第二章 实数 课件（打包3份）2024-2025学年湘教版数学七年级下册

(共39张PPT)
2.3 实数
第二章 实数
知识点
实数
知1－讲
感悟新知
1
1. 定义：有理数和无理数统称实数.
在实数范围内，一个数不是有理数，那么它一定是无理数，反之亦成立.
感悟新知
2. 分类：
(1)按定义分类：
有限小数或无限循环小数.
无限不循环小数.
知1－讲
感悟新知
(2)按性质分类：
0既不是正实数，也不是负实数.
知1－讲
感悟新知
特别解读
1. 实数的分类有不同的方法，但不论用哪一种分类的方法，都要按同一标准，做到不重复不遗漏.
2. 对实数进行分类时，应先对某些数进行计算或化简，然后根据最后结果进行分类.不能看到带根号的数，就认为是无理数，也不能看到有分数线的数，就认为是有理数.
知1－讲
感悟新知
母题 教材P41练习T1 把下列各数填入相应的大括号内 (只填序号)：
① ；② 3-π；③ 3.14；④ ；⑤ ；⑥ -；⑦ ；⑧ -0.23；⑨ ；⑩ -5.212 112 111 2… (相邻两个2 之间逐次增加一个1).
例1
考向：利用实数中各类数的特征进行分类
知1－讲
感悟新知
有理数：{ … }；
无理数：{ … }；
分数：{ … }；
负实数：{ … }.
解题秘方：根据有理数、无理数等概念进行分类时，应注意先把一些数化简后再判断，如 = 4 ， = - 4 .
知1－讲
感悟新知
解：有理数：{ ③④⑤⑦⑧… }；
无理数：{ ①②⑥⑨⑩… }；
分数：{ ③⑦⑧… }；
负实数：{ ②⑤⑥⑧⑩… } .
知1－讲
解法提醒
判断一个实数的类别（如有理数、无理数）应遵循：一化简，二辨析，三判断.
所有的有理数都可以化成有限小数或无限循环小数，而无理数只能化成无限不循环小数．
知1－讲
知识点
实数与数轴
感悟新知
2
1.实数与数轴上的点的关系：实数和数轴上的点一一对应.

特别提醒
1. 在数轴上表示无理数时，一般只能通过估算标出其对应点的大致位置.
2. 借助数轴上的点可以把实数直观地表示出来，数轴上的任意一点表示的数，不是有理数就是无理数.
知2－讲
感悟新知
(1)“一一对应”包含着两层含义：
①每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；
②数轴上的每一个点都表示一个实数.
(2)数轴上两点间的距离可用两点所表示的实数来表示. 即若点A，点B 在数轴上表示的数为x1，x2，则AB=|x1－x2|.
知2－讲
感悟新知
2. 利用数轴比较实数的大小：对于数轴上的任意两个点，右边的点表示的实数总比左边的点表示的实数大 .



知2－讲
感悟新知
用“＜”连接下列各数：－， ，－2 ，2.5，0.
解题秘方：比较一组实数的大小和比较一组有理数的大小一样，可先将这些数在数轴上表示出来，然后根据“在数轴上，右边的点表示的数总比左边的点表示的数大”进行比较.
例 2
考向：利用数轴比较实数的大小
知2－讲
感悟新知
解：将表示各数的点的大致位置在数轴上表示出来，如图2.3 -1 所示.
由图可知， －2<－<0< <2.5.
知2－讲
方法点拨
根据“实数和数轴上的点一一对应”，并且“在数轴上，右边的点表示的数总比左边的点表示的数大”，我们可以利用数形结合思想比较实数的大小.
知2－讲
感悟新知
知识点
实数的性质
感悟新知
3
1. 相反数：实数a 的相反数为- a，若a，b 互为相反数，则a+b= 0 .
2. 倒数：非零实数a 的倒数为，若a，b 互为倒数，则ab= 1 .
知3－讲
感悟新知
3. 绝对值：正实数的绝对值是它本身，负实数的绝对值是它的相反数，0 的绝对值是0 . 设a 表示一个实数，则 |a|=
知3－讲
特别提醒
1.在有理数范围内的一些基本概念(如相反数、倒数、绝对值)和性质在实数范围内依然适用.
2.对实数的有关概念进行辨析时，错误的说法只需举一个反例即可.
感悟新知
知3－讲
感悟新知
[母题 教材P41练习T3 ]求下列各数的相反数、倒数和绝对值：
(1) ； (2)－ ； (3) － π； (4) －2.
解题秘方：利用实数的性质求相反数、倒数和绝对值.
例3
考向：利用实数的性质解决相关问题
知3－讲
感悟新知
解：(1) 的相反数是－ ，倒数是， | | = .
(2)－ 的相反数是 ， － 的倒数是－， |－ |= .
(3) － π π，－ π倒数是倒数是－
= .
(4) -2 的相反数是2 -， -2 的倒数是，
| -2 |=2 - .
感悟新知
特别提醒
1. 求一个数的相反数，就是在这个数前面添上“-”.
2. 求一个数的绝对值时，首先要判断所求数的符号，然后根据“正数的绝对值等于它本身，负数的绝对值等于它的相反数，0的绝对值等于0”写出这个数的绝对值.
知3－讲
知识点
实数的运算
感悟新知
4
1. 在实数范围内，进行加、减、乘、除、乘方和开方运算时，有理数的运算法则和运算律仍然适用；实数混合运算的运算顺序与有理数混合运算的运算顺序一样，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，同级运算按照自左向右的顺序进行，有括号先算括号里面的.
知4－讲
感悟新知
2. 实数的运算律：
(1)加法交换律：a＋b=b＋a；
(2)加法结合律：(a＋b)＋c=a＋(b＋c) ；
(3)乘法交换律：ab=ba；
(4)乘法结合律： (ab)c=a (bc) ；
(5)乘法对加法的分配律：a (b+c)=ab+ac， (b+c)a=ab+ac；
知4－讲
感悟新知
(6)实数的减法运算规定为a- b=a+ (- b)；
(7)实数的除法运算规定为a÷b=a·(b ≠ 0)；
(8)如果a ≠ 0，b ≠ 0，那么ab ≠ 0；
(9)若ab= 0 ，则a= 0 ，或b= 0 .
知4－讲
感悟新知
3. 在实数范围内，每个正实数a 有且只有两个平方根，分别为± ，且它们互为相反数，其中 是a 的算术平方根；
0 的平方根是0；负实数没有平方根.
当a 为非负实数时，根据平方根的定义得()2=a，(- )2=a.
设a 是非零实数，由于 (- a)2=a2，因此a 和- a 是a2 的两个
平方根.
每个实数a 有且只有一个立方根，记作 ，且 ()3=a.
知4－讲
感悟新知
4. 实数也可以比较大小，对于实数a，b：
若a-b>0，则称a 大于b(或者b 小于a)，记作a>b (或b若a-b<0，则称a 小于b (或者b 大于a)，记作aa ) ；
若a- b= 0 ，则称a 等于b，记作a=b.
知4－讲
感悟新知
要注意的是，对于任何实数a，b，在a>b，a=b，a< b 这三种关系中，有且只有一种成立，对于实数有：正实数大于一切负实数；两个负实数，绝对值大的数反而小；数轴上右边的点表示的实数比左边的点表示的实数大.
知4－讲
感悟新知
一般地，对于两个正实数a，b，若a>b，则 > ，反过来也成立. 对于两个正实数a，b，若a>b，则 > ，反过来也成立.
知4－讲
感悟新知
特别提醒
有理数的运算律在实数范围内仍然适用，在进行实数运算的过程中，要做到：
一“看”——看算式的结构特点，能否运用运算律或公式；
二“用”——运用运算律或公式；
三“查”——检查过程和结果是否正确.
▲▲
▲▲
▲▲
知4－讲
感悟新知
考向：利用实数的运算法则及运算律进行计算
题型1 实数大小的比较
解题秘方：先求出这两个数的差，再与0 比较大小.
例 4
比较与 的大小.
知4－讲
感悟新知
解：(方法一：作差法) = = .
由于 -2 <0，因此 <0 ，即 <0，
因此 <
(方法二：分析法)由于3 <4，因此 < ，即 <2 .
因此 < . 因此 < .
知4－讲
方法点拨
实数大小比较的方法：
（1）估算法；（2）作差法；
（3）分析法；（4）平方法；
（5）开方法；（6）特殊值法；
（7）作商法.
知4－讲
感悟新知
题型2 实数的估算
解题秘方：本题考查无理数、根式等知识. 由a，b 均为正整数，且a> ，b>，推出a>3，b>2，由此即可解决问题.
例 5
若a，b 均为正整数，且a> ，b>，则a+b 的最小值是( )
A. 6 B. 7 C. 8 D. 9
知5－讲
感悟新知
知5－练
解：因为9 <1 3 <1 6 ，所以3 < <4.
又因为a> ，且a 为正整数，所以a 的最小值为4 .
因为8 <9<2 7 ，所以2 < <3 .
又因为b> ，且b 为正整数，所以b 的最小值为3 .
所以a+b 的最小值是7 .
答案：B
思路点拨
先根据平方根和立方根估算出a，b的范围，再确定a，b的最小整数值，即可解答.
知5－讲
感悟新知
题型3 实数的运算
解题秘方：在进行实数的运算时，有理数的运算法则及运算律同样适用.
例 6
计算：
(1) ( + ) (-1) (结果精确到0.01)；
(2) (-1)2 025+ + +| -3|.
知5－讲
感悟新知
解： (1) 原式≈ (1 .7 3 2 +2 .2 3 6) ×(1 .4 1 4 -1)
=3 .9 6 8×0 .4 1 4
≈ 1 .64.
（2）原式= -1 + + 5 +3 - = 7.
知5－讲
特别提醒
实数的运算顺序和有理数的运算顺序相同.实数运算中无理数可取近似值转化为有理数参与计算，中间结果所取的近似值要比结果要求的近似值多一位小数.
知5－讲
实数
实数
有理数
数轴
性质
运算
定义
无理数(共28张PPT)
2.2 立方根
第二章 实数
知识点
立方根
知1－讲
感悟新知
1
1. 定义：如果有一个数b，使得b3=a，那么b 叫作a 的一个立方根，也叫作三次方根 .
表示方法：a 的立方根记作a 3 ，读作“立方根号a”或“三次根号a”..
知1－讲
感悟新知
特别警示：1. 中的3不能省略，若省略了3，a表示非负数a的算术平方根而非a的立方根.
2. 任何数都可以开立方，即在中，a可以是任意数.
2. 开立方：求一个数的立方根的运算，叫做开立方.
特别解读：立方根与开立方的关系：立方根是一个数，是开立方的结果；而开立方是求一个数的立方根的运算.

感悟新知
知1－练
[母题 教材P35例1]分别求下列各数的立方：
(1)－512； (2) － 0.729；(3) － 2 .
例 1
解题秘方：利用立方根的定义求解.
解：(1) 由于 (－ 8)3= － 5 1 2 ，因此 =－8.
考向：利用立方根的定义解题
题型1 利用立方根的定义求立方根
感悟新知
知1－练
(2)由于(0 . 9)3= 0.729 ，因此 = 0.9 .
先化成假分数，再求立方根.
(3)2 = ，由于()3= ，
因此3 = .
知1－练
特别解读：开立方与立方互为逆运算，根据这种关系，可以求一个数的立方根.
感悟新知
感悟新知
知1－练
[月考·衡阳蒸湘区] 已知5a+2 的立方根是3，3a+b-1
的算术平方根是4，求ab 的平方根.
解题秘方：一个数等于它的算术平方根的平方，一个数等于它的立方根的立方.
例2
题型2 利用立方根的定义求值
感悟新知
知1－练
解：由于5 a+ 2 的立方根是3，3 a+b- 1 的算术平方根是4，因此解得
因此ab ＝ 52 ＝ 2 5 .
由于2 5 的平方根为±5，因此ab 的平方根为±5 .
思路点拨：根据立方根和算术平方根的定义列出关于a，b 的方程组，解方程组求出a，b 的值，再根据平方根的定义求出ab 的平方根．
感悟新知
知识点
立方根的性质
知2－讲
感悟新知
2
1. 性质：(1)正数的立方根是正数；(2)负数的立方根是负数；(3)0的立方根是0；(4)3=－ 3 ；(5)(3)3=a.


特别解读
1. 立方根是它本身的数只有0 和±1.
2. 利用“3 =－ 3 ”可以把求一个负数的立方根转化为求一个正数的立方根的相反数.
3.(3)3= 3 =a.


知2－讲
感悟新知
2. 平方根与立方根的比较：
平方根 立方根
区 别 定义 如果有一个数r，使得 r2=a， 那么r 叫作a 的一个平方根，也叫作二次方根 如果有一个数b， 使得
b3=a，那么b 叫作a 的一个立方根，也叫作三次方根
性质 正数有两个平方根，它们互为相反数 正数有一个立方根，仍为正数
负数没有平方根 负数有一个立方根，仍为负数
知2－讲
感悟新知
平方根 立方根
区别 表示方法 ± (a≥0) 3(a 为任意数)
联 系 ①开平方与开立方都与相应的乘方运算互为逆运算 ② 0 的平方根和立方根都是0 感悟新知
知2－练
[母题 教材P37习题T3]计算：
(1) ； (2) ；
(3) - ÷ +.
例 3
考向：利用立方根的性质解题
题型1 利用立方根的性质计算
感悟新知
知2－练
解：(1) = =－15；
(2) = = =
解题秘方：根据立方根的性质进行化简计算.
(3) - ÷ + =2÷ +1 =2× +1=
先化成假分数，再开平方.
感悟新知
知2－练
解法提醒
进行开平方或开立方运算时，若根号内不是单独的一个数，则需先化简，再进行运算.
感悟新知
知2－练
已知3和3 互为相反数，且x-y+4 的平方
根是它本身，求x+y 的算术平方根.
解题秘方：根据两个数的立方根互为相反数，则这两个数互为相反数求解.
例4
题型2 利用立方根的性质求字母的值
感悟新知
知2－练
解：由于3和3 互为相反数，因此y-1 ＝ -(3-2x).
由于x- y+ 4 的平方根是它本身，因此x- y+ 4 ＝ 0 .
联立方程组，得解得
因此x+y= 1 6 . 因此x+y 的算术平方根是4 .
感悟新知
知2－练
知识储备
正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0.互为相反数的两个数的立方根互为相反数.
知识点
用计算器求一个数的立方根
知3－讲
感悟新知
3
用计算器可以求一个数的立方根或它的近似值，按键顺
序为先按 键，再按数字键，最后按 键，根据显示结果写出立方根或它的近似值.
知3－讲
感悟新知
特别警示
不同型号的计算器按键的顺序可能不同，使用计算器时，一定要按说明书操作.
感悟新知
知3－练
[母题 教材P36例2、例3] 用计算器求下列各数的立方根：
(1) 216； (2) 100 (结果精确到0.01)；
(3) -13.27 (结果精确到0.001).
解题秘方：根据用计算器求立方根的步骤进行按键操作.
例 5
考向：利用计算器求立方根
题型1 利用计算器求立方根
感悟新知
知3－练
解：(1) 依次按键：
显示结果：6 . 所以 = 6 .
(2) 依次按键：
显示结果：4 . 6 4 1 5 8 8 8 3 4 . 所以 ≈ 4 . 6 4 .
知3－练
(3)依次按键： 13.27 ，
显示结果：- 2 . 3 6 7 5 0 1 7 4 4 . 所以≈ - 2 . 3 6 8 .
感悟新知
感悟新知
知3－练
解法提醒
利用互为相反数的两个数的立方根互为相反数这一关系，可以在求一个负数的立方根时，用计算器先求这个负数的绝对值的立方根，再在这个负数的绝对值的立方根前面加负号，从而得这个负数的立方根.
感悟新知
知3－练
比较下列各组数的大小：
(1) 与 ； (2) - 与-3.4； (3) 与2.
解题秘方：可以用计算器求出各个数的近似值进行比较，也可以借助中间值进行比较，还可以用立方法进行比较，根据实际情况采用适当的方法即可.
例 6
题型2 用适当的方法比较大小
感悟新知
知3－练
解：(1) 用中间值法：由于2= < ，2= > ，
因此 > .
(2) 用计算器求值法：由于 ≈ 3.476>3.4，因此 - < -3.4.
另解 | - |= , |-3.4|=3.4.
因为( )3=42， 3.43=39.304，42>39.304，
所以 >3.4. 所以- <-3.4.
感悟新知
知3－练
(3) 用立方法：由于 ( )3=6，23=8，6<8，
因此<2.
立方根
立方根
定义
性质
正数的立方根是正数
0 的立方根是0
负数的立方根是负数(共53张PPT)
2.1 平方根
第二章 实数
知识点
平方根及其性质
感悟新知
1
1. 平方根的定义：如果有一个数r，使得r2=a，那么r 叫作a 的一个平方根，也叫作二次方根. 这就是说，若r2=a，则r 是a 的一个平方根.
表示方法：正数a 的平方根记作± a ，读作“正、负根号a”.
知1－练
感悟新知
2. 平方根的性质：
(1)正数有两个平方根，且它们互为相反数；
(2) 0 的平方根就是0 本身；
(3)负数没有平方根.
3. 开平方：求一个非负数的平方根的运算，叫作开平方. 这个非负数叫作被开方数.
知1－练
特别解读
1. 平方根的定义中a是非负数，即a≥0.
2. 平方与开平方是互逆运算，平方的结果叫做幂，而开平方的结果叫做平方根.
3. 一般地，如果r是正数a的一个平方根，那么a的平方根有且只有两个：r与-r.
知1－练
感悟新知
[母题 教材P30例1]分别求下列各数的平方根：
(1)121；(2)2 ；(3) 1.69；(4)－(－9)3.
例1
解题秘方：先根据平方运算找出平方等于这个数的数，然后根据平方根和算术平方根的定义确定.
题型1 利用平方根的定义求一个正数的平方根
知1－练
感悟新知
解：(1)由于(±11)2=121，
因此121 的平方根是±11，即± = ± 1 1 .
(2) 2= ，
由于(±)2= ，
因此的平方根是± ，即± =± .
带分数要先化成假分数，
再求平方根.
知1－练
感悟新知
(3) 由于(± 1 . 3)2= 1 . 6 9 ,
因此1 . 6 9 的平方根是± 1 . 3 ，即± = ± 1 . 3 .
(4) – (- 9)3= 7 2 9 . 由于(± 2 7)2= 7 2 9 ，
因此7 2 9 的平方根是±27，即± = ± 2 7 .
知1－练
方法点拨：求一个正数的平方根的方法：
先找出平方等于这个正数的数，这样的数有两个，它们互为相反数，因而这两个数均为这个正数的平方根. 如果一个数为带分数，一般先将其化为假分数，再求平方根；如果有乘方运算，那么先求出乘方运算的结果，针对结果再求平方根；如果一个正数a不能写成有理数的平方的形式，那么可以将a的平方根表示成± .
知1－练
感悟新知
求下列各式中x 的值：
(1)x2=16；(2)9x2－49=0；(3) (x－5)2=8.
例2
解题秘方：若x2=a(a ≥ 0)，则x=± . 先把各题化为x2=a 的形式，再求x 的值.
题型2 利用平方根的定义解方程
知1－练
感悟新知
解：(1)因为x2=16，开平方，得x=± =±4.
(2)因为9x2－49=0，所以x2= ，
开平方，得 x=±=±.
知1－练
感悟新知
(3)因为(x－5)2=8，所以(x－5)2=16.
开平方，得x- 5 = ± 4 .
当x－5=4 时，x=9；当x－5=－4 时，x=1.
综上所述，x=9 或x=1.
知1－练
感悟新知
方法点拨
利用平方根的定义解方程的一般步骤：
1. 移项，使含未知数的项在等号的一边，常数项在等号的另一边；
2. 系数化为1，将方程化为“x2=a”的形式；
3. 根据平方根的性质求出未知数x的值.
知1－练
感悟新知
(1) 若a+1 和a+3 是正数m 的平方根，求m 的值；
(2)已知2a+3 的平方根是±3，5a+2b-1 的平方根是±4，
求3a+2b 的平方根.
解题秘方：根据平方根的性质列方程（组）求解.
例 3
题型3 利用平方根的性质求字母的值
知1－练
解：(1)因为a+1 和a+3 是正数m 的平方根，且a+1 ≠ a+3, 所以a+ 1 + a+ 3 = 0，解得a= - 2 . 所以a+ 1 = - 1，a+ 3 = 1 .
因为1 和- 1 是1 的平方根，所以m= 1 .
知1－练
(2) 因为2a+3 的平方根是±3，5a+2b-1 的平方根是±4，
所以解得
所以3 a+2b= 3 × 3 + 2 × 1 = 1 1 .
又因为1 1 的平方根是± ，
所以3 a+2b 的平方根是± .
知1－练
解法提醒
一个正数的平方根有两个，这两个平方根互为相反数.
知1－练
知识点
算术平方根及其性质
感悟新知
2
1. 定义：正数a 的正平方根叫作a 的算术平方根，记作，读作“根号a”.
特别解读：(1)算术平方根具有双重非负性
①被开方数a 是非负数，即a ≥ 0；
②算术平方根是非负数，即 ≥ 0.
(2)算术平方根是它本身的数只有0 和1.
知2－练
感悟新知
特别提醒
●求一个正数的算术平方根与求一个正数的平方刚好是互逆的两个运算；
●任何一个数的平方都是非负数，所以求算术平方根时，被开方数必须是非负数，算术平方根也一定是非负数.
▲▲
知2－练
感悟新知
2. 性质：(1)正数的算术平方根是一个正数；
(2)0 的算术平方根是0；
(3)负数没有算术平方根；
(4)被开方数越大，对应的算术平方根也越大.
知2－练
感悟新知
3. 平方根与算术平方根的区别与联系：
平方根 算术平方根
区 别 定义不同 如果有一个数r，使得r2=a，那么r 叫作a 的一个平方根，也叫作二次方根 正数a 的正平方根叫
作a 的算术平方根
个数 不同 一个正数的平方根有两个，它们互为相反数 一个正数的算术平方根只有一个
感悟新知
平方根 算术平方根
区 别 表示方法不同 正数a 的平方根表示为± 正数a 的算术平方根表示为
取值范围不同 正数的平方根是一正一负 正数的算术平方根一
定是正数
知2－练
感悟新知
平方根 算术平方根
联 系 具有包含关系 平方根包含算术平方根，算术平方根是平方根中正的那个(0 除外) 存在条件相同 只有非负数才有平方根和算术平方根，0 的平方根与算术平方根都是0
知2－练
感悟新知
拓展提醒
●两个重要公式：
1.( )2=a(a ≥ 0)；
2. =|a|=
a(a ≥ 0)，
－a(a ＜ 0).
知2－练
感悟新知
●比较( )2 与的关系：
() 2
区 别 运算 顺序 先开方再求平方 先求平方再开方
a 的取值围 a ≥ 0 全体数
联系 当a ≥ 0 时，() 2=
知2－练
感悟新知
[母题 教材P30例2 ] 求下列各数的算术平方根.
(1)64； (2)2 ；(3)0.36；(4)52；(5)(－9)2；
(6)0； (7) ； (8)7.
例 4
解题秘方：先根据平方运算找出平方等于这个数的非负数，然后根据算术平方根的定义求出算术平方根.
考向： 利用算术平方根的定义及性质解决问题
题型1 求一个数的算术平方根
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知识储备
1. 求带分数的算术平方根时，先将带分数化成假分数，再求算术平方根.
2. 求一个数的算术平方根必须明确两点：
(1) 这个数是非负数；
(2) 求出的算术平方根（结果）必须是非负数.
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解：(1) 因为82=64， 所以 =8；
(2)因为2= ，()2= ，所以= ；
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(3) 因为0.62=0.36， 所以=0.6；
(4) 5 2 的算术平方根是5，即 =5 .
(5) 92= (-9 )2，所以(-9 )2的算术平方根是9，即 =9.
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(6) 0 的算术平方根是0，即0 =0 .
(7)因为=9，3 2=9，
所以的算术平方根是3，即 =3 .
(8)7 的算术平方根是；
不要误认为是求81 的算术平方根.
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特别提醒
如果一个数a （ a >0）不能写成有理数的平方的形式，那么它的算术平方根可表示为 .
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方法点拨
本题运用了定义法.首先根据算术平方根的定义求出m，n的值，再求出m-n 的值，最后根据算术平方根的定义得出结果.
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已知m-3 的算术平方根是3， n+1 =2，求m-n 的算术平方根.
解题秘方：根据已知条件求出m，n 的值，然后求m- n 的算术平方根.
例 5
题型2 已知一个数的算术平方根求这个数
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解：由于m-3 的算术平方根是3，
所以m-3 =3 2，解得m=1 2 .
由于 =2，所以n+1 =4，解得n=3 .
所以m- n=1 2 -3 =9.
由于 ==3，
所以m- n 的算术平方根是3 .
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[母题 教材P33习题T3] 求下列各式的值：
(1) ±； (2) - ； (3).
解题秘方：首先观察式子的结构特点，弄清式子所表示的意义，即要明确是求算术平方根还是求平方根，然后根据算术平方根或平方根的定义求解.
例 6
题型3 利用平方根或算术平方根的定义求值
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解：(1) ±表示的平方根.
由于(±)2 = = ，
因此的平方根是±. 因此±=±.
解法提醒
求的平方根时易误将的整数部分1和分数部分分别求平方根，导致错解.
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(2) 表示0 . 8 1 的算术平方根， 表示 0.04 的算术平方根，
由于0.92=0.81，0.22=0.04，
因此=0.9， =0.2.
因此- = 0 . 9 - 0 . 2 = 0 . 7 .
特别警示
表示0.81的算术平方根，而0.81的算术平方根是0.9.本题容易误认为表示0.81
的平方根导致错误.
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(3) 表示4 1 2-4 0 2的算术平方根，由于4 1 2-4 0 2 =8 1 ，9 2=8 1 ，
因此 = = 9 .
412-402 是一个整体，首先要将412-402 化简，再去计算化简后结果的算术平方根.
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知识点
无理数
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3
1. 定义：若一个数是一个无限不循环小数或可以表示成一个无限不循环小数，则把这个数叫作无理数.
判断标准：小数位数无限，小数部分的数字不循环.
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2. 三种常见形式
(1) 开方开不尽的数，如 ， ，… ；
(2) 含有π 的一类数，如2 π，π+1，… ；
(3) 以无限不循环小数的形式出现的具有特定结构的数，如0.1 0 1 0 0 1 0 0 0 1…(相邻两个1 之间0 的个数逐次加1).
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特别解读
1. 无理数都是无限小数，但无限小数不一定是无理数，只有无限不循环小数才是无理数.例如：0.3是无限小数，但不是无理数.
2. 带根号的数不一定是无理数.例如： 就不是无理数.
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3. 无理数与有理数的区别
(1) 有理数是有限小数或无限循环小数，而无理数是无限不循环小数；
(2)所有的有理数都可以写成分数的形式（整数可以看成是分母为1 的分数），而无理数不能写成分数的形式.
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[期末·西安高新区]下列各数：3.141 59， ，， ，- ，0.121 221 222 1…（相邻两个1 之间2 的个数逐次加1），其中无理数有__________个.
解题秘方：根据无理数的定义进行辨析.
例7
考向： 利用无理数的定义识别无理数
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解：由于3.141 59 是有限小数，因此3.141 59 是有理数.
由于是无理数，因此 +1 是无理数.
由于是分数，因此是有理数.
由于π 是无理数，因此是无理数.
由于- =-3，因此- 是有理数.
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由于0 .1 2 1 2 2 1 2 2 2 1…（相邻两个1 之间2 的个数逐次加1）是无限不循环小数，
因此0 .1 2 1 2 2 1 2 2 2 1…（相邻两个1 之间2 的个数逐次加1）是无理数.
因此无理数有3 个.
答案：3
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知识点
算术平方根的估算
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4
1. 求一个正数(非平方数)的算术平方根的近似值，一般采用夹逼法 .
“夹”就是从两边确定取值范围；“逼”就是一点一点加强限制，使其所处范围越来越小，从而达到理想的精确程度.

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2. 大多数计算器都有 键，用它可以求出一个正有理数的算术平方根(或其近似值). 按键顺序：先按 键，再输入被开方数，最后按 键. 计算器上就会显示这个数的算术平方根(或其近似值).
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特别解读
计算器显示屏显示的数值中，许多都是近似值.
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的值介于( )
A. 30 与35 之间 B. 35 与40 之间
C. 40 与45 之间 D. 45 与50 之间
例 8
解题秘方：找出与2 0 2 6 接近的两个平方数，从而确定2 0 2 6 的算术平方根的取值范围.
考向： 利用估算解决算术平方根问题
题型1 利用估算法求算术平方根的取值范围
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解：由于2 0 2 5 < 2 0 2 6 < 2 5 0 0 .
因此< < ，
即4 5 < < 5 0 .
答案：D
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教你一招
确定a 的整数部分的方法：
根据算术平方根的定义，有m2知4－练
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[母题 教材P34习题T9]已知 ≈2.676， ≈8.462，
(1) ≈ ______， ≈ ______.
(2) ≈ ______ ， ≈ ______.
例 9
题型2 利用计算器探究算术平方根的规律
解题秘方：可利用计算器求出各个算术平方根，对照根号内的数和算术平方根寻找小数点移动的规律.
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解：利用计算器探究发现：根号内的数的小数点每向左（或向右）移动两位，其算术平方根的小数点就相应地向左（或向右）移动一位.
答案：(1) 0 . 2 6 7 6 ；2 6 . 7 6
(2)0 . 8 4 6 2 ；8 4 . 6 2
平方根
平方根
算术平方根
性质
正数有两个互为相反数的平方根
0 的平方根是0
负数没有平方根