教案
课题
24.1测量
课型
新授课
第 1课时
教学
目标
知识与能力
复习巩固相似三角形知识，掌握测量方法
过程与方法
通过测量旗杆高度的活动，巩固相似三角形有关知识，累积数学活动经验，使学生初步学会数学建模的方法
情感态度与价值观
通过运用相似以及已学过的知识探索解三角形的方法，体验教学研究和发现的过程，逐渐培养学生用数学说理的习惯，激起学生学习后续内容的积极性
内容
分析
教学重点
掌握测量方法。
教学难点
理解并掌握测量方法。
教法
学法
合作探究
教具学具
PPT 三角板
教
学
过
程
集体备课（共案）
二次备课修正（个案）
年 月 日
创设情境、激趣导入
复习相似三角形的主要性质？
2、当你走进学校，仰头望着操场旗杆上高高飘扬的五星红旗时，你也许想知道操场旗杆有多高？我们知道可以利用相似三角形的对应边，首先请同学量出太阳下自己的影子长度，旗杆的影子长度，再根据自己的身高，计算出旗杆的高度。（100页图24.1.1）
如果在阴天，你一个人能测量出旗杆的高度吗？
二、提出问题、探索新知
书.P.98试一试.
如图所示，站在离旗杆BE底部10米处的D点，目测旗杆的顶部，视线AB与水平线的夹角∠BAC=34°，并已知目高AD为1米。现在请你按1：500的比例得△ABC画在纸上，并记为△A1B1C1,用刻度尺量出纸上B1C1的长度，便可以算出旗杆的实际高度。你知道计算的方法吗？
解：∵△ABC∽△A1B2C3, ∴AC:A1C1=BC:B1C1=500:1
∴只要用刻度尺量出纸上B1C1的长度，就可以计算出BC的长度，加上AD长即为旗杆的高度。若量得B1C1=a㎝，则BC=500a㎝=5a㎝。故旗杆高(1+5a)m.
说明：利用相似三角形的性质测量物体高度或宽度时，关键是构造和实物相似的三角形，且能直接测量出这个三角形各条线段的长，再列式计算出实物的高或宽等。
合作交流、尝试练习
例2.为了测出旗杆的高度，设计了如图所示的三种方案，并测得图(a)中BO=6m,OD=3.4m,CD=1.7m图(b)中CD=1m,FD=0.6m,EB=1.8m图(c)中BD=9m,EF=0.2；此人的臂长为0.6m。
说明其中运用的主要知识；（2）分别计算出旗杆的高度。
（a） （b）
(C)
分析：图(a)和图(c)都运用了相似三角形对应边成比例的性质，图(b)运用了同一时刻的物高与影长成正比的性质。
解：（1）∵△AOB∽△COD,∴ 即 ∴AB=3(m).
（2）∵同一时刻物高与影长成正比，∴ 即 ∴AB=3(m).
（3）∵△CEF∽△CAB ∴ 即 ∴AB=3(m).
方法技巧：测量物体的高度可利用自己的身高、臂长等长度结合相似形的性质求出物高，也可以运用同一时刻的物高与影长成正比的性质测量物体的高度。
联系实际、应用拓展
设计一种方案，测量学校科技楼的高度。请写出测量的过程，并简要说明这样做的理由。
分析：测量大楼的高度的方法很多，现采用一种方法，利用人的身高和标杆，依据相似三角形三角对应成比例和平行线的性质，可测出大楼的高度。
解答：测量过程如下：
1、在地面上立一个标杆，使人眼、杆顶、楼顶在一条直线上。
2、测出CF、CH的距离。
3、算出KE的长度。
4、用标杆长度减去人的身高，即DE的长度。
5、由DE∥AB得△KDE∽△KAB。又因为相似三角形三边对应成比例，∴。
6、再将刚才测量的数值代入比例式中，计算出AB的长度。
7、用AB加上人的身高即得出大楼的高度。
探究点拔：1.选择测量的方法应是切实可行的。如本题中人眼、杆顶、楼顶在一条直线上（人是站立的）。
2．大楼的高度=AB+人高。
3．测量的过程要清楚，力求每步都有根有据，达到学以至用。
归纳小结、巩固练习
本节课你收获了什么？
练习：EX1、2
板书
24．1测量
1、利用太阳光测量旗杆的高度 2、测仰角，利用直角三角形求解
作业设计
书101页，习题1、2、3
练习册59-60页
教后
反思
字体仿宋，5号
课件15张PPT。 24．1 测量相似三角形 C 10 25 DC C4 0.5 4 解：电线杆的高为6米C B 1.5 54 解：根据物体成像原理知：△LMN∽△LBA，
∴MNAB＝LCLD (1)∵像高MN是35 mm，
焦距是50 mm，拍摄的景物高度AB是4.9 m，
∴3550＝4.9LD，解得LD＝7.∴拍摄点距离景物7 m(2)拍摄高度AB是2 m的景物，拍摄点离景物LD＝4 m，
像高MN不变，∴35LC＝24.解得LC＝70.
∴相机的焦距应调整为70 mm教案
课题
24.2直角三角形的性质
课型
新授课
第 1课时
教学
目标
知识与能力
掌握直角三角形的性质，能利用直角三角形的性质定理进行有关的计算和证明
过程与方法
经历“计算-探索-发现-猜想-证明”的过程，引导学生体会合情推理与演绎推理的相互依赖和相互补充
情感态度与价值观
通过“计算-探索-发现-猜想-证明”的过程体验数学活动中的探索与创新，感受数学的严谨性，激发学生的好奇心和求知欲，培养学习的自信心。
内容
分析
教学重点
掌握直角三角形性质，能利用直角三角形的性质定理进行有关的计算和证明
教学难点
能利用直角三角形的性质定理进行有关的计算和证明
教法
学法
合作探索
教具学具
PPT 三角板
教
学
过
程
集体备课（共案）
二次备课修正（个案）
年 月 日
创设情境、激趣导入
什么是直角三角形？直角三角形中的两锐角有啥关系？两条直角边与斜边有什么关系？
直角三角形两锐角互余。
两条直角边的平方和等于斜边的平方（勾股定理）
即时练习：
(1)在直角三角形中，有一个锐角为52°，那么另一个锐角度数？在RT△ABC中，∠C=90°，∠A-∠B=30°，那么∠A=
∠B=
（2）在△ABC中，∠ACB=90°，CD是斜边AB上的高，那么与∠B互余的角有 ，与∠A相等的角有 ，与∠B相等的角有
（3）在直角三角形中，两条直角边分别为6,8，斜边的长为多少？
二、提出问题、探索新知
活动一：(1)画一个直角三角形（2）量一量斜边AB的长度（3）找到斜边的中点，用字母D表示（3）画出斜边上的中线（4）量一量斜边上的中线的长度
猜想:斜边上的中线与斜边长度之间有何关系？
活动二：证一证
已知：如图在直角三角形ABC中∠ACB=90°，CD是斜边AB上的中线，求证CD=?AB。
小组合作交流
证明（见书103页）
小结：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
合作交流、尝试练习
利用直角三角形的上述性质，可以解决某些与直角三角形有关的问题
例：在RT△中，∠ACB=90°，∠A=30°，求证：BC=?AB
证明（书103页）
小结：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。
联系实际、应用拓展
书104页练习1、2、3
归纳小结、巩固练习
回顾学习过所有的直角三角形的性质？
练习：书104-105页1、2、3题
板书
24.2直角三角形的性质
回顾 1、直角三角形两锐角互余。 例1；例2
即时练习： 2、两条直角边的平方和等于斜边的平方（勾股定理）
3、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
4、在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。
作业设计
练习册61页24.2
教后
反思
字体仿宋，5号
课件15张PPT。24.2 直角三角形的性质 5 A C 解：∵在△ABC中，∠ACB＝90°，
点D为边AB的中点，
∴DC＝DA.∵DE∥BC，
∴AE＝CE，∠A＝∠FCE.
又∵∠AED＝∠CEF，
∴△AED≌△CEF(ASA)．
∴DE＝EF212cmCD解：∵BC⊥AC，∠A＝30°，AB＝10 m，
∴BC＝5 m，∵CB1⊥AB，∠B＝90°－∠A＝60°，
∴∠BCB1＝90°－∠B＝30°，∴BB1＝2.5 m，
∴AB1＝AB－BB1＝7.5 m，
∵B1C1⊥AC，∠B1AC1＝30°，∴B1C1＝3.75 mC B C 点拨：证∠DGC＝∠DCG，得DG＝DC930° 23 课件12张PPT。24.3.1 锐角三角函数24.3.1 锐角三角函数 余弦正弦正切01011DC B D CBB 课件13张PPT。24.3.1 锐角三角函数24.3.1 特殊角的三角函数值ABDD230°60°CCC30°60°CCα＝60°解：解方程得x1＝1，x2＝3，由题意知tanA＝1或tanA＝3，
∴∠A＝45°或30°AACC BC②③④ 解：原式＝3＋2×22＋3－(－3)－23＋1＝3＋1＋3＋3－23＋1＝5 课件13张PPT。24.3.2 用计算器求锐角三角函数值A A CB186.8解：0.7524解：∠α≈48.2°解：∠β≈65°54′19″解：锐角α的正切值乘以其余角的正切值积为1><＝课件12张PPT。24.3.2 解直角三角形及其简单应用已知未知五两三锐角C 45°45° 20 解：AB＝66 ∠A＝30° ∠B＝60°B D A C 2 5 解：由勾股定理得：a＝c2－b2＝42－（22）2＝22.
∵b＝22，a＝22，∠C＝90°，∴∠A＝∠B＝45° (2)c＝4，b＝2.解：连接AE，在Rt△ABE中，AB＝3 m，
BE＝3 m，则AE＝AB2＋BE2＝23 m，
又∵tan∠EAB＝BEAB＝33，
∴∠EAB＝30°，在Rt△AEF中，
∠EAF＝∠EAB＋∠BAC＝60°，
∴EF＝AE×sin∠EAF＝23×sin60°＝23×32＝3 m解：探究：过点B作BD⊥AC，垂足为D.∵AB＝c，∠A＝α，
∴BD＝c?sinα，∴S△ABC＝12AC?BD＝12bcsinα.
应用：过点C作CE⊥DO于点E.∴sinα＝ECCO.
∵在?ABCD中，AC＝a，BD＝b，∴CO＝12a，DO＝12b，
∴S△COD＝12CO?DO?sinα＝18absinα，
∴S△BCD＝12CE×BD＝12×12asinα×b＝14absinα应用：如图②，在?ABCD中，对角线AC，
BD相交成的锐角为α，若AC＝a，BD＝b，
试用含b，c，α的式子表示?ABCD的面积．应用：如图②，在?ABCD中，对角线AC，
BD相交成的锐角为α，若AC＝a，BD＝b，
试用含b，c，α的式子表示?ABCD的面积．课件12张PPT。24.3.2 解直角三角形及其简单应用仰角俯角182 2400 A解：过点B作BE⊥CD，垂足为E，在Rt△DEB中，
∠DEB＝90°，BE＝AC＝22(米)，
tan32°＝DEBE，
∴DE＝BE?tan32°≈22×0.62＝13.64(米)．
∵EC＝AB＝1.5，
∴CD＝CE＋ED＝1.5＋13.64＝15.14≈15.1(米)．
答：旗杆CD的高度为15.1米解：∵∠CBD＝∠A＋∠ACB，
∴∠ACB＝∠CBD－∠A＝60°－30°＝30°，
∴∠A＝∠ACB，∴BC＝AB＝10(米)．
在直角△BCD中，
CD＝BC?sin∠CBD＝10×32＝53≈5×1.732＝8.7(米)．
答：这棵树CD的高度为8.7米D 课件13张PPT。24.4.3 坡度与解直角三角形的应用越大30° 75°1∶2BB解：在Rt△ADC中，∵AD∶DC＝1∶2.4，AC＝13，
由AD2＋DC2＝AC2，得AD2＋(2.4?AD)2＝132，
∴AD＝5，∴DC＝12米．在Rt△ABD中，
∵AD∶BD＝1∶1.8，∴BD＝1.8?AD＝9米，
∴BC＝DC－BD＝12－9＝3(米)．
答：改动后电梯水平宽度增加部分BC的长为3米B 26 三案备课课时教案
课题
24.4解直角三角形(1)
课型
新授课
第 1课时
教学
目标
知识与能力
理解解直角三角形的概念，并能熟练地根据题目中的已知条件解直角三角形
过程与方法
通过综合运用直角三角形的相关知识解直角三角形，逐步培养学生分析问题解决问题的能力
情感态度与价值观
在教学中逐步培养学生分析问题、解决问题的能力，渗透数形结合的数学思想和方法
内容
分析
教学重点
根据条件解直角三角形
教学难点
从条件出发，正确选用适当的边角关系解题
教法
学法
启发诱导式
教具学具
PPT 三角板
教
学
过
程
集体备课（共案）
二次备课修正（个案）
年 月 日
创设情境、激趣导入
在直角三角形ABC中，∠C=90°，a,b,c，∠A，∠B这五个元素间有哪些等量关系？
勾股定理： （边与边的关系）
两锐角互余： （角与角的关系）
锐角三角函数：sinA= cosA= tanA=
sinB= cosB= tanB= (边角关系)
在直角三角形中，由已知元素求出未知元素的过程，叫做解直角三角形
二、提出问题、探索新知
在解直角三角形中，只有下面2种情况：
1、已知两条边
2、已知一条边和一个角
（交流讨论如何解直角三角形） （分类讨论思想）
试一试：
在RT△ABC中，∠C=90°，由下列条件解RT△ABC：
（1）
（2）∠A=30°，a=106
三、合作交流、尝试练习
例1：如图(书112图24.4.1)一棵大树在一次强烈的地震中于离地面5米处折断倒下，树顶落在离树根12米处，则大树在折断之前高多少？
分析：图形 已知2边，求第三边 （勾股定理）
解：（略）
在上题中还可以利用边角关系，求出另外2个锐角。
四、联系实际、应用拓展
例2，如图（书112图24.4.2）在相距2000米的东、西两座炮台A、B处同时发现入侵敌舰C，在炮台A处测得敌舰C在它的南偏东40°的方向，在炮台B处测得敌舰C在它的正南方，试求敌舰与两炮台的距离。
分析：本题是已知一边、一锐角，求其他两边。
解：（略）
五、归纳小结、巩固练习
1、解直角三角形：在直角三角形中，由已知元素求出未知元素的过程
2、解直角三角形的类型：1、已知两条边 2、已知一条边和一个角
3、在解题前：（1）图形（2）根据已知分清类型
4、练习：书113EX1、2
板书
24.4解直角三角形(1)
引入 解直角三角形 例1：
探究 例2：
解直角三角形的类型
作业设计
:1、书117习题1题
2、练习册69-70页
教后
反思
字体仿宋，5号
课件11张PPT。24.1 测量回顾练习小敏测得2m高的标杆在太阳光下的影长为1.2m，同时又测得一棵树的影长为12m，请你计算出这棵树的高度。旗杆在一个阳光普照的日子，当你走进学校，仰头望着操场旗杆上高高飘扬的五星红旗时，你知道怎样测量旗杆的高度吗？想一想旗杆利用量出竹竿在太阳下的影子长度、旗杆的影子长度、竹竿的高度，便可利用构造出相似三角形，从而求出旗杆的高度。竹竿ABCC1B1A1方案一方案二为了测量学校操场上的旗杆的高度，八（7）班
数学小组的同学进行了如下的实践与探索。
根据光的反射定律，利用一面镜子和一根皮尺，设计如图的测量方案：
1、把镜子放在离旗杆（AB）27m的点E处，然后沿直线
BE后退至点D，这时恰好
在镜子里看到迎风飘扬的红
旗顶端A，
2、再用皮尺量得DE的长为2.4m，
观测者的目高CD为1.6m，
则旗杆得高度为ABCDE怎么办？旗杆竹竿如果阴天，请你想办法测量出该旗杆的高度？并写出测量方案！旗杆竹竿如果阴天，请你想办法测量出该旗杆的高度？并写出测量方案！1、如图站在离旗杆BE底部10米处的D点，目测旗杆的顶部，地面34。BCEDA2、视线AB与水平线的夹角∠BAC为34。 ， 并且高AD为1.5米。3、现在请你按1：500的比例将ΔABC 画在纸上，并记为ΔA’B’C’ ，用刻度直尺量出纸上B’C’ 的长度，便可以算出旗杆的实际高度。测量示意图：测量步骤：还可以利用三角形的相似算旗杆的高度吗？为测量某建筑的高度，在离该建筑底部30.0米处，目测其顶，视线与水平线的夹角为40°，目高1.5米．试利用相似三角形的原理，求出该建筑的高度．（精确到0.1米）练习1学习小结 1、充分利用相似三角形的相关知识在测量中采用不同的方法或者设计不同的方案解决实际问题。 2、我们也可借助于直角三角形来完成测量的方案。课件20张PPT。24.2 直角三角形的性质矩形的判定： 定理1：有三个角是直角的四边形是矩形 定理2：对角线相等的平行四边形是矩形 有一个角是直角的平行四边形叫是矩形温故知新已知：在RtΔABC中，∠ACB=Rt∠,CD是斜边AB上的中线ACBDE证明：延长CD到E，使DE=CD= CE，连接AE，BE。 ∵CD是斜边AB上的中线，∴AD=DB。又∵CD=DE，∴四边形AEBC是平行四边形
（_________________________________）∴CE=AB（____________________________），∵ ∠ACB=Rt∠∴四边形AEBC是矩形
（______________________________________）对角线互相平分的四边形是平行四边形 有一个角是直角的平行四边形是矩形矩形的对角线相等 一边上的中线等于这条边的一半的三角形是直角三角形已知：在ΔABC中，CD是边AB上的中线，且求证： ΔABC是直角三角形∵CD是边AB上的中线，∴AD=DB又∵CD=DE，∴四边形AEBC是平行四边形∴CE=ABDE证明：延长CD到E，使DE=CD = CE，
连接AE，BE。 ∴四边形AEBC是矩形∴∠ACB=90°（对角线相等的平行四边形是矩形）∴△ABC是直角三角形还有其它证法吗？定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半∵CD是斜边AB上的中线，几何语言：一边上的中线等于这条边的一半的三角形是直角三角形推论：几何语言：在ΔABC中，CD是边AB上的中线，且∴ΔABC是直角三角形小结：1、证明一条线段是另一条线段的1/2或2倍，常用的定理：
“三角形的中位线定理”和“直角三角形的斜边上的中线等于斜边的一半”2、添辅助线的方法：延长短的使它等于原来的，再证相等；或在长的上截取一段使它等于短，再证中点。（2）如图，一斜坡AB的中点为D，BC=1，CD=2，则斜坡的坡比为______练一练（1）在Rt△ABC中，∠C=Rt∠，AC= BC=1，则AB边上的中线长为________（3）如图，在矩形ABCD中，E是BC的中点，∠BAE=30O，AE=2，则BD=________练一练（4）如图，在Rt△ABC中,中∠ACB=Rt∠,CD是斜边AB上的中线,已知∠DCA=250, ∠A= , ∠B= ;250650（5）如图，已知BC=20m， ∠B=∠C=30°， E、G分别为AB，AC的中点，P为BC的中点，且EF⊥BC， GH⊥BC，垂足分别为F，H，求EF、PG的长；练一练（6）一张平行四边形纸片如图。现要求剪一刀，把它分成两部分，然后做适当的图形变换，把剪开的两部分拼成一个矩形，说明你的剪法和所采用的变换。练一练例、求证：在直角三角形中，300角所对直角边等于斜边的一半。已知：在RtΔABC中，∠ACB=Rt∠, ∠A= 30°D证明其逆命题 在直角三角形中，等于斜边一半的直角边所对的角等于30°已知：在RtΔABC中，∠ACB=Rt∠, 求证：∠A= 30°D说明：上面两个性质只能局限于填空和选择题例1、已知：如图，△ABC中，BD，CE是高，G、F分别是BC，DE的中点。试判断FG与DE的位置关系，并加以证明。变式：已知：如图，在四边形ABCD中，∠ABC= ∠ADC=Rt∠，M是AC的中点，N是BD的中点。试判断MN与BD的位置关系，并加以证明。例2、已知：如图，AB与直线 相交于一点，过点A，B作 于C， 于D，M为AB的中点，连结MC，MD。 求证：MC=MDE做一做1、如图Ｒt⊿ABC中，∠ＡＣＢ＝９０°，点Ｄ，Ｆ分别是ＡＣ，ＢＣ边上的中点，点Ｅ是ＡＢ边上的中点，如果ＣＥ＝３，则ＤＦ＝＿＿＿∵点Ｅ是ＡＢ边上的中点，∠ＡＣＢ＝９０°∴ＣＥ是Ｒt⊿ABC的斜边的中线∴ＡＢ＝２ＣＥ＝２×３＝６
（＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿直角三角形的斜边的中线等于斜边的一半）∵点Ｄ，Ｆ分别是ＡＣ，ＢＣ边上的中点，∴DF是三角形ＡＢＣ的中位线∴(三角形的中位线等于第三边的一半） 2、 如图：在RtΔABC中，CD是斜边AB上的中线，已知∠DCA=200，则∠ A ＝＿＿，∠B＝____。20°70°∵CD是斜边AB上的中线∴CD=AD=BD= AB
(直角三角形的斜边中线等于斜边的一半）∴∠Ａ＝∠ＤＣＡ＝２０°∴∠Ｂ＝９０°－ ∠Ａ＝ ９０°－２０°＝７０°
（直角三角形两锐角互余）3、在矩形ABCD中，E是BC上一点，已知AE=AD,DF垂直与AE于点F,求证：CE=FE4、以?ABC的三边在BC 的同侧分别作三个等边三角形，即?ABC,?BCE,?ACF,请回答下列问题：（1）四边形ADEF是什么四边形？（2）当?ABC满足什么条件时，四边形ADEF是矩形？FEDCBA课堂小结：证明一条线段是另一条线段的1/2或2倍，
（１）常用的定理：（2）添辅助线的方法： “三角形的中位线定理”和“直角三角形的斜边上的中线等于斜边的一半” 延长短的一倍，再证它与长的线段相等；或在长的上截取中点,再证中点取得的一半等于短的，课件16张PPT。24.3 锐角三角函数24.3.1 锐角三角函数△ABC∽ △A1B1C1 当我们知道视线与水平线的夹角为34度时，能否直接求出旗杆的高度呢？溫故知新:直角三角形ABC可以简记为Rt△ABC，你能说出各条边的名称吗？那么， Rt△ABC 有哪些性质？角的性质：边的性质：除了这些性质之外，那么边和角之间有没有联系呢？B1C1Rt△ABC∽Rt△AB1C1C2B2Rt△ABC∽Rt△AB2C2所以 ＝________=________=可见，在Rt△ABC中，对于锐角A的每一个确定的值，其对边与邻边的比值是惟一确定的.B2C2
AC2tan A= tan A 叫做∠A的正切函数想一想对于锐角A的每一个确定的值，其对边与斜边、邻边与斜边、邻边与对边的比值也是惟一确定的吗？sin A= cos A= sinA 叫做∠A的正弦函数cos A 叫做∠A的余弦函数tan A叫做 ∠A的余切函数tan A= cot A= cotA叫做 ∠A的余切函数温馨提示：
1、sinA 不是一个角
2、sinA不是 sin与A的乘积
3、sinA 是一个比值
4、sinA 没有单位
正确表示：例1、求出如图所示的Rt△ABC中∠A的四个三角函数值.解：8思考：
1、sinA和cosA的取值范围；
2、sin2A+cos2A=?
tanA.cotA=?我来试一试：1、如图1，在Rt△MNP中，∠N＝90゜. ∠P的对边是_________,∠P的邻边是___________; ∠M的对边是________,∠M的邻边是___________;
2、求出如图2所示的Rt△DEC(∠E＝90゜)中∠D的四个三角函数值(用字母表示).3、设Rt△ABC， ∠C＝90゜ ∠A、 ∠B、 ∠C的对边分别为a、b、c，根据下列所给条件∠B的四个三角函数值：
（1）a=3，b=4； （2）a=5，c=13.4、如图，在Rt△ABC中， ∠C＝90゜，sinA= ,AB=15，求△ABC的周长和tanA的值.5、 Rt△ABC中，如果各边都扩大到原来的两倍，则锐角A的正切值（ ） A、扩大到2倍 B、缩小到2倍 C、扩大到4倍 D、没有变化 6、如图1,判断sinA= ACBD知识回顾：本节课我学会了：
1、
2、
……
课件14张PPT。24.3 锐角三角函数24.3.1 锐角三角函数锐角三角函数的内容1 锐角三角函数的定义
2 锐角三角函数定义的应用
A 锐角的正弦值和余弦值的取值范围
B 锐角三角函数的两个性质
3 特殊角的三角函数值
4 一个定理2018/11/2033锐角三角函数的定义
这是做其他题目的基础啊，一定要牢记定义的应用(一)取值范围：
在以后的计算过程中，如果出现了一个锐角的正弦值或是余弦值大于1—你啊，快点回头检查，一定在哪一步出现了错误！应用（二） 锐角三角函数的两个性质的证明两个三角函数性质的证明特殊角的三角函数值特殊角的三角函数值有时候，数学上的一些内容也需要你能牢记的---不过，看出规律以后，会加快你记住的速度的一个定理这个结论你知道是如何得出的吗？ 随堂练习答案（1-----3题）设k法在很多有关的函数问题中经常用到答案（4---5题）怎么样啊？你是不是很快的想出了这个方法啊？ 结束课件14张PPT。24.3.1 锐角三角函数欢迎各位光临指导！我们已经知道，如图：直角三角形ABC可以简记为Rt△ABC，直角∠C所对的边AB称为斜边，用c表示，另两条直角边分别叫∠A的对边与邻边，用a、b表示.∠A的对边a 脑中有“图”，心中有“式”如图，在Rt△MNP中，∠N＝90゜. ∠P的对边是__________,∠P的邻边是_______________; ∠M的对边是__________,∠M的邻边是_______________; MNPNPN MN观察图中的Rt△AB1C1、Rt△AB2C2和Rt△AB3C3，它们相似吗？Rt△AB1C1∽Rt△AB2C2∽Rt△AB3C3可见，在Rt△ABC中，对于锐角A的每一个确定的值，其对边与邻边的比值是唯一确定的.B2C2
AC2B3C3
AC3对于锐角A的每一个确定的值，其对边与斜边、邻边与斜边、邻边与对边的比值也是惟一确定的 吗？想一想注意： 1. 我们研究的锐角三角函数都是在直角三角形中定义的.2. 三角函数的实质是一个比值，没有单位，而且这个比值 只与锐角的大小有关与三角形边长无关.3. sin A、cos A、tan A、cot A都是表达符号,它们是一 个整体,不能拆开来理解.
4. sin A、cos A、tan A、cot A中∠A的角的记号“∠”∠习惯省略不写,但对于用三个大写字母和阿 拉伯数字表示的角,角的记号“∠” 不能省略.如sin ∠1不能写成sin1.1、下图中∠ACB=90°，
(1)指出∠A的对边、邻边。
2、上题中如果CD=5，AC=10，
则sinA= 试一试(3)sinA可以表示为求出如图所示的Rt△ABC中∠A的四个三角函数值.示例：1.设Rt△ABC中∠ACB=90°, ∠A ∠B、 ∠C的对边分别a 、b 、c根据下列条件求∠B的四个三角函数值（1）a = 3 b = 4（2）a = 5 c = 13小试身手11tan A?cot A=2.猜一猜 做一做在Rt△ABC中,∠ACB=90°sinA= ,AB=10 .
求AC 、tanB
示例：解：在Rt△ABC 中，∠C=90°，
∵sinA= = AB=10
∴BC=AB× =8
∵AC= =6
∴tanB=
(4)把Rt△ABC的各边都扩大5倍得Rt△ A1B1C1 则锐角A， A1的余弦值关系是（ ）
A cos A= cos A 1 B 3cos A = cos A 1
C cos A= 3cos A1 D 不能确定(2)（ ）·cot20o=1，(1)在Rt△ABC 中∠ACB=90° ， BC:AC=3:4 cos A=Atan20o (3)( 50° )+ =1勇往直前 相信自己一定行在Rt△ABC 中， ∠ACB=90° ，AB=5 BC=3 CD⊥AB 求sin∠BCD登峰造极谈谈你这节课有什么收获布置作业
再见课件15张PPT。华师版九年级数学(上册)第二十四章 24.3.1 锐角三角函数1、角与角之间的关系：两锐角互余。2、边与边之间的关系：a2+b2=c2那么直角三角形的角与边之间又有什么关系？ 1、sinA、cosA是在直角三角形中定义的，∠A是锐角(注意数形结合，构造直角三角形)。
2、sinA、 cosA是一个比值（数值）。
3、sinA、 cosA的大小只与∠A的大小有关，而与直角三角形的边长无关。如图：在Rt △ABC中，∠C＝90°，正弦余弦 当直角三角形的一个锐角的大小确定时，其对边与邻边、邻边与对边比值也是惟一确定的吗？ 在直角三角形中，当锐角A的度数一定时，不管三角形的大小如何，∠A的对边与邻边的比是一个固定值。如图：在Rt △ABC中，∠C＝90°， 我们把锐角A的对边与邻边的比叫做∠A的 正切，记作 tanA；邻边与对边的比叫做∠A的 余切，记作 cotA.一个角的正切、余切表示定值、比值、正值。应用举例1、在Rt △ABC中，∠C＝90°，求∠A的三角函数值。 a=9 b=12 2、在△ABC中，AB=AC＝4，BC=6，求∠B的三角函 数值。下图中∠ACB=90°，CD⊥AB,垂足为D。指出∠A和∠B的对边、邻边。试一试：BCADBDAC 显然锐角三角函数都是正实数，你能利用直角三角形三边关系得到sinA与cosA的取值范围吗？0 已知∠A为锐角，sinA＝ ，求cosA、tanA的值。练一练：解：∵sin2A+cos2A=1
如图,在Rt△ABC中,锐角A的邻边和斜边同时扩大100倍,tanA的值（ ）
A.扩大100倍 B.缩小100倍
C.不变 D.不能确定C试一试：在Rt△ABC中 及时总结经验，要养成积累方法和经验的良好习惯！ 定义中应该注意的几个问题: 1、sinA、cosA、tanA、cotA是在直角三角形中定义的，∠A是锐角(注意数形结合，构造直角三角形)。 2、sinA、 cosA、tanA、cotA是一个比值（数值）。 3、sinA、 cosA 、tanA、cotA的大小只与∠A的大小有关，而与直角三角形的边长无关。 课本作业课后作业独立完成作业的良好习惯，是成长过程中的良师益友。课件9张PPT。24.3.2 用计算器求锐角三角函数值13:471 1 特殊角的三角函数值13:47求下列各式的值13:47如图，有一个斜坡，现在要在斜坡AB上植树造林，要保持两棵树水平间距为2m，那么沿斜坡方向每隔几米挖坑（已知斜坡面的倾斜角为16°18 ′ ）
同学们想一想
能求出两坑的距离吗？ABC13:47求sin63゜52′41″的值.（精确到0.0001）
求cot70゜45′的值.（精确到0.0001）
练 习1、
使用计算器求下列三角函数值.（精确到0.0001）
sin24゜, cos51゜42′20″,
tan70゜21′ cot70゜.例题1、13:47 例题2、
已知tan x=0.7410,求锐角x.
（精确到1′）
已知cot x=0.1950,求锐角x.
（精确到1′）
练习2、
已知锐角α的三角函数值，使用计算器求锐角α.（精确到1′）
（1）sin α=0.2476; （2）cosα=0.4174;
（3）tan α=0.1890; （4）cotα=1.3773.13:471、在Rt△ABC 中，∠C＝90゜，
已知AC＝21，AB＝29，
求∠A的度数
2. 在Rt△ABC中，∠C＝90゜，BC:AC＝3:4，求∠B的度数13:473、等腰△ABC中，顶角∠ACB＝108゜，
腰AC＝10cm，求底边AB的长及△ABC的
面积？13:47已知：直角三角形ABC中，∠C=900，∠BAC=300，延长CA到D使AD=AB，连接BD，你能运用三角函数求出∠D的正切、余切值吗？
?课件11张PPT。24.4 解直角三角形直角三角形a2+b2=c2（勾股定理）∠A+∠B=90o练习:
在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=12,
AB=13,则有
①根据勾股定理得:
BC=_________=______
②sinA =_____=_____
③cosA =_______ = _______
④tanA =_____=____ ⑤ cotA = ___ = ___
5132-12212135练习1：在电线杆离地面8米高的地方向地面拉一条长10米的缆绳，问这条缆绳应固定在距离电线杆底部多远的地方？ 1、在直角三角形中，由已知元素求出未知元素的过程，叫做解直角三形 ；3、在直角三角形中，如果已知两条边的长度，那么就可利用勾股定理求出另外的一条边。2、在解决实际问题时,应“先画图,再求解”； 概括4、在直角三角形中，如果已知两条边的长
度，能否求出另外两个锐角？虎门威远炮台 虎门威远的东西两炮台A、B相距2000米，同时发现入侵敌舰C，炮台A测得敌舰C在它的南偏东40゜的方向，炮台B测得敌舰C在它的正南方，试求:
(1)敌舰C与炮台A的距离;
(2)敌舰C与炮台B的距离.
(精确到1米） (1)在直角三角形中，已知一条边
和一个锐角，可利用三角函数来求另外
的边 .注意: (2)解直角三角形过程中，常会遇
到近似计算，本书除特别说明外，边长
保留四个有效数字，角度精确到
练习2：海船以32.6海里/时的速度向正北方向航行，在A处看灯塔Q在海船的北偏东30゜处，半小时后航行到B处，发现此时灯塔Q与海船的距离最短，求
(1)从A处到B处的距离;
(2)灯塔Q到B处的距离
（画出图形后计算，
精确到 0.1 海里） 小结
①定义：在直角三角形中，由已 知元素求出未知元素的过程，叫做解直角三角形;②在解决实际问题时,应“先画图,再求解”;
③解直角三角形，只有下面两种情况可解：
（1）已知两条边；
（2）已知一条边和一个锐角。
课件12张PPT。24.4 解直角三角形ABCbc1.三边关系3. 边角关系2.锐角关系90度例如，要测出一座铁塔的高度，一般需用测角仪测出一个角来，BE是铁塔，要求BE是不能直接度量的，怎样测量呢？
常常在距塔底B的适当地方，比如100米的A处，架一个测角仪，测角仪高1.52米，那么从C点可测出一个角，即∠ECD，比如∠ECD=24°24′，那么在Rt△ECD中，DE=CDtan∠ECD，显然DE＋BD即铁塔的高： 1.仰角与俯角的定义
在视线与水平线所成的角中规定:
视线在水平线上方的叫做仰角，
视线在水平线下方的叫做俯角。铅垂线视线视线水平线仰角俯角例1 在升旗仪式上，一位同学站在离旗杆24米处，行注目礼，当国旗升至旗杆顶端时，该同学视线的仰角恰为30度，若两眼离地面1.5米，则旗杆的高度是否可求？若可求，求出旗杆的高，若不可求，说明理由.（精确到0.1米）.A30度24米1.5米CDEBA90度解：A241.5DEBC30°答：旗杆的高为15.4米。90° 例2.河的对岸有水塔AB, 今在C处测得塔
顶A的仰角为30°，前进 20米到D处，
又测得塔顶A的仰角为60°.
求塔高AB.示意图30°60°解： 练习1.某飞机与空中A处探测到目标
C，此时飞行高度AC=1200米，
从飞机上看地平面控制点B的
俯角α=16°31′，求飞机A到
控制点B的距离。 分析：解决此类实际问题的关键是画出正
确的示意图，能说出 题目中每句话对
应图中哪个角或边，将实际问题转化
直角三角形的问题来解决。α如图：解：在RtΔABC中，
sinB=AC/AB,
∴AB=AC/sinB=AC/sin16°31′
≈1200/0.2843
=4221（米）
答：飞机A到控制点B的距离为4221米。
1200m练习2．如图8，两建筑物AB、CD的水平距离BC=32.6米，从A点测得D点的俯角α=35°12′，C点的俯角β=43°24′，求这两个建筑物的高AB和CD(精确到0.1m)． 练习3 . 如图,沿AC方向开山修渠．为了加快施工进度，要在小山的另一边同时施工．从AC上的一点B取∠ABD=140°，BD=520米，∠D=50°．那么开挖点E离D多远(精确到0.1米)，正好能使A，C，E成一直线？本节课我们主要研究的是关于仰角，俯角
的基本定义，及用解直角三角形的方法解
决实际问题小结：课件36张PPT。24.4 解直角三角形 △ABC中,∠C为直角,∠A,∠B, ∠C所对的边分别为a,b,c,且b=3,∠A=30°,求∠B, a, c.ABCabc330°6个元素三边两个锐角一个直角(已知)5个定义：由直角三角形中已知的边和角，计算出未知的边和角的过程，叫 . 解直角三角形ABCabc如图：Rt?ABC中,?C=90?, 则其余的5个元素之间有什么关系？bCABca???在△ABC中,∠C＝90°,
, 求∠A、∠B、c边. ???1.填空：在直角三角形ABC中，∠C＝90°，a、b、c分别为∠A、∠B、∠C的对边.
??? (1)c＝10,∠B＝45°,则 a=? ，b= ??????S△= ?????
??? (2)a=10, ∠B＝45°, S△= ,则b= ???? ,∠A＝? ????????? 2.△ABC中，∠C=90°，a、b、c分别为∠A、∠B、∠C的对边，
?(1)a=4,sinA= , 求b, c, tanB；
?(2)a+c=12，b=8，求a,c,cosBABCabcABCabc48在RtΔABC中,若∠C =900， 问题1. 在RtΔABC中,两锐角∠A, ∠B的有什么关系?答： ∠A+ ∠B= 900.问题2.在RtΔABC中,三边a、b、c的关系如何？答：a2+b2 =c2.问题3：在RtΔABC中， ∠A与边的关系是什么？答： 在解直角三角形的过程中，常会遇到近似计算，除特别说明外，边长保留四个有效数字，角度精确到1′.
解直角三角形,只有下面两种情况：
(1) 已知两条边；
(2) 已知一条边和一个锐角1.在Rt△ABC中，∠C＝90°，由下列条件解直角三角形：
(1)已知a＝6 ,b=6 , 则
∠B= ， ∠A= ，c = ；
(2)已知c＝30,∠A＝60°则
∠B= ，a = ，b = ； 1.仰角与俯角的定义
在视线与水平线所成的角中规定:
视线在水平线上方的叫做仰角，
视线在水平线下方的叫做俯角。铅垂线视线视线水平线仰角俯角1.如图,升国旗时某同学站在离旗杆24m处行注目礼,当国旗升到旗杆顶端时,这位同学的视线的仰角为30o ,若双眼离地面1.5m,则旗杆高度为多少米？30oABCDE2.在操场上一点A测得旗杆顶端的仰角为30°再向旗杆方向前进20m,又测得旗杆的顶端的仰角为45°,求旗杆的高度.(精确到1m)A20B30°DC45°坡度是指斜坡上任意一点的高度与水平距离的比值。1、什么叫坡度？2、什么叫坡角？坡角是斜坡与水平线的夹角 3、坡角和坡度什么关系？ 坡角与坡度之间的关系是：
i＝ =tan a i＝(1).一物体沿坡度为1:8的山坡向上移动 米，则物体升高了 ______米．
(2).河堤的横断面如图所示，堤高BC是5m，迎水坡AB的长是13m，那么斜坡AB的坡度是（ ）．
A 1：3 B 1：2.6
C 1：2.4 D 1：21C(3)如果坡角的余弦值为 ，那么坡度为（ ）．
A 1: B 3:
C 1:3 D 3:1
C一段河坝的横断面为等腰梯形ABCD，试根据下图中的数据求出坡角a和坝底宽AD.(单位是m，结果保留根号)ABCDEF46α如图，拦水坝的横断面为梯形ABCD已知上底长CB=5m，迎水面坡度为1： 背水面坡度为1：1，坝高为4m.求(1)坡底宽AD的长.(2)迎水坡CD的长.(3)坡角α、β．如图,一段路基的横断面是梯形，高为4.2m，上底的宽是12.51m，路基的坡面与地面的倾角分别是30°和45°．求路基下底的宽.(精确到0.1m) 45°30°ABCDEF(1)、一斜坡的坡角为30度，则它的坡度为 ；
(2)、坡度通常写成1： 的形式。如果一个坡度为1 :1,则这个坡角为 ，
1： m450(3)、等腰梯形的较小底长为3，腰长为5，高为4，则另一个底长为 ，坡度为 ，
(4)、梯形的两底长分别为5和8，一腰长为4，则另一腰长X的取值范围是 。
94:31
则∠C= 。ABC如图,在△ABC中,已知AC=6，
∠C=75°,∠B=45°,求S△ABC。D求证: ABCD的面积
S=AB ·BC ·sinB(∠B为锐角)。ABCDE我军某部在一次野外训练中,有一辆坦克准备通过一座小山,且山脚和山顶的水平距离为1000m，山高为565m,如果这辆坦克能够爬300 的斜坡,试问:它能不能通过这座小山？山顶上有一旗杆,在地面上一点A处测得杆顶B的俯角α=600，杆底C的俯角β=450，已知旗杆高BC=20m，求山高CD。河的对岸有水塔AB, 今在C处测得塔顶A的仰角为30°，前进 20米到D处，又测得塔顶A的仰角为60°.求塔高AB.30°60°ABCD(1).在电线杆离地面8m高的地方向地面拉一条长10m的缆绳,问这条缆绳应固定在距离电线杆底部多远的地方？
(2).海船以32.6海里/时的速度向正北方向航行，在A处看灯塔Q在海船的北偏东30°处，半小时后航行到B处，发现此时灯塔Q与海船的距离最短，求灯塔Q到B处的距离.(画出图形后计算，精确到0.1海里)如图,为了测量小河的宽度,在河的岸边选择B.C两点,在对岸选择一个目标点A,测∠BAC=75°, ∠ACB=45° BC=48m,求河宽.海岛A四周20海里内为暗礁区,一艘货轮由东向西航行,在B处见岛A在北偏西60?,航行24海里到C,见岛A在北偏西30?,货轮继续向西航行,有无触礁的危险?请说明理由.ABDCNN130?60?如图学校里有一块三角形形状的花圃ABC,现测∠A=30°,AC=40m , BC=25m,请你帮助计算一下这块花圃的面积?D300 由于过度采伐森林和破坏植被,我国部分地区频频遭受沙尘暴侵袭.近日，A城气象局测得沙尘暴中心在A城的正南方向240km的B处,以每小时12km的速度向北偏东30°方向移动,距沙尘暴中心150km的范围为受影响区域。某市计划将地处A、B两地的两所大学合并成一所综合大学,为了方便A、B两地师生的交往,学校准备在相距2千米的A、B两地之间修筑一条笔直公路(即图中的线段AB)经测量,在A地的北偏东60o方向，B地的西偏北45o方向的C处有一个半径为0.7千米的公园,问计划修筑的这条公路会不会穿过公园?为什么?D解（1）：过A作AC⊥BM,垂足为C,在Rt△ABC中， ∠B = 30°, ∵AC = 120 < 150∴A城受到沙尘暴影响(1)A城是否受到这次沙尘暴
的影响 ，为什么？ABCOCABCEFM解（2）：设点E、F是以A为圆心，150km为半径的圆与BM的交点，由题意得：∴EF = 2CE = 2 x 90 = 180∴A城受到沙尘暴影响的时间为180÷12 = 15小时答：A城将受到这次沙尘暴影响，影响的时间为15小时。(2)若A城受这次沙尘暴的影响，那么遭受影响的时间有多长？如图,一人在河对岸C处测得电视塔尖A的仰角为45o,后退100米到达D处,测得塔尖A的仰角为30o,设塔底B与C、D在同一直线上， 求电视塔的高度AB。课件16张PPT。24.4 解直角三角形学习永远是件快乐而有趣的事！
多彩的数学世界及其解决实际问题的魅力将把你引入一个奇妙的境界！a2+b2=c2（勾股定理）∠A+∠B=90o直角三角形仰角和俯角在进行测量时，从下向上看，视线与水平线的夹角叫做仰角；
水平线视线视线铅垂线从上往下看，视线与水平线的夹角叫做俯角.
１、如图，为了测量旗杆的高度AB，在离旗杆22.7米的C处，用高1.20米的测角仪CD测得旗杆顶端A的仰角 ＝22°，求旗杆AB的高.（精确到0.1米）水平线地面２、如图，某飞机于空中A处探测到目标C，此时飞行高度AC=1200米，从飞机上看地平面控制点B的俯角 ＝200，求飞机A到控制点B的距离.(精确到1米）解 在Rt△ABC中, AC=1200, ＝200
由
所以
所以飞机A到控制点B的距离约3509米.
３、小玲家对面新造了一幢图书大厦，小玲在自家窗口测得大厦顶部的仰角和大厦底部的俯角（如图所示），量得两幢楼之间的距离为32m，问大厦有多高？（结果精确到1m)m?32m32m ·一位同学测河宽,如图,在河岸上一点A观测河对岸边的一小树C,测得AC与河岸边的夹角为45０,沿河岸边向前走200米到达B点,又观测河对岸边的小树C,测得BC与河岸边的夹角为30０,问这位同学能否计算出河宽?若不能,请说明理由;若能,请你计算出河宽.请你来帮忙！播放停止解 这位同学能计算出河宽.
在Rt△ACD中,设CD=x,由
∠ CAD=450,则CD=AD=x.
在Rt△BCD中,AB=200,
则BD=200+X,由∠CBD=300,
则tan300= 即
解得
所以河宽为
1、一架飞机以300角俯冲400米,
则飞机的高度变化情况是( )
A.升高400米
B.下降400米
C.下降200米
D.下降 米 C本节课你有什么收获?已知斜边求直边，已知直边求直边，已知两边求一边，已知两边求一角，已知锐角求锐角，已知直边求斜边，计算方法要选择，正弦余弦很方便；正切余切理当然；函数关系要选好；勾股定理最方便；互余关系要记好；用除还需正余弦；能用乘法不用除.优选关系式就到这里吧，就到这里了！课件16张PPT。24.4 解直角三角形——坡度、坡角在直角三角形中,除直角外,由已知两元素
求其余未知元素的过程叫解直角三角形.1.解直角三角形(1)三边之间的关系:a2＋b2＝c2（勾股定理）；2.解直角三角形的依据(2)两锐角之间的关系:∠ A＋ ∠ B＝ 90o；(3)边角之间的关系:sinA＝复习旧知(必有一边)ＡＣＢabc别忽略我哦！水库大坝的横断面是梯形，坝顶宽6m，坝高23m，斜坡AB的 ，斜坡CD的 ， 则斜坡CD的 ，
坝底宽AD和斜坡AB
的长应设计为多少？
坡度i=1∶3坡度i=1∶2.5坡面角α创设情景探索新知αi= h : l1、坡角坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作α 。2、坡度（或坡比） 坡度通常写成1∶m的形式，如i=1∶6.3、坡度与坡角的关系坡度等于坡角的正切值坡面水平面1、斜坡的坡度是 ，则坡角α=______度。
2、斜坡的坡角是450 ，则坡比是 _______。
3、斜坡长是12米,坡高6米,则坡比是_______。
30巩固概念1：1例1.水库大坝的横断面是梯形，坝顶宽6m，坝高
23m，斜坡AB的坡度i=1∶3，斜坡CD的坡度
i=1∶2.5，求：
（1）坝底AD与斜坡AB的长度。（精确到0.1m ）
（2）斜坡CD的坡角α。（精确到 ）例题讲解EF分析：（1）由坡度i会想到产生铅垂高度，即分别过点B、C作AD的垂线。 （2）垂线BE、CF将梯形分割成Rt△ABE，Rt△CFD和矩形BEFC，则AD=AE+EF+FD， EF=BC=6m，AE、DF可结合坡度,通过解Rt△ABE和Rt△CDF求出。 （3）斜坡AB的长度以及斜坡CD的坡角的问题实质上就是解Rt△ ABE和Rt△ CDF。解：(1)分别过点B、C作BE⊥AD，CF⊥AD，
垂足分别为点E、 F,由题意可知在Rt△ABE中BE=CF=23m EF=BC=6m在Rt△DCF中，同理可得=69+6+57.5
=132.5m在Rt△ABE中，由勾股定理可得(2) 斜坡CD的坡度i=tanα=1：2.5=0.4
由计算器可算得
EF 答：坝底宽AD为132.5米，斜坡AB
的长约为72.7米．斜坡CD的坡角α约
为22°。 一段路基的横断面是梯形，高为4米，上底的宽是12米，路基的坡面与地面的倾角分别是45°和30°，求路基下底的宽．（精确到0.1,米, ） ?
变式练习45°30°4米12米ABCEFD解：作DE⊥AB，CF⊥AB，垂足分别为E、F．由题意可知
DE＝CF＝4（米），
CD＝EF＝12（米）．
在Rt△ADE中，
在Rt△BCF中，同理可得
因此AB＝AE＋EF＋BF
≈4＋12＋6.93≈22.93（米）．
答： 路基下底的宽约为22.93米．
一个公共房屋门前的台阶共高出地面1.2米.台阶被拆除后，换成供轮椅行走的斜坡．根据这个城市的规定，轮椅行走斜坡的倾斜角不得超过30°．从斜坡的起点至楼门的最短的水平距离该是多少？（精确到0.1米）
练习1练习2 为了增加抗洪能力，现将横断面如图所示的大坝加高，加高部分的横断面为梯形DCGH，GH∥CD，点G、H分别在AD、BC的延长线上,当新大坝坝顶宽为4.8米时，大坝加高了几米？BACDi1=1：1.2i2=1：0.86米EFMN思考：如图是某公路路基的设计简图,等腰梯形ABCD表示它的横断面,原计划设计的坡角为A=22°37′,坡长AD=6. 5米,现考虑到在短期内车流量会增加,需增加路面宽度,故改变设计方案,将图中1,2两部分分别补到3,4的位置,使横断面EFGH为等腰梯形,重新设计后路基的坡角为32°,全部工程的用土量不变,问:路面宽将增加多少?
(选用数据:sin22°37′≈ ,cos22°37′ ≈ ,
tan 22°37′ ≈ ,
tan 32° ≈ )MN本节课你有什么收获?收获经验2、解直角三角形的问题往往与其他知识联系，因此，我们要善于要把解直角三角形作为一种工具，能在解决各种数学问题时合理运用。1、学以致用
我们学习数学的目的就是解决实际生活中存在的数学问题，因此，在解题时首先要读懂题意，把实际问题转化为数学问题。
对于生活中存在的解直角三角形的问题，关键是找到与已知和未知相关联的直角三角形，当图形中没有直角三角形时，要通过作辅助线构造直角三角形（作某边上的高是常用的辅助线）。
布置作业再见！课件10张PPT。24.4 解直角三角形特殊角的三角函数值1、2、在直角三角形中,由已知元素求未知元素的过程叫：解直角三角形(1)三边之间的关系:a2＋b2＝c2（勾股定理）；解直角三角形的依据：(2)锐角之间的关系:∠ A＋ ∠ B＝ 90o；(3)边角之间的关系:sinA＝ 例1. 如图所示，一棵大树在一次强烈的地震中于离地面10米处折断倒下，树顶落在离树根24米处.大树在折断之前高多少？解 利用勾股定理可以求出折断倒下部分的长度为:
26＋10＝36（米）.
答:大树在折断之前高为36米.看看你的能力例2 如图25．3．2，东西两炮台A、B相距2000米，同时发现入侵敌舰C，炮台A测得敌舰C在它的南偏东40°的方向，炮台B测得敌舰C在它的正南方，试求敌舰与两炮台的距离．（精确到1米）例2:如图,东西两炮台A,B相距2000米,同时发现入侵敌舰C,炮台A测得敌舰在它的南偏东40°的方向,炮台B测得敌舰C在它的正南方,试求敌舰与两炮台的距离.(精确到1米)D解:在RTΔABC中,
∵∠CAB=90°-∠DAC=50°,
tan∠CAB=
∴BC=ABtan∠CAB
=2000tan50°
∵cos50°=
AC=
考考你1、已知：在Rt△ABC中， ∠ c = 90° ，a=3，b=4， 则cosA= ，tanA= 。
2、在Rt△ABC中，∠C= 90° ，∠A= 30° ，AB=4cm，则BC= cm 。
3、在Rt△ABC中， ∠C=90° ，a=2,b=1, 求∠A的四个三角函数值。
4、在Rt△ABC中，∠C=90°，已知c=20，∠A=60° ，求a，b。
5、在Rt△ABC中，∠C=90°，已知c=20，
b= 10 ，求∠A 的度数。0.80.752动动脑你就能做对的： 如图,根据图中已知数据,求△ABC其余各边的长,各角的度数和△ABC的面积.-------------D提示：过A点作BC的垂直AD于D1.在电线杆离地面8米高的地方向地面拉一条10米的缆绳,问这条
缆绳应固定在距离电线杆底部多远的地方?2.海船以32.6海里/时的速度向正北方向航行,在A处看灯塔Q在海船
的北偏东30°处,半小时后航行到B处,发现此时灯塔Q与海船的距离
最短,求灯塔Q到B处的距离?(画出图形后计算,精确到0.1海里)B1.在电线杆离地面8米高的地方向地面拉一条10米的缆绳,问这条
缆绳应固定在距离电线杆底部多远的地方?2.海船以32.6海里/时的速度向正北方向航行,在A处看灯塔Q在海船
的北偏东30°处,半小时后航行到B处,发现此时灯塔Q与海船的距离
最短,求灯塔Q到B处的距离?(画出图形后计算,精确到0.1海里)巩固练习用计算器求锐角三角函数值
数学目标：利用计算器求出任意一个锐角的四个三角形函值；同时已知一个锐角的三角形函数值可求出这个锐角.
数学重点：利用计算器求三角函数值和锐角.
数学难点：用计数器求锐角三角函数值是要注意按键顺序.
数学过程：
一、复习提问
1、30° 、45°、60° 的三角函数值.
2、计算：1） （ ）
2） （ ）
3）△ABC中，求△ABC的三个内角.
二、新授
1、求已知锐角的三角函数值.
例1.求sin63°52′41″的值（精确到0.00001）
分析：由于计算器在计算角的三角函数值时，角的单位用的是度，所以我们必须先把角63°52′42″转换为″度″.
解：如下方法将角度单位状态设定为″度″：
显示
再按下列顺序依次按键：
显示结果为0.897859012
∴Sin63°52′41″≈0.8979
例2．求cot70°45 ″的值（精确到0.0001）.
分析：因为计数器上无法计算余切值，于是我们根据tanA·cotA＝1，
用 来计算.
解：在角度单位状态为“度”的情况下（屏幕显示出 ），按下列顺序依次按键：
显示结果为0.349215633.
∴cot70°45′≈0.3492.
巩固练习：
书P.111. 练习.1.
2.由锐角三角函数值求锐角.
例3. 已知tanx＝0.7410. 求锐角x.（精确到1′）.
解：在角度单位状态为″度″的情况下（屏幕显示出 ） ，按下列顺序依次按键：
显示结果为：36.53844577.
再按键 显示结果为36°32°18.4 .
∴x≈36°32′
注意：由角x的三角函数值求角x，按键的次序有所不同，它与求角x的三角函数值是一个“互递”的过程.
例4：已知cotx＝0.7410. 求锐角x.（精确到1′）
分析：根据可以求出tanx的值.然后根据例3的方法可求出锐角x.
解：∵cotx＝0.7410，
∴
三、巩固练习：
书P.77. 练习
四、课时小结.
利用计数器求出任意一个锐角的四个三角函数值，同时已知一个锐角函数值可求出这个锐角.
求已知锐角的余切时，应先求出正切值，再根据求出其余切值；结果应注意近似要求.
五、课作：
第24章检测题
(时间：100分钟 满分：120分)
一、选择题(每小题3分，共30分)
1．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝1，AB＝2，则下列结论正确的是( D )
A．sinA＝ B．tanA＝ C．cosB＝ D．tanB＝
2．在△ABC中，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边，如果a2＋b2＝c2，那么下列结论正确的是( A )
A．csinA＝a B．bcosB＝c C．atanA＝b D．ctanB＝b
3．计算6tan45°－2cos60°的结果是( D )
A．4 B．4 C．5 D．5
4．(2014·巴中)在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA＝，则tanB的值为( D )
A. B. C. D.
5．如图，在下列网格中，小正方形的边长均为1，点A，B，O都在格点上，则∠A的正弦值是( D )
A. B. C. D.
6．如果∠A，∠B均为锐角，且＋(tanB－3)2，那么△ABC是( B )
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．钝角三角形
7．(2014·凉山州)如图，河堤横断面迎水坡AB的坡比是1∶，堤高BC＝10 m，则坡面AB的长度是( C )
A．15 m B．20 m C．20 m D．10 m
,第7题图) ,第8题图) ,第9题图)
8．如图，CD是平面镜，光线从A点射出，经CD上点E反射后照射到B点，若入射角为α，AC⊥CD，BD⊥CD，垂足分别为C，D，且AC＝3，BD＝6，CD＝11，则tanα的值为( D )
A. B. C. D.
9．(2014·绵阳)如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东30°方向，距离灯塔80海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东45°方向上的B处，这时，海轮所在的B处与灯塔P的距离为( A )
A．40 海里 B．40 海里 C．80海里 D．40 海里
10．如图，在两建筑物之间有一旗杆，高15米，从A点经过旗杆顶点恰好看到矮建筑物的墙角C点，且俯角α为60°，又从A点测得D点的俯角β为30°，若旗杆底点G为BC的中点，则矮建筑物的高CD为( A )
A．20米 B．10 米
C．15 米 D．5 米
二、填空题(每小题3分，共24分)
11．(2014·锦州)计算：tan45°－(－1)0＝____．
12．如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，已知CD＝2，AC＝3，则sinA的值是____．
13．如图，某山坡的坡面AB＝200米，坡角∠BAC＝30°，则该山坡的高BC的长为__100__米．
,第12题图) ,第13题图) ,第14题图)
14．如图，在菱形ABCD中，DE⊥AB，垂足为E，DE＝6 cm，sinA＝，则菱形ABCD的面积是__60__cm2.
15．将一副三角尺如图所示叠放在一起，则的值是____．
16．如图，△ABC的顶点A，C的坐标分别是(0，4)，(3，0)，且∠ACB＝90°，∠B＝30°，则顶点B的坐标是__(3＋4，3)__．
,第15题图) ,第16题图) ,第18题图)
17．△ABC中，AB＝4，BC＝3，∠BAC＝30°，则△ABC的面积为__2＋或2－__．
18．(2014·宁波)为解决停车难的问题，在如图一段长56米的路段开辟停车位，每个车位是长5 米，宽2.2米的矩形，矩形的边与路的边缘成45°角，那么这个路段最多可以划出__17__个这样的停车位．(≈1.4)
点拨：如图，BC＝2.2×sin45°≈1.54，CE＝5×sin45°
≈3.5，BE＝BC＋CE≈5.04，EF＝2.2÷sin45°≈3.14，(56－5.04)÷3.14＋1≈16＋1＝17(个)，故这个路段最多可以划出17个这样的停车位
三、解答题(共66分)
19．(8分)计算：
(1)(－2)2＋|－|＋2sin60°－；
解：4
(2)6tan230°－cos30°－2sin45°.
解：－
20．(8分)(2014·重庆)如图，△ABC中，AD⊥BC，垂足是D，若BC＝14，AD＝12，tan∠BAD＝，求sinC的值．
解：
21．(8分)如图，湖中的小岛上有一标志性建筑物，其底部为A，某人在岸边的B处测得A在B的北偏东30°的方向上，然后沿岸边直行4公里到达C处，再次测得A在C的北偏西45°的方向上(其中A，B，C在同一平面上)．求这个标志性建筑物底部A到岸边BC的最短距离．
解：过A作AD⊥BC于点D，则AD的长度就是A到岸边BC的最短距离．在Rt△ACD中，∠ACD＝45°，设AD＝x，则CD＝AD＝x，在Rt△ABD中，∠ABD＝60°，BD＝＝x，又BC＝4，即BD＋CD＝4，所以x＋x＝4，解得x＝6－2，则这个标志性建筑物底部A到岸边BC的最短距离为(6－2)公里
22．(10分)(2014·乐山)如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC＝90°，∠B＝30°，CE⊥AB，垂足为点E，若AD＝1，AB＝2，求CE的长．
解：过点A作AH⊥BC于点H，则AD＝HC＝1，在△ABH中，BH＝AB·cos30°＝3，∴BC＝BH＋BC＝4，∵CE⊥AB，∴CE＝BC·sin30°＝2
23.
(10分)如图，一堤坝的坡角∠ABC＝62°，坡面长度AB＝25米(图为横截面)，为了使堤坝更加牢固，一施工队欲改变堤坝的坡面，使得坡面的坡角∠ADB＝50°，则此时应将坝底向外拓宽多少米？(结果保留到0.01米；参考数据：sin62°≈0.88，cos62°≈0.47，tan50°≈1.20)
解：过A点作AE⊥CD于点E，在Rt△ABE中，AE＝AB·sin62°≈22，BE＝AB·cos62°≈11.75，在Rt△ADE中，DE＝≈18.33，∴DB＝DC－BE≈6.58，故此时应将坝底向外拓宽大约6.58米
24．(10分)(2014·泰州)图①，②分别是某型号跑步机的实物图与示意图，已知踏板CD长为1.6 m，CD与地面DE的夹角∠CDE为12°，支架AC长为0.8 m，∠ACD为80°，求跑步机手柄的一端A的高度h.(精确到0.1 m；参考数据：sin12°＝cos78°≈0.21，sin68°＝cos22°≈0.93，tan68°≈2.48)
解：过C点作FG⊥AB于点F，交DE于点G.∵CD与地面DE的夹角∠CDE为12°，∠ACD为80°，∴∠ACF＝90°＋12°－80°＝22°，∴∠CAF＝68°，在Rt△ACF中，CF＝AC·sin∠CAF≈0.744，在Rt△CDG中，CG＝CD·sin∠CDE≈0.336，∴FG＝FC＋CG≈1.1，故跑步机手柄的一端A的高度约为1.1 m
25．(12分)如图，已知斜坡AB长60米，坡角(即∠BAC)为45°，BC⊥AC，现计划在斜坡中点D处挖去部分斜坡，修建一个平行于水平线CA的休闲平台DE和一条新的斜坡BE.
(1)若修建的斜坡BE的坡比为∶1，求休闲平台DE的长是多少米？
(2)一座建筑物GH距离A点33米远(即AG＝33米)，小亮在D点测得建筑物顶部H的仰角(即∠HDM)为30°，点B，C，A，G，H在同一个平面内，点C，A，G在同一条直线上，且HG⊥CG，问建筑物GH高为多少米？
解：(1)∵FM∥CG，∴∠BDF＝∠BAC＝45°，∵斜坡AB长60，D是AB的中点，∴BD＝30，∴DF＝BD·cos∠BDF ＝30，BF＝DF＝30，∵斜坡BE的坡比为∶1，∴＝，∴EF＝10，∴DE＝DF－EF＝30－10，即休闲平台DE的长是(30－10)米 (2)设GH＝x米，则MH＝GH－GM＝x－30，DM＝AG＋AP＝33＋30＝63，在Rt△DMH中，tan30°＝，即＝，解得x＝30＋21，则建筑物GH的高为(30＋21)米
课件11张PPT。综合练习 解直角三角形的实际应用C7tanα D
学科：数学
专题：锐角三角函数
重难点易错点解析
题面：已知：如图，△ABC中，AC?10，sinC?，sinB?，求AB．
金题精讲
题面：如图，在Rt△ABO中，斜边AB?1．若OC∥BA，∠AOC?36°，则( )
A．点B到AO的距离为sin54° B．点B到AO的距离为tan36°
C．点A到OC的距离为sin36°sin54° D．点A到OC的距离为cos36°sin54°
满分冲刺
题一：
题面：如图，△ABC中，∠C?90°，点D在AC上，已知∠BDC?45°，BD?，AB?20，求∠A的度数.
题二：
题面：(1)如图中①、②，锐角的正弦值和余弦值都是随着锐角的确定而确定，变化而变化，试探索随着锐角度数的增大，它的正弦值及余弦值的变化规律； (2)根据你探索到的规律，试分别比较18°、34°、50°、62°、88°这些锐角的正弦值的大小和余弦值的大小．
题三：
题面：已知cosα+cosβ?，sinα+sinβ?，则cos(α?β)?______
课后练习详解
重难点易错点解析
答案：24．
详解：作AD⊥BC于D点，如图所示， 在Rt△ADC中，AC?10，sinC?， ∴AD?ACsinC?10×?8， 在Rt△ABD中，sinB?，AD?8， 则AB??24．
金题精讲
答案：C.
详解：由已知，根据锐角三角形函数定义对各选项作出判断：
A、由于在Rt△ABO中∠AOB是直角，所以B到AO的距离是指BO的长.
∵AB∥OC，∴∠BAO?∠AOC?36°.
在Rt△BOA中，∵∠AOB ?90°，AB?1，
∴BO?ABsin36°?sin36°.故本选项错误.
B、由A可知，选项错误.
C、如图，过A作AD⊥OC于D，则AD的长是点A到OC的距离.
在Rt△BOA中，∵∠BAO?36°，∠AOB?90°，∴∠ABO?54°.
∴AO?AB?sin54°? sin54°.
在Rt△ADO中， AD?AO?sin36°?AB?sin54°?sin36°?sin54°?sin36°.故本选项正确.
D、由C可知，选项错误.故选C.
满分冲刺
题一：
答案：∠A?30°.
详解：∵在直角三角形BDC中，∠BDC?45°，BD?，
∴BC?BD?sin∠BDC?.
∵∠C?90°，AB?20，∴.
∴∠A?30°.
题二：
答案：(1)锐角的正弦值随角度的增大而增大，锐角的余弦值随角度的增大而减小．
(2)sin18°＜sin34°＜sin50°＜sin62°＜sin88°， cos18°＞cos34°＞cos50°＞cos62°＞cos88°．
详解：(1)由图①，知 sin∠B1AC1?，sin∠B2AC2?，sin∠B3AC3?． ∵AB1?AB2?AB3且B1C1＞B2C2＞B3C3， ∴＞＞． ∴sin∠B1AC1＞sin∠B2AC2＞sin∠B3AC3． 而∠B1AC1＞∠B2AC2＞∠B3AC3， 而对于cos∠B1AC1?， cos∠B2AC2?， cos∠B3AC3?． ∵AC1＜AC2＜AC3， ∴cos∠B1AC1＜cos∠B2AC2＜cos∠B3AC3． 而∠B1AC1＞∠B2AC2＞∠B3AC3． 由图②知sin∠B3AC?， ∴sin2∠B3AC?． ∴1?sin2∠B3AC?1???． 同理，sin∠B2AC?，1?sin2∠B2AC?， sin∠B1AC?，1?sin2∠B1AC?． ∵AB3＞AB2＞AB1，∴<<． ∴1?sin2∠B3AC＜1?sin2∠B2AC＜1?sin2∠B1AC．
∴sin2∠B3AC＞sin2∠B2AC＞sin2∠B1AC． ∵∠B3AC，∠B2AC，∠B1AC均为锐角， ∴sin∠B3AC＞sin∠B2AC＞sin∠B1AC． 而∠B3AC＞∠B2AC＞∠B1AC． 而对于cos∠B3AC?， cos∠B2AC?， cos∠B1AC?． ∵AB3＞AB2＞AB1，
∴＜＜． ∴cos∠B3AC＜cos∠B2AC＜cos∠B1AC． 而∠B3AC＞∠B2AC＞∠B1AC． 结论：锐角的正弦值随角度的增大而增大，锐角的余弦值随角度的增大而减小．
(2)由(1)知 sin18°＜sin34°＜sin50°＜sin62°＜sin88°， cos18°＞cos34°＞cos50°＞cos62°＞cos88°．
题三：
答案：?．
详解：已知等式平方得：(cosα+cosβ)2?cos2α+2cosαcosβ+cos2β?①， (sinα+sinβ)2?sin2α+2sinαsinβ+sin2β?②， ①+②得：2+2(cosαcosβ+sinαsinβ)?1， 即cosαcosβ+sinαsinβ???， 则cos(α?β)?cosαcosβ+sinαsinβ???．
学科：数学
专题：锐角三角函数
重难点易错点解析
题面：在Rt△ABC中，∠C?90°，AB?13，AC?12，则cosB? ，tanB? .
金题精讲
题面：如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，已知CD?5，AC?6，则tanB的值是( )
A． B． C． D．
满分冲刺
题一：
题面：小明在学习“锐角三角函数”中发现，将如图所示的矩形纸片ABCD沿过点B的直线折叠，使点A落在BC上的点E处，还原后，再沿过点E的直线折叠，使点A落在BC上的点F处，这样就可以求出67.5°的角的正切值是( )
A.+1 B. +1 C. 2.5 D.
题二：
题面：当锐角A＞60°时，∠A的正弦值( )
A．小于 B．大于 C．小于 D．大于
题三：
题面：若sinα+cosα?，则(sinα?cosα)2? .
课后练习详解
重难点易错点解析
答案：
详解：∵Rt△ABC中，∠C?90°，AC?12，AB?13， ∴BC?． ∴cosB?， tanB?．
金题精讲
答案：C.
详解：∵CD是斜边AB上的中线，CD?5，∴AB?2CD?10.
根据勾股定理，.
∴.故选C.
满分冲刺
题一：
答案：B.
详解：设AB?x，则BE?x，在直角三角形ABE中，用勾股定理求出AE?EF?x，于是BF?(+1)x，在直角三角形ABF中，tan∠FAB??+1?tan67.5°，选B.
题二：
答案：B.
详解：∵sin60°?，当锐角变大时，它的正弦值也变大，
∴当锐角A＞60°时，∠A的正弦值大于．故选B．
题三：
答案：0.
详解：因为sinα+cosα?，所以2sinαcosα?1， (sinα?cosα)2?1?2sinαcosα?1?1?0.
学科：数学
专题：锐角三角函数
重难点易错点解析
题面：已知：如图,Rt△ABC中,∠C＝90°．D是AC边上一点,DE⊥AB于E点．
DE∶AE＝1∶2．
求：sinB、cosB、tanB．
金题精讲
题面：已知：如图,△ABC中,∠B＝30°,P为AB边上一点,PD⊥BC于D．当BP∶PA＝2∶1时, 求sin∠1、cos∠1、tan∠1.
满分冲刺
题一
题面：已知：如图,Rt△ABC中,∠C＝90°,∠BAC＝30°,延长CA至D点,使AD＝AB．求：
(1)∠D及∠DBC；
(2)tanD及tan∠DBC；
(3)请用类似的方法,求tan22.5°．
题二
1.题面：已知：如图,∠AOB＝90°,AO＝OB,C、D是上的两点,∠AOD＞∠AOC,求证：
(1)0＜sin∠AOC＜sin∠AOD＜1；
(2)1＞cos∠AOC＞cos∠AOD＞0；
(3)锐角的正弦函数值随角度的增大而______；
(4)锐角的余弦函数值随角度的增大而______．
2.题面：已知：如图,CA⊥AO,E、F是AC上的两点,∠AOF＞∠AOE．
(1)求证：tan∠AOF＞tan∠AOE；
(2)锐角的正切函数值随角度的增大而______．
题三
化简：(其中0°＜＜90°)
讲义参考答案
重难点易错点解析
答案：
金题精讲
答案：
满分冲刺
题一
答案：(1)∠D＝15°,∠DBC＝75°；
(2)
(3)
题二
答案：1.(1)略 (2)略 (3)增大 (4)减小
2.(1)略 (2)增大．
题三
答案：
