2024-2025学年江苏省徐州三中高二(上)期末
数学试卷
一、单选题:本题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题给出的选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.若方程表示圆,则实数的取值范围为( )
A. B. C. D.
2.若直线:和圆:没有交点,则过点的直线与椭圆的交点个数为( )
A. 个 B. 至多有一个 C. 个 D. 个
3.过点的圆与直线相切于点,则圆的方程为( )
A. B.
C. D.
4.如果方程表示焦点在轴上的椭圆,那么实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
5.已知等比数列满足,,则的值为( )
A. B. C. D.
6.已知数列的前项和,若,则( )
A. B. C. D.
7.如图,已知抛物线,过点和分别作斜率大于的两平行直线,交抛物线于,和,,连接交轴于点,则直线的斜率是( )
A.
B.
C.
D.
8.已知双曲线的右焦点为,左顶点为,为的一条渐近线上一点,延长交轴于点,直线经过其中为坐标原点的中点,且,则双曲线的离心率为( )
A. B. C. D.
二、多选题:本题共3小题,共18分。在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求。
9.已知等差数列的前项和为,公差,,是与的等比中项,则下列选项正确的是( )
A. B.
C. 当且仅当时,取得最大值 D. 当时,的最大值为
10.已知数列的前项和为,,,且,则下列说法正确的是( )
A. 数列的通项公式为 B. 若,则
C. 数列为等比数列 D.
11.已知点为坐标原点,直线与抛物线相交于、两点,则( )
A. B.
C. 的面积为 D. 线段的中点到轴的距离为
三、填空题:本题共3小题,共20分。
12.设为椭圆:和双曲线:的一个公共点,且在第一象限,是的左焦点,则______.
13.是公差为的等差数列的前项和,若数列也是等差数列,则______.
14.设是数列的前项和,,则______;若不等式对任意恒成立,则正数的最小值为______.
四、解答题:本题共5小题,共60分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知数列满足:.
证明:数列是等比数列;
求数列的通项公式.
16.本小题分
如图,在平面直角坐标系中,点,直线:设圆的半径为,圆心在上.
若圆心也在直线上,过点作圆的切线,求切线的方程:
若圆上存在点,使,求圆心的横坐标的取值范围.
17.本小题分
已知数列,满足,其中,.
若,.
求证:为等比数列;
试求数列的前项和.
若,数列的前项之和为,前项之和等于,试求前项之和是多少?
18.本小题分
已知椭圆的左右顶点为、,直线:已知为坐标原点,圆过点、交直线于、两点,直线、分别交椭圆于、.
记直线,的斜率分别为、,求的值;
证明直线过定点,并求该定点坐标.
19.本小题分
已知为等比数列,,记数列满足,且.
求和的通项公式;
对任意的正整数,设,求的前项的和.
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.或
14.
15.解:证明:,
,且,
数列是首项为,公比为的等比数列;
由得,则,,,,,
以上各式相加得,
.
16.解:由题设点,又也在直线上,,,
:,
由题,过点切线方程可设为即,
则,解得:,,
所求切线为或.
设点,,,,,
,即,
又点在圆上,两式相减得,
由题以上两式有公共点,,
整理得:,即,
令,则,解得:,,
解得:.
17.解:证明:,
当时,,
当时,,,
又,,,,
故数列为首项为,公比为的等比数列;
由得数列为首项为,公比为的等比数列,则,
令,记数列的前项和为,
则,,
由得,
,
故数列的前项和为;
若,则,
数列是周期为的周期数列,
设,,则,,,,
设数列的前项和为,则,
则,解得,,
,
.
18.解:由已知可得为圆的直径,则,
根据题意不妨设,,则,
所以,
所以.
证明:根据题意得直线的斜率存在,
设直线的方程为,,,
联立,得,
所以,,
,
所以,
所以,
所以,
所以,
所以,
所以,或,
当时,直线的方程为,过定点,
当时,直线的方程为,过定点,舍去.
19.解:设等比数列的公比为,
由,,
得,即,又,
得,解得,所以;
则,故;
根据题意,当为奇数时,
,
则的前项中所有奇数项之和为
,
当为偶数时,,
记的前项中所有偶数项之和为,
则;
,
两式相减并化简得,
故数列的前项和为.
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