2024-2025学年北京市海淀区中国人民大学附属中学高二上学期统练四数学试题（含答案）

2024-2025学年北京市海淀区中国人民大学附属中学高二上学期统练四数学试题
一、单选题：本大题共10小题，共50分。
1.已知直线的方向向量为，则直线的倾斜角是( )
A. B. C. D.
2.已知直线，，若，则( )
A. 或 B. C. D. 或
3.已知圆与圆外切，则( )
A. B. C. D.
4.圆上的动点到直线的距离的最小值为( )
A. B. C. D.
5.设直线与椭圆相交于、两点，当变化时，线段的中点所在的直线方程为( )
A. B. C. D.
6.设，则“”是“曲线是焦点在轴的双曲线”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
7.已知双曲线的左、右焦点分别为，，点是上一点，且，，则的渐近线方程为( )
A. B. C. D.
8.已知椭圆的左、右焦点为，，点是上一点，延长交于点，若为正三角形，且周长为，则( )
A. B. C. D.
9.如图，在中，，，，当点、分别在、轴上运动，点到原点的最大距离是( )
A. B. C. D.
10.已知椭圆与圆，若上存在点，过可作的两条切线和，且，则的离心率的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、填空题：本大题共5小题，共25分。
11.已知双曲线经过点，且与具有相同的渐近线，则双曲线的标准方程为 ．
12.已知点和点，若点满足，则点的轨迹方程为 ，的面积的最大值为 ．
13.若直线与双曲线恰好有一个交点，则直线的斜率的所有可能值为 ．
14.如图，一底面半径为的圆柱被一个与底面成角的平面所截，、分别为底面和截面的中心已知点为截面边界上距离底面最近的点，且该距离为，点为截面边界上一点，且，则点到底面的距离是 ．
15.已知点是曲线其中，为常数上一点，设，是直线上任意两个不同的点，且给出下列三个结论：
当时，方程表示椭圆：
当，，且时，使得是等腰直角三角形的点有个：
当，，且时，使得是等腰直角三角形的点有个．
则所有正确结论的序号是 ．
三、解答题：本题共3小题，共36分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.已知圆分别与、轴正半轴交于、两点，为圆上的动点．
过点的直线截所得弦长为，求的方程；
若点为上异于，的动点，直线与轴交于点，直线与轴交于点，求证：为定值．
17.已知椭圆的左、右顶点分别为、，点是上一点，且直线与直线的斜率之积为．
求的方程及其长轴长；
若圆的切线与交于、两点，求的最大值．
18.椭圆的左、右焦点为、，且焦距为，点是上第一象限内的点，满足，且的面积为．
求的方程：
若的右顶点为，直线与交于不同的两点，，且满足求证：直线过定点，并求出定点的坐标．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.

13.或
14.
15.
16.根据垂径定理可得圆心到直线的距离．
当斜率不存在时，直线的方程为：，
直线截所得弦长，符合题意：
当斜率存在时，设直线，
圆心到直线的距离为，解得．
综上所述，直线的方程为或．
根据题意，，，设且，则，
直线方程是，令，得，
直线方程是，令，得，
所以
，
即为定值．

17.由椭圆可得，
由题知，
解得，，
所以椭圆的方程为，其长轴长为．
当轴时，，的横坐标为或，
代入椭圆方程可得，所以；
当不垂直轴时，设切线的方程为，
所以圆心到切线的距离，得，
联立方程，整理得，
此时，即，
设，，则，，
所以，
设，则，
，
所以，
综上所述，．

18.设椭圆的标准方程为，
因为，所以，
由，得，又由，
得，即，
即，，，
所以椭圆的标准方程为；
由方程组，得，
，整理得，
故，，
则，，
由且椭圆的右顶点为，得，
因为，
所以，
即，
整理得：，
解得或，均满足，
当时，直线的的方程为，过定点，与题意矛盾，舍去；
当时，直线的方程为，过定点，符合题意；
故直线过定点，且定点的坐标为．

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