2024-2025学年天津市和平区高二上学期期末质量调查数学试卷（含答案）

2024-2025学年天津市和平区高二上学期期末质量调查数学试题
一、单选题：本题共9小题，每小题5分，共45分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.直线的一个方向向量为( )
A. B. C. D.
2.长方体中，，则( )
A. B. C. D.
3.已知数列为等差数列，是方程的两个实数根，则( )
A. B. C. D.
4.已知直线与直线平行，则与之间的距离为( )
A. B. C. D.
5.已知平面的一个法向量为，点在平面内，点在平面外，则直线与平面所成角的大小为( )
A. B. C. D.
6.已知双曲线的一条渐近线方程为，实轴长为，则双曲线的标准方程为( )
A. B.
C. 或 D. 或
7.已知数列首项为，且满足，数列满足，且数列前项和为，则( )
A. B. C. D.
8.已知椭圆上存在两点关于直线对称，若椭圆离心率为，则的中点坐标为( )
A. B. C. D.
9.已知圆及直线，给出下列结论：圆被轴截得的弦长为；直线恒过定点：时，直线被圆截得弦长取最大值；直线被圆截得弦长最小值为其中正确结论的个数为( )
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。
10.一个屋顶的某一斜面成等腰梯形，最上面一层铺了瓦片块，往下每一层多铺块，斜面上铺了瓦片层，共铺瓦片 块
11.已知直线过点，在轴和轴上的截距相等，则直线的方程为 ．
12.已知抛物线方程为，则抛物线的焦点坐标为 ．
13.圆与圆交于两点，则直线的方程为 ．
14.正方体的棱长为分别为的中点，为底面的中心，则点到平面的距离为 ．
15.已知是坐标原点，是抛物线的焦点，双曲线的两条渐近线分别与抛物线交于两点异于原点，若，则双曲线离心率是 ．
三、解答题：本题共5小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.本小题分
已知公差不为零的等差数列的前项和为，若，且成等比数列．
求数列的通项公式：
若，求数列的前项和．
17.本小题分
已知圆心为的圆经过和两点，且圆心在直线上
求圆的标准方程；
过点作圆的切线，求切线的方程．
18.本小题分
如图，三棱台中，侧棱平面，，
求证：平面；
求平面和平面夹角的余弦值．
19.本小题分
已知数列的前项和为．
求证：是等比数列；
求数列的通项公式：
若，数列的项和为，求证：．
20.本小题分
已知椭圆的离心率为分别是椭圆的左右焦点，过点的直线交椭圆于两点，且的周长为．
求椭圆的方程；
过点作斜率为的直线与椭圆交于两点，判断在轴上是否存在点，使得是以为底边的等腰三角形？若存在，求点横坐标的取值范围，若不存在，请说明理由．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.或
12.．
13.
14.
15.或
16.【小问详解】
根据为等差数列，设公差为
由已知，即，
由成等比数列，，
由解得，数列的通项公式为．
【小问详解】
由得，所以
由，
．
所以，

17.【小问详解】
因为所以的中点坐标为，，则弦垂直平分线的斜率为，
弦的垂直平分线的方程为，即，
与直线联立解得：，所以圆心坐标为，
所以圆的半径，则圆的方程为：，
【小问详解】
由知，圆心，半径为，
当的斜率不存在时，直线方程为，与圆相切，符合题意，
当的斜率存在时，设切线的斜率为，
则切线的方程为，即，
由圆心到切线距离等于圆的半径，得，解得，
所以切线方程为，即，
所以切线的方程为或．

18.【小问详解】
因为侧棱平面，平面，
所以，又，故两两垂直，
以为原点，所在直线为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
因为，，
则
可得．
设平面的法向量为，
则
令，可得，
所以为平面的一个法向量，
因为，
则，
所以，
所以平面．
【小问详解】
为平面的一个法向量，
设平面与平面的夹角为，
则，
所以平面和平面夹角的余弦值等于．

19.【小问详解】
由，可得，即，
则，所以，
因此是首项为，公比为的等比数列．
【小问详解】
由可知，
当时，，
当时，，时也适合，
所以．
【小问详解】
因为，
得，
所以．
因为，所以．

20.【小问详解】
由题意，的周长为，则，所以，
又因为，所以，由，得，
所以椭圆的方程为．
【小问详解】
设直线 的 方程为，，
设的中点为．
假设存在点，使得为以为底边的等腰三角形，则．
由得，
由题意有，解得，
故，
所以，
因为，所以，即，
所以，整理得，
则方程有根，整理得，即，
又因为，所以，
综上：在轴上存在点，使得是以为底边的等腰三角形，
点横坐标的取值范围是．

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