辽宁省点石联考2024-2025学年高二（上）期末数学试卷（含答案）

辽宁省点石联考 2024-2025 学年高二（上）期末数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1 1
1.已知空间向量 = (1, , )， = ( 3,2,1)(其中 > 0， > 0)，若 ⊥ ，则 + 最小值是( )
2
1 2 4
A. B. C. 2 D.
3 3 3
2.国庆期间，中华世纪坛举办“传奇之旅：马可 波罗与丝绸之路上的世界”展览，现有8个同学站成一排进
行游览参观，若将甲、乙、丙3个同学新加入排列，且甲、乙、丙互不相邻，保持原来8个同学顺序不变，
则不同的方法种数为( )
A. 84 B. 120 C. 504 D. 720
3.已知两条直线 1：( 1) + 1 = 0和 2：2 + + 1 = 0，若 1// 2，则 1与 2之间的距离为( )
3√ 2
A. B. √ 2 C. 2 D. 3√ 2
4
4.在棱长为2的正方体 1 1 1 1中， ， 分别是棱 ， 的中点，则异面直线 1 与 1 所成角
的余弦值为( )
√ 5 √ 5 4√ 5 2√ 5
A. B. C. D.
10 5 15 5
5.已知抛物线 2 = 2 的焦点为 (1,0)， 为抛物线上一点，若 (2,1)，则| | + | |的最小值为( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
6.已知离散型随机变量 的分布列如下，若 (12 + 2) = 9，则 ( ) =( )
1 0 2
1 1 1

6 4 4
11 13 155 49
A. B. C. D.
12 12 144 144
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7.某高中为了解学生的肥胖是否与经常饮用碳酸饮料有关，现对400名高二学生进行了问卷调查，学生饮用
1 1
碳酸饮料的统计结果如下：学校有 的学生每天饮用碳酸饮料不低于500毫升，这些学生的肥胖率为 ，每天
4 3
2
饮用碳酸饮料低于500毫升的学生的肥胖率为 .若从该中学高二的学生中任意抽取一名学生，则该学生肥胖
9
的概率为( )
1 1 3 7
A. B. C. D.
4 2 4 12
8.如图， ⊥平面 ， ⊥ ， // ， // ， = = = 2 = 2 = 2，点 为 的
中点，若
1
= ，则 到平面 的距离为( )
3
√ 3 √ 2 √ 2 √ 3
A. B. C. D.
2 3 2 3
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
1 3
9.假设 ， 是两个事件，且 ( ) = ， ( ) = ， ( | ) = ( )，则( )
2 4
3 3 1 5
A. ( ) = B. ( ) = C. ( | ) = D. ( + ) =
8 8 2 8
10.现有8名师生站成一排照相，其中老师2人，男学生4人，女学生2人，则下列说法正确的是( )
A. 4个男学生排在一起，有1440种不同的排法
B. 老师站在最中间，有1440种不同的排法
C. 4名男学生互不相邻，男学生甲不能在两端，有1728种不同的排法
D. 2名老师之间要有男女学生各1人，有3840种不同的排法
11.已知圆 ：( )2 + 2 = 1与直线 + + 1 = 0交于 , 两点，点 为线段 的中点， 为坐标原点，
1
直线 的斜率为 ，圆 与 轴交于 , 两点，点 是圆 上异于 , 的任意一点，直线 , 分别交 : = 4
3
于 , 两点，则下列说法正确的是( )
A. = 2
B. 线段 的长度为√ 2
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√ 2
C. 的面积为
2
D. 当点 变化时，以 为直径的圆过圆 内的一定点( 4 + √ 3, 0)
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.( + )5( 2 2)的展开式中， 3 4的系数是 . (用数字作答)
13.已知抛物线 ： 2 = 4 的焦点为 ，过直线 ： + 2 = 0上的点 作抛物线 的两条切线 ， ，切
点分别为 ， ，则| | + | |的最小值为 ．
2 2
14.已知双曲线 ： 2 2 = 1( > 0, > 0)的左、右焦点分别为 1( , 0)， 2( , 0)，直线 ： + = 0
与 相交于点 ，若| 1| ≥ 8| 2|，则离心率 的取值范围为 ．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
现有一堆颜色不同，形状相同的小球在甲、乙两个完全相同的袋中，其中甲袋中有4个红色小球，2个白色
小球，乙袋中有3个红色小球，1个白色小球．
(1)先从甲、乙两袋中任取一袋，然后在所取袋中任取一球，求取出的是红球的概率；
(2)将甲、乙两袋合为一袋，然后在袋中任取3球，设所取3个球中红球的个数为 ，求 的分布列及期望值．
16.(本小题15分)
已知抛物线 ： 2 = 2 ( > 0)经过点 (1, 0)( 0 > 0)， 为焦点，且| | = 2．
(1)求 的方程及 0；
(2)设 为原点，过 作斜率不为0的直线 交 于 ， 两点，直线 = 1分别交直线 ， 于 ， .证明：
以 为直径的圆经过 轴上的两个定点．
17.(本小题15分)
如图甲，已知正方形 的边长为4， ， 分别为 ， 的中点，沿 将长方形 折起，与平面
形成60 的二面角，如图乙所示，点 在线段 上且不与点 ， 重合．
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(1)若直线 与由 ， ， 三点所确定的平面相交，交点为 ， ⊥ ，求 的长度及此时点 到平面
的距离；
(2)若
3
= ，求平面 与平面 所成角的正弦值．
4
18.(本小题17分)
某工厂为了提高精度，采购了一批新型机器，现对这批机器的生产效能进行测试，对其生产的第一批零件
的直径进行测量，质检部门随机抽查了100个零件的进行统计整理，得到数据如下表：
零件直径(单位：厘米) [1.0,1.2) [1.2,1.4) [1.4,1.6) [1.6,1.8) [1.8,2.0]
零件个数 10 25 30 25 10
已知零件的直径可视为服从正态分布 ( , 2)， ， 2分别为这100个零件的直径的平均数及方差(同一组区
间的直径尺寸用该组区间的中点值代表)．
参考数据：√ 0.052 ≈ 0.228；若随机变量 ( , 2)，则 ( ≤ ≤ + ) ≈ 0.6827，
( 2 ≤ ≤ + 2 ) ≈ 0.9545， ( 3 ≤ ≤ + 3 ) ≈ 0.9973．
(1)试估计这批零件直径在[1.044,1.5]的概率；
(2)以频率估计概率，若在这批零件中随机抽取4个，记直径在区间[1.2,1.4)内的零件个数为 ，求 的分布列
及数学期望；
(3)若此工厂有甲、乙两台机器生产这种零件，且甲机器的生产效率是乙机器的生产效率的3倍，甲机器生
产的零件的次品率为0.3，乙机器生产的零件的次品率为0.2，现从这批零件中随机抽取一件.若检测出这个零
件是次品，求这个零件是甲机器生产的概率．
19.(本小题17分)
2 2 √ 3
已知椭圆 ： 2 + 2 = 1( > > 0)的右焦点为 (√ 3, 0)，且点 (1, )在 上. 2
(1)求 的方程；
(2)若 ( 1,0)， (1,0)，点 为 上一点.设直线 与 的另一个交点为点 ，直线 与 的另一个交点为点
.设 = 1 ， = 2 ，证明：当点 在 上运动时， 1 + 2为定值．
(3)若经过圆 ： 2 + 2 = 5上一动点 作 的两条切线，切点分别记为 ， ，直线 ， 分别与圆 相交
于异于点 的两点.求 的面积的取值范围．
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1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】 5
13.【答案】5
√ 77
14.【答案】(1, ]
7
15.【答案】解：(1)
1
设事件 为“取出的是红球”，事件 1为“取到甲袋”，事件 2为“取到乙袋”，则 ( 1) = ( 2) = ，2
2 3
( | 1) = ， ( | 2) = ， 3 4
1 2 1 3 17
则. ( ) = ( 1) + ( 2) = ( 1) ( | 1) + ( 2) ( | 2) = × + × = ． 2 3 2 4 24
(2)
合为一袋后，有7个红球和3个白球，则 的取值范围为{0,1,2,3}，
0 3 1
( = 0) = 7 33 = ； 10 120
1 2
( = 1) = 7
3 7= ；
310 40
2 17 3 21 ( = 2) =
3
= ；
40
10
3 0 7
( = 3) = 7 3 = ．
3 2410
则分布列为
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0 1 2 3
1 7 21 7

120 40 40 24
1 7 21 7 21
所以 ( ) = 0 × + 1 × + 2 × + 3 × = ．
120 40 40 24 10
16.【答案】解：(1)
因为抛物线 ： 2 = 2 ( > 0)经过点 (1, 0)， 为抛物线的焦点，且| | = 2，

所以由抛物线的定义，可得 + 1 = 2，解得 = 2，所以 2 = 4 ，
2
又因为 的横坐标为1，
所以 20 = 4 × 1 = 4，解得 0 = ±2，
又 0 > 0，所以 0 = 2．
(2)
因为直线 的斜率不为0，焦点坐标为(1,0)，
设直线 的方程为 = + 1．
与抛物线方程 2 = 4 联立可得 2 4 4 = 0.故 1 + 2 = 4 ， 1 2 = 4．
1 1 1+ 2 1 1 1 2 √ 16
2+16
可得 + = = ，| | = | | = = √ 2 + 1，
1 2 1 2 1 2 1 2 4
2 2 4 4
设 ( 1 , )， ( 21 , 2)，则 = ， 4 4 = ， 1 2
4
可得直线 的方程为 = ，
1
4 4
与 = 1联立，可得 ( 1, )，同理可得 ( 1, )．
1 2
2 2 2 2
易知以 为直径的圆的圆心坐标为( 1, ) = ( 1,2 )，圆的半径为| | = 2√ 2 + 1，
1 2 1 2
则圆的方程为( + 1)2 + ( 2 )2 = 4( 2 + 1)．
令 = 0，整理可得 2 + 2 3 = 0，解得 1 = 3， 2 = 1
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即以 为直径的圆经过 轴上的两个定点( 3,0)，(1,0)．
17.【答案】解：(1)
由题意可知， ⊥ ， ⊥ ， ∩ = ， ， 平面 ，
所以 ⊥平面 ，同理可得 ⊥平面 ，
因为二面角 为60°，所以∠ = ∠ = 60 ，
所以由题意得 与 是全等的等边三角形，
如图，取 中点 ，连接 ，则 ⊥ ，由 ⊥平面 ，又 平面 ，所以 ⊥ ，
又 ∩ = ，所以 ⊥平面 ，所以 ⊥ ，
因为 ⊥ , ∩ = , , 平面 ，所以 ⊥平面 ，所以 ⊥ ，

所以tan∠ = tan∠ ， = ，

1 4 7 7
设 = ，则 = ， = ，所以 的长度为 ．
4 2 2 2
过 作 ⊥ 于 ，则由 ⊥平面 ，得 ⊥ ，所以 ⊥平面 ，即 的长度为点 到平面
的距离，
7

因为 = ，所以 = 2，所以 = 14， = 16， = sin60 = 8√ 3，
+2 4
所以点 到平面 的距离为8√ 3．
(2)
如图，取 的中点为 ，连接 ， ，
1
由(1)得∠ = 60 ， = = 1， ⊥ ， = √ 3，
2
因为 // ， ⊥ ，所以 ⊥ ，又 ⊥ ， ， 平面 ，
∩ = ，
所以 ⊥平面 ，因为 平面 ，所以 ⊥ ，所以直线 ， ， 两两垂直，
则以 为坐标原点， ， ， 的方向分别为 ， ， 轴正方向建立空间直角坐标系，如图所示，
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则 (0,0,√ 3)， ( 1,0,0)， ( 1,4,0)， (0,4,√ 3)， (1,3,0)，
则 = ( 1,0, √ 3)， = (2,3,0)， = (1,4,√ 3)， = (1,0, √ 3)，
= 2 + 3 = 0
设平面 的法向量 = ( , , )，则{ 1 1 11 1 1 1 ,
1 = 1 + 4 1 + √ 3 1 = 0
5 5
令 1 = 2，则 1 = 3， 1 = ，所以 1 = ( 3,2, )， √ 3 √ 3
设平面 的法向量 2 = ( 2, 2, 2)，
= + 4 + √ 3 = 0
则{ 2 2 2 2 ,
2 = 2 + √ 3 2 = 0
令 2 = 1，则 2 = √ 3， 2 = 0，所以 2 = ( √ 3, 0,1)，
4√ 3
| 1 2 | 3 1所以|cos 1 , 2 | = = = ， | 1 | | 2 | 8√ 32× 4
3
设平面 与平面 所成的角为 ，
1 2 √ 15
所以sin = √ 1 2 = √ 1 ( ) = ，
4 4
√ 15
综上所述，平面 与平面 所成角的正弦值为 ．
4
18.【答案】解：(1)
由平均数与方差的计算公式分别得
1
= × (10 × 1.1 + 25 × 1.3 + 30 × 1.5 + 25 × 1.7 + 10 × 1.9)
100
1 1
= × [10 × (1.1 + 1.9) + 25 × (1.3 + 1.7) + 30 × 1.5] = × 150 = 1.5．
100 100
1
2 = × [10 × (1.1 1.5)2 + 25 × (1.3 1.5)2 + 30 × (1.5 1.5)2 + 25 × (1.7 1.5)2 + 10
100
× (1.9 1.5)2]
1 1
= × [10 × 0.16 + 25 × 0.04 + 30 × 0 + 25 × 0.04 + 10 × 0.16] = × 5.2 = 0.052．
100 100
故 = 1.5， 2 = 0.052．
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设 表示零件直径，则 ( , 2)，即 (1.5,0.052)．
则 ( 2 ≤ ≤ + 2 ) = (1.5 2 × 0.228 ≤ ≤ 1.5 + 2 × 0.228) = 0.9545，
2 (1.044 ≤ ≤ 1.5) = 0.9545，即 (1.044 ≤ ≤ 1.5) = 0.47725．
(2)
1
由题意知，这批零件直径在[1.2,1.4)的概率为 ．
4
的取值范围为{0,1,2,3,4}，
3 4 1 0 81
则 ( = 0) = 04 ( ) ( ) = ， 4 4 256
1 3
3 1 1 27
( = 1) = 4 ( ) ( ) = ， 4 4 64
2 3
2 1 2 27
( = 2) = 4 ( ) ( ) = ， 4 4 128
3 1 1 3 3
( = 3) = 34 ( ) ( ) = ， 4 4 64
3 0 1 4 1
( = 4) = 44 ( ) ( ) = ， 4 4 256
因此可得 的分布列为
0 1 2 3 4
81 27 27 3 1

2566412864256
1
因为 服从二项分布，则 的 数学期望 ( ) = 4 × = 1．
4
(3)
设“抽取的零件为甲机器生产”记为事件 1，“抽取的零件为乙机器生产”记为事件 2，
“抽取的零件为次品”记为事件 ，
3 1
则 ( 1) = ， ( 2) = ， ( | 1) = 0.3， ( | 2) = 0.2， 4 4
3 1 11
则 ( ) = ( 1) ( | 1) + ( 2) ( | 2) = × 0.3 + × 0.2 = ， 4 4 40
3
( ) ( ) ( | ) ×0.3 9
( 1| ) =
1 = 1 1 = 4 = ，
( ) ( ) 11 11
40
9
所以这个零件是甲机器生产的概率为 ．
11
19.【答案】解：(1)
由题意知， = √ 3，则 2 = 3 = 2 2①，
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√ 3
又因为点(1, )在 上，
2
2 2
1 3 = 3
所以 2 + 2 = 1②，联立①②式可得{ 1 3 , 4 2 + 2 = 1 4
2
解得 2 = 4， 2 = 1，所以 的方程为 + 2 = 1．
4
(2)
证明：设 ( 0, 0)， ( 1, 1)， ( 2, 2)，直线 的方程为 = 1，
+1
其中 = 0 ，且 2 + 4 2
0 0
= 4，
0
= 1
联立{ 2 2 ，可得(
2 + 4) 2 2 3 = 0，
+ = 1
4
3
则 0 1 = 2
，因为 = 1 ， +4
所以( 1 0, 0) = 1( 1 + 1, 1)，所以 0 = 1 1，
( 2 +4) (
2+4) 2
01 = = 0
0 = 0，
1 3 3
1
设直线 的方程为 = + 1，其中 = 0 ，
0
( 20 +4)
2
同理可得 2 = =
0，
2 3
( 2+4) 2 ( 2+4) 2 2 2 2
所以 + = 0 + 0

= 0 [( 0
+1 1
1 2 ) + 4 + (
0 ) + 4]
3 3 3 0 0
2 2( 2+1) 2 2(4 4 20 0 0 0+1)+8
2
0 10= [ 2 + 8] = [ 2 ] = ， 3 3 30 0
10
所以 1 + 2 = 为定值． 3
(3)
设点 ( 3, 3)， ( 4, 4)，
当直线 的斜率存在时，设直线 的方程为 = ( 3) + 3，
= ( 3) + 由{ 3
2 + 4 2
,
4 = 0
消去 可得(1 + 4 2) 2 + 8 ( 3 3) + 4(
2
3 3) 4 = 0，
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= 64 2( 3
2 2 2
3) 4(1 + 4 )[4( 3 3) 4]，
由题意得 = 0，整理可得(4 2) 23 + 2
2
3 3 + 1 3 = 0，
2 22 √ 2 3
2 3 3±
√ (2 3 3) 4(4
2
3 )(1
2 2 3 ± (2 3
3) 3 3
) 4(4 3) 4
则 = 2 = 2(4 3 ) 2(4 23 )
2 3 = 3
3 3 3 3 = = = 3 ，
2(4 23 ) 4
2 2
3 4 4 3 3

所以直线 的方程为 = 3 ( 3) + 3， 4 3

化简可得 3 + 4 3 = 4
2 2 3
3 + 3，即 + 3 = 1， 4

经验证，当直线 的斜率不存在时，直线 的方程为 = 2或 = 2也满足 3 + 3 = 1， 4

同理可得直线 的方程 4 + 4 = 1， 4
3 ′ + 3 ′ = 1
因为 ( ′, ′)在直线 , 上，所以{ 4 ,
4 ′ + 4 ′ = 14
′
所以可得直线 的方程为 + ′ = 1，
4
而 在圆 2 + 2 = 5上，所以 ′2 + ′2 = 5，
′
+ ′ = 1
联立直线 与椭圆的方程{ 4 ，整理可得(3 ′2 + 5) 2 8 ′ + 16 16 ′2 = 0，
2 + 4 2 = 4
2
8 ′ 16 16 ′
则 3 + 4 = 2， 3 4 = 2 ，
5+3 ′ 5+3 ′
1 4 4
到直线 的距离 = = = ，
2 2 2
′ 2 √ ′ +16 ′ √ 5 √
2
√ 1+3 ′ + ′
16
2 2 2 2 2
′ 15 ′ + 5 64 ′ 4 (3 ′ + 5) (16 16 ′ )
| | = √ 1 + | 3 4| = √ [ ] 2 2 2
16 ′ 16 ′ 2(3 ′ + 5)
2 2
2√ 5 3 ′ +1 2√ 5(1+3 ′ )
= 42 √ 2 (3 ′ + ′
2) = 2 ．
3 ′ +5 ′ 3 ′ +5
令 = √ 1 + 3 ′2， ∈ [1,4]，
1 4 4 4
则 = | | = 2 = 4，而 + ∈ [4,5]， 2 4+ +

4
所以 的面积的取值范围是[ , 1]．
5
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