山东省济宁市 2024- 2025学年度第一学期
高三质量检测数学
一、选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的．
1.已知集合A= x|x2-2x≤0 ，B= x|y=log2 x-1 ，则A∩B=
A. 0,2 B. 1,2 C. (1,2) D. (1,2]
【答案】D
【解析】因为A= x x2-2x≤0 ={x|0≤ x≤ 2}，
B= x|y=log2 x-1 ={x|x- 1> 0}= {x|x> 1}，
所以A∩B={x|1< x≤ 2}= (1,2]．
故选择：D
z 1+ i2.已知复数 满足 =-i，则在复平面内 z对应的点位于
z
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
【答案】B
1+ i 2
【解析】由 =-i，得 z= 1+ i = i+ i =-1+ i，
z i - i2
所以在复平面内 z对应的点 (-1,1)位于第二象限．
故选择：B
3.已知向量 a= m,1 ， b= 9,m ，则“m= 3”是“a b”的
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】若m= 3，则 a= 3,1 ， b= 9,3 ，此时 b= 3a，所以 a b；
若 a b，由向量共线定理，得m2- 9= 0，解得m=±3，
所以“m= 3”是“a b”的充分不必要条件．
故选择：A
2a-1 x
2+5a，x<1，
4.已知函数 f x = 的值域为R，则实数 a的取值范围是ex-1+lnx， x≥1，
A. 0, 1 B. 1 , 1 C. 1 , 1 D. 1 2 5 2 5 2 0, 5
【答案】C
2a-1 x
2+5a,x<1,
【解析】因为函数 f x = 的值域为R，ex-1+lnx,x≥1,
而当 x≥ 1时，易知 y= ex-1+ lnx在 [1, +∞)上单调递增，
所以 y= ex-1+ lnx≥ e1-1+ ln1= 1，即 y= ex-1+ lnx在 [1, +∞)上的值域为 [1, +∞)，
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所以当 x< 1时， y= 2a-1 x2+ 5a在 -∞,1 上的值域要包含 -∞,1 ，
所以 y= 2a-1 x2+ 5a的图象开口向下，又对称轴为 x= 0，
2a-1<0 1 1
则 ，解得 ≤ a< ，5a≥1 5 2
1 1
所以实数 a的取值范围是 , ．5 2
故选择：C
5.已知函数 f x = log x a>0且a≠1 1 ，若将函数 f x 图象上所有点的横坐标变为原来的
a 2
倍，纵坐标不变，得到函数 g x 的图象，再将函数 g x 的图象向下平移 2个单位长度，所
得图象与 f x 的图象重合，则实数 a=
A. 1 B. 2 C. 2 D. 4
4 2
【答案】C
【解析】由题意可得 g x = loga2x，再将函数 g x 的图象向下平移 2个单位长度可得 loga2x
- 2= logax，
即 loga2x- logax= loga2= 2，故 a2= 2，又 a> 0，故 a= 2．故选择：C
6.若 a> 0> b 1 1，且 a- b= 2，则 + - 的最小值为a 1 b
A. 2 B. 4 C. 3 D. 4
3 3
【答案】B
【解析】因为 a> 0> b，所以-b> 0，因为 a- b= 2，
+ + - = a+1 +
-b
则 a 1 b 3，即 = 1，
3 3
1 - 1 = 1 1
-b
+ + + =
1 + +
1 × 1=
1 + +
1 a+1 +
a 1 b a 1 -b a 1 -b a 1 -b 3 3
-b
= 1 + a+1 + + 1 ≥ 2 a+1 × -b + 2 = 4 ，
3 3 -b 3 a+1 3 3 -b 3 a+1 3 3
1 3
当且仅当 a+ 1=-b，即 a= ， b=- 时，等号成立，
2 2
1 1 4
此时
a+ - 的最小值为 ．1 b 3
故选择：B
x2 - y
2
C = 1 a>0,b>0 F F F 17.已知双曲线 ： 的左、右焦点分别为 ， ，过 且斜率为
a2 b2
1 2 1 2
的直线交C的右支于点P，且PF1 PF2= 0，则C的离心率等于
A. 2 B. 3 C. 2 D. 5
【答案】D
【解析】由题意可得：因为PF1 PF2= 0，所以PF1⊥PF2，
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y
设∠PF1F2=
PF
α， tanα= 2 = 1 ，
PF 2 P1
可得：PF1= 2PF2，PF1-PF2= 2a，PF1= 4a，
F
2 2 2 1 O F2 xPF2= 2aPF1 +PF2 =F1F2，所以 e= 5．
故选择：D
1
8.已知函数 f x 的定义域为R，且 f x+2 + f x = 0， f x+1 为奇函数， f = 1，则2
2025
kf k- 1 =
k=1 2
A. 2025 B. - 2025 C. 4050 D. - 4045
【答案】A
【解析】
由题意可得： f x+2 + f x = 0 f x =-f x+2 可得 f x 的周期T= 4，
因为 f x+1 为奇函数，可得 f x 关于 (1,0)中心对称，
故有 f x + f 2-x = 0， f x+2 + f x = 0， f 1 = 1 ，
2
1 3 5
令 x= ， f =-1， f =-1，2 2 2
令 x= 5 7， f = 1， f 9 = 1， 1f 1 + 2f 3 + 3f 5 + 4f 72 2 2 2 2 2 2 = 0，
同理可得，一个周期和为零，
2025
所以 kf k- 1 = 2025f2
1
2 = 2025．k=1
故选择：A
二、选择题：本题共 3小题，每小题 6分，共 18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目
要求．全部选对的得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得 0分．
9.已知函数 f x = 2cos 2x+φ -π<φ<π 的部分图象如图所示，则下列说法正确的是
A. φ= π y
3
B. f x 在 0, π 上单调递增4 O π x
C. f x 在 0,π 上有两个极值点 12
D. - π点 ,06 是曲线 y= f x 的一个对称中心
【答案】BC
π
【解析】A项：由 f = 2cos π +φ = 0 π，知 + φ= π + kπ，12 6 6 2
π
得 φ= + kπ k∈Z ，又-π< φ< π， f 0 = 2cosφ< 0，
3
所以 φ=- 2π 2π， f x = 2cos 2x- ，故A错误；3 3
B π项：当 x∈ 0, ，得 2x- 2π ∈ - 2π ,- π ，4 3 3 6
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则 f x 在 0, π 上单调递增，故B正确；4
C项：当 x∈ 0,π 2x- 2π ，得 ∈ - 2π , 4π ，由余弦函数的图象可知：3 3 3
2x- 2π - 2π在 ,0 上单调递增， 0,π 单调递减，3 3 π,
4π 单调递增，3
所以当 2x- 2π = 0， 2x- 2π = π， f x 分别取得极大值、极小值，故C正确；
3 3
D f - π = 2cos -π =-2 - π项：由 ，故点 ,0 不是 y= f x 的对称中心，故D错误．6 6
故选择：BC
= 2an， n为奇数，10.已知 an+1 记数列 an 的前 n项和为 Sn，且 S3= 6，则下列说法正确an+1，n为偶数.
的是
A. a1= 1 B. a19= 2047 C. a n+12n= 2 - 2 D. S20= 6108
【答案】ACD
【解析】由 an的通项公式可知， a2n= 2a2n-1， a2n+1= a2n+ 1，则 a2= 2a1， a3= a2+ 1，
S3= a1+ a2+ a3= 5a1+ 1= 6，得 a1= 1， a2= 2， a3= 3，故A正确；
又 a2n+1= 2a2n-1+ 1，得 a2n+1+ 1= 2 a2n-1+1 ，所以 a2n-1+1 是以 a1+ 1= 2为首项，公
比为 2的等比数列，则 a + 1= 2n，得 a = 2n2n-1 2n-1 - 1， a2n= 2n+1- 2，故C正确； a19=
210- 1= 1023，故B错误；
又 a n2n-1+ a2n= 3× 2 - 3，所以S20= 3× 21+22+ +210 - 3× 10= 6108，故D正确．
故选择：ACD
11.已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为 2，P为棱AA1的中点，则
A. 直线PD1与BC所成的角为 30°
B. B1D⊥平面A1BC1
C. 过点P且与B1D垂直的平面截正方体所得截面的面积为 3 3
D. 以P 2为球心， 6为半径的球面与侧面BCC1B1的交线的长度为 π2
【答案】BCD
1 1
【解析】A．如图所示，PK平行于BC，且 sin∠D1PK= ≠ ，故A错误；
5 2
B．B1D为体对角线，垂直于三条面对角线A1B，BC1，A1C1， D1 J C1
所以垂直于平面A1BC1，故B正确； E M
C．如图所示，截面轮廓为正六边形PGHIJE，其面积为
A1 B
S = 3 2 2 1 I六边形PGHIJE 6= 3 3，故C正确；
K
4
D项：因为球的半径为 6，如图中所示，点 F为BB1的中点，
所以PF垂直于平面BCC1B1，点M为B1C1中点，恰好 P FD C
PM= PF 2+FM 2 = 6 π，所以交线轨迹为图中圆心角为 的
2 H
A G B
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扇形FMH 2π的弧长MH，计算可知MH = ，故D正确．故选择：BCD
2
三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分．
12.已知点A 2,1 在抛物线C： x2= 2py上，则点A到抛物线C的准线的距离是 ．
【答案】2
【解析】由题可得直线 p= 2，所以点A到准线的距离是 1+ p = 2．
2
故答案为： 2
π
13.已知 sin α- 12 =
1
，则 sin
4
2π -2α = ．3
7
【答案】
8
π 1 π
【解析】令 α- = t， sint= ，故 α= t+ ，
12 4 12
sin 2π则 -2α = sin π -2t = cos2t= 1- 2sin2t= 7 ．3 2 8
7
故答案为：
8
14.已知点A 2,1 ，点B在曲线 y= 2x 1-x2上，则OA OB(其中O为坐标原点)的最大值是
．
3 3
【答案】
2
【解析】由题可知 x∈ -1,1 ，令 x= sinθ， θ∈ - π , π ，则 1-x
2= cosθ，
2 2
所以 y= 2sinθcosθ，
故可令点B为 sinθ,2sinθcosθ ，所以OA OB= 2sinθ+ 2sinθcosθ= 2sinθ+ sin2θ，
令 f θ = 2sinθ+ sin2θ， θ∈ π - ,
π ，2 2
则 f θ = 2cosθ+ 2cos2θ= 2 2cosθ-1 cosθ+1 = 0，
得 θ=± π π，且 f θ 在 - ,-
π
上递减， -
π , π π π 上递增，
,
3 2 3 3 3 3 2
上递减，
由 f - π =-2， f π = 3 3 π 3 3，所以 f θ 2 3 2 max= f = ．3 2
3 3
故答案为：
2
四、解答题：本题共 5小题，共 77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
2 2 2
15. (13分)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为 a， b， c，已知 1- 2cosA= a +c -b ．
bc
(1)求证： sinB= 2sinC；
(2)若 a= 3，A= π ，求△ABC的面积．
3
【答案】 1
3 3
证明见解析； 2
2
【解析】(1)由余弦定理得 a2+ c2- b2= 2accosB 2acosB，所以 1- 2cosA= ，
b
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即 b 1-2cosA = 2acosB，
由正弦定理得 sinB 1-2cosA = 2sinAcosB，
∴ sinB= 2sinAcosB+ 2cosAsinB= 2sin A+B = 2sinC．
(2)由 (1)知 b= 2c．由余弦定理得 a2= b2+ c2- 2bccosA，
即 9= 4c2+ c2- 2× 2c× c× cos π ，解得 c= 3， b= 2 3．
3
△ABC S= 1 bcsinA= 1 × 2 3 × 3 × sin π = 3 3所以 的面积为 ．
2 2 3 2
16. (15分)已知数列 an 满足 a n+1 n1=-1， an+1+ an= 2× -1 ，记 bn= -1 an．
(1)证明：数列 bn 是等差数列；
(2) 1记 cn= ，求数列 cn 的前n项和Sn．anan+1
n
【答案】 1 证明见解析； 2 Sn=- 2n+1
【解析】(1)因为 bn+1- bn= -1 n +1 a nn+1- -1 a = -1 nn -an+1-an = 2，
所以数列 bn 是以 2为公差的等差数列．
(2)因为 b1=-a1= 1，所以 bn= 1+ 2 n-1 = 2n- 1，所以 an= -1 n 2n-1 ，
所以 c =- 1 =- 1n 2
1 1
- - + ， 2n-1 2n+1 2n 1 2n 1
所以Sn=- 1 1- 1 + 1 - 1 + 1 - 1 + + 1 - 1 =- 1 1 2 3 3 5 5 7 2n-1 2n+1 1-2 2n+1
∴Sn=- n ．2n+1
17. (15分)如图，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，D为棱AC的中点，A1A=AC． B C1 1
(1)证明：B1A 平面C1BD； A1
(2)若直线B1A到平面C1BD 2 5的距离等于 ，求平面A1BC1与平面C1BD夹角5 B C
的余弦值． D
105
【答案】 1 证明见解析； 2 A
35
【解析】(1)证明：连接B1C交BC1于点E，则E为B1C的中点，连接ED．
因为D为棱AC的中点，所以ED B1A，
又ED 平面C1BD，B1A 平面C1BD，所以B1A 平面C1BD
(2)方法一：∵D为棱AC的中点，
∴直线B1A到平面C1BD的距离即为点C到平面C1BD的距离，
C C BD 2 5∴点 到平面 1 的距离等于 ，所以V5 C-BDC
=V
1 C1-BDC．
设A1A=AC= 2a，则CD= a，BD= 3a，DC1= 5a，BC1= 2 2a，
∴BC1 2=BD2+DC1 2，
1
∴ × 1 × 3a× 5a× 2 5 = 1 × 1 × 3a× a× 2a，所以 a= 1．
3 2 5 3 2
过点D作DE AA1，则DE⊥平面ABC，
如图所示，以D为坐标原点，DC，DB，DE所在直线分别为 x， y， z轴，建立空间直角
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坐标系，
则A1 -1,0,2 ，B 0, 3,0 ，C1 1,0,2 ，D 0,0,0 ，
所以DB= 0, 3,0 ，DC1= 1,0,2 ，A1B= 1, 3,-2 ，A1C1= 2,0,0 ．
m A1B=0
设平面A1BC1的法向量为m= x z1,y1,z1 ，则 ， B
C
1 1
m A1C1=0 A1
即 x1+ 3y1-2z1=0 ，令 y1= 2，则 x1= 0， z1= 3，2x1=0 y xB C
所以平面A1BC1的一个法向量m= 0,2, 3 ． D
A
n DB=0 3y2=0
设平面C1BD的法向量为n= x2,y2,z2 ，则 ，即 n DC ，1=0 x2+2z2=0
令 x2= 2，则 y2= 0， z2=-1，所以平面C1BD的一个法向量n= 2,0,-1 ．
所以 cos m,n = m n = - 3 =- 105 ，
m n 7× 5 35
105
所以平面A1BC1与平面C1BD夹角的余弦值为 ．35
方法二：过点D作DE AA1，则DE⊥平面ABC，如图所示，
以D为坐标原点，DC，DB，DE所在直线分别为 x， y， z轴，建立空间直角坐标系，
设 A 1A = AC = 2a，则 BD = 3 a，所以 A -a,0,0 ， A 1 -a,0,2a ， B 0, 3a,0 ，
C1 a,0,2a ，D 0,0,0 ，
所以DB = 0, 3a,0 ，DC1= a,0,2a ，A1B = a, 3a,-2a ，A1C1= 2a,0,0 ，DA=
-a,0,0 ，
m DB=0 3ay1=0
设平面C1BD的法向量为m= x1,y1,z1 ，则 ，即 m DC =0 ，1 ax1+2az1=0
令 x1= 2，则 y1= 0， z1=-1，所以平面C1BD的一个法向量m= 2,0,-1 ，
DA m
A C BD d= = 2a 2 5所以点 到平面 1 的距离 = ，所以 a= 1，
m 5 5
所以平面C1BD的一个法向量m= 2,0,-1 ．
n A1B=0 x2+ 3y2-2z2=0
设平面A1BC1的法向量为n= x2,y2,z2 ，则 ，即 ，n A C 1 1=0 2x2=0
令 y2= 2，则 x2= 0， z2= 3，所以平面A1BC1的一个法向量n= 0,2, 3 ，
m n - 3 105
所以 cos m,n = = =- ，
m n 7× 5 35
A BC C BD 105所以，平面 1 1与平面 1 夹角的余弦值为 ．35
18. (17分)已知函数 f x = ex+ ax2， a∈R．
(1)讨论函数 f x 零点的个数；
(2)若 f x - 3ax≥ b，求 ab的最大值．
e2
【答案】 1 当 a≥ 0时，函数 f x 有 0个零点；当- < a< 0时，函数 f x 有 1个零点；
4
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a=- e
2 e2
当 时，函数 f x 有 2个零点；当 a<- 时，函数 f x 有 3个零点；
4 4
e
2
2
【解析】(1)当 a= 0时， f x = ex，所以 f x 的零点个数为 0；
2
当 a≠ 0时，由 f x = ex+ ax2= 0 - 1 = x得 ，
a ex
x2 x 2-x
令 g x = ，则 g x =
，
ex ex
所以，当 x< 0或 x> 2时， g x < 0， g x 单调递减；当 0< x< 2时， g x > 0， g x
单调递增；
当 x→-∞时， g x →+∞；当 x→+∞时， g x > 0， g x → 0； g 4 0 = 0， g 2 = ，
e2
- 1
2
所以，当 < 0 1 4 e即 a> 0时，没有交点；当 0<- < 即 a<- 时，有 3个交点；
a a e2 4
- 1 = 4 e
2
a=- 2 1 4 e
2
当 即 时，有 个交点；当- > 即- < a< 0时，有 1个交点；
a e2 4 a e2 4
2
综上所述，当 a≥ 0 e时，函数 f x 有 0个零点；当- < a< 0时，函数 f x 有 1个零点；
4
e2 e2
当 a=- 时，函数 f x 有 2个零点；当 a<- 时，函数 f x 有 3个零点．
4 4
(2)若 f x - 3ax≥ b，则 ex- ax- b≥ 0，令 h x = ex- ax- b，则 h x = ex- a，
当 a< 0时，则 h x = ex- a> 0，此时 h x 在R上单调递增，当 x→-∞时， h x →-∞，
不符合题意；
当 a= 0时， h x = ex- b≥ 0只需 b≤ 0，所以 ab= 0；
当 a> 0时，则当 x> lna时， h x > 0，此时 h x 单调递增；当 x< lna时， h x < 0，
此时 h x 单调递减，
所以 h x ≥ h lna = a- alna- b≥ 0，即 b≤ a- alna，所以 ab≤ a2- a2lna，
令 φ x = x2- x2lnx， x> 0，则 φ x = x- 2xlnx= x 1-2lnx ，
易知当 x∈ 0, e 时， φ x > 0，此时 φ x 单调递增，当 x∈ e,+∞ 时， φ x < 0，
此时 φ x 单调递减，
所以 φ x ≤ φ e e = ，所以 ab≤ a2- a2lna≤ e e，当且仅当 a = e， b = 时，
2 2 2
e
ab max= ，2
所以 ab e的最大值为 ．
2
19. (17分)在平面直角坐标系 xOy中，对于给定的点集M，N，若M中的每个点在N中都存
在点使得两点间的距离最小，且所有最小距离的最大值存在，则记此最大值为 d M ,N ．
x2 y2 2 2
已知椭圆C： + = 1 a>b>0 的离心率为 ，其短轴上的点的集合记为M，椭
a2 b2 3
圆C上的点的集合记为N，且 d M ,N = 1．
(1)求椭圆C的方程；
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(2)已知直线 l与椭圆C相切，且与圆O:x2+ y2= 16交于A，B两点，线段AB上的点的集
合记为G，圆O上的点的集合记为H．
①若点P为圆O上的一个动点，当△PAB的面积最大时，求 d G,H ；
②求 d G,H + d H,G 的值．
x2
【答案】 1 + y2= 1； 2 1 2； 2 8
9
c 2 2
【解析】(1)由题目条件 d M ,N = 1，可得 b= 1，又因为离心率为 e= = ，
a 3
c2= 8 a2= 8所以 b2+c2 8 = 1+c2 ，所以 c2= 8， a2= 9，
9 9 9
x2
所以椭圆C的方程为 + y2= 1．
9
(2)设圆心O到直线AB的距离为 d．
①当AB的斜率存在时，设AB的方程为 y= kx+m，
x2 +y2=1联立 9 ，消去 y得 9k2+1 x2+ 18kmx+ 9m2- 9= 0，y=kx+m
由直线AB与椭圆C相切，得Δ= 18km 2 - 4 9k2+1 9m2-9 = 0，整理得m2= 9k2+ 1，
m= 则 d = 9k
2+1 = 9- 8 ∈ [1,3)，
k2+1 k2+1 k2+1
则 △PAB 1的面积为 S △PAB ≤ AB d+4 = 16-d2 d+4 = 16-d2 d+4 2 =2
4-d d+4 3 ，
设 f d = 4-d d+4 3 ， d∈ [1,3)，则 f d = 4 2-d d+4 2 ，
当 1≤ d< 2时， f d > 0，函数 f d 单调递增；当 2< d< 3时， f d < 0，函数 f d 单
调递减；
因此当 d= 2时， f d 取得最大值，此时S△PAB的最大值为 12 3，
当AB的斜率不存在时，由 (1)知，AB的方程为 x=±3， AB = 2 7，
S△PAB≤
1 × 2 7 × 3+4 = 7 7，
2
由于 12 3> 7 7，所以△PAB的面积最大时， d= 2．
对于线段AB上任意点 E，连接OE并延长与圆O交于点 F，则 F是圆上与 E最近的点，
当E为线段AB的中点时，EF取得最大值 2，所以 d G,H = 2．
②对于线段AB上任意点 E，连接OE并延长与圆O交于点 F，则 F是圆O上与 E距离最
近的点，
当E为线段AB的中点时，EF取得最大值 4- d，所以 d G,H = 4- d，
对于圆O上任意点R，由R向线段AB引垂线，垂足为S，
当S在线段AB上时，则S是线段AB上与R距离最近的点，当S不在线段AB上时，则线
段AB上的点与点R距离最近的点的距离小于 2d，所以当RS经过圆心O时，RS取得最
大值 4+ d，
所以 d H,G = 4+ d；所以 d G,H + d H,G = 8．
第9页，共9页山东省济宁市 2024- 2025学年度第一学期
高三质量检测数学
一、选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的．
1.已知集合A= x|x2-2x≤0 ，B= x|y=log2 x-1 ，则A∩B=
A. 0,2 B. 1,2 C. (1,2) D. (1,2]
z 1+ i2.已知复数 满足 =-i，则在复平面内 z对应的点位于
z
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
3.已知向量 a= m,1 ， b= 9,m ，则“m= 3”是“a b”的
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
2a-1 x
2+5a，x<1，
4.已知函数 f x = 的值域为R，则实数 a的取值范围是ex-1+lnx， x≥1，
A. 0,
1 B. 1 , 1 C. 1 , 12 5 2 5 2 D. 0,
1
5
5.已知函数 f x = log x a>0且a≠1 1 ，若将函数 f x 图象上所有点的横坐标变为原来的
a 2
倍，纵坐标不变，得到函数 g x 的图象，再将函数 g x 的图象向下平移 2个单位长度，所
得图象与 f x 的图象重合，则实数 a=
A. 1 B. 2 C. 2 D. 4
4 2
6.若 a> 0> b，且 a- b= 2 1 1，则
a+ - 的最小值为1 b
A. 2 B. 4 C. 3 D. 4
3 3
x2 y2
7.已知双曲线C： - = 1 a>0,b>0 1 的左、右焦点分别为 F， F，过 F 且斜率为
a2 b2
1 2 1 2
的直线交C的右支于点P，且PF1 PF2= 0，则C的离心率等于
A. 2 B. 3 C. 2 D. 5
8.已知函数 f x 的定义域为R，且 f x+2 + f x = 0， f x+1 为奇函数， f 1 = 1，则2
2025
kf k- 12 =k=1
A. 2025 B. - 2025 C. 4050 D. - 4045
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二、选择题：本题共 3小题，每小题 6分，共 18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目
要求．全部选对的得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得 0分．
9.已知函数 f x = 2cos 2x+φ -π<φ<π 的部分图象如图所示，则下列说法正确的是
A. φ= π y
3
B. f π x 在 0, 上单调递增4
O π x
C. f x 在 0,π 上有两个极值点 12
D. π点 - ,0 是曲线 y= f x 的一个对称中心6
2an， n为奇数，
10.已知 an+1= 记数列 an 的前 n项和为 Sn，且 S3= 6，则下列说法正确an+1，n为偶数.
的是
A. a = 1 B. a = 2047 C. a = 2n+11 19 2n - 2 D. S20= 6108
11.已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为 2，P为棱AA1的中点，则
A. 直线PD1与BC所成的角为 30°
B. B1D⊥平面A1BC1
C. 过点P且与B1D垂直的平面截正方体所得截面的面积为 3 3
D. 以P为球心， 6为半径的球面与侧面BCC B 21 1的交线的长度为 π2
三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分．
12.已知点A 2,1 在抛物线C： x2= 2py上，则点A到抛物线C的准线的距离是 ．
sin α- π = 1 2π13.已知 ，则 sin -2α = ．12 4 3
14.已知点A 2,1 ，点B在曲线 y= 2x 1-x2上，则OA OB(其中O为坐标原点)的最大值是
．
四、解答题：本题共 5小题，共 77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
2 2 2
15.在△ABC a +c -b中，角A，B，C的对边分别为 a， b， c，已知 1- 2cosA= ．
bc
(1)求证： sinB= 2sinC；
(2)若 a= 3 π，A= ，求△ABC的面积．
3
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16.已知数列 an 满足 a1=-1， an+1+ an= 2× -1 n +1，记 bn= -1 n an．
(1)证明：数列 bn 是等差数列；
(2) 1记 cn= ，求数列 cn 的前n项和S ．a a nn n+1
17.如图，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，D为棱AC的中点，A1A=AC．
(1)证明：B1A 平面C1BD；
(2) 2 5若直线B1A到平面C1BD的距离等于 ，求平面A1BC1与平面C1BD夹角的余弦值．5
B C1 1
A1
B C
D
A
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18. (17分)已知函数 f x = ex+ ax2， a∈R．
(1)讨论函数 f x 零点的个数；
(2)若 f x - 3ax≥ b，求 ab的最大值．
19. (17分)在平面直角坐标系 xOy中，对于给定的点集M，N，若M中的每个点在N中都存
在点使得两点间的距离最小，且所有最小距离的最大值存在，则记此最大值为 d M ,N ．
x2 y2 2 2
已知椭圆C： + = 1 a>b>0
2 的离心率为 ，其短轴上的点的集合记为M，椭a2 b 3
圆C上的点的集合记为N，且 d M ,N = 1．
(1)求椭圆C的方程；
(2)已知直线 l与椭圆C相切，且与圆O:x2+ y2= 16交于A，B两点，线段AB上的点的集
合记为G，圆O上的点的集合记为H．
①若点P为圆O上的一个动点，当△PAB的面积最大时，求 d G,H ；
②求 d G,H + d H,G 的值．
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