2024-2025学年福建省福州市高二上学期期末质量检测预测数学试题（含答案）
文档属性
| 名称 | 2024-2025学年福建省福州市高二上学期期末质量检测预测数学试题（含答案） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 160.4KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 通用版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-01-12 18:56:08 | ||
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文档简介
2024-2025学年福建省福州市高二上学期期末质量检测预测数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知直线，，设甲：；乙：，则甲是乙的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
2.已知数列满足，，则( )
A. B. C. D.
3.直线其中被圆所截得的最短弦长等于( )
A. B. C. D.
4.若向量是空间中的一个基底，那么对任意一个空间向量，存在唯一的有序实数组，使得：，我们把有序实数组叫做基底下向量的斜坐标设向量在基底下的斜坐标为，则向量在基底下的斜坐标为( )
A. B. C. D.
5.直线：参数，的倾斜角的取值范围是( )
A. B.
C. D.
6.已知是等差数列的前项和，，且，则下列说法不正确的是( )
A. 公差 B.
C. D. 时，最大
7.如图，正方体的棱长为，的中点为，则下列说法不正确的是( )
A. 直线和所成的角为 B. 四面体的体积是
C. 点到平面的距离为 D. 到直线的距离为
8.已知是平面向量，且是单位向量，若非零向量与的夹角为，向量满足，则的最小值是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.如图，在棱长为的正四面体中，为的中心，为的中点，，则( )
A. B.
C. D.
10.点在圆上，点在上，则( )
A. 两个圆的公切线有条
B. 两个圆上任意一点关于直线的对称点仍在该圆上
C. 的取值范围为
D. 两个圆的公共弦所在直线的方程为
11.已知双曲线的左、右焦点分别为，过的直线交双曲线的右支于两点，其中点在第一象限．的内心为，与轴的交点为，记的内切圆的半径为，的内切圆的半径为，则下列说法正确的有( )
A. 若双曲线渐近线的夹角为，则双曲线的离心率为
B. 若，且，则双曲线的离心率为
C. 若，，则的取值范围是
D. 若直线的斜率为，，则双曲线的离心率为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若方程表示双曲线，则实数的取值范围为 ．
13.一个动圆与定圆：相外切，且与直线：相切，则动圆圆心的轨迹方程为 ．
14.如图是直角梯形，，，是边长为的菱形，且，以为折痕将折起，当点到达的位置时，四棱锥的体积最大，是线段上的动点，则到距离的最小值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知抛物线的焦点为，位于第一象限的点在抛物线上，且．
求焦点的坐标；
若过点的直线与只有一个交点，求的方程．
16.本小题分
已知数列满足．
求证：数列是等差数列，并求数列的通项公式；
若，求数列的前项和．
17.本小题分
如图，在三棱柱中，平面，是等边三角形，且为棱的中点．
证明：平面．
若，求平面与平面夹角的余弦值．
18.本小题分
已知椭圆：的左焦点为，左、右顶点分别为，，离心率为，点在
椭圆上，直线点在点的右上方被圆截得的线段的长为，且．
求椭圆的方程；
过点的直线交椭圆于点，异于，，设直线，的斜率分别为，，证明为定值，并求出该定值；
设为直线和的交点，记，的面积分别为，，求的最小值．
19.本小题分
已知项数为的数列为递增数列，且满足，若，且，则称为的“伴随数列”．
数列，，，是否存在“伴随数列”，若存在，写出其“伴随数列”，若不存在，说明理由；
若为的“伴随数列”，证明：；
已知数列存在“伴随数列”，且，，求的最大值．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：因为抛物线，，
所以，所以，可得
所以焦点的坐标．
因为点在抛物线上，所以，
又位于第一象限，所以，所以，
过点的直线与只有一个交点，直线斜率不存在不合题意；
设直线与有且只有一个交点，
由，得，
当时，，即，即，
当时，，只有一个根符合题意；
所以的方程为或，即或．
16.解：证明：，则，即
故数列是首项和公差都为的等差数列，
，即
，
．
17.解：由三棱柱的性质可，
平面，平面，
平面，，
为的中点，且是等边三角形，，
平面，，
平面．
取的中点，连接，由题意可得两两垂直，
以为坐标原点，以所在直线分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系．
设，
则，
故，
设平面的法向量为，
则，令，得，
设平面的法向量，
则，令，得，
设平面与平面夹角为，
则，
即平面与平面夹角的余弦值为．
18.解：由已知有，又由，可得，．
设直线的斜率为，则直线的方程为，
由已知得，解得，
联立消去整理得，解得或．
又点在点的右上方，所以的坐标为，所以，解得，
所以椭圆的方程为．
显然直线的斜率不为，设直线的方程为，，
联立，消去整理得，
，，．
所以
．
由得直线的方程为，
直线的方程为，
联立两条直线方程，解得，所以
又，，，，
所以
，
当且仅当时，等号成立，所以的最小值为．
19.解：，，
，，均为正整数，
所以数列，，，存在“伴随数列”，且其“伴随数列”是，，，．
因为数列存在“伴随数列”，
所以，且，
所以，
所以，即，
所以．
因为，，其中，
当时，，，有，均为正整数，
即当时，数列，存在“伴随数列”：，
因此的最小值为；
一方面，由知，，
于是，
所以，
另一方面，由数列存在“伴随数列”，知，
所以是的正约数，
取，
即取，
综合上述为最大值，取，，
当时，
，符合条件，
当，，符合条件
因此的最大值为．
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一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知直线，，设甲：；乙：，则甲是乙的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
2.已知数列满足，，则( )
A. B. C. D.
3.直线其中被圆所截得的最短弦长等于( )
A. B. C. D.
4.若向量是空间中的一个基底，那么对任意一个空间向量，存在唯一的有序实数组，使得：，我们把有序实数组叫做基底下向量的斜坐标设向量在基底下的斜坐标为，则向量在基底下的斜坐标为( )
A. B. C. D.
5.直线：参数，的倾斜角的取值范围是( )
A. B.
C. D.
6.已知是等差数列的前项和，，且，则下列说法不正确的是( )
A. 公差 B.
C. D. 时，最大
7.如图，正方体的棱长为，的中点为，则下列说法不正确的是( )
A. 直线和所成的角为 B. 四面体的体积是
C. 点到平面的距离为 D. 到直线的距离为
8.已知是平面向量，且是单位向量，若非零向量与的夹角为，向量满足，则的最小值是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.如图，在棱长为的正四面体中，为的中心，为的中点，，则( )
A. B.
C. D.
10.点在圆上，点在上，则( )
A. 两个圆的公切线有条
B. 两个圆上任意一点关于直线的对称点仍在该圆上
C. 的取值范围为
D. 两个圆的公共弦所在直线的方程为
11.已知双曲线的左、右焦点分别为，过的直线交双曲线的右支于两点，其中点在第一象限．的内心为，与轴的交点为，记的内切圆的半径为，的内切圆的半径为，则下列说法正确的有( )
A. 若双曲线渐近线的夹角为，则双曲线的离心率为
B. 若，且，则双曲线的离心率为
C. 若，，则的取值范围是
D. 若直线的斜率为，，则双曲线的离心率为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若方程表示双曲线，则实数的取值范围为 ．
13.一个动圆与定圆：相外切，且与直线：相切，则动圆圆心的轨迹方程为 ．
14.如图是直角梯形，，，是边长为的菱形，且，以为折痕将折起，当点到达的位置时，四棱锥的体积最大，是线段上的动点，则到距离的最小值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知抛物线的焦点为，位于第一象限的点在抛物线上，且．
求焦点的坐标；
若过点的直线与只有一个交点，求的方程．
16.本小题分
已知数列满足．
求证：数列是等差数列，并求数列的通项公式；
若，求数列的前项和．
17.本小题分
如图，在三棱柱中，平面，是等边三角形，且为棱的中点．
证明：平面．
若，求平面与平面夹角的余弦值．
18.本小题分
已知椭圆：的左焦点为，左、右顶点分别为，，离心率为，点在
椭圆上，直线点在点的右上方被圆截得的线段的长为，且．
求椭圆的方程；
过点的直线交椭圆于点，异于，，设直线，的斜率分别为，，证明为定值，并求出该定值；
设为直线和的交点，记，的面积分别为，，求的最小值．
19.本小题分
已知项数为的数列为递增数列，且满足，若，且，则称为的“伴随数列”．
数列，，，是否存在“伴随数列”，若存在，写出其“伴随数列”，若不存在，说明理由；
若为的“伴随数列”，证明：；
已知数列存在“伴随数列”，且，，求的最大值．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：因为抛物线，，
所以，所以，可得
所以焦点的坐标．
因为点在抛物线上，所以，
又位于第一象限，所以，所以，
过点的直线与只有一个交点，直线斜率不存在不合题意；
设直线与有且只有一个交点，
由，得，
当时，，即，即，
当时，，只有一个根符合题意；
所以的方程为或，即或．
16.解：证明：，则，即
故数列是首项和公差都为的等差数列，
，即
，
．
17.解：由三棱柱的性质可，
平面，平面，
平面，，
为的中点，且是等边三角形，，
平面，，
平面．
取的中点，连接，由题意可得两两垂直，
以为坐标原点，以所在直线分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系．
设，
则，
故，
设平面的法向量为，
则，令，得，
设平面的法向量，
则，令，得，
设平面与平面夹角为，
则，
即平面与平面夹角的余弦值为．
18.解：由已知有，又由，可得，．
设直线的斜率为，则直线的方程为，
由已知得，解得，
联立消去整理得，解得或．
又点在点的右上方，所以的坐标为，所以，解得，
所以椭圆的方程为．
显然直线的斜率不为，设直线的方程为，，
联立，消去整理得，
，，．
所以
．
由得直线的方程为，
直线的方程为，
联立两条直线方程，解得，所以
又，，，，
所以
，
当且仅当时，等号成立，所以的最小值为．
19.解：，，
，，均为正整数，
所以数列，，，存在“伴随数列”，且其“伴随数列”是，，，．
因为数列存在“伴随数列”，
所以，且，
所以，
所以，即，
所以．
因为，，其中，
当时，，，有，均为正整数，
即当时，数列，存在“伴随数列”：，
因此的最小值为；
一方面，由知，，
于是，
所以，
另一方面，由数列存在“伴随数列”，知，
所以是的正约数，
取，
即取，
综合上述为最大值，取，，
当时，
，符合条件，
当，，符合条件
因此的最大值为．
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