1 二次函数
课时学习目标 素养目标达成
1.经历探索和表示二次函数关系的过程,获得用二次函数表示变量之间关系的体验 模型观念、抽象能力
2.能够表示简单变量之间的二次函数关系 模型观念、运算能力、应用意识
基础主干落实 九层之台 起于累土
新知要点 对点小练
1.定义:一般地,两个变量x,y之间的对应关系可以表示成 y= (a,b,c是常数,a≠0)的形式,则称y是x的二次函数. 1.在下列y关于x的函数中,一定是二次函数的是( ) A.y=x2-1 B.y= C.y=ax2+bx+c D.y=k2x+3
2.一般形式 2.二次函数y=x2+2x-3的二次项系数是( ) A.1 B.2 C.-2 D.3
3.自变量的取值 在一般情况下,二次函数自变量的取值范围是 ;在实际问题中,自变量的取值要符合实际意义. 3.如果函数y=(a-1)x2是二次函数,那么a的取值范围是 .
重点典例研析 循道而行 方能致远
重点1二次函数的一般形式(模型观念、抽象能力)
【典例1】(教材再开发·P30“定义”拓展)把y=(3x-2)(x+3)化成一般形式后,一次项系数与常数项的和为 .
【举一反三】
1.下列函数关系式中,二次函数有( )
(1)y=3(x-1)2+1;(2)y=;
(3)S=3-2t2;(4)y=x4+2x2-1;
(5)y=3x(2-x)+3x2;(6)y=mx2+8.
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
2.若y=(m+1)是关于x的二次函数,则m的值为( )
A.-2 B.1 C.-2或1 D.2或1
【技法点拨】
判断一个函数是否为二次函数的三步法
重点2建立二次函数关系(模型观念、运算能力、应用意识)
【典例2】如图,等腰直角三角形ABC的直角边与正方形MNPQ的边长均为10 cm,边CA与边MN在同一直线上,点A与点M重合,让△ABC沿MN方向以1 cm/s的速度匀速运动,运动到点A与N重合时停止,设运动的时间为t,运动过程中△ABC与正方形MNPQ的重叠部分面积为S.
(1)试写出S关于t的函数关系式,并指出自变量t的取值范围;
(2)当MA=2 cm时,重叠部分的面积是多少
【举一反三】
如图,∠ABC=90°,AB=2,BC=8,射线CD⊥BC于点C,E是线段BC上一点,F是射线CD上一点,且满足∠AEF=90°.
(1)若BE=3,求CF的长;
(2)设BE=x,CF=y,写出y关于x的函数关系式.
【技法点拨】
实际问题中建立二次函数表达式的三步法
素养当堂测评 (10分钟·20分)
1.(4分·模型观念)下列函数中是二次函数的是( )
A.y=2x-1 B.y=- C.y=x3 D.y=x2-2
2.(4分·模型观念)二次函数y=x2-2x+3的一次项系数是 .
3.(4分·模型观念、运算能力)若y=(m-2)x|m|+2x+3是关于x的二次函数,则m的值是 .
4.(8分·模型观念、运算能力)已知函数y=(m2-3m-4)x2+(m+1)x-2,
(1)当m为何值时,此函数是一次函数
(2)当m为何值时,此函数是二次函数 1 二次函数
课时学习目标 素养目标达成
1.经历探索和表示二次函数关系的过程,获得用二次函数表示变量之间关系的体验 模型观念、抽象能力
2.能够表示简单变量之间的二次函数关系 模型观念、运算能力、应用意识
基础主干落实 九层之台 起于累土
新知要点 对点小练
1.定义:一般地,两个变量x,y之间的对应关系可以表示成 y= ax2+bx+c (a,b,c是常数,a≠0)的形式,则称y是x的二次函数. 1.在下列y关于x的函数中,一定是二次函数的是(A) A.y=x2-1 B.y= C.y=ax2+bx+c D.y=k2x+3
2.一般形式 2.二次函数y=x2+2x-3的二次项系数是(A) A.1 B.2 C.-2 D.3
3.自变量的取值 在一般情况下,二次函数自变量的取值范围是 任意实数 ;在实际问题中,自变量的取值要符合实际意义. 3.如果函数y=(a-1)x2是二次函数,那么a的取值范围是 a≠1 .
重点典例研析 循道而行 方能致远
重点1二次函数的一般形式(模型观念、抽象能力)
【典例1】(教材再开发·P30“定义”拓展)把y=(3x-2)(x+3)化成一般形式后,一次项系数与常数项的和为 1 .
【举一反三】
1.下列函数关系式中,二次函数有(B)
(1)y=3(x-1)2+1;(2)y=;
(3)S=3-2t2;(4)y=x4+2x2-1;
(5)y=3x(2-x)+3x2;(6)y=mx2+8.
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
2.若y=(m+1)是关于x的二次函数,则m的值为(C)
A.-2 B.1 C.-2或1 D.2或1
【技法点拨】
判断一个函数是否为二次函数的三步法
重点2建立二次函数关系(模型观念、运算能力、应用意识)
【典例2】如图,等腰直角三角形ABC的直角边与正方形MNPQ的边长均为10 cm,边CA与边MN在同一直线上,点A与点M重合,让△ABC沿MN方向以1 cm/s的速度匀速运动,运动到点A与N重合时停止,设运动的时间为t,运动过程中△ABC与正方形MNPQ的重叠部分面积为S.
(1)试写出S关于t的函数关系式,并指出自变量t的取值范围;
(2)当MA=2 cm时,重叠部分的面积是多少
【自主解答】(1)设AB,MQ交于点R,
∵△ABC是等腰直角三角形,四边形MNPQ是正方形,且CA与MA在同一直线上,△ABC沿MN方向运动,
∴△AMR是等腰直角三角形,
由题意知,AM=MR=t,S=S△AMR=t·t=t2(0≤t≤10).
(2)当MA=2 cm时,重叠部分的面积是×2×2=2(cm2).
【举一反三】
如图,∠ABC=90°,AB=2,BC=8,射线CD⊥BC于点C,E是线段BC上一点,F是射线CD上一点,且满足∠AEF=90°.
(1)若BE=3,求CF的长;
(2)设BE=x,CF=y,写出y关于x的函数关系式.
【解析】(1)如图,
∵∠ABC=∠AEF=90°,
∴∠2+∠A=∠2+∠1=90°,
∴∠A=∠1,
∵CD⊥BC,
∴∠ECF=90°,
∴∠ABE=∠ECF,
∴△ABE∽△ECF,
∴=,
∵AB=2,BC=8,BE=3,
∴EC=BC-BE=5,
∴=,
解得CF=,经检验符合题意.
(2)∵△ABE∽△ECF,
∴=,
∵AB=2,BC=8,BE=x,CF=y,
∴CE=8-x,
∴=,
∴2y=-x2+8x,
∴y=-x2+4x.
【技法点拨】
实际问题中建立二次函数表达式的三步法
素养当堂测评 (10分钟·20分)
1.(4分·模型观念)下列函数中是二次函数的是(D)
A.y=2x-1 B.y=- C.y=x3 D.y=x2-2
2.(4分·模型观念)二次函数y=x2-2x+3的一次项系数是 -2 .
3.(4分·模型观念、运算能力)若y=(m-2)x|m|+2x+3是关于x的二次函数,则m的值是 -2 .
4.(8分·模型观念、运算能力)已知函数y=(m2-3m-4)x2+(m+1)x-2,
(1)当m为何值时,此函数是一次函数
(2)当m为何值时,此函数是二次函数
【解析】(1)若函数y=(m2-3m-4)x2+(m+1)x-2为一次函数,
则有,
解得m=4,
所以,当m=4时,此函数是一次函数;
(2)若函数y=(m2-3m-4)x2+(m+1)x-2为二次函数,
则有m2-3m-4≠0,
解得m≠4且m≠-1,
所以,当m≠4且m≠-1时,此函数是二次函数.
训练升级,请使用 “课时过程性评价 七”
