2024-2025学年江苏省徐州市徐州三中高二（上）期末数学试卷（含答案）

2024-2025学年江苏省徐州三中高二（上）期末
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若方程表示圆，则实数的取值范围为( )
A. B. C. D.
2.若直线：和圆：没有交点，则过点的直线与椭圆的交点个数为( )
A. 个 B. 至多有一个 C. 个 D. 个
3.过点的圆与直线相切于点，则圆的方程为( )
A. B.
C. D.
4.如果方程表示焦点在轴上的椭圆，那么实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
5.已知等比数列满足，，则的值为( )
A. B. C. D.
6.已知数列的前项和，若，则( )
A. B. C. D.
7.如图，已知抛物线，过点和分别作斜率大于的两平行直线，交抛物线于，和，，连接交轴于点，则直线的斜率是( )
A.
B.
C.
D.
8.已知双曲线的右焦点为，左顶点为，为的一条渐近线上一点，延长交轴于点，直线经过其中为坐标原点的中点，且，则双曲线的离心率为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知等差数列的前项和为，公差，，是与的等比中项，则下列选项正确的是( )
A. B.
C. 当且仅当时，取得最大值 D. 当时，的最大值为
10.已知数列的前项和为，，，且，则下列说法正确的是( )
A. 数列的通项公式为 B. 若，则
C. 数列为等比数列 D.
11.已知点为坐标原点，直线与抛物线相交于、两点，则( )
A. B.
C. 的面积为 D. 线段的中点到轴的距离为
三、填空题：本题共3小题，共20分。
12.设为椭圆：和双曲线：的一个公共点，且在第一象限，是的左焦点，则______．
13.是公差为的等差数列的前项和，若数列也是等差数列，则______．
14.设是数列的前项和，，则______；若不等式对任意恒成立，则正数的最小值为______．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知数列满足：．
证明：数列是等比数列；
求数列的通项公式．
16.本小题分
如图，在平面直角坐标系中，点，直线：设圆的半径为，圆心在上．
若圆心也在直线上，过点作圆的切线，求切线的方程：
若圆上存在点，使，求圆心的横坐标的取值范围．
17.本小题分
已知数列，满足，其中，．
若，．
求证：为等比数列；
试求数列的前项和．
若，数列的前项之和为，前项之和等于，试求前项之和是多少？
18.本小题分
已知椭圆的左右顶点为、，直线：已知为坐标原点，圆过点、交直线于、两点，直线、分别交椭圆于、．
记直线，的斜率分别为、，求的值；
证明直线过定点，并求该定点坐标．
19.本小题分
已知为等比数列，，记数列满足，且．
求和的通项公式；
对任意的正整数，设，求的前项的和．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.或
14.
15.解：证明：，
，且，
数列是首项为，公比为的等比数列；
由得，则，，，，，
以上各式相加得，
．
16.解：由题设点，又也在直线上，，，
：，
由题，过点切线方程可设为即，
则，解得：，，
所求切线为或．
设点，，，，，
，即，
又点在圆上，两式相减得，
由题以上两式有公共点，，
整理得：，即，
令，则，解得：，，
解得：．
17.解：证明：，
当时，，
当时，，，
又，，，，
故数列为首项为，公比为的等比数列；
由得数列为首项为，公比为的等比数列，则，
令，记数列的前项和为，
则，，
由得，
，
故数列的前项和为；
若，则，
数列是周期为的周期数列，
设，，则，，，，
设数列的前项和为，则，
则，解得，，
，
．
18.解：由已知可得为圆的直径，则，
根据题意不妨设，，则，
所以，
所以．
证明：根据题意得直线的斜率存在，
设直线的方程为，，，
联立，得，
所以，，
，
所以，
所以，
所以，
所以，
所以，
所以，或，
当时，直线的方程为，过定点，
当时，直线的方程为，过定点，舍去．
19.解：设等比数列的公比为，
由，，
得，即，又，
得，解得，所以；
则，故；
根据题意，当为奇数时，
，
则的前项中所有奇数项之和为
，
当为偶数时，，
记的前项中所有偶数项之和为，
则；
，
两式相减并化简得，
故数列的前项和为．
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