2024-2025学年天津市第一中学高二上学期1月期末质量调查数学试卷（含答案）
文档属性
| 名称 | 2024-2025学年天津市第一中学高二上学期1月期末质量调查数学试卷（含答案） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 180.3KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 通用版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-01-12 18:53:59 | ||
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文档简介
2024-2025学年天津市第一中学高二上学期1月期末质量调查数学试卷
一、单选题：本题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.在等比数列中，若，，则( )
A. B. C. D.
2.已知抛物线上一点到焦点的距离为，则的中点到轴的距离为( )
A. B. C. D.
3.数列中，，，则的值为( )
A. B. C. D.
4.设，则“”是“直线与直线平行”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
5.已知双曲线的右焦点到抛物线的准线的距离为，点是双曲线的一条渐近线与抛物线的一个交点，则双曲线的标准方程为( )
A. B. C. D.
6.数列满足，则数列的前项和为( )
A. B. C. D.
7.等差数列，的前项和分别为，，且，则( )
A. B. C. D.
8.已知点为抛物线上一动点，点为圆：上一动点，点为抛物线的焦点，点到轴的距离为若的最小值为则( )
A. B. C. D.
9.年月日，习近平总书记在哈萨克斯坦纳扎尔巴耶夫大学发表演讲并回答学生们提出的问题，在谈到环境保护问题时他指出：“我们既要绿水青山，也要金山银山宁要绿水青山，不要金山银山，而且绿水青山就是金山银山”“绿水青山就是金山银山”这一科学论断，成为树立生态文明观、引领中国走向绿色发展之路的理论之基某市为了改善当地生态环境，年投入资金万元，以后每年投入资金比上一年增加万元，从年开始每年投入资金比上一年增加，到年底该市生态环境建设投资总额大约为 其中，，
A. 万元 B. 万元 C. 万元 D. 万元
10.设双曲线的右焦点为，双曲线上的两点、关于原点对称，且满足，，则双曲线的离心率的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。
11.等比数列的首项为，项数为偶数，且奇数项和为，偶数项和为，则数列的项数为 ．
12.已知抛物线，经过抛物线上一点的切线截圆的弦长为，则的值为 ．
13.已知函数，则 ；
14.已知数列满足，，，则数列的前项和为 ．
15.历史上第一个研究圆锥曲线的是梅纳库莫斯公元前年年，大约年后，阿波罗尼斯更详尽、系统地研究了圆锥曲线，并且他还进一步研究了这些圆锥曲线的光学性质：如图甲，从椭圆的一个焦点出发的光线或声波，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点，其中法线表示与椭圆的切线垂直且过相应切点的直线，如图乙，椭圆的中心在坐标原点，焦点为，由发出的光经椭圆两次反射后回到经过的路程为利用椭圆的光学性质解决以下问题：
椭圆的离心率为 ．
点是椭圆上除顶点外的任意一点，椭圆在点处的切线为在上的射影在圆上，则椭圆的方程为 ．
16.已知是各项均为正整数的无穷递增数列，对于，定义集合，设为集合中元素的个数，若时，规定．
若，则
若数列是等差数列，则数列的 前项之和为
三、解答题：本题共4小题，共48分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
如图所示的几何体中，四边形为矩形，平面，，，，点为棱的中点．
求证：平面；
求平面与平面的夹角的余弦值；
求点到平面的距离．
18.本小题分
已知等差数列的前项和为，公差，且，，，成等比数列．
求数列的通项公式
设是首项为，公比为的等比数列；
求数列的前项和
若不等式对一切恒成立，求实数的最大值
19.本小题分
已知椭圆：的离心率为，且左、右顶点以及下顶点所构成的三角形的面积为．
求椭圆的标准方程；
若直线：与椭圆交于、两点，与轴交于点与、不重合，线段的垂直平分线与交于点，与轴交于点，为坐标原点．若，求直线的斜率．
20.本小题分
设函数，数列满足，，且
求数列的通项公式
设，求
是否存在以为首项，公比为的等比数列，，使得数列中每一项都是数列中不同的项，若存在，求出所有满足条件的数列的通项公式；若不存在，说明理由
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.解：
连接，交于点，由，分别为和的中点，得，
而平面，平面，所以平面．
由直线平面，平面，得，
由矩形，得，以为原点，直线分别为轴，建立空间直角坐标系，
则，
，
设平面的法向量，则，令，得，
设平面的法向量为，则，令，得，
所以平面与平面的夹角的余弦值为．
【小问详解】
由知，平面的法向量，而，
所以点到平面的距离．
18.解：
因为数列是等差数列，且，，，成等比数列，
所以，整理得，
，整理得，
由联立解得，，
所以．
因为是首项为，公比为的等比数列，所以，
由可得，
所以，
，
得，
所以
由得，
所以不等式对一切恒成立，将代入整理得对一切恒成立，
所以恒成立对一切恒成立，
令，则，
因为，
当时，，当时，，
所以，，
所以，即实数的最大值是．
19.解：
由题设知：，解得，
椭圆的标准方程为：．
设，由：得与轴的交点，
联立，消得：
则，即
且，
的中点，即
的垂直平分线方程为：，
令，得，
，解得
所以直线的斜率为．
20.解：
因为，
所以因为，
所以数列是以为首项，公差为的等差数列．
所以．
当时，
当时，
所以
由，知数列中每一项都不可能是偶数．
如存在以为首项，公比为或的数列，，
此时中每一项除第一项外都是偶数，故不存在以为首项，公比为偶数的数列．
当时，显然不存在这样的数列．
当时，若存在以为首项，公比为的数列，．
则，，，
所以满足条件的数列的通项公式为
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一、单选题：本题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.在等比数列中，若，，则( )
A. B. C. D.
2.已知抛物线上一点到焦点的距离为，则的中点到轴的距离为( )
A. B. C. D.
3.数列中，，，则的值为( )
A. B. C. D.
4.设，则“”是“直线与直线平行”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
5.已知双曲线的右焦点到抛物线的准线的距离为，点是双曲线的一条渐近线与抛物线的一个交点，则双曲线的标准方程为( )
A. B. C. D.
6.数列满足，则数列的前项和为( )
A. B. C. D.
7.等差数列，的前项和分别为，，且，则( )
A. B. C. D.
8.已知点为抛物线上一动点，点为圆：上一动点，点为抛物线的焦点，点到轴的距离为若的最小值为则( )
A. B. C. D.
9.年月日，习近平总书记在哈萨克斯坦纳扎尔巴耶夫大学发表演讲并回答学生们提出的问题，在谈到环境保护问题时他指出：“我们既要绿水青山，也要金山银山宁要绿水青山，不要金山银山，而且绿水青山就是金山银山”“绿水青山就是金山银山”这一科学论断，成为树立生态文明观、引领中国走向绿色发展之路的理论之基某市为了改善当地生态环境，年投入资金万元，以后每年投入资金比上一年增加万元，从年开始每年投入资金比上一年增加，到年底该市生态环境建设投资总额大约为 其中，，
A. 万元 B. 万元 C. 万元 D. 万元
10.设双曲线的右焦点为，双曲线上的两点、关于原点对称，且满足，，则双曲线的离心率的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。
11.等比数列的首项为，项数为偶数，且奇数项和为，偶数项和为，则数列的项数为 ．
12.已知抛物线，经过抛物线上一点的切线截圆的弦长为，则的值为 ．
13.已知函数，则 ；
14.已知数列满足，，，则数列的前项和为 ．
15.历史上第一个研究圆锥曲线的是梅纳库莫斯公元前年年，大约年后，阿波罗尼斯更详尽、系统地研究了圆锥曲线，并且他还进一步研究了这些圆锥曲线的光学性质：如图甲，从椭圆的一个焦点出发的光线或声波，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点，其中法线表示与椭圆的切线垂直且过相应切点的直线，如图乙，椭圆的中心在坐标原点，焦点为，由发出的光经椭圆两次反射后回到经过的路程为利用椭圆的光学性质解决以下问题：
椭圆的离心率为 ．
点是椭圆上除顶点外的任意一点，椭圆在点处的切线为在上的射影在圆上，则椭圆的方程为 ．
16.已知是各项均为正整数的无穷递增数列，对于，定义集合，设为集合中元素的个数，若时，规定．
若，则
若数列是等差数列，则数列的 前项之和为
三、解答题：本题共4小题，共48分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
如图所示的几何体中，四边形为矩形，平面，，，，点为棱的中点．
求证：平面；
求平面与平面的夹角的余弦值；
求点到平面的距离．
18.本小题分
已知等差数列的前项和为，公差，且，，，成等比数列．
求数列的通项公式
设是首项为，公比为的等比数列；
求数列的前项和
若不等式对一切恒成立，求实数的最大值
19.本小题分
已知椭圆：的离心率为，且左、右顶点以及下顶点所构成的三角形的面积为．
求椭圆的标准方程；
若直线：与椭圆交于、两点，与轴交于点与、不重合，线段的垂直平分线与交于点，与轴交于点，为坐标原点．若，求直线的斜率．
20.本小题分
设函数，数列满足，，且
求数列的通项公式
设，求
是否存在以为首项，公比为的等比数列，，使得数列中每一项都是数列中不同的项，若存在，求出所有满足条件的数列的通项公式；若不存在，说明理由
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.解：
连接，交于点，由，分别为和的中点，得，
而平面，平面，所以平面．
由直线平面，平面，得，
由矩形，得，以为原点，直线分别为轴，建立空间直角坐标系，
则，
，
设平面的法向量，则，令，得，
设平面的法向量为，则，令，得，
所以平面与平面的夹角的余弦值为．
【小问详解】
由知，平面的法向量，而，
所以点到平面的距离．
18.解：
因为数列是等差数列，且，，，成等比数列，
所以，整理得，
，整理得，
由联立解得，，
所以．
因为是首项为，公比为的等比数列，所以，
由可得，
所以，
，
得，
所以
由得，
所以不等式对一切恒成立，将代入整理得对一切恒成立，
所以恒成立对一切恒成立，
令，则，
因为，
当时，，当时，，
所以，，
所以，即实数的最大值是．
19.解：
由题设知：，解得，
椭圆的标准方程为：．
设，由：得与轴的交点，
联立，消得：
则，即
且，
的中点，即
的垂直平分线方程为：，
令，得，
，解得
所以直线的斜率为．
20.解：
因为，
所以因为，
所以数列是以为首项，公差为的等差数列．
所以．
当时，
当时，
所以
由，知数列中每一项都不可能是偶数．
如存在以为首项，公比为或的数列，，
此时中每一项除第一项外都是偶数，故不存在以为首项，公比为偶数的数列．
当时，显然不存在这样的数列．
当时，若存在以为首项，公比为的数列，．
则，，，
所以满足条件的数列的通项公式为
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