个位;参考数据:sin 20°≈0.34,cos 20°≈0.94,tan 20°≈0.36,≈1.73)
【解析】过点D作DF⊥AB于点F,作DH⊥BE于点H,由题意得,DC=20米,∠DCH=60°,在Rt△DCH中,∵cos 60°=,sin 60°=,∴CH=CD·cos 60°=10(米),∴DH=CD·sin 60°=10(m)≈17.3(米),
∵∠DFB=∠B=∠DHB=90°,
∴四边形DFBH为矩形,∴BH=FD,BF=DH,∵BH=BC+CH=40(米),
∴FD=40米,在Rt△AFD中,=tan 20°,∴AF=FD·tan 20°≈40×0.36=14.4(米),
∴AB=AF+BF=31.7(米)≈32(米),
答:该风力发电机塔杆AB的高度约为32米.
15.(2024·重庆中考A卷)如图,甲、乙两艘货轮同时从A港出发,分别向B,D两港运送物资,最后到达A港正东方向的C港装运新的物资.甲货轮沿A港的东南方向航行40海里后到达B港,再沿北偏东60°方向航行一定距离到达C港.乙货轮沿A港的北偏东60°方向航行一定距离到达D港,再沿南偏东30°方向航行一定距离到达C港.
(参考数据:≈1.41,≈1.73,≈2.45)
(1)求A,C两港之间的距离(结果保留小数点后一位);
(2)若甲、乙两艘货轮的速度相同(停靠B,D两港的时间相同),哪艘货轮先到达C港 请通过计算说明.
【解析】(1)过点B作BE⊥AC,垂足为E,
在Rt△ABE中,∠BAE=90°-45°=45°,AB=40海里,
∴AE=AB·cos 45°=40×=20(海里),
BE=AB·sin 45°=40×=20(海里),
在Rt△BCE中,∠CBE=60°,
∴CE=BE·tan 60°=20×=20(海里),
∴AC=AE+CE=20+20≈77.2(海里),
∴A,C两港之间的距离约为77.2海里;
(2)甲货轮先到达C港,
理由:如图:
由题意得,∠CDF=30°,DF∥AG,
∴∠GAD=∠ADF=60°,
∴∠ADC=∠ADF+∠CDF=90°,
在Rt△ACD中,∠CAD=90°-∠GAD=30°,
∴CD=AC=(10+10)海里,
AD=CD=(10+30)海里,
在Rt△BCE中,∠CBE=60°,BE=20海里,
∴BC===40(海里),
∴甲货轮航行的路程约为AB+BC=40+40≈96.4(海里),
乙货轮航行的路程约为AD+CD=10+30+10+10=20+40≈105.4(海里),
∵96.4海里<105.4海里,
∴甲货轮先到达C港.
维度4跨学科应用
16.(与物理结合)(2024·广元中考)小明从科普读物中了解到,光从真空射入介质发生折射时,入射角α的正弦值与折射角β的正弦值的比值叫做介质的“绝对折射率”,简称“折射率”.它表示光在介质中传播时,介质对光作用的一种特征.
(1)若光从真空射入某介质,入射角为α,折射角为β,且cos α=,β=30°,求该介质的折射率;
(2)现有一块与(1)中折射率相同的长方体介质,如图①所示,点A,B,C,D分别是长方体棱的中点,若光线经真空从矩形A1D1D2A2对角线交点O处射入,其折射光线恰好从点C处射出.如图②,已知α=60°,CD=10 cm,求截面ABCD的面积.
【解析】(1)∵cos α=,
∴如图,
设b=x,则c=4x,由勾股定理得,a==3x,
∴sin α===,
又∵β=30°,
∴sin β=sin 30°=,
∴折射率为==.
(2)根据折射率与(1)的材料相同,可得折射率为,
∵α=60°,
∴==,
∴sin β=.
∵四边形ABCD是矩形,点O是AD中点,
∴AD=2OD,∠D=90°,
又∵∠OCD=β,
∴sin∠OCD=sinβ=,
在Rt△ODC中,设OD=x,OC=3x,
由勾股定理得,CD==x,
∴tan β===,
又∵CD=10 cm,
∴=,
∴OD=5 cm,
∴AD=10 cm,
∴截面ABCD的面积为10×10=100 (cm2).
【感悟思想】 体会本章数学思想的“润物无声”
数学思想 应用载体
数形结合思想 在解直角三角形时,常通过画图来协助分析解决问题,加深对解直角三角形本质的理解
转化思想 将斜三角形转化为直角三角形,是解决相关问题的重要的思想方法,常用的方法是作三角形的高
方程思想 通过设未知数表示三角形中的数量关系,构造方程解决问题
建模思想 解直角三角形在生产、生活中有着广泛的应用,这就要求我们能从实际问题出发去分析、抽象、构建直角三角形模型
阶段测评,请使用 “单元质量评价(一)”
