2024-2025学年北京市东城区高一上学期期末考试数学试卷（含答案）

2024-2025学年北京市东城区高一上学期期末考试数学试题
一、单选题：本大题共10小题，共50分。
1.已知集合，则( )
A. B.
C. D.
2.下列函数中，与函数有相同图象的是( )
A. B. C. D.
3.下列函数中，是奇函数的是( )
A. B.
C. D.
4.已知，则( )
A. B. C. D.
5.如图，函数的图象为折线段，则不等式的解集是( )
A. B.
C. D.
6.已知，则“”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
7.设，则( )
A. B. C. D.
8.将函数的图象向右平移个单位长度，所得图象与函数的图象关于原点对称，则( )
A. B. C. D.
9.已知，则( )
A. B.
C. D.
10.已知函数，其中若在上的值域为，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、填空题：本大题共5小题，共25分。
11.函数的定义域为 ．
12.已知，命题：若，则能说明为假命题的一组，，的值为 ， ， ．
13.已知函数为上的奇函数，且在上单调递增，，若，则的取值范围是 ．
14.已知，若点在第一象限，则的取值范围是 ．
15.已知是定义在上的函数，若，且，使得，都有，则称函数具有性质给出下列四个结论：
函数具有性质；
函数具有性质；
若函数具有性质，且是偶函数，则是周期函数；
若函数具有性质，且是奇函数，则是的一个对称中心．
其中所有正确结论的序号是 ．
三、解答题：本题共6小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.计算求值：
解关于的不等式：
；
．
17.已知函数．
求的最小正周期及单调递增区间；
当时，求的最大值和最小值．
18.在某种药物研究试验中发现其在血液内的浓度单位：毫克毫升与时间单位：小时满足函数关系，其中，为大于的常数．已知该药物在血液内的浓度是一个连续变化的过程，且在小时时达到最大值毫克毫升．
直接写出，的值；
当该药物浓度不小于最大值一半时，称该药物有效．求该药物有效的时间长度单位：小时．
19.已知函数．
若，求的值；
当时，若函数在上的最大值与最小值的差为，求的值；
设函数，当时，的零点，求的值．
20.已知函数的图象过点，其中．
求及的值；
求证：，都有；
若函数在上存在最大值，直接写出的取值范围．
21.已知集合中都至少有个元素，且，满足：
，且，总有；
，且，总有．
若集合，直接写出所有满足条件的集合；
已知，
(ⅰ)若，且，求证：．
(ⅱ)求证：．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.答案不唯一，满足即可

13.
14.
15.
16.原式；
因为，可得，
等价于，解得或，
所以不等式的解集为或；
(ⅱ)因为，即，
令，解得或，
若，不等式解集为；
若，不等式解集为；
若，不等式解集为．

17.因为，
所以的最小正周期；
令，解得，
所以的单调递增区间．
因为，则，可得，
当，即时，取得最大值；
当或，即或时，取得最小值．

18.因为该药物在血液内的浓度是一个连续变化的过程，
函数在时取最大值，
所以，，，
所以，，
由
令可得，
若，则，解得，
若，则，解得，
所以该药物有效的时间长度为小时．

19.因为，可得，
且，所以．
因为，当时，；当时，；
可知在内单调递减，在内单调递增，
且，，
若函数在上的最大值与最小值的差为，可得，即，
可知在上单调递减，则，解得，
所以的值为．
因为，且，
又因为在内单调递减，
可知在内单调递减，
且，
可得，
则的唯一零点，所以．

20.函数的图象过点，，解得．
．
故．
证明：由知
当时，，
；
当时，，
，．
综上，，都有．
由知．
当时，，；
当时，，．
当时，
由于函数在上单调递减，函数在上单调递增，
故函数在上无最大值；
当时，
由于函数在上单调递增，函数在上单调递减，
故当时，函数取得最大值，最大值为；
当时，不妨设方程的两根分别为和，
易知函数在和上单调递减，在和上单调递增，
要使函数在上存在最大值，需使，即，解得．
综上，若函数在上存在最大值，的取值范围为．

21.因为，又，且，总有，
所以，即，
设，由，且，总有，
可得，
所以或或，
但，
所以满足条件的集合有，，，；
又，，，，
由知，，，
由知，，
(ⅱ)因为中至少有个元素，，
不妨设，其中，互不相等的整数，
则，且，
所以中至少存在两个正整数，
不妨设，，，又，
由知，，，，
由知，，，
故由，，，，可推出，
同理由可推出，，
由，可推出，
，
所以对于大于等于的正整数，都属于，
因为，
由，，，，
所以任意的正整数都属于，
所以．

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