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2024-2025学年度第一学期高三摸底质量检测
数学
注意事项：
1、答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上，
2.
回答选择题时，选出每个小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂
黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，回答非选择题时，将答案写
在答题卡上、写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一，单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项
中，只有一项是符合题目要求的
1.若(z+1)i=z,则复数z的虚部是
A.
2
B.
D.
2
2i
2.已知向量a=(-6,2),万=(m,m+2),若a⊥b,则=
A.√10
B.3
C.4
D.2W5
3.已知集合A={e,1og20.3,22},集合B={xx1-x)>0}，则A∩B子集的
个数为
A.1
B.2
C.4
D.8
4邑蜘a-月=子分=兮则血e*)的信为
2 tana 1
A~3
B.-
c.1
D.
2
3
5.若圆柱、圆锥的底面半径和高都与球的半径相等，则圆柱、圆锥、球的体积之比
为
A.1:2:3
B.2:1:3
c.3:1:2
D.3:1:4
x2-ax+1,x≥1
6.
已知函数f(x)=
og,x+-1,00,a*)是(0，+o)上的单调西
数，则实数4的取值范围是
A.(1,2]
C.(1,2)
D.(L,+o)
高三数学试题
第1页（共4页）
,把函数y=∫)的图象向右平移二元个单位长度，再把图象上所有点的横坐标
伸长到原来的2倍，纵坐标不变，可以得到函数y=$血（专x+的图象，则函数
y=f(x)+x的零点的个数为
A.0
B.1
C.2
D.3
8.
设函数f(x)=(e*+a)(x+b).若f(x)≥0，则ab的最小值为
A.-马
B.1
C.e
二，多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选可
中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，选对但选不
全的得部分分，有选错的得0分.
9.某校举行了交通安全知识主题演讲比赛，甲、乙两位同学演讲后，6位评委对
甲、乙的演讲分别进行打分（满分10分），得到如图所示的折线统计图，则
木分数
9.5
9.0
9.38
8.5
9.85
928989
86878:6
8.0
--81
7.5
7.0
--170
0
3456评委编号
←甲*-乙
A。若去掉最高分和最低分，则甲得分的中位数大于乙得分的中位数
B.甲得分的极差大于乙得分的极差
C.甲得分的上四分位数小于乙得分的上四分位数
D。甲得分的方差大于乙得分的方差
10.设公比为g的等比数列{4n}前n项的积为T,·则
A.若Tg=81,则4346=3
B.若Tg>0,则必有41>0
C.若4>1,0D.若an>0,则数列{1gTn}一定是等差数列
高三数学试题：
第2页（共4页)参照秘密级管理★启用前
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数学参考答案
一．单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项
中，只有一项是符合题目要求的．
1．B；2．A；3．B；4．C；5．D；6．B；7．B；8．A．
二．多项选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的四个选项
中，有多项符合题目要求．全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，选对但选不全
的得部分分，有选错的得 0 分．
9．ABD；10．BC；11．ABD；
三．填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分．
1 31
12． 32；13． ；14． ．
4049 18
四．解答题：本题共 5 小题，共 77 分．解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤．
15．（13 分）
解：
（1）方法（一）
由于a2 ,b2 ,c2 成等差数列，
得2b2 a2 c2，………………2 分
同时由余弦定理得：b2 a2 c2 2accos B，………………4 分
π
所以b2 2accos B，且B ，得：b2 ac，………………5 分
3
得：a2 c2 2ac，即a c ；………………6 分
π
且 B ，所以 ABC 为等边三角形；………………7 分
3
方法（二）
由于a2 ,b2 ,c2 成等差数列，
高三数学试题第 1 页（共 18 页）
a2 c2
得b2 ，………………2 分
2
同时由余弦定理得：b2 a2 c2 2accos B，………………4 分
π
因为B ，所以b2 a2 c2 ac ；
3
a2 c2
所以 a2 c2 ac，………………5 分
2
2
得： a c 0，即a c ；………………6 分
π
且 B ，所以 ABC 为等边三角形；………………7 分
3
方法（三）
由于a2 ,b2 ,c2 成等差数列，
得2b2 a2 c2，………………2 分
同时由余弦定理得：b2 a2 c2 2accos B，………………4 分
π
所以b2 2accos B，且B ，得：b2 ac，………………5 分
3
由正弦定理得：sin 2B=sin AsinC,
3 3
即sin AsinC sin Asin A+ =
4 3 4
3 1 3 3
sin Asin A+ = sin
2 A+ sin Acos A
3 4 2 2 4
1 1 cos 2A 3 3
+ sin 2A= sin 2A 1……………6 分
2 2 4 4 6
A 0, 2A , A
6 2 3
高三数学试题第 2 页（共 18 页）
π
又 B ， ABC 为等边三角形. ……………7 分
3
（2）方法（一）
因为 ABC 是等边三角形，BC 2CD，
2π
在 ACD中， AC 2CD， ACD ， AD 7 ，
3
由余弦定理可得：
AD2 AC2 CD2 2AC CDcos ACD，………………9 分
解得CD 1， AC 2，（两个数值有一个正确即可得 2 分）…………11 分
在 ABD中，BD 3CD 3，
3
3
BD sin B
由正弦定理可得：sin BAD 2
3 21
．……………13 分
AD 7 14
方法（二）
因为 ABC 是等边三角形，BC 2CD，
2π
在 ACD中， AC 2CD， ACD ， AD 7 ，
3
由余弦定理可得：
AD2 AC2 CD2 2AC CDcos ACD，………………9 分
解得CD 1， AC 2，（两个数值有一个正确即可得 2 分）…………11 分
在 ABD中，BD 3, AB 2, AD 7,
由余弦定理可得：
AB2 AD2 BD2 7 …………
12 分
cos BAD ，
2AB AD 14
高三数学试题第 3 页（共 18 页）
…………13 分
3 21
所以sin BAD 1 cos2 BAD
14
方法（三）
因为 ABC 是等边三角形，BC 2CD，
2π
在 ACD中， AC 2CD， ACD ， AD 7 ，
3
由余弦定理可得：
AD2 AC2 CD2 2AC CDcos ACD，………………9 分
解得CD 1， AC 2，（两个数值有一个正确即可得 2 分）…………11 分
2
在 ACD中,CD 1, AC 2, AD 7, ACD
3
3
1
由正弦定理可得： CD sin ACD 21
sin CAD 2 ,
AD 7 14
…………12 分
5 7
所以cos CAD 1 sin2 CAD
14
…………13 分
所以sin BAD sin CAD
3
3 21
sin CADcos cos CADsin
3 3 14
方法（四）
因为 ABC 是等边三角形，BC 2CD，
2π
在 ACD中， AC 2CD， ACD ， AD 7 ，
3
由余弦定理可得：
AD2 AC2 CD2 2AC CDcos ACD，………………9 分
高三数学试题第 4 页（共 18 页）
解得CD 1， AC 2，（两个数值有一个正确即可得 2 分）…………11 分
2
在 ACD中,CD 1, AC 2, AD 7, ACD
3
AC2 AD2 CD2 5 7
由余弦定理可得：cos CAD
2AC AD 14
…………12 分
21
所以sin CAD 1 cos2 CAD
14
…………13 分
所以sin BAD sin CAD
3
3 21
sin CADcos cos CADsin
3 3 14
方法（五）
因为 ABC 是等边三角形，BC 2CD，
2π
在 ACD中， AC 2CD， ACD ， AD 7 ，
3
由余弦定理可得：
AD2 AC2 CD2 2AC CDcos ACD，………………9 分
解得CD 1， AC 2，（两个数值有一个正确即可得 2 分）…………11 分
在 ABD中，BD 3, AB 2, AD 7,
1 2
因为AC AB AD，AC =2
3 3
2
2 1 2 1 2 4 2 4
所以AC AB AD = AB + AD + AB AD
3 3 9 9 9
4 28 4
2 7 cos BAD
9 9 9
高三数学试题第 5 页（共 18 页）
7
得cos BAD …………12 分
14
3 21
所以sin BAD 1 cos2 BAD …………13 分
14
方法（六）
过点 A作 AE BC ,交BC 于点E ，
因为 ABC 是等边三角形，E 是边BC 的中点，
所以
1
AE 3CE,CE CB CD
2 ………………9分
又因为BC 2CD,所以ED 2CD
在 Rt ADE中， AD2 AE2 DE2
解得：CD 1 …………11 分
在 ABD中，BD 3CD 3，
3
3
BD sin B 3 21
由正弦定理可得：sin BAD 2 ．……………13 分
AD 7 14
16．（15 分）
解：（1）法 1：记事件 Ai “甲正确回答第 i 个的问题” (i 1，2，3)，
3 2 1
则 P(A1) ，P(A2 ) ， P(A3) ，
4 3 2
记事件 A “甲没有获得“智慧星”称号”，
则 P(A) P(A1 A1 A2 A2A2 A3) P(A1) P(A1)P(A2) P(A1)P(A2)P(A3)
高三数学试题第 6 页（共 18 页）
1 3 1 3 2 1 3
………………………………………………………4 分
4 4 3 4 3 2 4
法 2：记事件 A “甲正确回答第 i 个的问题” (i 1，2，3)i ，
3 2 1
则 P(A1) ，P(A2 ) ， P(A3) ，
4 3 2
记事件 A “甲没有获得“智慧星”称号”，则
则
,
( )= ……………3 分
（以上三个概率对 1 个得 1 分）
所以 …………………………………4 分
法 3：记事件 Ai “甲正确回答第 i 个的问题” (i 1，2，3)，
事件 A “甲没有获得‘智慧星’称号”，则 A =“甲获得‘智慧星’称号”
3 2 1 1
P(A) P(A A …………………2 分 1 2 A3) P(A1)P(A2 )P(A3)
4 3 2 4
3
∴ P(A) 1 P(A) ……………………………………………………4 分
4
（合为一步写且结果正确得 4 分）
（2）法 1：设乙在此次竞赛活动中正确回答问题的个数为 ，
1
则 ~ B(5, )（不写不扣分）
3
1 2 1 11
所以乙获得“智慧星”称号的概率P P( 4) C45 ( )
4 ( )5 ……8 分
3 3 3 243
法 2：设乙在此次竞赛活动中正确回答问题的个数为 ，则
， ……6 分
（以上两个概率对 1 个得 1 分）
1 2 1 11
所以乙获得“智慧星”称号的概率P P( 4) C45 ( )
4 ( )5 ……8 分
3 3 3 243
（3）法 1：设甲乙两人在此次竞赛活动中正确回答问题的个数分别为 和 ，
高三数学试题第 7 页（共 18 页）
1
则 P( 0) P(A1) ，
4
3 1 1
P( 1) P(A ， 1 A2 ) P(A1)P(A2 )
4 3 4
3 2 1 1
P( 2) P(A A A ) P(A )P(A )P(A ，………………11 分（以1 2 3 1 2 3)
4 3 2 4
上三个概率值对 1 个得 1 分）
3 2 1 1
P( 3) P(A A A （没有不扣分） 1 2 3) P(A1)P(A2 )P(A3)
4 3 2 4
；
；
.……………14 分（以上三个概率值对 1 个得 1 分）
所以
P(M ) P( 3) P( 3) P( 0) P( 4) P( 1) P( 5) P( 2)
1 3 1 3 2 2 4 1 2 1 51 17 C5( ) ( ) C5 ( )
4 ( ) ( )5 …………………………15 分 4 3 3 3 3 3 972 324
（合为一步写且结果正确得 7 分）
法 2：
设 :乙正确回答 3 题且甲正确回答 0 题，
：乙正确回答 4 题且甲正确回答 1 题，
：乙正确回答 5 题且甲正确回答 2 题，则 ,
; ;
…………………14 分（以上三个概率值对 1 个得 2
分）
所 以 +
.……………15 分
高三数学试题第 8 页（共 18 页）
（合为一步写且结果正确得 7 分）
本题不约分不扣分
17．（15 分）
解证：（1）由 AB BC 2， 2 2AC 2 2 ，得 AB BC AC
2 ，
所以 AB BC， ………………1 分
因为点M , N 分别为 AC, AB的中点，所以MN // BC ，且 AB BC，
所以 AB MN ， ………………2 分
因为 AB B1N ， AB MN ，B1N 平面B1MN ，MN 平面B1MN ，
B1N MN N
所以 AB 平面B1MN ， ………………3 分
且 B1M 平面B1MN ，所以 AB B1M ， ………………4 分
1
在 B MN 中，MN BC 1，B1M 141 ，
2
B N B B21 1 BN
2 42 12 15 ，
得：B N 2 B M 2 MN 2，所以 B1MN 90 ， 1 1
即 B1M MN ， ………………6 分
因为B1M MN ， AB B1M ，MN 平面 ABC ， AB 平面 ABC ，
AB MN N ，
所以B1M 平面 ABC ． ………………7 分
高三数学试题第 9 页（共 18 页）
（2）法一：以M 为坐标原点，MN ，MB 所在的直线分别为 x 轴， 轴，以经过1 z
点M 且垂直于MN 方向为 y 轴建立如图所示的空间直角坐标
系， ……8 分
则 A 1, 1,0 ，B 1,1,0 ，C 1,1,0 ，B1 0,0, 14 ，
则 AC 2,2,0 ， AA1 BB1 1, 1, 14
…………9 分（点或向量的坐标，只要有坐标正确即可得 1 分）
设平面 ACC1A1 的法向量为m x, y, z ，
m AC 0 2x 2y 0
则由 ，可得 ，
m AA1 0 x y 14z 0
令 z 14 ，得m 7,7, 14 ， …………11 分
由题可知，平面B1MN 的一个法向量为 AB 0,2,0 ， …………12 分
m AB 14 7
cos m, AB ， …………14 分
m AB 2 112 4
7
则平面 ACC1A1 与平面MC1B1夹角的余弦值为 ． …………15 分
4
法二：以 B 为坐标原点，BC，BA 所在的直线分别为 x 轴，y 轴，以经过点 B 且垂直
于平面 ABC 方向为 z 轴建立如图所示的空间直角坐标系， ……8
分
则 B(0，0，0)，A(0，2，0)，C(2，0，0)，M(1，1，0)， (1，1，
)，N(0，1，0)，
则 =(2，-2，0)， = =(1，1， )，
…………9 分（点或向量的坐标，只要有坐标正确即可得 1 分）
设平面 ACC m x, y, z1A1 的法向量为 ，
高三数学试题第 10 页（共 18 页）
m AC 0
则由 ，可得
m AA1 0
令 x= ，得 ， ， ， …………11 分
由题可知，平面B MN 的一个法向量为 1 ， ， ， …………12 分
， …………14 分
7
则平面 ACC1A1 与平面MC1B 夹角的余弦值为 ． …………15 分 1
4
法三：以 N 为坐标原点，NB，NM 所在的直线分别为 x 轴，y 轴，以经过点 N 且垂直
于平面 ABC 方向为 z 轴建立如图所示的空间直角坐标系， ……8 分
则 N(0，0，0)，A(-1，0，0)，C(1，2，0)，B(1，0，0)，M(0，1，0)，
(0，1， )，
则 =(2，2，0)， = =(-1，1， )，
…………9 分（点或向量的坐标，只要有坐标正确即可得 1 分）
设平面 ACC1A1 的法向量为m x, y, z ，
m AC 0
则由 ，可得
m AA1 0
令 x= ，得 ， ， ， …………11 分
由题可知，平面B1MN 的一个法向量为 ， ， ， …………12 分
， …………14 分
7
则平面 ACC1A1 与平面MC1B1夹角的余弦值为 ． …………15 分
4
法四：以 M 为坐标原点，MB，MC， 所在的直线分别为 x 轴，y
轴 ， z 轴 建 立 如 图 所 示 的 空 间 直 角 坐 标
高三数学试题第 11 页（共 18 页）
系， …………8 分
则 M(0，0，0)，A(0， ，0)，C(0， ，0)，B( ，0，0)，
N( ， ，0)，
(0，0， )，
则 =(0，2 ，0)， = =( ，0， )，
…………9 分（点或向量的坐标，只要有坐标正确即可得 1 分）
设平面 ACC1A1 的法向量为m x, y, z ，
m AC 0
则由 ，可得
m AA1 0
得 ， ， ， …………11 分
由题可知，平面B1MN 的一个法向量为 ， ， ，…………12 分
， …………14 分
7
则平面 ACC1A1 与平面MC1B1夹角的余弦值为 ． …………15 分
4
法五：
连接MC1， MN / /BC，B1C1 / /BC ， MN / /B1C1，
M、N、B1、C1四点共面 …………9 分
平面B1MN 平面ACC1A1 MC1
由（1）知，AB 平面B1MN ，A1B1 / /AB， A1B1 平面B1MN
AC B1M , AC BM ,B1M BM M
AC 平面BMB1 …………10 分
BB1 平面BMB1 AC BB1
高三数学试题第 12 页（共 18 页）
又 AA1 / /BB1 AC AA1，四边形 ACC1A1 为矩形，
过 A 作 A1H MC1，垂足为H ，连接HB1， …………11 分 1
A1H C1M , A1B1 C1M , A1H A1B A1 ， MC1 平面A1B1H ， 则
B1H MC1，
A HB 是平面B1MN与平面ACC1A1的夹角， …………12 分 1 1
8
在矩形 ACC1A1 中， A1H C A H 1M A1C1 CC1 ，得 1 ，
3
2 7 7
A B 2 B H cos A HB ． …………14 分 1 1 1 1 1
3 4
7
则平面 ACC1A1 与平面MC1B1夹角的余弦值为 ． …………15 分
4
a
18．（17 分）解：（1） f (x) 1, f (1) a 1 …………2 分
x
f (x)在(1, 1) 处的切线 y (a 1)x a，
它与y x2 2x相切，联立得：
2
x ( 3 a )x a ，0 …………3 分
0解得a 9或1， …………4 分
设y x2 2x在点 x0 , y0 处的切线为y y0 2x0 2 x x0
y 2x0 2 a 1x x0
y 20 x0 2x0 (a 1)x0 a …………3 分
x 2 2x 3 0 x 3或x 1 a 9或1 …………4 分
联立得 0 0 ，所以 0 0 ，得
a 2 a 1 …………5 分
高三数学试题第 13 页（共 18 页）
4 4 4
（2）(i) g(x) f ( 1) 1 (x m) (x m) ln( 1)
x x x
4
先求函数的定义域，只需满足 1 0
x
解得： x 0或x 4，
g(x)定义域为 ， 4 0， …………6 分
4 0
g(x)关于直线 x n对称， n 2， …………7 分
2
即 g(x)关于直线 x 2对称， g( 4 x) g(x) ， …………8 分
4 x 4
代入得： ( x 4 m) ln( 1) (x m) ln( )
x 4 x
x 4
整理得 (2m 4) ln 0 m 2 ， …………10 分
x
即 g(x)关于直线 x 2对称， g( 5) g(1)， …………8 分
4 1 4
代入得： ( 5 m) ln( 1) (1 m) ln( )
5 1
整理得2m 4 0 m 2， …………10 分
综上：m 2,n 2；
（ii） g(x)关于直线 x 2对称，要证 g(x) 4成立，
只需证明当 x 0时， g(x) 4即可， …………12 分
4 4 4
g(x) (x 2) ln( 1) 4 ln( 1) …………14 分
x x x 2
2(t 1)
先证明 t 1时，ln t
t 1
2
2(t 1) 1 4 (t 1)
令 h(t) ln t (t 1)，h (t) 0，
2 2
t 1 t (t 1) t(t 1)
h(t)在(1, )上单调递增，
高三数学试题第 14 页（共 18 页）
2(t 1)
h(t) 0，即 t 1时，ln t ， …………16 分
t 1
4 4 4
当 t 取 1时得到： ln( 1) ，从而原命题得证． ……17 分
x x x 2
4 4 4
g(x) (x 2) ln( 1) 4 ln( 1) …………14 分
x x x 2
x 2 2 4 2 x 2 2 x 2 2 ln( )
x 2 2 x 2 x 2 2 x 2 2
ln(x 2 2) ln(x 2 2) 2
x 2 2 x 2 2 x 2 2 x 2 2
即证
x 2 2 2t( 1)
令t ,即证t 1, ltn
x 2 2 t 1
证明过程复杂化，又回到原过程
2(t 1)
下证 t 1时，ln t
t 1
2
2(t 1) 1 4 (t 1)
令 h(t) ln t (t 1)，h (t) 0，
t 1 t (t 1)2 t(t 1)2
h(t)在(1, )上单调递增，
2(t 1)
h(t) 0，即 t 1时，ln t ， …………16 分
t 1
4 4 4
当 t 取 1时得到： ln( 1) ，从而原命题得证． ……17 分
x x x 2
4 4 4
g(x) (x 2) ln( 1) 4 ln( 1) …………14 分
x x x 2
4
即证ln(x 2 2) ln(x 2 2) 0
x 2
4
令t x 2,t 2，h t ln(t 2) ln(t 2)
t
16
h (t) 0，
t2 (t 2) t 2
h(t)在(2, )上单调递减，
高三数学试题第 15 页（共 18 页）
t ,h(t) 0， ……16 分
h(t) 0 从而原命题得证． ……17 分
,
4 4 4
g(x) (x 2) ln( 1) 4 ln( 1) …………14 分
x x x 2
4
即证h x ln(x 4) ln(x) 0
x 2
16
h (x) 0，
2
x(x 4) x 2
h(t)在(2, )上单调递减，
x ,h(x) 0， ……16 分
h(x) 0从而原命题得证． ……17 分
19．（17 分）
解析：（1）长度为 3 的递增子列 2,8,9 或 2,4,7 或 2,4,5 或 2,4,9
或 2,7,9 或 2,5,9 或 4,7,9 或 4,5,9 …………2 分（写出 1 个即可得分）
长度为 4 的递增子列 2,4,7,9 或 2,4,5,9． ………5 分（写出 1 个即可得分）
（2）设 an 的长度为q 的一个递增子列为a j，a j ， ，a 且a y ， 1 2 jq jq
其中前 p 项恰好构成长度为 p 的递增子列,
由 p q，得a j a j ， …………7 分 p q
因为 an 的长度为 p 的递增子列的末项最小值为 x ，
所以 x a j 进而得到 x a j a j y． p p q
所以 x y ． …………9 分
法 2：（反证法）
设 an 的长度为q 的一个递增子列为a j，a j ， ，a 且a y ， 1 2 jq jq
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长度为 p 的一个递增子列为ai，ai ， ，a 且a x1 2 ip i p
x y
假设 ，
a
因为 j
a
1 j
a j ... a2 p jq
a
所以 j
，a
1 j
，...,a
2 jp 也是一个长度为 p 的递增子列
a a a
又 jp jq ip
a x
即 jp
x y
这与 x 是子列末项的最小值矛盾，所以假设不成立，即 .
（3）(i)当 s 1时显然成立．
当 s 2时，长度为2 的递增子列，末项最小值为 3，且恰有 2 个这样的子列，所以 an
中必含有子列 1,3 和 2,3．
所以 an 中必含有子列 2,1,3． …………11 分
当 s 3时，长度为 3 的递增子列，末项最小值为 5，且恰有 4 个这样的子列，所以 an
中必含有子列 2,1,4,3,5． …………13 分
当 s 4时，长度为 4 的递增子列，末项最小值为 7，且恰有 8 个这样的子列，
所以 an 中必含有子列 2,1,4,3,6,5,7; …………15 分
(ii)引理：一般地，对于任意正整数 s 1，可得 an 中含有子列 2,1,4,3，…2s-2,2s-3,2s-1．
引理证明：该子列是 2s-1 个正整数的一个排列，
由于 s 可以取遍全体整数，当 s 时，该子列覆盖全体正整数，
因为无穷数列 an 各项均为正整数，且任意两项均不相等，
所以当正整数 s 时，该子列含有 an 所有的项，
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所以数列 an 与“ s 时 an 的子列”重合．
n 1,n为奇数
猜想a …………17 分 n
n 1,n为偶数
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