浙江省宁波市镇海中学2024-2025学年高一（上）期末考试数学试题（PDF版，含答案）

浙江省宁波市镇海中学 2024-2025 学年高一（上）期末考试数学试题
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.将37 30′化为弧度是( )
5 5 5 7
A. B. C. D.
24 12 48 12

2.已知角 的终边过点(5, 12)，则cos ( + ) =( )
2
5 5 12 12
A. B. C. D.
13 13 13 13
3.已知向量 , 满足| | = 2, | | = 1, | | = 2，则 在 方向上的投影向量是( )

A. B. C. D.
8 4 4 2

4.将函数 = ( )图象向左平移 个单位长度，再将横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到函数 =
24
( cos 2 )的图象，则 ( ) =( )
6
5
A. cos4 B. cos (4 ) C. cos ( ) D. cos ( )
3 24 8

5.函数 ( ) = 2sin (2 ) + 的零点个数为( )
3 6
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
6.在[0,2 )内函数 ( ) = √ sin 2 + lg(2cos2 1)的定义域是( )
5
A. [0, ) B. ( , ]
6 3
5 2
C. [0, ) ∪ ( , ] D. [0, ) ∪ ( , ]
6 6 3 3
7.已知等边三角形 的边长为2，点 为 内切圆上一动点，若 = + ，则3 + 3 的最
小值为( )
1
A. 2 B. 1 C. D. 1
3

8.已知0 < < , 0 < < 且3sin = sin(2 + )，则tan 的最大值为( )
2 2
√ 2 √ 2
A. B. C. 1 D. √ 2
4 2
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知平面向量 , , ，下列说法不正确的有( )
A. 若 // ， // ，则 // B. ( ) = ( )
C. | + | ≤ | + | + | | D. 若| + | = | |，则 = 0
第 1 页，共 8 页

10.已知函数 ( ) = sin (2 ) 2 2 ( )，则( )
3 6

A. 曲线 = ( )的一个对称中心为( , 0)
24

B. 函数 ( )在区间( , )单调递增
6 4
7
C. 函数 ( + )为偶函数
24
D. 函数 ( )在[0,2 ]内有4个零点

11.已知0 < < < 1,0 < < ，则下列选项正确的有( )
4
2
(sin ) sin A. < B. sin < sin


C. (sin ) sin > (cos ) tan D. 若sin = cos ，则 <
2
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.一个扇形的周长为24 + 8 ，面积为48 ，则此扇形的圆心角为 . (用弧度制表示)
13.设 , 是平面内不共线的一组基底， = 3 + , = 2 + 4 , = 4 2 ，若 , , 三点共线，
则实数 = ．

14.已知函数 ( ) = cos( )，其中 > 0，在(2,5]上有6个零点，则 的范围为 ．
6
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
如图，在平行四边形 中，点 为 中点，点 ， 在线段 上，满足 = = ，设 = , = ．
(1)用 , 表示向量 ；
(2)若| | = √ 3, | |

= 1, ∠ = ，求| |．
6
16.(本小题15分)
( 4 5已知 ∈ 0, ), ∈ (0, ) , sin( ) = , cos( + ) = ．
2 5 13
(1)分别求cos( )和sin( + )的值；
(2)求cos 的值．
17.(本小题15分)
第 2 页，共 8 页

已知函数 ( ) = cos (2 ) + √ 3 2 + sin cos ．
6
2 3√ 3
(1)若 是三角形中一内角，且 ( ) = ，求 的值；
3 2
( ) √ 3 11
(2)若函数 ( ) = 2 2 在[ , ]，有唯一零点，求 的范围．
12 12
18.(本小题17分)

已知函数 ( ) = 2cos( + ) ( > 0, | | < )的部分图象如图所示，
2
(1)求 ( )的解析式；

(2)已知 ( )在 ∈ [ , )的值域为[ 2, √ 3]，求 的取值范围；
6
1
(3)将 ( )图象上所有点纵坐标缩短为到原来的 (横坐标不变)，再将所得到图象向右平移 个单位长度得到
2 4
( )的图象.已知关于 的方程 ( ) + ( ) = 在[0, )内有两个不同的解 , ．
①求实数 的取值范围；
②求cos(2 2 )的值. (用 表示)
19.(本小题17分)
固定项链的两端，在重力的作用下项链所形成的曲线是悬链线. 1691年，莱布尼茨等得出“悬链线”方程 =

( + ) +
，其中 为参数.当 = 1时，就是双曲余弦函数cos = ，类似的我们可以定义双曲正弦函数
2 2

sin = .它们与正，余弦函数有许多类似的性质．
2
(1)已知sin = 1，求cos ；
(2)类比正弦函数，余弦函数的二倍角公式，请写出双曲正弦函数(或双曲余弦函数)的一个正确的结论(即求
sin 2 或cos 2 )并证明；
1
(3)已知 ( ) = (cos 2 + 5 + )2 + ( cos + )2，对任意的 ∈ 和任意的 ∈ [ 1,1]，都有 ( ) ≥ 恒
2
成立，求 的取值范围．
第 3 页，共 8 页
1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
2 2
12.【答案】 或
3 3
13
13.【答案】
3
26 11 29 32
14.【答案】[ , ) ∪ [ , )
15 6 15 15
15.【答案】解：(1) =
1 1 1
= + = + ，
2 3 2
=
1 1 1 1
+ = + ( ) ，
3 2 3 2
1 2 1 2
= + = + ；
6 3 6 3
(2)
1 1 1 1
= = + = ( ) + ，
3 2 3 2
1 1 1 1
= + = + ，
6 3 6 3
又| | = √ 3, | |

= 1, ∠ = ，
6
2 21 1 1 2 1 1 2
所以| | = ( + ) = + + ，
6 3 36 9 9
1 1 1 13
= × 3 + × √ 3 × 1 × cos + × 1 = ，
36 9 6 9 36
所以|
√ 13
| = ．
6
第 4 页，共 8 页

16.【答案】解：(1)因为 ∈ (0, ), ∈ (0, ),
2
4
所以 ∈ ( , )，又因为sin( ) = > 0，
2 5
16 3
所以 ∈ (0, )，则cos( ) = √ 1 2( ) = √ 1 = ，
2 25 5

因为 ∈ (0, ), ∈ (0, ),
2
3 5
所以 + ∈ (0, )，又因为cos( + ) = > 0，
2 13
2
5 12
所以 + ∈ (0, )，则sin( + ) = √ 1 2( + ) = √ 1 ( ) = ，
2 13 13
(2)cos2 = cos[( ) + ( + )]
= cos( )cos( + ) sin( )sin( + )
3 5 4 12 33
= × × = ,
5 13 5 13 65
2 33即2 1 = ，
65
4√ 65
可得cos =
65
17.【答案】解：(1)由题意得，
√ 3 1 √ 3 1
( ) = cos2 + sin2 + (1 + cos2 ) + sin2
2 2 2 2
√ 3 √ 3
= sin2 + √ 3cos2 + = 2sin (2 + ) + ，
2 3 2
2 4 √ 3 3√ 3 4 √ 3
∴ ( ) = 2sin ( + ) + = ，∴ sin ( + ) = ，
3 3 3 2 2 3 3 2
4 5
∵ 0 < < ，∴ < + < ，
3 3 3 3
4 2
∴ + = ，解得 = ．
3 3 3 4
( ) √ 3 ( ) ( )
(2)由(1)得， ( ) = 2 = 22sin 2 + = 4sin 2 +2 3 3 ，

由 ( ) = 0得sin (2 + ) = ，
3 4

令2 + = ，由 ∈ [
11
, ]得 ∈ [
13
, ]，
3 12 12 2 6
13 13
问题转化为函数 ( ) = sin , ∈ [ , ]与直线 = 4 有唯一交点，作出 ( )在[ , ]上的函数图象， 2 6 2 6
第 5 页，共 8 页
5 13
∵ ( ) = 1， ( ) = ( )
1 3
= ， ( ) = 1
2 6 6 2 2
1 1
∴ < 4 ≤ 1或 4 = 1，解得2 < ≤ 4或 = ． 2 4
1
∴ 的范围是2 < ≤ 4或 = ．
4
3 13 3 2
18.【答案】解：(1)由图象可知， = = ，所以 = ，则 = = 2，
4 12 3 4
所以 ( ) = 2cos(2 + )，
2 2
因为 ( ) = 2cos ( + ) = 0即cos ( + ) = 0，
3 3 3
2 7 2
因为 < < ，则 < + < ，所以 + = ，解得 = ，
2 2 6 3 6 3 2 6
( ) ( 因此 = 2cos 2 )；
6
7 7
(2) ( ) = 2cos ( ) = √ 3， ( ) = 2cos ( ) = 2，
6 3 6 12 6 6
7
<
12
由题意 ( )在 ∈ [ , )的值域为[ 2, √ 3]，结合题干图象知{ + , 6 6 7 ≤
2 12
1
(3)①将 ( )图象上所有点纵坐标缩短为到原来的 (横坐标不变)，
2

再将所得到图象向右平移 个单位长度得到 ( ) = cos [2 ( ) ] = sin (2 )的图象，
4 4 6 6

则 = ( ) + ( ) = 2cos (2 ) + sin (2 ) = √ 5sin (2 + )，其中tan = 2，
6 6 6

因为tan = 2 > √ 3 = tan ，所以 < < ，所以 < < ，
3 3 2 6 6 3
2
又因为 = = ，所以[0, )是函数一个周期的区间．
2

所以若方程 = √ 5sin (2 + )在[0, )内有两个不同的解，
6
只需| | < √ 5，即 √ 5 < < √ 5即为所求．
第 6 页，共 8 页

②令 = ，因为于 的方程 ( ) + ( ) = 在[0, )内有两个不同的解 , ，
6

所以 , 满足√ 5sin(2 + ) = ，即sin(2 + ) = sin(2 + ) = ， ≠ ，
√ 5

又 = sin(2 + )的对称轴由2 + = + , ∈ ，
2
3
结合 ∈ [0, )得对称轴为 = 或 = ，
4 2 4 2
3
可知 = ， = 关于对称轴对称，所以 + = 2 ( )或 2 ( )，
4 2 4 2
所以2 + 2 = 2 或3 2 ．
当2 + 2 = 2 时，
2 2
cos(2 2 ) = cos( 2 4 ) = cos2(2 + ) = 2 2(2 + ) 1 = 1．
5
当2 + 2 = 3 2 时，
2 2
cos(2 2 ) = cos(3 2 4 ) = cos2(2 + ) = 2 2(2 + ) 1 = 1．
5
2 2
故cos(2 2 ) = 1．
5

19.【答案】解：(1)因为sin = = 1，所以 = 2，
2
所以 2 2 + 2 = 4，即 2 + 2 = 6，所以( + )2 = 2 + 2 + 2 = 8，

+
所以 + = 2√ 2，所以cos = = √ 2．
2
(2)类比正弦函数、余弦函数的二倍角公式，
得双曲正弦函数sin 2 = 2sin cos (或双曲余弦函数cos 2 = 2cos 2 1)；
2 2 ( + )( )
证明如下：sin 2 = = = 2sin cos ；
2 2
2
(
2 + 2 ( + )2 2 +
cos 2 = = = 2 ( ) 1 = 2cos 2 1)．
2 2 2
(3)因为cos 2 = 2cos 2 1，设 = cos ，则cos 2 = 2 2 1，
1 + 2 +1
当 ∈ [ 1,1]时， ∈ [ , ]，所以 = cos = ∈ [1, ]，
2 2
所以 ( ) = (cos 2 + 5 + )2 + ( cos + )2，
2 2
2 2 2 2 +4+ 2 (2
2 +4)
可化为 ( ) = (2 + 4 + ) + ( + ) ≥ 2( ) = ，
2 2
(2 2
2
+4) 1 2+1
由题意，只需 ≥ ，对任意 ∈ [1, ]恒成立即可，
2 2 2
第 7 页，共 8 页
3 5
即2 2 + 4 ≥ 1或2 2 + 4 ≤ 1，所以 ≤ 2 + 或 ≥ 2 + 恒成立；

3 3 3 2+1
= 2 + ≥ 2√ 2 = 2√ 6，故 = 2 + 在 ∈ [1, ]上的最小值是2√ 6，
2
3 √ 6
当且仅当2 = 即 = 时取得最小值；
2
2+1 5 5 2+1
因为 < √ ，所以由对勾函数性质知 = 2 + 在 ∈ [1, ]上单调递减，
2 2 2
5 2+1
所以 = 2 + 在 ∈ [1, ]上的最大值是7，当 = 1取得最大值；
2
所以 的取值范围是( ∞, 2√ 6] ∪ [7, +∞)．
第 8 页，共 8 页