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【北师大版八年级数学（下）课时练习】
§1.1等腰三角形（B）
一、选择题（每小题3分共30分）
1．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为40°，则其顶角为（ ）
A．50° B．130° C．40°或130° D．50°或130°
解：如图1，等腰三角形为锐角三角形，
∵BD⊥AC，∠ABD=40°，
∴∠A=50°，
即顶角的度数为50°；
②如图2，等腰三角形为钝角三角形，
∵BD⊥AC，∠DBA=40°，
∴∠BAD=50°，
∴∠BAC=130°，
即顶角的度数为130°．
故选D
2．如图，给出了尺规作等腰三角形的三种作法，
认真观察作图痕迹，下面的已知分别对应作图顺序正确的是（ ）
①已知等腰三角形的底边和底边上的高；
②已知等腰三角形的底边和腰；
③已知等腰三角形的底边和一底角．
A．①②③ B．②①③ C．③①② D．②③①
解：图形①的作图依据是“②已知等腰三角形的底边和腰”；
图形②的作图依据是“①已知等腰三角形的底边和底边上的高”；
图形③的作图依据是“③已知等腰三角形的底边和一底角”．
故选：．
3．木工师傅将一个等腰直角三角尺如图放置（斜边与水平面平行，直角顶点在横梁上），直角顶点处用线系着一个铅锤，若铅锤线恰好经过斜边中点则可以判断横梁水平，能解释这一现象的数学知识是（ ）
A．等边对等角 B．垂线段最短
C．三角形具有稳定性 D．等腰三角形“三线合一”
解：因为若铅锤线恰好经过斜边中点则可以判断横梁水平，
所以能解释这一现象的数学知识是等腰三角形“三线合一”．
故选：D．
4．如图，等边的边长为4，点P在BC上，连接AP．则的面积y与BP的长x的函数图象大致是（ ）
A．B．C．D．
解：如图，过点A作AD⊥BC于点D，
∵△ABC是以4位边长的等边三角形，
∴BD=CD=2，
∴，
∴，
∴当x=4时，，
∴该函数图象为一次函数图象的一段，且y随x的增大而增大，且过点．
故选：C
5．下列命题是假命题的是（ ）
A．有一个角为的等腰三角形是等边三角形
B．等角的余角相等
C．钝角三角形一定有一个角大于
D．同位角相等
解：选项A、B、C都是真命题；
选项D，两直线平行，同位角相等，选项D错误，是假命题，
故选：D．
6．已知三个城镇中心A、B、C恰好位于等边三角形的三个顶点，在A、B、C之间铺设光缆连接，实线为所铺的路线，四种方案中光缆铺设路线最短的是（ ）
A．B．C．D．
解：设等边三角形ABC的边长为a，
A、铺设的电缆长为a+a=2a；
C、如图1：∵△ABC为等边三角形，AD⊥BC，
∴D为BC的中点，
∴BD=DC=BC=a，
在Rt△ABD中，根据勾股定理得：，
则铺设的电缆长为；
B、由垂线段最短得：方案B中光缆比方案C中长；
D、如图2所示，∵△ABC为等边三角形，且O为三角形三条高的交点，
∴设DO=x，则BO=2x，BD=，
故，
解得：，
则，
则铺设的电缆长为，
∵，
∴方案D中光缆最短；
故选：D．
7．如图，直线，等腰直角三角形和等边在之间，点A，D分别在上，点B，C，E，F在同一直线上．若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
解：延长交于H，如下图所示：
∵，，
∴，，
∵是等腰直角三角形，且，
∴，
∵是等边三角形，
∴，
∴，
在四边形中，
，
即，
∴，
∴．
故选：B．
8．如图，在5×5的正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，点A、B均在格点上．要在格点上确定一点C，连结AC和BC，使△ABC是等腰三角形，则网格中满足条件的点C的个数是（ ）
A．5个 B．6个 C．7个 D．8个
解：如图：
网格中满足条件的点C的个数为6个，
故选：B．
9．如图，等边中，为边上的高，点分别在上，且，连，当最小时，则（ ）
A． B． C． D．
解：如图1中，作，使得，连接，．
是等边三角形，，，
， ，
，
，，
，，
，
，，共线时，的值最小，
如图2中，当，，共线时，
∵△ABM≌△CHN
，
，
，
，
当的值最小时，，
故选：．
10．如图，∠MON=30°，点A1、A2、A3…在射线ON上，点B1、B2、B3…在射线OM上，△A1B1A2、△A2B2A3、△A3B3A4…均为等边三角形，从左起第1个等边三角形的边长记为a1，第2个等边三角形的边长记为a2，以此类推．若OA1=1，则a2015=（ ）
A．22013 B．22014 C．22015 D．22016
解：∵△A1B1A2是等边三角形，
∴A1B1=A2B1，∠3=∠4=∠12=60°，
∴∠2=120°，
∵∠MON=30°，
∴∠1=180°-120°-30°=30°，
又∵∠3=60°，
∴∠5=180°-60°-30°=90°，
∵∠MON=∠1=30°，
∴OA1=A1B1=1，
∴A2B1=1，
∵△A2B2A3、△A3B3A4是等边三角形，
∴∠11=∠10=60°，∠13=60°，
∵∠4=∠12=60°，
∴A1B1∥A2B2∥A3B3，B1A2∥B2A3，
∴∠1=∠6=∠7=30°，∠5=∠8=90°，
∴a2=2a1，a3=4a1=4，
a4=8a1=8，a5=16a1，
以此类推：a2015=22014．
故选B．
二、填空题:(每小题3分共15分)
11．已知△ABC≌△DEF，若△ABC的一边AB长为7cm，∠C＝∠B＝60°，则△DEF的周长是 cm．
解中，
是等边三角形，
是等边三角形
的周长是：
故答案为：21.
12．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠C＝30°，AC＝8，则AB＝ ．
解：∵∠B＝90°，∠C＝30°，
∴AC＝2AB，
∵AC＝8，
∴AB＝4，
故答案为：4．
13．如图，DE是AB的垂直平分线．
（1）已知AC=5cm，△ADC的周长为17cm，则BC的长
（2）若AD平分∠BAC,AD=AC,则∠C=
解（1）∵DE是边AB的垂直平分线，∴AD=BD，∴△ADC的周长=AD+DC+AC=BD+DC+AC=BC+AC=17cm．
又∵AC=5cm，∴BC=12cm．
（2）设∠BAD=x．
∵DE是边AB的垂直平分线，∴AD=BD，∴∠B=∠BAD=x，∴∠ADC=∠B+∠BAD=x+x=2x．
∵AD=AC，∴∠C=∠ADC=2x．
∵AD平分∠BAC，∴∠CAD=∠BAD=x．在△ADC中，x+2x+2x=180°，解得：x=36°，∴∠C=2x=72°．
故答案为12cm，72°．
14．△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，∠A=30°，BD=1，则AB的长 ．
解：如图：
∵在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，
∴AB=2BC，∠B=60°，
∵CD⊥AB，
∴∠CDB=90°，
∴∠BCD=30°，
∴BC=2BD，
∴AB=4BD，
∴AD=3BD，
∴AB=4
故答案为4．
15．已知，点P是射线BC上一动点，把沿AP折叠，B点的对应点为点D，当是等腰三角形时，的度数为 ．
解：当时，如下图所示，
∵，，
∴，
由折叠的性质知，，，
∴，
∴；
当时，如下图所示，
由折叠的性质知，，
∴，
又∵，，∴，
∴，
∴；
当时，如下图所示，
∵，，
∴，
由折叠的性质知，，，
∴，
∴，
∴；
综上，的度数为或或．
三、解答题：（共55分）
16．（6分）在中，的对边分别为a、b、c．
(1)若，求a、b；
(2)若，求a、c；
(3)若，，求c边上的高h．
（1）解：设则
即
解得：
∴．
（2）解：∵
∴
解得：．
（3）解：∵
∴
∵
∴
解得：
∴边上的高．
17．（7分）先阅读下面的内容，再解决问题．
例题：若，求m和n的值．
解：∵，
∴，
∴，
∴，，
∴，．
(1)若，求的值；
(2)已知a，b，c是等腰的三条边长，且a，b满足，求△ABC的周长．
解（1）∵，
∴，
∴，
∴，，
∴，，
∴；
（2）∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
当a为腰时，，符合题意，；
当b为腰时，，不符合题意．
∴的周长为17．
18．（8分）【阅读学习】
阅读从三角形一个顶点引出一条射线与对边相交，如果顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小的等腰三角形，那么我们就把原三角形叫作“可两分三角形”．这条线段叫作这个三角形的“两分线”．
（）判断：在中，，，则△ABC________“可两分三角形”．（填“是”或“不是”）
（）画图和计算：
下图中的两个三角形都是“可两分三角形”．请你画出每个三角形的“两分线”，并标出分成的等腰三角形的底角的度数．
阅读如果两条线段将一个三角形分割成三个等腰三角形，那么我们把这两条线段叫作这个三角形的“三分线”．如图，线段将顶角为的等腰分成了三个等腰三角形，则线段是的“三分线”．
（）画图和计算：请你在图中，画出顶角为的等腰的“三分线”，并标出每个等腰三角形顶角的度数．
（）画图和计算：在△ABC中，，和是的“三分线”，点在边上，点在边上，且，．设，试画出示意图，并求出的值．
解（1）如图，△ABC可以分割成两个小的等腰三角形，
∴是“可两分三角形”，故答案为：是；
（）如图所示；
（）如图所示；
（）如图所示，
由图可得的值为或．
19．（8分）如图，A，B两地被大山阻隔，C地在A地的北偏东的方向上，在B地西北方向上，且A，C两地间距离为，若要从A地到B地，现只能沿着的公路先从A地到的C地，再由C地到B地．计划开凿隧道，使A，B两地直线贯通，求隧道开通后与隧道开通前相比，从A地到B地的路程将缩短多少？（结果精确到，参考数据，）
解：过点作的垂线，垂足为，如图所示：
有题意可得：，，
，
，
在中，，
是等腰直角三角形，
，
，
，
，
即从地到地的路程将缩短约．
20．（8分）某兴趣小组测量小池塘的宽度，如图，点是小池塘外一点，测得位于点的西北方向，点位于点北偏东方向，点位于点北偏东方向，已知米，求小池塘宽度的长．（结果保留根号）
解：过点作于点，如图．
由题意可知，
，
米．
在中，由勾股定理得米．
由题意可知，
，
是等腰直角三角形，且，
米．
答：小池塘宽度的长为米．
21．（9分）在一个三角形中，如果一个角是另一个角的倍，这样的三角形我们称之为“智慧三角形”．比如：三个内角分别为，，的三角形是“智慧三角形”．如图，，在射线上找一点，过点作交于点，以为端点作射线，交线段于点．
(1)________．
(2)若，求证：为“智慧三角形”．
(3)当为“智慧三角形”时，请求出的度数．
（1）解：，
，
，
故答案为：；
（2）证明：∵，，
，
，
为“智慧三角形”；
（3）解：∵，
，
∵△ABC为“智慧三角形”，
①、当时，，
；
②、当时，，
∵，
∴此种情况不存在；
③、当时，
则，
，
；
④、当时，，
，
；
⑤、当时，，
；
⑥、当时，
则，
，
∴此种情况不存在；
综上，当为“智慧三角形”时，的度数为或或或．
22．（9分）如图，在△ABC中，，是边上的高，是边上的高，、相交于点，且．
(1)求证：．
(2)动点从点出发，沿线段以每秒1个单位长度的速度向终点运动，动点从点出发沿射线以每秒4个单位长度的速度运动，、两点同时出发，当点到达点时，、两点同时停止运动．设点的运动时间为秒，点是直线上的一点且．是否存在值，使以点、、为顶点的三角形与以点、、为顶点的三角形全等？若存在，请求出符合条件的值；若不存在，请说明理由．
（1）证明： 是边上的高，是边上的高，
，
，
，
在和中，
，
；
（2）解：存在，
如图2，当时，
是边上的高，是边上的高，
，
，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，
；
如图3，当时，
是边上的高，是边上的高，
，
，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，
，
综上所述：或时，使以点、、为顶点的三角形与以点、、为顶点的三角形全等．
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【北师大版八年级数学（下）课时练习】
§1.1等腰三角形（B）
一、选择题（每小题3分共30分）
1．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为40°，则其顶角为（ ）
A．50° B．130° C．40°或130° D．50°或130°
2．如图，给出了尺规作等腰三角形的三种作法，
认真观察作图痕迹，下面的已知分别对应作图顺序正确的是（ ）
①已知等腰三角形的底边和底边上的高；
②已知等腰三角形的底边和腰；
③已知等腰三角形的底边和一底角．
A．①②③ B．②①③ C．③①② D．②③①
3．木工师傅将一个等腰直角三角尺如图放置（斜边与水平面平行，直角顶点在横梁上），直角顶点处用线系着一个铅锤，若铅锤线恰好经过斜边中点则可以判断横梁水平，能解释这一现象的数学知识是（ ）
A．等边对等角 B．垂线段最短
C．三角形具有稳定性 D．等腰三角形“三线合一”
4．如图，等边的边长为4，点P在BC上，连接AP．则的面积y与BP的长x的函数图象大致是（ ）
A．B．C．D．
5．下列命题是假命题的是（ ）
A．有一个角为的等腰三角形是等边三角形
B．等角的余角相等
C．钝角三角形一定有一个角大于
D．同位角相等
6．已知三个城镇中心A、B、C恰好位于等边三角形的三个顶点，在A、B、C之间铺设光缆连接，实线为所铺的路线，四种方案中光缆铺设路线最短的是（ ）
A．B．C．D．
7．如图，直线，等腰直角三角形和等边在之间，点A，D分别在上，点B，C，E，F在同一直线上．若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
8．如图，在5×5的正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，点A、B均在格点上．要在格点上确定一点C，连结AC和BC，使△ABC是等腰三角形，则网格中满足条件的点C的个数是（ ）
A．5个 B．6个 C．7个 D．8个
9．如图，等边中，为边上的高，点分别在上，且，连，当最小时，则（ ）
A． B． C． D．
10．如图，∠MON=30°，点A1、A2、A3…在射线ON上，点B1、B2、B3…在射线OM上，△A1B1A2、△A2B2A3、△A3B3A4…均为等边三角形，从左起第1个等边三角形的边长记为a1，第2个等边三角形的边长记为a2，以此类推．若OA1=1，则a2015=（ ）
A．22013 B．22014 C．22015 D．22016
二、填空题:(每小题3分共15分)
11．已知△ABC≌△DEF，若△ABC的一边AB长为7cm，∠C＝∠B＝60°，则△DEF的周长是 cm．
12．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠C＝30°，AC＝8，则AB＝ ．
13．如图，DE是AB的垂直平分线．
（1）已知AC=5cm，△ADC的周长为17cm，则BC的长
（2）若AD平分∠BAC,AD=AC,则∠C=
14．△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，∠A=30°，BD=1，则AB的长 ．
15．已知，点P是射线BC上一动点，把沿AP折叠，B点的对应点为点D，当是等腰三角形时，的度数为 ．
三、解答题：（共55分）
16．（6分）在中，的对边分别为a、b、c．
(1)若，求a、b；
(2)若，求a、c；
(3)若，，求c边上的高h．
17．（7分）先阅读下面的内容，再解决问题．
例题：若，求m和n的值．
解：∵，
∴，
∴，
∴，，
∴，．
(1)若，求的值；
(2)已知a，b，c是等腰的三条边长，且a，b满足，求△ABC的周长．
18．（8分）【阅读学习】
阅读从三角形一个顶点引出一条射线与对边相交，如果顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小的等腰三角形，那么我们就把原三角形叫作“可两分三角形”．这条线段叫作这个三角形的“两分线”．
（）判断：在中，，，则△ABC________“可两分三角形”．（填“是”或“不是”）
（）画图和计算：
下图中的两个三角形都是“可两分三角形”．请你画出每个三角形的“两分线”，并标出分成的等腰三角形的底角的度数．
阅读如果两条线段将一个三角形分割成三个等腰三角形，那么我们把这两条线段叫作这个三角形的“三分线”．如图，线段将顶角为的等腰△ABC分成了三个等腰三角形，则线段是△ABC的“三分线”．
（）画图和计算：请你在图中，画出顶角为的等腰△ABC的“三分线”，并标出每个等腰三角形顶角的度数．
（）画图和计算：在△ABC中，，和是的“三分线”，点在边上，点在边上，且，．设，试画出示意图，并求出的值．
19．（8分）如图，A，B两地被大山阻隔，C地在A地的北偏东的方向上，在B地西北方向上，且A，C两地间距离为，若要从A地到B地，现只能沿着的公路先从A地到的C地，再由C地到B地．计划开凿隧道，使A，B两地直线贯通，求隧道开通后与隧道开通前相比，从A地到B地的路程将缩短多少？（结果精确到，参考数据，）
20．（8分）某兴趣小组测量小池塘的宽度，如图，点是小池塘外一点，测得位于点的西北方向，点位于点北偏东方向，点位于点北偏东方向，已知米，求小池塘宽度的长．（结果保留根号）
21．（9分）在一个三角形中，如果一个角是另一个角的倍，这样的三角形我们称之为“智慧三角形”．比如：三个内角分别为，，的三角形是“智慧三角形”．如图，，在射线上找一点，过点作交于点，以为端点作射线，交线段于点．
(1)________．
(2)若，求证：为“智慧三角形”．
(3)当△ABC为“智慧三角形”时，请求出的度数．
22．（9分）如图，在△ABC中，，是边上的高，是边上的高，、相交于点，且．
(1)求证：．
(2)动点从点出发，沿线段以每秒1个单位长度的速度向终点运动，动点从点出发沿射线以每秒4个单位长度的速度运动，、两点同时出发，当点到达点时，、两点同时停止运动．设点的运动时间为秒，点是直线上的一点且．是否存在值，使以点、、为顶点的三角形与以点、、为顶点的三角形全等？若存在，请求出符合条件的值；若不存在，请说明理由．
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