天津市第一中学2024-2025学年高二（上）期末质量调查数学试卷（PDF版，含答案）

天津市第一中学 2024-2025 学年高二（上）期末质量调查数学试卷
一、单选题：本题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求
的。
1.在等比数列{ }中，若 5 = 4， 7 = 8，则 11 =( )
A. 32 B. 16 C. 16 D. 32
2.已知抛物线 2 = 8 上一点 到焦点 的距离为6，则 的中点到 轴的距离为( )
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
1 1
3.数列{ }中， 1 = ， = 1 ( ≥ 2)，则 4 2023
的值为( )
1
1 4 5
A. B. C. 5 D.
4 5 4
4.设 ∈ ，则“ = 1”是“直线 21: + 2 = 0与直线 2: ( 2) + 2 = 0平行”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
2 2
5.已知双曲线 2 2 = 1( > 0, > 0)的右焦点到抛物线
2 = 2 ( > 0)的准线的距离为4，点(2,2√2)是

双曲线的一条渐近线与抛物线的一个交点，则双曲线的标准方程为( )
2 2 2 2 2 2 2 2
A. = 1 B. = 1 C. = 1 D. = 1
4 5 5 4 6 3 3 6
1+2+3+ + 1
6.数列{ }满足 = ，则数列{ }的前 项和为( ) +1
2 2 2
A. B. C. D.
+2 +2 +1 +1
+ 5 +5
7.等差数列{ }，{ }的前 项和分别为 ， ，且

= ( ∈
)，则 5 =( )
3 +2 5
13 17 21 33
A. B. C. D.
17 23 29 47
8.已知点 为抛物线 2 = 2 ( > 0)上一动点，点 为圆 ：( + 2)2 + ( 4)2 = 1上一动点，点 为抛物
线的焦点，点 到 轴的距离为 .若| | + 的最小值为3.则 =( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
9.2013年9月7日，习近平总书记在哈萨克斯坦纳扎尔巴耶夫大学发表演讲并回答学生们提出的问题，在谈
到环境保护问题时他指出：“我们既要绿水青山，也要金山银山.宁要绿水青山，不要金山银山，而且绿水
青山就是金山银山.”“绿水青山就是金山银山”这一科学论断，成为树立生态文明观、引领中国走向绿色
发展之路的理论之基.某市为了改善当地生态环境，2014年投入资金160万元，以后每年投入资金比上一年
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增加20万元，从2021年开始每年投入资金比上一年增加10%，到2024年底该市生态环境建设投资总额大约
为( )(其中1. 13 = 1.331，1. 14 ≈ 1.464，1. 15 ≈ 1.611)
A. 2559万元 B. 2969万元 C. 3005万元 D. 3040万元
2 2
10.设双曲线 : 2 2 = 1( > 0, > 0)的右焦点为 ，双曲线 上的两点 、 关于原点对称，且满足
= 0，| | < | | ≤ 3| |，则双曲线 的离心率的取值范围是( )
√ 10 √ 10
A. [ , +∞) B. [√ 2,+∞) C. ( , +∞) D. (√ 2,+∞)
2 2
二、填空题：本题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分。
11.等比数列{ }的首项为1，项数为偶数，且奇数项和为85，偶数项和为170，则数列的项数为 ．
12.已知抛物线 2 = 2 ( > 0)，经过抛物线上一点(1,2)的切线截圆 : ( )2 + 2 = 4( > 0)的弦长为
2√ 2，则 的值为 ．
4 1 2 4043
13.已知函数 ( ) = + sin ，则 ( ) + ( ) + + ( ) = ； 2 +2 2022 2022 2022
14.已知数列{ }满足 1 = 1， 2 = 2， +2

= ( 1) + 2，则数列{ }的前40项和为 ．
15.历史上第一个研究圆锥曲线的是梅纳库莫斯(公元前375年 325年)，大约100年后，阿波罗尼斯更详尽、
系统地研究了圆锥曲线，并且他还进一步研究了这些圆锥曲线的光学性质：如图甲，从椭圆的一个焦点出
发的光线或声波，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点，其中法线 ′表示与椭圆 的切线垂直且
过相应切点的直线，如图乙，椭圆 的中心在坐标原点，焦点为 1( , 0), 2( , 0)( > 0)，由 1发出的光经
椭圆两次反射后回到 1经过的路程为8 .利用椭圆的光学性质解决以下问题：
(1)椭圆 的离心率为 ．
(2)点 是椭圆 上除顶点外的任意一点，椭圆在点 处的切线为 , 2 22在 上的射影 在圆 + = 8上，则椭
圆 的方程为 ．
16.已知{ }是各项均为正整数的无穷递增数列，对于 ∈
，定义集合 = { ∈
| < }，设 为集合
中元素的个数，若 = 时，规定 = 0．
(1)若 = 2
，则 10 =
(2)若数列{ }是等差数列，则数列{ }的 前50项之和为
三、解答题：本题共 4 小题，共 48 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
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17.(本小题12分)
如图所示的几何体中，四边形 为矩形， ⊥平面 ， // ， = 2， = = 2 = 1，
点 为棱 的中点．
(1)求证： //平面 ；
(2)求平面 与平面 的夹角的余弦值；
(3)求点 到平面 的距离．
18.(本小题12分)
已知等差数列{ }的前 项和为 ，公差 ≠ 0，且 3 + 5 = 50， 1， 4， 13成等比数列．
(1)求数列{ }的通项公式

(2)设{ }是首项为1，公比为3的等比数列；

①求数列{ }的前 项和
②若不等式 + 2
2 ≤ 0对一切 ∈ 恒成立，求实数 的最大值
19.(本小题12分)
2 2 √ 6
已知椭圆 ： 2 + 2 = 1( > > 0)的离心率为 ，且左、右顶点以及下顶点所构成的三角形的面积为√ 3． 3
(1)求椭圆 的标准方程；
(2)若直线 ： = + ( ≠ 0)与椭圆 交于 、 两点，与 轴交于点 (与 、 不重合)，线段 的垂直
平分线与 交于点 ，与 轴交于点 ， 为坐标原点．若 = ，求直线 的斜率．
20.(本小题12分)
2 +1 1
设函数 ( ) = ( > 0)，数列{ }满足 1 = 1，


= ( ) ( ∈ ，且 ≥ 2)
1
(1)求数列{ }的通项公式
(2)设 = 1 2 2 3 + 3 4 4 5 + +( 1)
1 +1，求
(3)是否存在以 1为首项，公比为 (0 < < 5, ∈
)的等比数列{ }， ∈ ，使得数列{ }中每一项都
是数列{ }中不同的项，若存在，求出所有满足条件的数列{ }的通项公式；若不存在，说明理由
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1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】8
12.【答案】1
13.【答案】4043
14.【答案】820
1 2 2
15.【答案】 ； + = 1
2 8 6
16.【答案】3；210
17.【答案】解：(1)
连接 ，交 于点 ，由 ， 分别为 和 的中点，得 // ，
而 平面 ， 平面 ，所以 //平面 ．
(2)
由直线 ⊥平面 ， , 平面 ，得 ⊥ , ⊥ ，
由矩形 ，得 ⊥ ，以 为原点，直线 , , 分别为 , , 轴，建立空间直角坐标系，
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1
则 (0,0,0), (1,0,0), (1,2,0), (0,0,1), (0,1, )，
2
= (0,2,0),
1
= ( 1,0,1), = (1,2,0), = (0,1, )，
2
= 2 = 0
设平面 的法向量 = ( , , )，则{ ，令 = 1，得 = (1,0,1)，
= + = 0
= + 2 = 0
设平面 的法向量为 = ( , , )，则{ 1 ，令 = 1，得 = (2, 1,2)，
= + = 0
2
| | 4 2√ 2
所以平面 与平面 的夹角的余弦值为|cos , | = = = ．
| || | √ 2×3 3
【小问3详解】
由(2)知，平面 的法向量 = (2, 1,2)，而 = (0,0,1)，
| | 2
所以点 到平面 的距离 = = ．
| | 3
18.【答案】解：(1)
因为数列{ }是等差数列，且 3 + 5 = 50， 1， 4， 13成等比数列，
3( 1+ 所以 3
) 5(
+ 1
+ 5) 3(2 +2 ) 5(2 +4 )= 1 + 1 = 50，整理得8 1 + 13 = 50①， 2 2 2 2
( 4)
2 = ( 1 + 3 )
2 = 1 13 = 1( 1 + 12 )，整理得3 = 2 1②，
由①②联立解得 1 = 3， = 2，
所以 = 2 + 1．
(2)

①因为{ }是首项为1，公比为3的等比数列，所以 = 1 × 3 1 = 3 1，

由(1)可得 1 = (2 + 1) 3 ，
所以 = 3 × 3
0 + 5 × 31+. . . +(2 + 1) × 3 1③，
3 = 3 × 3
1 + 5 × 32+. . . +(2 + 1) × 3 ④，
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3(1 3 1)
③ ④得 2 = 3 + 2(3
1 + 32+. . . +3 1) (2 + 1) × 3 = 3 + 2 × (2 + 1) × 3 = 2 ×
1 3
3 ，
所以 = × 3

(3+2 +1)
②由(1)得 2 = = + 2 ， 2
所以不等式 2 2 + 2 ≤ 0对一切 ∈ 恒成立，将 , 代入整理得 × 3 + 2 ≤ 0对一切 ∈
恒成立，
2
所以 ≤ 恒成立对一切 ∈ 恒成立， 3
2
令 ( ) = ( ∈ )，则 ( )min ≥ ， 3
1 2 2 5
因为 ( + 1) ( ) = +1 = +1， 3 3 3
当1 ≤ ≤ 2时， ( + 1) ( ) < 0，当 ≥ 3时， ( + 1) ( ) > 0，
所以 (1) > (2) > (3)， (3) < (4) < (5) <. ..，
1 1
所以 ≤ ( )min = (3) = ，即实数 的最大值是 ． 27 27
19.【答案】解：(1)
2
√ √ 6 1 =
由题设知：{ 2 3 ，解得 = √ 3, = 1，
1
× 2 = √ 3
2
2
∴椭圆 的标准方程为： + 2 = 1．
3
(2)
设 ( 1, 1), ( 2, 2)，由 ： = + ( ≠ 0)得 与 轴的交点 (0, )，
2
联立{ +
2 = 1
3 ，消 得：(1 + 3 2) 2 + 6 + 3 2 3 = 0
= +
则 = (6 )2 4(1 + 3 2)(3 2 3) > 0，即3 2 2 + 1 > 0
6 3( 2 1)
且 1 + 2 = 2 , 1 2 = 2 ，
1+3 1+3
1+ + 3 ∴ 的中点 ( 2 , 1 2)，即 ( , )
2 2 2 21+3 1+3
1 3
∴ 的垂直平分线方程为： 2 = ( + 2)，
1+3 1+3
2 2
令 = 0，得 = 2，∴ (0, 2)
1+3 1+3
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∵ = ∴ | | = | |
2 √ 3
∴ | 2| = | |，解得 = ±
1+3 3
√ 3
所以直线 的斜率为± ．
3
20.【答案】解：(1)
1
1 2× +1
因为 = ( ) =
1
1 =

1
+ 2, ( ∈ ,且 ≥ 2)，
1
1
所以 1 = 2.因为 1 = 1，
所以数列{ }是以1为首项，公差为2的等差数列．
所以 = 2 1．
(2)
①当 = 2 , ∈ 时，
= 2 = 1 2 2 3 + 3 4
2 1
4 5 + +( 1) 2 2 +1
= 2( 1 3) + 4( 3 5) + +
2 ( 2 1 2 +1)
+
= 4( 2 + 4 + + ) = 4 ×
2 2
2 × = (8
2 + 4 ) = 2 2 2
2
②当 = 2 1, ∈ 时，
= 2 1 =
2 1
2 ( 1) 2 2 +1
= (8 2 + 4 ) + (4 1)(4 + 1) = 8 2 4 1 = 2 2 + 2 1
2 2 2 , = 2 ,
所以 = {2 2
+ 2 1, = 2 1
(3)
由 = 2 1，知数列{ }中每一项都不可能是偶数．
①如存在以 1 = 1为首项，公比 为2或4的数列{ }， ∈
，

此时{ }中每一项除第一项外都是偶数，故不存在以 1为首项，公比为偶数的数列{ }．
②当 = 1时，显然不存在这样的数列{ }．
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当 = 3时，若存在以 1 = 1为首项，公比为3的数列{

}， ∈ ．
3 1+1
则 = 1， 1 = 1，
1
= 3 = 2 1， = 1 2
3 1+1
所以满足条件的数列{ }的通项公式为 = 2
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