2024-2025学年吉林省长春市汽开三中高二（上）期末数学试卷（含答案）

2024-2025学年吉林省长春市汽开三中高二（上）期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.抛物线的准线方程是( )
A. B. C. D.
2.在等差数列中，，则的值是( )
A. B. C. D.
3.已知双曲线：的渐近线方程为，则的焦距等于( )
A. B. C. D.
4.过点，并且在两坐标轴上的截距相等的直线方程是( )
A. B. 或
C. D. 或
5.在各项均为正数的等比数列中，，，则公比的值为( )
A. B. C. D.
6.双曲线的左、右焦点分别是、，过作倾斜角为的直线交双曲线右支于点，若垂直于轴，则双曲线的离心率为( )
A. B. C. D.
7.小明为锻炼身体，增强体质，计划从假期第一天开始慢跑，第一天跑步公里，以后每天跑步比前一天增加的距离相同若小明打算用天跑完公里，则预计这天中小明日跑步量超过公里的天数为( )
A. B. C. D.
8.已知，是椭圆的两个焦点，点在椭圆上，当时，的面积最大，则的值是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.等差数列中，公差为，且则下列结论正确的有( )
A. B. C. D.
10.已知直线：和圆：，则( )
A. 直线恒过定点
B. 存在使得直线与直线：垂直
C. 直线与圆相交
D. 若，直线被圆截得的弦长为
11.已知椭圆的两个焦点为、，、为椭圆的左右顶点，为上一点，则下列结论正确的是( )
A. 周长为 B. 的最大值为
C. 椭圆的离心率为 D. 直线与的斜率的乘积为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若数列中的前项和为正整数，则数列的通项公式 ______．
13.在等比数列中，，前项之和，则公比的值为______．
14.已知点是抛物线上的一个动点，则点到点的距离与到该抛物线准线的距离之和的最小值为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知数列满足，且，，成等比数列，
求的通项公式；
设数列的前项和为，求的最小值及此时的值．
16.本小题分
已知顶点在原点的抛物线焦点坐标，斜率为的直线与相交于，．
求抛物线的标准方程；
若，求的方程．
17.本小题分
已知数列为等差数列，为的前项和，，．
求数列的通项公式；
设数列的前项和为，求证：．
18.本小题分
已知各项均为正数的等比数列中，，，．
求数列的通项公式；
令，求数列的前项和．
19.本小题分
已知椭圆长轴是短轴的倍，且右焦点为．
Ⅰ求椭圆的标准方程；
Ⅱ直线：交椭圆于，两点，若线段中点的横坐标为，求直线的方程及的面积．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.或
14.
15.解：，
是以公差为的等差数列，
又，，成等比数列，
，即，
解得，又，
所以的通项公式为；
由得，
所以当时，取得最小值，且最小值为．
16.解：因为顶点在原点的抛物线焦点坐标，
所以，
解得，
则抛物线的标准方程为；
设直线的方程为，，，
联立，消去并整理得，
韦达定理得，
此时，
即，
解得．
则的方程．
17.解：由题意，设等差数列的公差为，
则，
化简整理，得，
解得，
，．
证明：由可得，
，
则
，，
故对任意恒成立．
18.解：设等比数列的公比为，
因为，，
所以．
因为各项均为正数，所以解得，或．
又因为，所以是递增的等比数列，所以，．
所以数列的通项公式为．
由知．
则，
在式两边同时乘以得，，
得，即，
所以．
19.解：Ⅰ因为长轴是短轴的倍，所以．
因为焦点的坐标为，所以．
结合，
得．
所以椭圆方程为．
Ⅱ设，
由得．
则 ，且需．
因为线段中点的横坐标为，
所以 ．
解得 ，即满足
所以直线的方程为，
因为 ．
点到直线的距离．
所以的面积 ．
即的面积等于．
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