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【北师大版八年级数学（下）课时练习】
§1.2直角三角形（A）
一、选择题（每小题3分共30分）
1．（3分）以下列各组数为边长，不能构成直角三角形的是（ ）
A．5，12，13 B．7，24，25 C．6，8，10 D．1，1，
2．（3分）下列各组数据中，能构成直角三角形的是（ ）
A．，， B．6，8，9 C．3，5，4 D．8，12，15
3．（3分）△ABC中，∠C=50°，∠B=30°，AE平分∠BAC，点F为E上一点，FD⊥DC于点D，则∠EFD=（ ）
A．5° B．10° C．12° D．20°
4．（3分）已知△ABC的三边长分别为6，8，10，则△ABC的形状是（ ）
A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．锐角三角形或钝角三角形
5．（3分）下列各组数中能作为直角三角形的三边长的是（ ）
A．1，1， B．1，，2 C．2，3，4 D．5，6，7
6．（3分）下列条件不能判定一个三角形为直角三角形的是（ ）
A．三个内角之比为1︰2︰3 B．一边上的中线等于该边的一半
C．三边为 D．三边长为
7．（3分）下列各组数，可以作为直角三角形的三边长的是（ ）
A．2，3，4 B．3，4，6 C．4，5，6 D．6，8，10
8．（3分）如图，在和中，，，，，三点在同一直线上，添加下列条件，不能判定的是（ ）
A． B． C． D．
9．（3分）已知△ABC的、和的对边分别是a，b和c，下面给出了五组条件：①；②；③；④；⑤，，．其中能独立判定△ABC是直角三角形的条件有（ ）个．
A．2 B．3 C．4 D．5
10．（3分）如图，在中，，点D在边AC上，，且与关于直线BD对称．现有如下4个结论：①，②，③，④，其中正确的结论有（ ）
A．4 B．3个 C．2个 D．1个
二、填空题（共15分）
11．（3分）直角三角形的性质∶
①直角三角形的两个锐角 ．
②直角三角形的面积等于两直角边的乘积的一半或
12．（3分）已知△ABC中，AB＝6cm，BC＝8cm，AC＝10cm，则△ABC的面积是 cm2．
13．（3分）若△ABC的三边长分别为，且三角形的三条高所在的直线交于三角形的一个顶点，则△ABC面积为 ．
14．（3分）如图，在和中，，，，若，则 ．
15．（3分）已知a、b、c是△ABC的三边长且c=5，a、b满足关系式，则△ABC的形状为 三角形．
三、解答题（共55分）
16．（6分）已知，如图，△ABC中，，D、E分别是上的点，M、N分别是上的点，若，．
求证：(1)；
(2)．
17．（7分）如图，某小区有一块四边形空地，为了美化小区环境，现计划在空地上铺上草坪，经测量，米，米，米，米．若在这块空地上种植草坪，每平方米草坪需要70元，那么铺这块空地需要投入多少资金？
18．（8分）今年第号台风“烟花”登录我国沿海地区，风力强，累计降雨量大，影响范围大，有极强的破坏力．如图，台风“烟花”中心沿东西方向由向移动，已知点为一海港，且点与直线上的两点、的距离分别为，，又，以台风中心为圆心，周围以内为受影响区域．
(1)求的度数；
(2)经过查阅资料，小周同学发现若到的距离大于，则海港不受台风影响；若到的距离小于或等于，则海港会受台风影响，请你帮助小周同学计算到的距离，判断海港是否受台风影响？
19．（8分）我市某中学有一块四边形的空地ABCD（如图所示），为了绿化环境，学校计划在空地上种植草皮，经测量，，，，．求这块空地的面积．
20．（8分）如图，在平面直角坐标系中．
(1)在图中作出△ABC关于轴对称的图形，并分别写出的对应点的坐标；
(2)在第一象限找到格点，使是以为直角边的等腰直角三角形，请直接写出点坐标；
(3)在轴上找一点，使得点到、两点的距离之和最小，请直接写出最小值及此时点的坐标．
21．（9分）在学习平行线相关内容时，小明与学习小组同学们开展了“以两条平行线和含的直角三角板”为背景的几何探究活动，即将含的直角三角板放置在平行线中．已知直线，在直角三角板中，．
(1)如图1，当三角板的顶点在直线上时，若，则_______；
(2)如图2，当三角板的顶点在直线上时，请写出与之间的数量关系，并说明理由；
(3)如图3，当三角板的顶点在直线上且保持不动，旋转三角板，点始终在直线的上方，若，且，求射线与直线所夹锐角的度数．
22．（9分）如图①，在中，平分（），为上一点，且于点.
（1）当，时，求的度数；
（2）若，，请结合（1）的计算猜想、、之间的数量关系，直接写出答案，不说明理由；（用含有、的式子表示）
（3）如图②，当点在的延长线上时，其余条件不变，则（2）中的结论还成立吗？若成立，请说明为什么；若不成立，请写出成立的结论，并说明为什么.
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【北师大版八年级数学（下）课时练习】
§1.2直角三角形（A）
一、选择题（每小题3分共30分）
1．（3分）以下列各组数为边长，不能构成直角三角形的是（ ）
A．5，12，13 B．7，24，25 C．6，8，10 D．1，1，
解：A、∵，故能构成直角三角形，故此选项不符合题意；
B、∵，故能构成直角三角形，故此选项不符合题意；
C、∵，故能构成直角三角形，故此选项不符合题意；
D、∵，故不能构成直角三角形，故此选项符合题意；
故选D．
2．（3分）下列各组数据中，能构成直角三角形的是（ ）
A．，， B．6，8，9 C．3，5，4 D．8，12，15
解A．∵，
∴，，不能构成直角三角形，故A不符合题意；
B．∵，
∴6，8，9不能构成直角三角形，故B不符合题意；
C．∵，
∴3，5，4能构成直角三角形，故C符合题意；
D．∵，
∴8，12，15不能构成直角三角形，故D不符合题意．
故选：C．
3．（3分）△ABC中，∠C=50°，∠B=30°，AE平分∠BAC，点F为E上一点，FD⊥DC于点D，则∠EFD=（ ）
A．5° B．10° C．12° D．20°
解∵∠C＝50°，∠B＝30°，
∴∠BAC＝180°﹣∠C﹣∠A＝180°﹣50°﹣30°＝100°，
∵AE是∠BAC的平分线，
∴∠BAE＝50°，
∴∠FED＝50°+30°＝80°，
又∵DF⊥BC，
∴∠FED+∠EFD＝90°，
∴∠EFD＝90°﹣80°＝10°，
故选：B．
4．（3分）已知△ABC的三边长分别为6，8，10，则△ABC的形状是（ ）
A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．锐角三角形或钝角三角形
解：∵62+82=102，
∴根据勾股定理的逆定理，三角形是直角三角形，
故选：C．
5．（3分）下列各组数中能作为直角三角形的三边长的是（ ）
A．1，1， B．1，，2 C．2，3，4 D．5，6，7
解：、，不能构成直角三角形，故本选项不符合题意；
、，能构成直角三角形故本选项符合题意；
、，不能构成直角三角形，故本选项不符合题意；
、，不能构成直角三角形，故本选项不符合题意；
故选：B．
6．（3分）下列条件不能判定一个三角形为直角三角形的是（ ）
A．三个内角之比为1︰2︰3 B．一边上的中线等于该边的一半
C．三边为 D．三边长为
解：三个内角之比为1︰2︰3，三角形有一个内角为，故A不符合题意；
直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半，故B不符合题意；
，故C符合题意；
三边长的关系为，故D不符合题意；
故选：C．
7．（3分）下列各组数，可以作为直角三角形的三边长的是（ ）
A．2，3，4 B．3，4，6 C．4，5，6 D．6，8，10
解∵22+32≠42，
∴以2，3，4为边的三角形不是直角三角形，故本选项不符合题意；
B、∵32+42≠62，
∴以3，4，6为边的三角形不是直角三角形，故本选项不符合题意；
C、∵42+52≠62，
∴以4，5，6为边的三角形不是直角三角形，故本选项不符合题意；
D、∵62+82＝102，
∴以6，8，10为边的三角形是直角三角形，故本选项符合题意．
故选D．
8．（3分）如图，在和中，，，，，三点在同一直线上，添加下列条件，不能判定的是（ ）
A． B． C． D．
解：，
A、，满足的条件，能证明，不符合题意；
B、，不满足证明三角形全等的条件，符合题意；
C、，得到，满足，能证明，不符合题意；
D、，得到，满足，能证明，不符合题意，
故选：B．
9．（3分）已知△ABC的、和的对边分别是a，b和c，下面给出了五组条件：①；②；③；④；⑤，，．其中能独立判定△ABC是直角三角形的条件有（ ）个．
A．2 B．3 C．4 D．5
解：∵，
∴，
∴△ABC是直角三角形；故①正确；
∵，
设，
∵，
∴△ABC是直角三角形；故②正确；
∵，，
∴，
∴△ABC是直角三角形；故③正确；
∵，
∴，
∴△ABC是直角三角形；故④正确；
∵，，，
∴，
∴△ABC是直角三角形；故⑤正确；
故选D．
10．（3分）如图，在中，，点D在边AC上，，且与关于直线BD对称．现有如下4个结论：①，②，③，④，其中正确的结论有（ ）
A．4 B．3个 C．2个 D．1个
解：∵∠ABC=90°，
∴∠A+∠C=90°，∠ABD+∠DBC=90°，
∵BD=CD，
∴∠C=∠DBC，
∴∠ADB=∠DBC+∠C=2∠C，∠A=∠ABD，
∴AD=BD，即AC=AD+CD=2BD，①正确；
根据折叠的性质可知∠DBE=∠ABD，∠ADB=∠BDE，
∴∠DBE=∠ABD=∠A，∠ADB=∠BDE=2∠C，
∴∠CBE=2∠A-90°，∠CDE=180°-4∠C，
∴
，②正确；
∵，
∴，③正确；
∴，④正确；
综上所述，正确的有4个，
故选：A．
二、填空题（共15分）
11．（3分）直角三角形的性质∶
①直角三角形的两个锐角 ．
②直角三角形的面积等于两直角边的乘积的一半或
解(略)①互余， ②斜边×斜边上的高
12．（3分）已知△ABC中，AB＝6cm，BC＝8cm，AC＝10cm，则△ABC的面积是 cm2．
解：∵AB＝6cm，BC＝8cm，AC＝10cm，
∴AB2+CB2＝100＝AC2，
∴△ABC是直角三角形，且∠B＝90°，
∴△ABC的面积是＝＝24（cm2），
故答案为：24．
13．（3分）若△ABC的三边长分别为，且三角形的三条高所在的直线交于三角形的一个顶点，则△ABC面积为 ．
解∵，
∴△ABC是直角三角形，
∴△ABC的面积是，
故答案为：6．
14．（3分）如图，在和中，，，，若，则 ．
解：在和中，
∵∠B=∠E=90 ，，，
，
，．
故答案为：．
15．（3分）已知a、b、c是△ABC的三边长且c=5，a、b满足关系式，则△ABC的形状为 三角形．
解：由得：，，
解得：，，∵，∴，
∴△ABC的形状为直角三角形，且∠B=90°，
故答案为：直角．
三、解答题（共55分）
16．（6分）已知，如图，△ABC中，，D、E分别是上的点，M、N分别是上的点，若，．
求证：(1)；
(2)．
（1）证明：，
，
在和中，
，
∴；
（2）∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴．
17．（7分）如图，某小区有一块四边形空地，为了美化小区环境，现计划在空地上铺上草坪，经测量，米，米，米，米．若在这块空地上种植草坪，每平方米草坪需要70元，那么铺这块空地需要投入多少资金？
解：连接，
在中，，根据勾股定理，得．
，，
．
，，
．
，
．
为直角三角形．
，
．
．
答：铺这块空地需要投入资金2520元．
18．（8分）今年第号台风“烟花”登录我国沿海地区，风力强，累计降雨量大，影响范围大，有极强的破坏力．如图，台风“烟花”中心沿东西方向由向移动，已知点为一海港，且点与直线上的两点、的距离分别为，，又，以台风中心为圆心，周围以内为受影响区域．
(1)求的度数；
(2)经过查阅资料，小周同学发现若到的距离大于，则海港不受台风影响；若到的距离小于或等于，则海港会受台风影响，请你帮助小周同学计算到的距离，判断海港是否受台风影响？
解（1），，
，
是直角三角形，．
（2）海港受台风影响，理由如下：
过点作于点，
是直角三角形，
，
，
，
海港会受台风影响．
19．（8分）我市某中学有一块四边形的空地ABCD（如图所示），为了绿化环境，学校计划在空地上种植草皮，经测量，，，，．求这块空地的面积．
解：如图所示，连接，
在中，，，，
∴，∵，，∴，
∴是直角三角形，且，∴．
20．（8分）如图，在平面直角坐标系中．
(1)在图中作出△ABC关于轴对称的图形，并分别写出的对应点的坐标；
(2)在第一象限找到格点，使是以为直角边的等腰直角三角形，请直接写出点坐标；
(3)在轴上找一点，使得点到、两点的距离之和最小，请直接写出最小值及此时点的坐标．
（1）解：如图，即为所求作的三角形；
点，，；
（2）解：如图，点D的坐标为；
∵，，，
∴，，∴为等腰直角三角形．
（3）解：作点B关于轴的对称点，连接，与轴交于一点，即为点P，连接，如图所示：
∵点B与关于x轴对称，
∴，
∴，
∵两点之间线段最短，
∴当、、在同一直线上时，最小，即最小，
则此时的最小值为：，
设直线的函数解析式为，把，代入得：
，
解得：，
∴直线的函数解析式为，
把代入得：，
解得：，
∴此时点P的坐标为．
21．（9分）在学习平行线相关内容时，小明与学习小组同学们开展了“以两条平行线和含的直角三角板”为背景的几何探究活动，即将含的直角三角板放置在平行线中．已知直线，在直角三角板中，．
(1)如图1，当三角板的顶点在直线上时，若，则_______；
(2)如图2，当三角板的顶点在直线上时，请写出与之间的数量关系，并说明理由；
(3)如图3，当三角板的顶点在直线上且保持不动，旋转三角板，点始终在直线的上方，若，且，求射线与直线所夹锐角的度数．
（1）解：如图：过点作，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：与间的数量关系是：，
理由如下：
，
，
由（1）可知：，
，
，
，
，
即；
（3）解：依题意有以下两种情况：
①当在直线的上方时，如图所示，
，
，
设，则，
点在直线上且保持不动，
，
，
解得：，
，
，
，
；
②当在直线的下方时，如图所示，
设，则，
，
点在直线上且保持不动，
，
，
解得：，
，
，
，
，
综上所述：射线与直线所夹锐角的度数为或．
22．（9分）如图①，在中，平分（），为上一点，且于点.
（1）当，时，求的度数；
（2）若，，请结合（1）的计算猜想、、之间的数量关系，直接写出答案，不说明理由；（用含有、的式子表示）
（3）如图②，当点在的延长线上时，其余条件不变，则（2）中的结论还成立吗？若成立，请说明为什么；若不成立，请写出成立的结论，并说明为什么.
解（1）∵，（已知）
（三角形的内角和等于）
∴（等量代换）
∵平分（已知）
∴（角平分线的定义）
∴（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和）
，即.
∵于点（已知）
∴（垂直的定义）
∴（直角三角形的两个锐角互余）
∴（等量代换）
（2）
（3）成立.
理由：∵，（已知）
（三角形的内角和等于）
∴（等量代换）
∵平分（已知）
∴（角平分线的定义）
∴（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和）
∴（对顶角相等）
∵于点（已知）
∴（垂直的定义）
∴（直角三角形的两个锐角互余 ）
∴（等量代换）
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