2024-2025学年北京市朝阳区高二上学期期末考试数学试卷（含答案）

2024-2025学年北京市朝阳区高二上学期期末考试数学试题
一、单选题：本大题共10小题，共50分。
1.经过点且倾斜角为的直线的方程为( )
A. B. C. D.
2.双曲线的渐近线方程为( )
A. B. C. D.
3.已知函数，则( )
A. B. C. D.
4.已知是等比数列，，则( )
A. B. C. D.
5.如图，在三棱柱中，分别为棱的中点设，则( )
A. B. C. D.
6.圆心为且与直线相切的圆的方程为( )
A. B.
C. D.
7.已知是直线的方向向量，是平面的法向量，若，则实数( )
A. B. C. D.
8.已知等差数列的前项和为，则“”是“为递增数列”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
9.建设大型水库可实现水资源的合理分配和综合利用，提高水资源的社会经济效益已知一段时间内，甲，乙两个水库的蓄水量与时间的关系如下图所示．
下列叙述中正确的是( )
A. 在这段时间内，甲，乙两个水库蓄水量的平均变化率均大于
B. 在这段时间内，甲水库蓄水量的平均变化率大于乙水库蓄水量的平均变化率
C. 甲水库在时刻蓄水量的瞬时变化率大于乙水库在时刻蓄水量的瞬时变化率
D. 乙水库在时刻蓄水量的瞬时变化率大于乙水库在时刻蓄水量的瞬时变化率
10.已知数列满足，设，则( )
A. B. C. D.
二、填空题：本大题共5小题，共25分。
11.已知空间向量，则 ．
12.设直线，若，则实数 ．
13.设抛物线的焦点为，则 ；点在抛物线上，若，则点的横坐标为 ．
14.某校计划新建一个容纳个座位的阶梯教室，若设置排座位，且从第二排起每一排都比前一排多个座位，则第一排需设置的座位数为 ．
15.已知曲线且若为双曲线，则的一个取值为 ；若为椭圆，则的所有可能取值为 ．
三、解答题：本题共6小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.在长方体中，为棱上的动点不与重合，在直线上的点满足给出下列四个结论：
；
为定值；
存在点，使得平面平面；
存在点，使得点到平面的距离为．
其中所有正确结论的序号是 ．
17.已知函数．
求曲线在点处的切线方程；
求函数的单调区间．
18.已知是公比大于的等比数列，，且成等差数列．
求的通项公式；
若是等差数列，且设，求数列的前项和．
19.如图，在六面体中，为的中点，四边形为矩形，且，．
求证：平面；
再从条件，条件，条件这三个条件中选择一个作为已知，求平面与平面的夹角的余弦值．
条件：；
条件：的面积为；
条件：六面体的体积为．
注：如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．
20.已知椭圆的右顶点为，离心率为．
求椭圆的方程；
过点作斜率为的直线与椭圆交于不同的两点在轴上是否存在点使得直线与直线的斜率之和为？若存在，求出点的坐标：若不存在说明理由．
21.给定正整数，设数列、、、满足对于正数，定义，其中表示数集中最大的数记某合，设的元素个数为．
写出集合、；
若，求的所有可能取值；
证明：存在无穷多个使得．
参考答案
1.
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10.
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12.
13.
14.
15.答案不唯一

16.
17.，，又，
所以切线方程为，即．
，定义域是，
，
当时，，当时，，
所以的单调减区间是，单调增区间是．

18.设等比数列公比为，因成等差数列，
则．
则；
设公差为，因，
则，得．
则，故
．

19.已知四边形为矩形，根据矩形的性质，邻边相互垂直，
所以，又，并且，平面，
所以平面．
选择条件：，
因为平面，所以．
在中，根据勾股定理，
已知，，则．
因为，，所以两两垂直，可建立空间直角坐标系，
得到，，，，．
进而得到，．
设平面的法向量为，由，即
令，则，，于是．
因为平面，所以是平面的法向量．
设平面与平面的夹角为，
则
选择条件：的面积为，
因为，，所以．
由的面积为，可得，即．
以下同选择条件的计算过程求出平面与平面的夹角余弦值为
选择条件：六面体的体积为，
在中，，为的中点，
所以，．
且，因为平面，平面，
所以，，平面．
所以平面．
六面体的体积，
根据体积公式，已知，可得．
又因为，，所以．
以下同选择条件的计算过程求出平面与平面的夹角余弦值为

20.因椭圆右顶点为，离心率为，
则，故椭圆方程为：；
由题，设直线方程为，将直线方程与椭圆方程联立，
可得．
因直线与椭圆交于不同的两点，则．
设，由韦达定理．
又设，则，又
则
．
则．
故轴上存在点使得直线与直线的斜率之和为．

21.因为数列，，，则，
数列，，，，则．
由题意可得．
由可知，当或时，，不合乎题意，所以，，
对于给定的，因为，
所以，，即，
当时，且，
所以，，，
因为，所以，，
所以，，即，
又因为，解得、、、或，
当时，，，合乎题意；
当时，，，合乎题意；
当时，，，合乎题意；
当时，，，合乎题意；
当时，，，不合乎题意．
综上所述，的所有可能取值有、、、．
当，时，
若，因为，
所以，或，
所以，、、、中不同的值为、、、、，共个，
若，因为，
所以，、、、各不相等，
所以，、、、中不同的值有个，
所以，；
当，时，
若，因为，
所以，或，
所以，、、、中不同的值为、、、、，共个，
若，因为，
所以，、、、各不相同，
所以，、、、中不同的值有个，
所以，．
所以，对任意的，，故结论得证．

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