2024-2025学年度（上)沈阳市五校协作体期末考试
高二年级数学试卷
时间：120分钟
分数：150分
试卷说明：试卷共两部分：第一部分：选择题型(1一11题58分)
第二部分：非选择题型(12一19题92分)
第I卷（选择题共58分）
一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分)
1.直线x-y-1=0的倾斜角是(
A君
B.牙
c.
2已知向量a=(1,m,-1),B=(1,-1,1),若(a+b)1b,则m=(
A.4
B.3
C.2
D.1
3.在3-
的二项展开式中，只有第四项的二项式系数最大，则展开式的项数是
A.7
B.8
C.9
D.10
4.直线ax+2y-6=0与直线x+(a+1)y+a2-1=0平行，则实数a值为（
A.1
B.1或-2
C.-1
D.-1或2
5.用红、黄、蓝三种颜色给如图所示的六个相连的圆涂色，若每种颜色只能涂两个圆，
且相邻两个圆所涂颜色不能相同，则不同的涂色方案的种
○OO○○O
数是()
A.12
B.24
C.30
D.36
高二数学试卷第1页，共5页
6.已知圆C:(x-1)2+y2=1,圆C2:(x-a)2+(y-b)2=4,其中a,b∈R,若两圆外切，
则3
的取值范围为(
a[4g]B[号oc.o]n.[9
7.在棱长为2的正方体ABCD-ABGD中，点P是侧面正方形CDD,C内的动点，点Q
是正方形4B,A的中心，且PQ与平面CD,G所成角的正弦值是4W7
则动点P的轨迹
17
图形的面积为(
A.
B.元
C.2W2
D.√2
8。过双曲线等片-1(a>0>0)的右焦点5向其一条浙近线
作垂线1，垂足为P,1与另一条渐近线交于9点，若QF,=4PF,
则双曲线的离心率为()
A.2
B.
2v6
C.
V29
D.
V14
3
2
二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分）
9.下列说法命题正确的是()
A.已知a=(01,),b=(0,0,-1),则a在6上的投影向量为(0,0，)
B.若直线1的方向向量为E=(0,3),平面¤的法向量为i=（-2,0写)
则111a
C.已知三棱锥O-ABC,点P为平面ABC上的一点，且
,则
1
O=OA+mOB+nOCn,m∈R)m+n手
2
D.若向量方=m成+妙+位（元，夕，艺是不共面的向量)则称户在基底{任，，}下的
坐标为(m,n,k),若方在基底a,6,下的坐标为12,3)，则方在基底{a-五，a+i,c下
的坐标为
高二数学试卷第2页，共5页2024-2025 学年度(上) 沈阳市五校协作体期末考试
高二年级数学答案
考试时间：120 分钟 考试分数：150 分
一。单选题
1．B 2 B 3．A 4..A 5．C 6．C 7．A 8．B
二。多选题
9．ACD 10. A B D 11．ACD
三。填空题
12． 17 13. 4 14.（－∞，- 2 2 ]
四。解答题
15 n 0 1．【详解】（1）由 2 =Cn Cn C
2
n C
n
n 64 可得 n=6，1分
①令 x 1可得 6 ，
2
1
3
6 729
1
所以展开式中所有项的系数之和为 729； 3分
②设 6 的通项为 k ， ，
1 6 k 1 6 5rk k 0,1,2, ,6
2 x
k
2 Tk 1=C6 2 x 1 Ck 26 k6 x 2 x x2
所以当 r 1,3,5时可得展开式中的无理项，所以共有 3个无理项； 5分
③由②及题意可知
Ck 26 k Ck 1 7 k
，解得 k 2，
6 6
2
Ck 26 k Ck 125 k 6 6
6 10 ，
T =C226 2x 23 6 240x
2
所以展开式中系数最大的项为． 240x 2 7分
2 2 2 4（ ）①由题意可得共A2A2A4 2 2 24 96种不同的站法． 9分
② 1先排老师和女学生共有A44种站法，再排男学生甲有C3种站法，最后排剩余的3名男
答案第 1页，共 6页
{#{QQABJYCAggCAAAAAABgCAwXyCkGQkhGAAQgGQEAEoAAAyRFABCA=}#}
学生有A3 4 1 34 种站法，所以共有A4C3A4 24 3 24 1728种不同的站法 11分
③ 1 1 2先任选一男学生一女学生站两位老师中间，有C2C4A2种站法，
两老师的站法有A22种，再将一男学生一女学生两位老师进行捆绑与剩余的 4个人进行全
A5 C1C1A2A2A5排列有 5种，所以共有 2 4 2 2 5 2 4 2 2 120 3840种不同的站法． 13分
16．【详解】（1）不妨设 AD 1，则 AA1 AB 2，如图建立空间直角坐标系，
则 A1 1,0,2 ，B 1,2,0 ，E 0,1,2 ，A(1,0,0)，F 0,0,1 ，
D 0,0,0 ， 2分
所以 A1E 1,1,0 ， A1B 0,2, 2 ， AF 1,0,1 ，
3分
设m
(x, y, z)是平面 A1EB的一个法向量，
m
A1E x y 0
则 ，取 x 1，则 y z 1，
m A1B 2 y 2 z 0
所以平面 A1EB的一个法向量m 1,1,1 ， 6分
又 AF m 0，所以 AF m，因为 AF 平面 A1EB，所以 AF //平面 A1EB . 8分
（2）设 n (a,b,c)是平面 BEF的一个法向量， BE ( 1, 1, 2)， FE (0,1,1)，
FE n
b c 0
则 ，令b 1，则 c 1,a 3，即 n (3, 1,1) ， 10分
BE n a b 2c 0
设平面 BEF与平面 A1BE 夹角为 ，
m n 3 33
则 cos
m
，
n 3 11 11
所以平面 BEF 33与平面 A1BE 夹角的余弦值为 . 12分
11
答案第 2页，共 6页
{#{QQABJYCAggCAAAAAABgCAwXyCkGQkhGAAQgGQEAEoAAAyRFABCA=}#}
（3） 因为 FE (0,1,1)，平面 A1EB
的一个法向量m 1,1,1 ，所以 F到平面 A1BE 的距离
为
FE m 15分
2 3
m 3
17．【详解】（1）由双曲线的几何性质可知，四边形 A1B1A2B2是菱形，且 A1A2 2a,B1B2 2b，
1四边形 A1B1A2B2的面积为 2a 2b 2 3，① 2分2
c 2 2 2
又离心率为 e 2,a b c ，②
a
联立①②可得 a 1,b 3,c 2，
2
双曲线C y的标准方程为 x2 1. 5分
3
（2）设 P x1, y1 ,Q x2 , y2 ,B1 0, 3 ，线段 PQ中点M (x0 , y0 )，
2
x2
y
1,
联立 3 2消去 y整理可得 k 3 x2 2kmx m2 3 0，7分
y kx m,
k 2 3 0 ，
Δ 4k
2m2 4 k 2 3 m2 3 0
即m2 k 2 3 0且 k 3①， 8分
2
x1 x
2km m 3
2 2 ,x1x2 2 .3 k k 3
x km 3m 0 3 k 2
, y0 kx0 m 2 . 9分3 k
B1P B1Q , B1M PQ . 10分
3m
k y0 3
3
3 k 2 1 B M km ， 11分1 x0 k
3 k 2
4 3
3 k 2 m②， 12分
3
答案第 3页，共 6页
{#{QQABJYCAggCAAAAAABgCAwXyCkGQkhGAAQgGQEAEoAAAyRFABCA=}#}
k 2 3 4 3又 m 0③， 13分
3
4 3 3 3
由①②③得m 或0 m ， 14分
3 4
4 3 3 3
实数m的取值范围是 , 3
0, . 15分
4
18．【详解】（1）因为CF / /AE，CF 平面 ADE，
所以CF //平面 ADE，同理 BC //平面 ADE， 2分
又 BC，CF 平面 BCF，BC CF C，
所以平面 BCF //平面 ADE ，BF 平面 ADE，
所以 BF //平面 ADE； 5分
（2）取 AC的中点O，因为 EA EC，
所以 EO AC，又平面 ACFE 平面 ABCD，平面 ACFE 平面 ABCD AC，
EO 平面 EAC ，所以EO 平面 ABCD，
又因为 AD AB，故可建立如图所示的空间直角坐标系 A xyz . 6分
在四边形 ABCD中，因为 AD 1， AB BC 2， AD//BC，
AD AB，
所以 AC 2 2，所以 AO OC 2，
因为 EA EC 3，所以 EO 1，
所以 0,0,0 ， B 2,0,0 ， 0,1,0 ，C 2,2,0 ，O 1,1,0 ，
E 1,1,1 8分
， EC (1,1, 1)， BD 2,1,0 ， BC 0,2,0 ， 9分
设CF AE , , , 0，则 BF BC CF , 2 , ， 10分
n 设 x, y, z 为平面 BDF 的法向量，
答案第 4页，共 6页
{#{QQABJYCAggCAAAAAABgCAwXyCkGQkhGAAQgGQEAEoAAAyRFABCA=}#}
n
BD 0 2x y 0 4
则 ，即 ，故取 n 1, 2, 3
， 12分
n BF 0 x (2 )y z 0
EC FBD 4 10因为直线 与平面 所成角的正弦值为 ，
15
n
4
EC 6
所以 cos n
,EC
4 10
n EC 2 15 ， 14分
3 5 4 3
两边同时平方得
1
2
12 1 1 1 23
所以 68 23 0 ，解得 ，或 （舍去）， 16分
2 34
所以 2，所以CF 2AE 2 3 . 17分
19.【详解】（1）由 A 2,0 可知 a2 4，求出 a 2， 1分
B 1, 3
1 3
代入 2 2
，得
4 4b2
1，b 1，
则 c2 4 1 3， c 3， 2分
C e c 3可知椭圆 的离心率为 . 3分
a 2
2 i x
2
（ ）（ ）由（1）可知椭圆C的方程为 y2 1，
4
设D x1, y1 ， E x2 , y2 ，过点 1,0 的直线 l为 x my 1，
x2
与 y2 1 2 2联立得： m 4 y 2my 3 0 5分
4
.Δ 4m2 12 m2 4 0恒成立.
答案第 5页，共 6页
{#{QQABJYCAggCAAAAAABgCAwXyCkGQkhGAAQgGQEAEoAAAyRFABCA=}#}
y y 2m 3所以 1 2 2 ， y y 6分m 4 1 2 m2 4
S 1 1
2
ADE 3 y1 y2 3 y1 y2
2 4y m 3 1 y 6 5 8分2 2 2 m2 4
得m2 2，所以m 2 ，直线的方程 l为： x 2y 1 0 . 9分
8
（ii）由（i）可知， x1 x2 m y1 y2 2 m2 4
2
x1 x2 m
2 y1 y2 m y
4m 4
1 y2 1 11分m2 4
直线 AD的方程为 y
y
1 x 2y 2 ，令 x 0，得 yM 1x1 2 x1 2
y2 2y2
直线 AE的方程为 y x 2 x 2 ，令 x 0，得 yN x ， 12 分2 2 2
记以MN为直径的圆与 x轴交于 P，Q两点，
2 2 2
PQ y y y y
由圆的弦长公式可知， M N
M N y
2 2 2 M
yN 14分
2y 2y 4y y
1 2 1 2
x1 2 x2 2 x1 x2 2 x1 x2 4
12 12
2 2 1
m 42
m 4
4m 4 16 36
16分
2 2 4
3
m 4 m 4 m2 4
2 3
所以 PQ ，为定值. 17分
3
答案第 6页，共 6页
{#{QQABJYCAggCAAAAAABgCAwXyCkGQkhGAAQgGQEAEoAAAyRFABCA=}#}
