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【北师大版八年级数学（下）课时练习】
§1.2直角三角形（B）
一、选择题（每小题3分共30分）
1．（3分）在三边分别为下列长度的三角形中，不是直角三角形的是（ ）
A．3，4，5 B．1，2， C．2，，3 D．3，5，6
2．（3分）给出下列长度的四组线段：①，2；②，；③，8；④，，．
其中能组成直角三角形的有（ ）
A．①② B．②④ C．②③ D．③④
3．（3分）△ABC三边分别为a、b、c，下列能说明△ABC是直角三角形的是（ ）
A．b2＝a2﹣c2 B．a∶b∶c＝1∶2∶2
C．2∠C＝∠A＋∠B D．∠A∶∠B∶∠C＝3∶4∶5
4．（3分）三角形三条边长之比为，那么这个三角形为（ ）
A．等边三角形 B．等腰三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形
5．（3分）如图是由8个全等的小长方形组成的大正方形，线段AB的端点都在小长方形的顶点上，如果点P是某个小长方形的顶点，连接PA、PB，那么使△ABP为等腰直角三角形的点P的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
6．（3分）下列命题是假命题的是（）
A．对顶角相等 B．直角三角形的两个锐角互余
C．同位角相等 D．如果，那么
7．（3分）如图，在△ABC中，，，点是边（不与端点重合）上一点，将沿翻折后得到，射线交射线于点F．若，则（ ）
A． B． C． D．
8．（3分）如图，，，，P是线段上一点，连接，则的长不可能是（ ）
A．3.5 B．2.5 C．2 D．3
9．（3分）如图，在中，，于，的平分线交于点，交于，于，的延长线交于点，下列五个结论：①；②；③；④；⑤连接，若，则，其中正确的结论有（ ）
A．①②④ B．①②③ C．①②③⑤ D．①②③④⑤
10．（3分）如图，在△ABC中，，，，点P为边上一动点，于点E，于点F，连接，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（共15分）
11．（3分）若三角形三边长为6，8，11，则该三角形是 三角形．（填“锐角”，“直角”或“钝角”）
12．（3分）一个等腰三角形的一腰上的高与另一腰的夹角为，则它的顶角为 ．
13．（3分）如图，点A，B，C在小正方形的顶点上，每个小正方形的边长为1，则为 度．
14．（3分）如图，中，，，图中等于的角是： ．
15．（3分）如图，在中，，点在边上，点在边上，且，．若，，则 ．
三、解答题（共55分）
16．（6分）已知三角形的一条边长为，第二条边比第一条短，第三条边比第二条边的倍短．
(1)用含的代数式表示这个三角形的周长；
(2)当时，判断该三角形的形状，并说明理由．
17．（7分）如图，直线CD与直线AB相交于C．根据下列语句画图并测量和计算．
(1)过点P作PM⊥AB，垂足为M，PN⊥CD，垂足为N，并测量点P到CD的距离（精确到0.1cm）为 ；
(2)过点N作NQ∥AB；
(3)若∠ACD＝50°，计算∠MPN的度数为 °．
18．（8分）已知在中，AB，BC，AC三边的长分别为，，，如图所示是小辉同学在正方形网格中每个小正方形的边长为，画出的格点的三个顶点都在正方形的顶点处请你参照小辉的方法在图2的正方形网格图中画出格点三角形，使得DE、EF、DF三边的长分别为、、，然后判断的形状，说明理由求这个三角形的面积．
19．（8分）号台风“烟花”风力强，累计降雨量大，影响范围大，有极强的破坏力．如图，台风“烟花”中心沿东西方向由向移动，已知点为一海港，且点与直线上的两点、的距离分别为，，又，经测量，距离台风中心及以内的地区会受到影响．
(1)海港受台风影响吗？为什么？
(2)若台风中心的移动速度为千米/时，则台风影响该海港持续的时间有多长？
20．（8分）城市绿化是城市重要的基础设施，是改善生态环境和提高广大人民群众生活质量的公益事业．某小区在社区管理人员及社区居民的共同努力之下，在临街清理出了一块可以绿化的空地（图中阴影部分）．如图，点在△ABC中，，，，．
(1)求的长；
(2)求图中阴影部分的面积．
21．（9分）将一副三角板中的两块直角三角尺的直角顶点按如图方式叠放在一起，其中，，；．
(1)①时，的度数为_______；②时，的度数为_______；
【探究】
(2)由（1）猜想与的数量关系，并说明理由．
【应用】
(3)现按照这种折叠方式，用这样两块直角三角尺的木板制作一个画平行线的工具，需要满足两个三角尺存在一组边互相平行，若＜且点在直线的上方时，这两块三角尺是否存在一组边互相平行？若存在，请直接写出角度所有可能的值（不必说明理由）；若不存在，请说明理由．
22．（9分）如图，在中，，，，是边的中点，是边上一点，且．
(1)用直尺和圆规在边上作点，使得；（不写作法，保留作图痕迹）
(2)在（1）的条件下：
①求的长；
②线段与线段的数量关系是______，位置关系是______．
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【北师大版八年级数学（下）课时练习】
§1.2直角三角形（B）
一、选择题（每小题3分共30分）
1．（3分）在三边分别为下列长度的三角形中，不是直角三角形的是（ ）
A．3，4，5 B．1，2， C．2，，3 D．3，5，6
解:A、，此三角形是直角三角形，故本选项不符合题意．
B、，此三角形是直角三角形，故本选项不符合题意．
C、，此三角形是直角三角形，故本选项不符合题意．
D、，此三角形不是直角三角形，故本选项符合题意．
故选：D．
2．（3分）给出下列长度的四组线段：①，2；②，；③，8；④，，．
其中能组成直角三角形的有（ ）
A．①② B．②④ C．②③ D．③④
解：①；②；③；④，
根据勾股定理的逆定理可知，能组成直角三角形的有②④，
故选B．
3．（3分）△ABC三边分别为a、b、c，下列能说明△ABC是直角三角形的是（ ）
A．b2＝a2﹣c2 B．a∶b∶c＝1∶2∶2
C．2∠C＝∠A＋∠B D．∠A∶∠B∶∠C＝3∶4∶5
解：A、由可根据勾股定理逆定理得△ABC是直角三角形，故符合题意；
B、由a∶b∶c＝1∶2∶2可得，则△ABC是等腰三角形，不是直角三角形，故不符合题意；
C、由2∠C＝∠A＋∠B结合三角形内角和可得∠C=60°，但不能判定△ABC是直角三角形，故不符合题意；
D、由∠A∶∠B∶∠C＝3∶4∶5结合三角形内角和可得，所以△ABC不是直角三角形；
故选A．
4．（3分）三角形三条边长之比为，那么这个三角形为（ ）
A．等边三角形 B．等腰三角形
C．直角三角形 D．等腰直角三角形
解：设三条边长分别为，，，
，
这个三角形为直角三角形，
故选：C．
5．（3分）如图是由8个全等的小长方形组成的大正方形，线段AB的端点都在小长方形的顶点上，如果点P是某个小长方形的顶点，连接PA、PB，那么使△ABP为等腰直角三角形的点P的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
解
解：如图所示，使△ABP为等腰直角三角形的点P的个数是3个，
故答案为C．
6．（3分）下列命题是假命题的是（）
A．对顶角相等 B．直角三角形的两个锐角互余
C．同位角相等 D．如果，那么
解：A、对顶角相等是真命题，故此选项不符合题意；
B、直角三角形的两个锐角互余是真命题，故此选项不符合题意；
C、因为两直线平行，同位角相等，所以同位角相等是假命题，故此选项符合题意；
D、如果，那么是真命题，故此选项不符合题意；
故选：C．
7．（3分）如图，在△ABC中，，，点是边（不与端点重合）上一点，将沿翻折后得到，射线交射线于点F．若，则（ ）
A． B． C． D．
解：由翻折性质得：∠ACD=∠DCE，
∵AD=CD=CF，
∴∠A=∠ACD，∠CDF=∠CFD，
∴∠CDF=∠A+∠ACD=2∠A，∠CFD=∠B+∠BCF，
∵∠ACB=90°，
∴∠B=90°－∠A，∠BCF=90°－2∠A，
∵∠CDF=∠CFD，
∴2∠A=90°－∠A+90°－2∠A，
解得：∠A=36°，
故选：C．
8．（3分）如图，，，，P是线段上一点，连接，则的长不可能是（ ）
A．3.5 B．2.5 C．2 D．3
解：∵，，，
∴，
∴，
过点B作于点D，
则，
∴，
故选C．
9．（3分）如图，在中，，于，的平分线交于点，交于，于，的延长线交于点，下列五个结论：①；②；③；④；⑤连接，若，则，其中正确的结论有（ ）
A．①②④ B．①②③ C．①②③⑤ D．①②③④⑤
解：∵，
∴，
∵是的平分线，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，故①正确；
∵，
∴，
∵，，
∴ ，
又∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，故②正确；
∵，
∴，
∴，故③正确；
根据题意无法确定的大小的大小关系，
无法得到，故④错误；
∵，
∴，，
∴，
即，
又∵，∴，故⑤正确；
综上所述，正确的有①②③⑤，
故选：．
10．（3分）如图，在△ABC中，，，，点P为边上一动点，于点E，于点F，连接，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
解：连接，取的中点G，连结，，
，，
，
，
，
，
，
当时，取最小值，此时，的值也最小，
，
，
，
，
的最小值为，
此时，的最小值为．
故选C．
二、填空题（共15分）
11．（3分）若三角形三边长为6，8，11，则该三角形是 三角形．（填“锐角”，“直角”或“钝角”）
解∵，
∴三角形三边长为6，8，10，可以构成直角三角形，
∵，
即：，
∴三角形三边长为6，8，11，此时构成的是钝角三角形，
故答案为：钝角．
12．（3分）一个等腰三角形的一腰上的高与另一腰的夹角为，则它的顶角为 ．
解：①如图所示，当等腰三角形是锐角三角形时，根据题意，，
又∵是边上的高，
∴，
∴，
②如图，当等腰三角形是钝角三角形时，根据题意，，
∵是边上的高
∴，
∴，
∴
故顶角为：或．
13．（3分）如图，点A，B，C在小正方形的顶点上，每个小正方形的边长为1，则为 度．
解：连接，
∵每个小正方形的边长均为1，
∴，
∵，
∴是直角三角形，
∴．
故答案为：．
14．（3分）如图，中，，，图中等于的角是： ．
解：∵，
∴∠A+∠EDA=90°，∠ECD+∠CDE=90°，
∵，
∴∠A+∠ACD=90°，∠B+∠BCD=90°，
又∵，
∴∠A+∠B=90°，
∴∠A=∠BCD=∠CDE.
故答案为，.
15．（3分）如图，在中，，点在边上，点在边上，且，．若，，则 ．
解：如图，过点C作，交的延长线于点G，交延长于点H，
∴，
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，
设，则，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案为：5．
三、解答题（共55分）
16．（6分）已知三角形的一条边长为，第二条边比第一条短，第三条边比第二条边的倍短．
(1)用含的代数式表示这个三角形的周长；
(2)当时，判断该三角形的形状，并说明理由．
（1）解：，
，
；
（2）直角三角形，理由如下：
当时，，，
∴，
∴三角形是直角三角形．
17．（7分）如图，直线CD与直线AB相交于C．根据下列语句画图并测量和计算．
(1)过点P作PM⊥AB，垂足为M，PN⊥CD，垂足为N，并测量点P到CD的距离（精确到0.1cm）为 ；
(2)过点N作NQ∥AB；
(3)若∠ACD＝50°，计算∠MPN的度数为 °．
（1）解：如图，垂线段PM，PN即为所求．
通过测量得点P到CD的距离为1.5cm；
故答案为：1.5cm；
（2）解：如图，直线NQ即为所求；
（3）解：∵PM⊥AB，垂足为M，PN⊥CD，
∴∠CNE＝∠PME＝90°
∵∠ACD＝∠ECN＝50°，
∴∠CEN＝∠PEM＝90°﹣50°＝40°，
∴∠MPN＝90°﹣40°＝50°．
故答案为：50．
18．（8分）已知在中，AB，BC，AC三边的长分别为，，，如图所示是小辉同学在正方形网格中每个小正方形的边长为，画出的格点的三个顶点都在正方形的顶点处请你参照小辉的方法在图2的正方形网格图中画出格点三角形，使得DE、EF、DF三边的长分别为、、，然后判断的形状，说明理由求这个三角形的面积．
解：如图2所示，
①△DEF是直角三角形，理由是：
∵DE2+EF2==10，=10，∴DE2+EF2=DF2，∴△DEF是直角三角形；
②S△DEF=DE EF==2．
19．（8分）号台风“烟花”风力强，累计降雨量大，影响范围大，有极强的破坏力．如图，台风“烟花”中心沿东西方向由向移动，已知点为一海港，且点与直线上的两点、的距离分别为，，又，经测量，距离台风中心及以内的地区会受到影响．
(1)海港受台风影响吗？为什么？
(2)若台风中心的移动速度为千米/时，则台风影响该海港持续的时间有多长？
（1）解：海港受台风影响，
理由：，，，
，
是直角三角形，；
过点作于，
是直角三角形，
，
，
，
以台风中心为圆心周围以内为受影响区域，
海港C受台风影响；
（2）解：当时，正好影响港口，
，
，
台风的速度为千米/小时，
(小时)．
答：台风影响该海港持续的时间为小时．
20．（8分）城市绿化是城市重要的基础设施，是改善生态环境和提高广大人民群众生活质量的公益事业．某小区在社区管理人员及社区居民的共同努力之下，在临街清理出了一块可以绿化的空地（图中阴影部分）．如图，点在△ABC中，，，，．
(1)求的长；
(2)求图中阴影部分的面积．
（1）解：∵，，，
∴在中，由勾股定理得，
∴．
（2）解：∵，，，，，
∴在△ABC中，，
∴△ABC是直角三角形，，
∴
．
21．（9分）将一副三角板中的两块直角三角尺的直角顶点按如图方式叠放在一起，其中，，；．
(1)①时，的度数为_______；②时，的度数为_______；
【探究】
(2)由（1）猜想与的数量关系，并说明理由．
【应用】
(3)现按照这种折叠方式，用这样两块直角三角尺的木板制作一个画平行线的工具，需要满足两个三角尺存在一组边互相平行，若＜且点在直线的上方时，这两块三角尺是否存在一组边互相平行？若存在，请直接写出角度所有可能的值（不必说明理由）；若不存在，请说明理由．
（1）解：①，，
，
，
故答案为：；
②，，
，
，
故答案为：45°；
（2）解：，
，
；
即；
（3）解：存在，、、、、．
理由：当时，如图1所示：
，
；
当时，如图2所示：
；
当时，如图3所示：
，
；
当时，如图4所示：
，
；
当时，延长交于，如图5所示：
，
， ，
，
．
22．（9分）如图，在中，，，，是边的中点，是边上一点，且．
(1)用直尺和圆规在边上作点，使得；（不写作法，保留作图痕迹）
(2)在（1）的条件下：
①求的长；
②线段与线段的数量关系是______，位置关系是______．
解（1）如图，连接，
∵
∴；
（2）①∵，
∴，，
∵，是边的中点，．
∴
∴
∵
∴
∴
∴；
②∵，，，
∴
∵
∴是△ABC的中位线，
∴，
故答案为：，．
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