马鞍山二中2023-2024学年度高一上学期期末数学测试卷
考试范围：必修一全册 考试时间：120分钟
第I卷（选择题）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知全集，集合和的关系如图所示，则阴影部分表示的集合的元素共有( )
A. 个 B. 个 C. 个 D. 无穷多个
2.下列函数是奇函数且在定义域内是增函数的是( )
A. B. C. D.
3.已知，，，，且，，则下列各式恒成立的是( )
A. B. C. D.
4.若则等于( )
A. B. C. D.
5.设，，，则下列大小关系正确的是( )
A. B. C. D.
6.关于的不等式的解集为，则实数的取值范围是( )
A. 或 B. 或
C. D.
7.若正实数，满足，则的最小值是( )
A. B. C. D.
8.已知函数对任意都有，若在上的值域为，则实数的取值范围为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列结论正确的是( )
A. 若，则的最小值为
B. 若，，则
C. 若，，且，则的最大值为
D. 若，则的最大值为
10.已知函数的部分图象如图所示，则( )
A.
B. 在区间上单调递减
C. 的图象关于点对称
D.
11.已知函数的定义域为，对任意，，满足，，且对任意，，则下列选项中，正确的是( )
A. B. 为偶函数
C. 对任意，， D. 在上为增函数
第II卷（非选择题）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.二次函数的部分对应值如下表：
则不等式的解集是_________________．
13.当时，函数取得最小值，则_______________．
14.已知函数，，若对任意的，都有，则实数的取值范围是_______________．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
设集合，．
若，求
若，求实数的取值范围．
16.本小题分
已知，求函数的定义域；
解不等式：．
17.本小题分
设函数，其中．
若不等式的解集为，求的值；
若时，，，，求的最小值；
若，求不等式的解集．
18.本小题分
已知函数是偶函数．
求实数的值；
当时，函数存在零点，求实数的取值范围；
设函数，若函数与的图象只有一个公共点，求实数的取值范围．
19.本小题分
已知函数的图象两相邻对称轴之间的距离是，若将的图象上每个点先向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度得到函数的图象，且函数为偶函数．
求的解析式
若对任意，恒成立，求实数的取值范围
若函数的图象在区间，且上至少含有个零点，在所有满足条件的区间上，求的最小值．马鞍山二中2023-2024学年度高一上学期期末数学测试卷
考试范围：必修一全册 考试时间：120分钟
第I卷（选择题）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知全集，集合和的关系如图所示，则阴影部分表示的集合的元素共有( )
A. 个 B. 个 C. 个 D. 无穷多个
【答案】B
【解析】【分析】
本题考查图表达集合的关系及运算，属于基础题．
阴影部分表示，化简集合，然后由补集和交集的定义可求，然后即可求解．
【解答】
解：阴影部分表示，
，
则有，
故阴影部分表示的集合的元素共有个．
故选B．
2.下列函数是奇函数且在定义域内是增函数的是( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】【分析】
本题考查的知识点是函数的单调性和奇偶性，熟练掌握各种基本初等函数的单调性和奇偶性，是解答的关键，属于基础题．
分析给定四个函数的奇偶性，及在定义域内的单调性，可得答案．
【解答】
解：函数，对于为上的减函数，为上的减函数，故是上的减函数，故A不满足题意；
函数是奇函数，但在定义域内不是增函数，故B不满足题意；
函数，令，，是上的奇函数，而，故该函数不是定义域内的增函数，故C不满足题意；
函数令，而令，得，
故函数的定义域为，
且，故该函数为定义域上的奇函数，
在内，令 为增函数，
而函数也为增函数，故函数在定义域内为增函数，故D满足题意；
故选D．
3.已知，，，，且，，则下列各式恒成立的是( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】【分析】
本题主要考查了不等式的基本性质，属于基础题．
解答此类题一定要熟练掌握不等式的基本性质，根据不等式的性质逐项分析即可得到答案．
【解答】
解：由题意：，
因为，两边同乘以，
得，
即，
故选B．
4.若则等于( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】【分析】
本题考查根据函数的解析式求值问题，是基础题．
因为自变量范围不同，则解析式不同，要判断自变量的范围再代入求值．
【解答】
解：因为，
所以，
因为，
所以，
．
故选C．
5.设，，，则下列大小关系正确的是( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】【分析】
本题考查指数函数、对数函数的单调性，考查指数幂和对数的运算，属于基础题．
根据对数函数的单调性可得，同时可得，，继而可得出结果．
【解答】
解：，
，
，
可得，
故选C．
6.关于的不等式的解集为，则实数的取值范围是( )
A. 或 B. 或
C. D.
【答案】C
【解析】【分析】
本题考查了不等式的恒成立问题，解题时应对二次项字母系数进行讨论，属于中档题．
根据题意，讨论的取值范围，求出满足条件的实数的取值范围．
【解答】
解：关于的不等式的解集为，
当时，不等式化为，解得，不合题意；
当时，应满足，
即，
解得；
实数的取值范围是．
故选C．
7.若正实数，满足，则的最小值是( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】【分析】
本题考查对数的运算，考查基本不等式的运用，属于中档题．
正实数，满足，得，即，利用“”的代换，即可求出的最小值．
【解答】
解：正实数，满足，
，整理，得，
，
，
当且仅当 时取等号．
故选D．
8.已知函数对任意都有，若在上的值域为，则实数的取值范围为( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】【分析】
本题考查三角函数的最值问题，属于较难题．
对任意的都有说明的最大值为，从而求出，再利用辅助角公式把函数化成，再根据函数在上的值域，即可求解．
【解答】
解：，
所以，
又对任意的都有说明的最大值为，
所以，解得，
，
，，
因为在上的值域为，
，，
所以，
解得，
故选A．
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列结论正确的是( )
A. 若，则的最小值为
B. 若，，则
C. 若，，且，则的最大值为
D. 若，则的最大值为
【答案】AB
【解析】【分析】
本题考查利用基本不等式求最值，属于中档题．
根据基本不等式依次求解判断各选项即可．
【解答】
解：、因为，
所以，当且仅当时取等号，
即的最小值为，故正确；
、，则，
当且仅当时取等号，故正确；
、且，则，
当且仅当时取等号，所以的最小值为，故错误；
、因为，则，
则，当且仅当，即时取等号，
故的最大值为，故D错误．
故选AB．
10.已知函数的部分图象如图所示，则( )
A.
B. 在区间上单调递减
C. 的图象关于点对称
D.
【答案】ACD
【解析】【分析】
本题考查函数的图象与性质，属于中档题．
由已知图象，求出，结合正弦型函数的性质逐个判断即可．
【解答】
解：由图可知，，，所以，
将点代入函数中，
可得，解得，
因为，所以，A正确；
于是，
由可得，
显然在区间上先增后减，B错误；
因为，所以的图象关于点对称，C正确；
因为的周期为，
所以的周期为，
且，
所以
，D正确．
故选：．
11.已知函数的定义域为，对任意，，满足，，且对任意，，则下列选项中，正确的是( )
A.
B. 为偶函数
C. 对任意，，
D. 在上为增函数
【答案】ACD
【解析】【分析】
本题考查抽象函数的性质，属于较难题．
根据已知条件对各选项依次进行判断即可．
【解答】
解：由题：因为函数的定义域为，
对任意，，满足，
则，故A正确；
，即，
又定义域为关于原点对称，即函数是奇函数，故B错误；
因为，则，
即，令，则，故C正确；
由上知函数是奇函数，又对任意，，
任意，，不妨，则，，所以，
则，所以，所以，
又对任意，，所以，即，
又，所以在定义域上为增函数，故D正确．
故选：．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.二次函数的部分对应值如下表：
则不等式的解集是_________________．
【答案】
【解析】【分析】利用一元二次方程与一元二次不等式的关系求解即可得结果．
【解答】解：由表中数据可知函数的两个零点分别为和，这两个零点将轴分为三个区间：，，在区间中取特殊值，由于，因此根据二次函数的性质可得，当时，有；当时，有；当时，有故原不等式的解集为．
13.当时，函数取得最小值，则___________．
【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查了辅助角公式，同角三角函数基本关系，三角函数两角和差公式的运用，考查了分析和运算能力，属于中档题．
运用辅助角公式得到函数最小值，然后结合，求出，，再运用三角函数两角和差公式展开运算即可求解．
【解答】
解：函数，
函数取得最小值为，
则有，
由，
由联立解得
．
故答案为：．
14.已知函数，，若对任意的，都有，则实数的取值范围是___________．
【答案】
【解析】【分析】
本题考查对数函数的定义域、值域，考查利用对数函数的图象与性质求参，考查二次函数的最值，属于难题．
根据题意可得且的最小值为，再将问题转化为，从而可求解的取值范围．
【解答】
解：在上是减函数，
故且，，
要使在上有意义，
则，解得；
而在上，
所以的最小值为，
因为对任意的，都有，
故，
即，
解得或舍，
所以，
综上，实数的取值范围是：．
故答案为：．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
设集合，．
若，求
若，求实数的取值范围．
【答案】解：当时，，，
，或，
．
若，则，
当，即时，，成立
当，即时，令得．
故实数的取值范围是
【解析】本题考查集合的运算，集合间的关系，属较难题．
16.本小题分
已知，求函数的定义域；
解不等式：．
【答案】解：要使函数有意义，则需
解得
则定义域为；
在上为增函数，
解得，
则不等式的解集为．
【解析】本题考查函数的定义域的求法：注意对数真数大于，偶次根式被开方式非负，对数不等式求解，考查运算能力，属于基础题．
要使函数有意义，则需，运用指对函数的性质，即可得到定义域；
运用求解．
17.本小题分
设函数，其中．
若不等式的解集为，求的值；
若时，，，，求的最小值；
若，求不等式的解集．
【答案】解：不等式的解集为，
和是方程的两个实根，且，
从而有，解得；
，，
又，，
所以
，
当且仅当即时等号成立，
所以的最小值为．
因为，可得，
即可得，即，
，
当时，方程的根，，
故不等式的解集为
当时，方程的根，，
当，即时，即可得；
当，即时，即可得；
当，即时，即可得；
综上所得，当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为．
【解析】本题考查一元二次不等式解集与相应一元二次方程根的关系，考查利用基本不等式求最值的应用，含参的一元二次不等式的解法，属于中档题．
由题可知和是方程的两个实根，利用根与系数的关系即可得到关于，的方程组，求解即可得到，的值；
由题，，，可得，利用基本不等式即可求解的最小值．
将不等式化简然后对的值分类讨论进行求解即可得．
18.本小题分
已知函数是偶函数．
求实数的值；
当时，函数存在零点，求实数的取值范围；
设函数，若函数与的图象只有一个公共点，求实数的取值范围．
【答案】解：因为是偶函数，
所以恒成立，
则恒成立，
所以；
当时，函数存在零点，
即在上有解，
设，
则，
因为，所以
所以
所以实数的取值范围为；
函数与的图象只有一个公共点，
则关于的方程只有一个解，
所以，
令，则有且仅有一个正实数根．
当，即时，此方程的解为，不满足题意；
当，即时，，，
此时方程有一个正根和一个负根，故满足题意；
当，即时，要使方程只有一个正根，
则需 ，
解得．
综上，实数的取值范围为
【解析】本题主要考查了函数奇偶性的应用，函数的零点，以及对数函数图象与性质的综合应用，考查了运算求解能力和分类讨论的思想，属于拔高题．
根据偶函数可知，得到恒成立，即可求出的值；
函数存在零点，即在上有解，求出的值域，即可求出结果；
函数与的图象只有一个公共点，则关于的方程只有一个解，所以，令，则只有一个正实数根，分类讨论，即可求出结果．
19.本小题分
已知函数的图象两相邻对称轴之间的距离是，若将的图象上每个点先向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度得到函数的图象，且函数为偶函数．
求的解析式
若对任意，恒成立，求实数的取值范围
若函数的图象在区间，且上至少含有个零点，在所有满足条件的区间上，求的最小值．
【答案】解：由，得，
则，
则为偶函数，
所以，
又，所以，
故．
因为，
所以，则，
故，，
而恒成立，
即，
整理可得．
令，，
设，，
设任意的，且，
则，
由于，，则，
即，
所以在区间上单调递增，
故，
故，
所以实数的取值范围是
由题意知，
由得，
故或，，
解得或，，
故的零点为或，，
所以相邻两个零点之间的距离为或．
若最小，则和都是零点，
此时在区间，，，分别恰有，，，个零点，
所以在区间上恰有个零点，
从而在区间上至少有一个零点，
所以，
另一方面，在区间上恰有个零点，
所以的最小值为．
【解析】本题考查正弦函数的零点，不等式恒成立问题，函数解析式求法，属于较难题．
由，得，再根据为偶函数求得函数的解析式；
恒成立，即，换元，求最值即可；
由解得或，，结合至少有个零点求解马鞍山二中2023-2024学年度高一上学期期末测试
数学 答题卡
姓名：______________班级：______________
准考证号
一、选择题（请用2B铅笔填涂）
1 [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 2 [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 3 [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 4 [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 5 [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 6 [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 7 [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 8 [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 9 [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 10 [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 11 [ A ] [ B ] [ C ] [ D ]
二、填空题（请在横线上作答）
12 13 14
三、解答题（请在指定区域内作答）
15.本小题分
16本小题分
17.本小题分
18.本小题分
19.本小题7分
1
