福建省福州市2024-2025学年高二（上）期末质量检测预测数学试卷（PDF版，含答案）

福建省福州市 2024-2025 学年高二（上）期末质量检测预测数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知直线 1:( 1) + 2 + 1 = 0， 2 : + ( + 2) + 4 = 0，设甲： 1// 2；乙： = 2，则甲是乙的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
1 1
2.已知数列{ }满足 1 = ， 2 +1 = 1 ，则 2024 =( )
1
A. 1 B. 2 C. 3 D.
2
3.直线 + 1 3 = 0(其中 ∈ )被圆( 2)2 + ( 2)2 = 5所截得的最短弦长等于( )
A. √ 2 B. 2√ 3 C. 2√ 2 D. √ 3
4.若向量 1 , 2 , 3 是空间中的一个基底，那么对任意一个空间向量 ，存在唯一的有序实数组( , , )，使
得： = 1 + 2 + 3 ，我们把有序实数组( , , )叫做基底 1 , 2 , 3 下向量 的斜坐标.设向量 在基底
, , 下的斜坐标为(1, 2,5)，则向量 在基底 + , + , + 下的斜坐标为( )
A. ( 3, 1,4) B. (3,1, 4) C. (3, 1, 4) D. ( 3,1,4)
5.直线 ：sin +8 = 0( 参数， ∈ )的倾斜角的取值范围是( )
[ ] 3 A. 0, B. [0, ]∪ [ , )
4 4 4
[ 3 ] ( ] [3 C. , D. ∞, ∪ ,+∞)
4 4 4 4
6.已知 是等差数列{ }的前 项和， 1 > 0，且 13 = 19，则下列说法不正确的是( )
A. 公差 < 0 B. 16 > 0
C. 32 = 0 D. = 17时， 最大
7.如图，正方体 1 1 1 1的棱长为2， 的中点为 ，则下列说法不正确的是( )
8
A. 直线 1 和 1所成的角为 B. 四面体 的体积是 3 1 1 3
4√ 3 6√ 5
C. 点 1到平面 1的距离为 D. 1到直线 的距离为 3 5
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2
8.已知 , , 是平面向量，且 是单位向量，若非零向量 与 的夹角为 ，向量 满足 4 + 3 = 0，则
4
| | + | |的最小值是( )
A. √ 5 2 B. √ 5 1 C. 2 D. √ 5
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
1
9.如图，在棱长为3的正四面体 中， 为 的中心， 为 的中点， = ，则( )
3
A.
1
=
2 1
+ + B. | | = √ 6
2 3 3
C. = 6 D. = 3
10.点 在圆 : 2 + 21 = 1上，点 在 :
2 + 22 6 + 8 + 24 = 0上，则( )
A. 两个圆的公切线有4条
B. 两个圆上任意一点关于直线4 + 3 = 0的对称点仍在该圆上
C. | |的取值范围为[3,7]
D. 两个圆的公共弦所在直线的方程为6 8 25 = 0
2 2
11.已知双曲线 : 2 2 = 1( > 0, > 0)的左、右焦点分别为 1， 2 .过 2的直线 交双曲线 的右支于 、
两点，其中点 在第一象限． 1 2的内心为 1， 1与 轴的交点为 ，记 1 2的内切圆 1的半径为 1，
△ 1 2的内切圆 2的半径为 2，则下列说法正确的有( )
2√ 3
A. 若双曲线渐近线的夹角为60 ，则双曲线的离心率为
3
√ 10
B. 若 1 ⊥ 2，且| 1| | 1| = 2 ，则双曲线的离心率为 2
C. 若 = 1， = √ 3，则 1 2的取值范围是( √ 3, √ 3)
5
D. 若直线 的斜率为√ 3， 1 = 2 1 ，则双曲线的离心率为 4
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
2 2
12.若方程 + = 1表示双曲线，则实数 的取值范围为 ．
2 | | 3
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13.一个动圆与定圆 ：( 3)2 + 2 = 4相外切，且与直线 ： = 1相切，则动圆圆心的轨迹方程为 ．
14.如图①是直角梯形 ， // ，∠ = 90 ， 是边长为1的菱形，且∠ = 60 ，以 为折痕
将 折起，当点 到达 1的位置时，四棱锥 的体积最大， 是线段 1上的动点，则 到 距
离的最小值为 ．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知抛物线 : 2 = 2 ( > 0)的焦点为 ，位于第一象限的点 (1, 0)在抛物线 上，且| | = 2．
(1)求焦点 的坐标；
(2)若过点 的直线 与 只有一个交点，求 的方程．
16.(本小题15分)
1
已知数列{ }满足 = , = 1 2 +1 ． 2 +1
1
(1)求证：数列{ }是等差数列，并求数列{ }的通项公式；
(2)若 = +1，求数列{ }的前 项和 ．
17.(本小题15分)
如图，在三棱柱 1 1 1中， 1 ⊥平面 ， 是等边三角形，且 为棱 的中点．
(1)证明： ⊥平面 1 ．
(2)若2 1 = 3 ，求平面 1 与平面 1夹角的余弦值．
18.(本小题17分)
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2 2 1
已知椭圆 ： 2 + 2 = 1( > > 0)的左焦点为 1( , 0)，左、右顶点分别为 1， 2，离心率为 ，点 在椭 2
2

圆 上，直线 1(点 在点 1的右上方)被圆
2 + 2 = 截得的线段的长为 ，且| 1| = 2． 3
(1)求椭圆 的方程；

(2)过点 (√ 3, 0)的直线 交椭圆 于点 ， (异于 1， 2)，设直线
1
1 ， 2 的斜率分别为 1， 2，证明 为 2
定值，并求出该定值；

(3)设 为直线 1 和 2 的交点，记△ ，△ 1 2的面积分别为 1，
1
2，求 的最小值． 2
19.(本小题17分)
( + + + )
已知项数为 ( ∈ , ≥ 2)的数列{ }为递增数列，且满足 ∈
，若 = 1 2 ，且 ∈
，
1
则称{ }为{ }的“伴随数列”．
(1)数列4，10，16，19是否存在“伴随数列”，若存在，写出其“伴随数列”，若不存在，说明理由；
(2)若{ }为{ }的“伴随数列”，证明： 1 > 2 > > ；
(3)已知数列{ }存在“伴随数列”{ }，且 1 = 1， = 2025，求 的最大值．
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1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】( 3,2) ∪ (3,+∞)
13.【答案】 2 = 12
√ 6
14.【答案】
4
15.【答案】解：(1)因为抛物线 : 2 = 2 ( > 0)， (1, 0)，
所以| |

= 1 + = 2，所以 = 2，可得 : 2 = 4
2
所以焦点 的坐标(1,0)．
(2)因为点 (1, 0)在抛物线 上，所以
2
0 = 4，
又 (1, 0)位于第一象限，所以 0 = 2，所以 (1,2)，
过点 的直线 与 只有一个交点，直线 斜率不存在不合题意；
设直线 : 2 = ( 1)与 : 2 = 4 有且只有一个交点，
2 = ( 1)
由{ 2 ，得
2 4 +8 4 = 0，
= 4
当 ≠ 0时， = 16 4 (8 4 ) = 0，即 2 2 + 1 = 0，即 = 1，
当 = 0时， 4 +8 = 0， = 2只有一个根符合题意；
所以 的方程为 = 2或 2 = 1，即 = 2或 +1 = 0．
1 2 +1 1 1 1
16. 【答案】解：(1)证明：∵ +1 =
，则 = = + 2，即 = 2,
2 +1 +1 +1
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1
故数列{ }是首项和公差都为2的等差数列，

1
∴ = 2 + ( 1) × 2 = 2
1
，即 = ． 2
1 1 1 1 1
(2) ∵ = +1 = × = ( )， 2 2( +1) 4 +1
1 1 1 1 1 1 1 1
∴ = (1 + + + ) = (1 ) = ． 4 2 2 3 +1 4 +1 4 +4
17.【答案】解：(1)由三棱柱的性质可 1// 1，
∵ 1 ⊥平面 ，∴ 1 ⊥平面 ，
∵ 平面 ，∴ 1 ⊥ ，
∵ 为 的中点，且 是等边三角形，∴ ⊥ ，
∵ , 1 平面 1 ， 1 ∩ = ，
∴ ⊥平面 1 ．
(2)取 1 1的中点 1，连接 1，由题意可得 , , 1两两垂直，
以 为坐标原点，以 , , 1所在直线分别为 , , 轴，建立如图所示的空间直角坐标系．
设 = 2, 1 = 3，
则 ( 1,0,0), (1,0,0), (0,√ 3, 0), (0,0,0), 1( 1,0,3), 1(0,√ 3, 3)，
故 = (2,0,0), 1 = (1,√ 3, 3), 1 = ( 1,0,3), = (0,√ 3, 0)，
设平面 1 的法向量为 = ( 1, 1 , 1)，
1 = 1 +3 1 = 0则{ ，令 = 3，得 = (3,0,1)，

1
= √ 3 1 = 0
设平面 1的法向量 = ( 2 , 2 , 2)，
= 2
则{ 2
= 0
，令 2 = √ 3，得 = (0,√ 3, 1)，
1 = 2 + √ 3 2 + 3 2 = 0
设平面 1 与平面 1夹角为 ，
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| | 1 √ 10
则cos = |cos , | = = = ，
| || | √ 10×2 20
√ 10
即平面 1 与平面 1夹角的余弦值为 ． 20
2 1
18.【答案】解：(1)由已知有 = ，又由 2 = 2 + 2，可得 22 = 4
2， 2 = 3 2．
4
设直线 1的斜率为 ( > 0)，则直线 1的方程为 = ( + )，
2

由已知得( )2 + ( )2 = ，解得 = √ 3，
√ 2 2 3 +1
2 2
联立{4 2
+
3 2
= 1 8
消去 整理得5 2 + 8 = 0，解得 = 或 = 0．
5
= √ 3( + )
又点 在点 1的右上方，所以 的坐标为(0, )，所以| 1| = 2 = ，解得 = 1，
2 2
所以椭圆 的方程为 + = 1．
4 3
(2)显然直线 的斜率不为0，设直线 的方程为 = +√ 3， ( 1 , 1)， ( 2, 2).
2 2
+ = 1
联立{ 4 3 ，消去 整理得(3 2+ 4) 2 + 6√ 3 3 = 0，
= + √ 3
6√ 3 3
1 + 2 = 2 ， 3 +4 1
2 = ， + = 2√ 3 ． 3 2+4 1 2 1 2
1
1 1+2 1( 2 2) 1( 2+√ 3 2) 所以 = = = = 1
2+(√ 3 2) 1
2 2 2( 1+2) 2( 1+√ 3+2) 1 2+(√ 3+2) 22 2
√ 3( 1+ )+(√ 3 2)= 6 2
1 (7 4√ 3) = 1
+ 2 = 7 4 3．
√ 3 √
( + )+(√ 3+2) 1+(7+4√ 3)
6 1 2 2
2
(3)由(2)得直线 1 的方程为 = 1( + 2)，
直线 2 的方程为 = (7 + 4√ 3) 1( 2)，
4√ 3 4√ 3
联立两条直线方程，解得 = ，所以 ( , ). 3 3
又 ( 1, 1)， ( 2, 2)， 1( 2,0)， 2(2,0)，
1 4 4
1 | || |sin∠ | || | ( √ 3 1)( √ 3 2)所以 = 21 = =
3 3
2 | 1|| 2|sin∠ 1 2 | 1|| 2|
4 4
( √ 3+2)( √ 3 2)
2 3 3
(√ 3 )(√ 3 ) 2
3 1 3 2 1 √ 3 ( + )+3 3 21 2 1 2 +1 3 1= 4 = = 2 = 1 2 ≥ ， 4 3 +4 3 +4 4
3
1
当且仅当 = 0时，等号成立，所以 1的最小值为 ．
2 4
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4+10+16+19 4 4+10+16+19 10
19.【答案】解：(1) 1 = = 15， 2 = = 13， 4 1 4 1
4+10+16+19 16 4+10+16+19 19
3 = = 11， 4 = = 10，均为正整数， 4 1 4 1
所以数列4，10，16，19存在“伴随数列”，且其“伴随数列”是15，13，11，10．
(2)因为数列{ }存在“伴随数列”{ }，
所以 +1 > 0(1 ≤ ≤ 1)，且 ,

+1 ∈ ，
( 1+ 2+...+ ) ( 1+ 2+...+ ) 所以 +1 =
+1 = +1 ∈ ，
1 1 1
所以 +1 > 0，即 > +1，
所以 1 > 2 > 3 >. . . > ．
(3)①因为 1 = 1， = 2025，其中 ≥ 2，
(1+2025) 1 (1+2025) 2025
当 = 2时， 1 = 1， 2 = 2025，有 1 = = 2025 = = 1，均为正整数， 2 1 2 2 1
即当 = 2时，数列1，2025存在“伴随数列”：2025,1，
因此 的最小值为2；
②一方面，由(2)知， +1 = ( 1)( +1)≥ 1( = 1,2, . . . 1)，
于是 1 = ( 1)+ ( 1 2)+. . . +( 2 1)≥ ( 1) + ( 1)+. . . +( 1) =
( 1)2，
所以( 1)2 ≤ 2024 ≤ 45( ∈ )，
( 1+ 2+...+ ) ( + +...+ ) 另一方面，由数列{ }存在“伴随数列”{ }，知 = 1 1 2 = 1 1 = 1 1 1
2024
∈ ，
1
所以 1是2024的正约数，2024 = 2 × 2 × 2× 11× 23
1取2,4,8,11,22,23,44,46,88,92,184,253,506,1012,2024，
即 取3,5,9,12,23,24,45,47,89,93,185,254,507,1013,2025，
综合上述 = 45为最大值，取 = 44 43( = 1,2, . . . ,44)， 45 = 2025，
当1 ≤ ≤ 44时，
( 1+ 2+...+ ) (1+45+89+...+1893+2025) (44 43) = = 994 ∈
，符合条件，
45 1 44
( 1+ 2+...+ ) (1+45+89+...+1893+2025) 2025当 = 45， = = 947 ∈ ，符合条件 45 1 44
因此 的最大值为45．
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