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【北师大版八年级数学（下）课时练习】
§1.1等腰三角形（A）
一、选择题（共30分）
1．（3分）已知△ABC中，，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
2．（3分）若等腰三角形腰长为10cm，底边长为16 cm，那么它的面积为( )
A．48 cm2 B．36 cm2 C．24 cm2 D．12 cm2
3．（3分）下列说法中，正确的个数是（ ）
①三条边都相等的三角形是等边三角形；
②有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形；
③有两个角为60°的三角形是等边三角形；
④底角的角平分线所在的直线是这等腰三角形的对称轴，则这个三角形是等边三角形．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4．（3分）如图，在等边三角形△ABC中，点E是边的中点，点P是△ABC的中线上的动点，且，则的最小值是（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
5．（3分）如图，在等边△ABC中，是边上的中线，延长至点E，使，若，则（ ）
A．2 B．4 C． D．
6．（3分）如图，在△ABC中，，，，点是边上的中点，点在BC上的一个动点，连接，在的下方作等边三角形，连接，则最小值是（ ）
A． B． C． D．
7．（3分）如图，在△ABC中，，过点C作于点D，过点B作于点M，连接MD，过点D作，交BM于点N，CD与BM相交于点E．则下列结论：
①；②；③；④．其中正确的有（ ）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
8．（3分）如图，在等边中，是的中点，于点，于点，已知，则的长为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
9．（3分）如图，直线l1∥l2，点A在直线l1上，点B在直线l2上，AB=BC，∠C=30°，∠1=80°，则∠2=（ ）
A．30° B．35° C．40° D．45°
10．（3分）如图，已知△ABC和均是等边三角形，点B，C，E在同一条直线上，AE与BD交于点O，AE与CD交于点G，AC与BD交于点F，连接OC，FG，以下结论：①；②；③；④OC平分，其中结论正确的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题（共15分）
11．（3分）在△ABC中，，将线段绕点顺时针旋转，点落在直线上的点处，若，则边的长为 ．
12．（3分）如图，以等腰直角三角形ABC的斜边AB为边作等边，连接DC，以DC为边作等边，B，E在CD的同侧，若AB＝4，BE的长为 ．
13．（3分）如图所示，若平分，，那么图中的相等线段有 .
14．（3分）如图，在直角三角形纸片中，．将纸片折叠，使落在斜边上，落点为E，折痕为．连接交于点F，若，则 ．
15．（3分）如图，在平面直角坐标系中，，，点是第一象限内的点，且△ABC是以为直角边的等腰直角三角形，则点的坐标为 .
三、解答题（共55分）
16．（6分）已知a，b，c分别是△ABC三边的长，且，请判断△ABC的形状，并说明理由．
17．（7分） 计算：
（1）一个三角形底边的长是，高是．如果将底边增加2，高减少2，，为了使面积不变，那么和应满足什么关系？
（2）已知等腰三角形的周长为20，若有一边长为4，，则另外两边的长分别是多少？
18．（8分）在5×5的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，用无刻度的直尺，分别在下面的两个图中，画出两边长都为，面积都为2的两个不同的三角形．
19．（8分）如图，沿方向开山修路，为了加快施工进度，要在小山的另一边同时施工．从上的一点M取．另一边开工点N在直线上，求的长．（结果保留根号）．
20．（8分）小明和小亮同学在学习了“勾股定理”之后，为了测得风筝的竖直高度，他们进行了如下操作：①测得水平距离的长为；②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为；③牵风筝线的手离地面的高度为．
(1)如图1，求风筝的竖直高度．
(2)如图2，在（1）的高度下，小明回收风筝，在回收过程中，当测得风筝的仰角为时（即），的长为，求此时小明的风筝线收回了多少米．
21．（9分）如图，在△ABC中，为的垂直平分线，，垂足为点E，，与相交于点F．
(1)试说明；
(2)若，求的度数．
22．（9分）如图，在四边形中，M，N分别是，的中点，且，．
(1)求证：；
(2)连接，若，，求的度数．
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【北师大版八年级数学（下）课时练习】
§1.1等腰三角形（A）
一、选择题（共30分）
1．（3分）已知△ABC中，，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
解：∵，，
，
．
故选：C．
2．（3分）若等腰三角形腰长为10cm，底边长为16 cm，那么它的面积为( )
A．48 cm2 B．36 cm2 C．24 cm2 D．12 cm2
解：如图所示：过点A作AD⊥BC于点D，
∵AB=AC=10cm，BC=16cm；
∴BD=CD=8cm，
由勾股定理可得：AD=6cm，
∴三角形的面积=16×6÷2=48 cm2．
故选A．
3．（3分）下列说法中，正确的个数是（ ）
①三条边都相等的三角形是等边三角形；
②有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形；
③有两个角为60°的三角形是等边三角形；
④底角的角平分线所在的直线是这等腰三角形的对称轴，则这个三角形是等边三角形．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
解：①三条边都相等的三角形是等边三角形，此选项符合题意．
②有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形，此选项符合题意．
③有两个角为60°的三角形是等边三角形，此选项符合题意．
④底角的角平分线所在的直线是这等腰三角形的对称轴，则这个三角形是等边三角形，此选项符合题意．
故选：D．
4．（3分）如图，在等边三角形△ABC中，点E是边的中点，点P是△ABC的中线上的动点，且，则的最小值是（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
解：∵是等边三角形，是边上的中线，
∴，
∴是的垂直平分线，
作点E关于的对称点F，连接，
∴，
当，，三点共线，此时最短，即就是的最小值．
∵是等边三角形，E是边的中点，
∴F是的中点，
∴是的中线，
∴，
即的最小值为8，
故选：C．
5．（3分）如图，在等边△ABC中，是边上的中线，延长至点E，使，若，则（ ）
A．2 B．4 C． D．
解：∵在等边△ABC中，是边上的中线，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，故选：B．
6．（3分）如图，在△ABC中，，，，点是边上的中点，点在BC上的一个动点，连接，在的下方作等边三角形，连接，则最小值是（ ）
A． B． C． D．
解:如图，为边作等边三角形，连接，
∵，是等边三角形，
∴，，，
∵是公共角，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵是中点，
∴，
∴点在所在直线上运动，
∴当时，取的最小值，
∴，
故选：．
7．（3分）如图，在△ABC中，，过点C作于点D，过点B作于点M，连接MD，过点D作，交BM于点N，CD与BM相交于点E．则下列结论：
①；②；③；④．其中正确的有（ ）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
∴，故①正确；
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
∴，故②正确；
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，故③正确；
由①知，，
∴，
由②知，，
∴，
∴，
故④正确；
∴正确的有①②③④，
故选：D．
8．（3分）如图，在等边中，是的中点，于点，于点，已知，则的长为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
解∵ABC是等边三角形，DE⊥AC
∴∠A=∠C=60°，∠AED=90°
∴∠ADE=90°-∠A=30°
又AE=2
∴AD=4
又D是AB的中点
∴AB=2AD=8
进而AC=AB=8
∴CE=AC-AE=6
又∵EF⊥BC
∴∠FEC=90°-∠C=30°
∴CF=CE=3
故答案选择：A.
9．（3分）如图，直线l1∥l2，点A在直线l1上，点B在直线l2上，AB=BC，∠C=30°，∠1=80°，则∠2=（ ）
A．30° B．35° C．40° D．45°
解：，
，
，
如图，，
，
，
，
故选：C．
10．（3分）如图，已知△ABC和均是等边三角形，点B，C，E在同一条直线上，AE与BD交于点O，AE与CD交于点G，AC与BD交于点F，连接OC，FG，以下结论：①；②；③；④OC平分，其中结论正确的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
解:易证△ACE≌△BCD得AE=BD.①正确；易证△ACG≌△BCF得AG=BF,②正确；易证CG=CF,∠FCG=60 ,△CGF是等边三角形，∠CGF=60 =∠DCE,∴FG∥BE,③正确；∵△ACE≌△BCD∴△ACE面积＝△BCD面积，∴点C到AE的距离＝点C到BD的距离，∴∠BOC=∠EOC,即OC平分∠BOE,④正确.故选D.
二、填空题（共15分）
11．（3分）在△ABC中，，将线段绕点顺时针旋转，点落在直线上的点处，若，则边的长为 ．
解:如图，点D在直线AB上时，
∵
∴
∵BC=CD，
∴
∴
设=x
在△BCD中，
故x+x+x+45=
解得x=45
∴
∴△ACD是等腰直角三角形，
∴AD=4=AC，
∴CD=
∴BC= CD= ；
如图，点D在线段AB上时，
∵
∴
∵BC=CD，
∴=
设=y
∴
在△BCD中，
故y+45+ y+45+x=
解得x=30
∴==75
∴
作DE⊥AC，故△DCE为等腰直角三角形
∵AD=4，
∴DE=2=CE,，
∴CD=
∴BC= CD=
综上，边的长为或
故答案为：或．
12．（3分）如图，以等腰直角三角形ABC的斜边AB为边作等边，连接DC，以DC为边作等边，B，E在CD的同侧，若AB＝4，BE的长为 ．
解：∵和是等边三角形，
∴BD＝AD，ED＝CD，
∵是等腰直角三角形，
∴AC＝BC＝，
在和中，
，
∴（SSS），
∴∠ADC＝∠BDC＝30°，
∴∠BDE＝60°﹣30°＝30°，
在和中，
，
∴（SAS），
∴BE＝AC＝4，
故答案为：4．
13．（3分）如图所示，若平分，，那么图中的相等线段有 .
解∵平分，，
∴∠AOP=∠BOP，∠APO=∠BPO=90°，
在△AOP和△BOP中
∴△AOP≌△BOP（ASA），
∴AO=BO，
∴△AOB为等腰三角形，
∴OP为△AOB的中线，
∴AP=BP，
故答案为：，.
14．（3分）如图，在直角三角形纸片中，．将纸片折叠，使落在斜边上，落点为E，折痕为．连接交于点F，若，则 ．
解：由题意知，，
由折叠的性质可知，，，，，，
∴是等边三角形，，
∴，
又∵，
∴，
故答案为：4．
15．（3分）如图，在平面直角坐标系中，，，点是第一象限内的点，且△ABC是以为直角边的等腰直角三角形，则点的坐标为 .
解:设C的点坐标为
由题意，分以下两种情况：
（1）如图1，是等腰直角三角形，
过点A作轴，过点C作x轴的垂线，交DA的延长线于点E
则
又
则点C的坐标为
（2）如图2，是等腰直角三角形，
过点A作轴，过点C作轴
则
同理可证：
则点C的坐标为综上，点C的坐标为或故答案为：或．
三、解答题（共55分）
16．（6分）已知a，b，c分别是△ABC三边的长，且，请判断△ABC的形状，并说明理由．
解：等边三角形，理由如下：
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴△ABC是等边三角形．
17．（7分） 计算：
（1）一个三角形底边的长是，高是．如果将底边增加2，高减少2，，为了使面积不变，那么和应满足什么关系？
（2）已知等腰三角形的周长为20，若有一边长为4，，则另外两边的长分别是多少？
解：（1）根据题意得：
化简得：即：
∴当和满足时，三角形的面积保持不变．
（2）若三角形的底边是4，则腰长为，此时三边长是：8、8、4；
若三角形的腰是4，则底边长是20-2×4=12，此时三角形的三边长是：4、4、12（不满足三角形三边的关系，舍去）
∴ 已知等腰三角形的周长为20，若有一边长为4，，则另外两边的长分别是8、8
18．（8分）在5×5的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，用无刻度的直尺，分别在下面的两个图中，画出两边长都为，面积都为2的两个不同的三角形．
解：如图所示：
19．（8分）如图，沿方向开山修路，为了加快施工进度，要在小山的另一边同时施工．从上的一点M取．另一边开工点N在直线上，求的长．（结果保留根号）．
解：∵∠AMB=150
又
，
，
∵，
∴，
．
答：的长为．
20．（8分）小明和小亮同学在学习了“勾股定理”之后，为了测得风筝的竖直高度，他们进行了如下操作：①测得水平距离的长为；②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为；③牵风筝线的手离地面的高度为．
(1)如图1，求风筝的竖直高度．
(2)如图2，在（1）的高度下，小明回收风筝，在回收过程中，当测得风筝的仰角为时（即），的长为，求此时小明的风筝线收回了多少米．
（1）解：由题意知，，
由勾股定理得，，
∴，
∴为；
（2）解：由题意知，，
∴，
∴，
由勾股定理得，，
∴此时小明的风筝线收回了米．
21．（9分）如图，在△ABC中，为的垂直平分线，，垂足为点E，，与相交于点F．
(1)试说明；
(2)若，求的度数．
（1）解：在与中
为的垂直平分线，即
，
又已知，
根据ASA，
．
（2）解：为的垂直平分线，
，即为等腰三角形
平分
，，
，
22．（9分）如图，在四边形中，M，N分别是，的中点，且，．
(1)求证：；
(2)连接，若，，求的度数．
（1）证明：连接，
∵在中，N是的中点，，
∴是等腰三角形，
∴平分，即．
同理可证，
∴．
（2）解：连接．
∵，
∴．
M，N分别是，的中点，且，
△ABC、是等腰三角形，
∴，
∴．
∵，
∴．
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