2024-2025学年浙江省宁波市镇海中学高一上学期期末考试数学试题（含答案）

2024-2025学年浙江省宁波市镇海中学高一上学期期末考试数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.将化为弧度是( )
A. B. C. D.
2.已知角的终边过点，则( )
A. B. C. D.
3.已知向量满足，则在方向上的投影向量是( )
A. B. C. D.
4.将函数图象向左平移个单位长度，再将横坐标伸长到原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象，则( )
A. B. C. D.
5.函数的零点个数为( )
A. B. C. D.
6.在内函数的定义域是( )
A. B.
C. D.
7.已知等边三角形的边长为，点为内切圆上一动点，若，则的最小值为( )
A. B. C. D.
8.已知且，则的最大值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知平面向量，下列说法不正确的有( )
A. 若，，则 B.
C. D. 若，则
10.已知函数，则( )
A. 曲线的一个对称中心为
B. 函数在区间单调递增
C. 函数为偶函数
D. 函数在内有个零点
11.已知，则下列选项正确的有( )
A. B.
C. D. 若，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.一个扇形的周长为，面积为，则此扇形的圆心角为 用弧度制表示
13.设是平面内不共线的一组基底，，若三点共线，则实数 ．
14.已知函数，其中，在上有个零点，则的范围为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
如图，在平行四边形中，点为中点，点，在线段上，满足，设．
用表示向量；
若，求．
16.本小题分
已知．
分别求和的值；
求的值．
17.本小题分
已知函数．
若是三角形中一内角，且，求的值；
若函数在，有唯一零点，求的范围．
18.本小题分
已知函数的部分图象如图所示，
求的解析式；
已知在的值域为，求的取值范围；
将图象上所有点纵坐标缩短为到原来的横坐标不变，再将所得到图象向右平移个单位长度得到的图象已知关于的方程在内有两个不同的解．
求实数的取值范围；
求的值用表示
19.本小题分
固定项链的两端，在重力的作用下项链所形成的曲线是悬链线年，莱布尼茨等得出“悬链线”方程，其中为参数当时，就是双曲余弦函数，类似的我们可以定义双曲正弦函数它们与正，余弦函数有许多类似的性质．
已知，求；
类比正弦函数，余弦函数的二倍角公式，请写出双曲正弦函数或双曲余弦函数的一个正确的结论即求或并证明；
已知，对任意的和任意的，都有恒成立，求的取值范围．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.或
13.
14.
15.解：，
，
；
，
，
又，
所以，
，
所以．

16.解：因为
所以，又因为，
所以，则，
因为
所以，又因为，
所以，则，
即，
可得

17.解：由题意得，
，
，，
，，
，解得．
由得，，
由得，
令，由得，
问题转化为函数与直线有唯一交点，作出在上的函数图象，
，，
或，解得或．
的范围是或．

18.解：由图象可知，，所以，则，
所以，
因为即，
因为，则，所以，解得，
因此；
，，
由题意在的值域为，结合题干图象知
将图象上所有点纵坐标缩短为到原来的横坐标不变，
再将所得到图象向右平移个单位长度得到的图象，
则，其中，
因为，所以，所以，
又因为，所以是函数一个周期的区间．
所以若方程在内有两个不同的解，
只需，即即为所求．
令，因为于的方程在内有两个不同的解，
所以满足，即，，
又的对称轴由，
结合得对称轴为，
可知，关于对称轴对称，所以，
所以或．
当时，
．
当时，
．
故．

19.解：因为，所以，
所以，即，所以，
所以，所以．
类比正弦函数、余弦函数的二倍角公式，
得双曲正弦函数或双曲余弦函数；
证明如下：；
．
因为，设，则，
当时，，所以，
所以，
可化为，
由题意，只需，对任意恒成立即可，
即或，所以或恒成立；
，故在上的最小值是，
当且仅当即时取得最小值；
因为，所以由对勾函数性质知在上单调递减，
所以在上的最大值是，当取得最大值；
所以的取值范围是．

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