山东省济宁市邹城市兖矿第一中学2024-2025学年高二上学期期末数学试卷（图片版，含答案）

山东省济宁市邹城市兖矿第一中学 2024-2025 学年高二上学期期末数
学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1
1.抛物线 = 2的焦点坐标是( )
4
1 1
A. ( , 0) B. (0, ) C. (0,1) D. (1,0)
16 16
2.已知直线 1： + 1 = 0与直线 2：2 + 2 = 0平行，则 1与 2之间的距离为( )
√ 2 3√ 2
A. √ 2 B. 2 C. D.
2 2
3.已知数列{ }为等差数列，且 1 + 2 + 3 = 3， 2 + 3 + 4 = 6，则 8 =( )
A. 4 B. 5 C. 6 D. 7
4.圆 2 + 2 = 1与圆 2 + 2 2 +4 + 1 = 0的公共弦的长度为( )
√ 5 2√ 5 3√ 5 4√ 5
A. B. C. D.
5 5 5 5
5.在三棱柱 1 1 1中， = 2 1 ， = ， = ， = ， 1 = ，则 =( )
1 1 2 1 1 2
A. + + B. +
2 2 3 2 2 3
1 1 1 1 1 1
C. + + D. +
2 2 3 2 2 3
6.若圆 2 + 2 = 2( > 0)上恰有3个点到直线 + 2√ 2 = 0的距离为1，则 =( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
2 2
7.若椭圆 ： + = 1的左、右焦点分别为 ， ， 为 上的任意一点，则|
3 2 1 2 1
| | 2 |的取值范围是( )
A. [1,3] B. [2,3] C. [√ 2, √ 3] D. [1, √ 3]
8.如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法 商功》中，后人称为
“三角垛”.“三角垛”最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球……第 层
1
有 个球，则数列{ }的前20项和为( )
40 38 20 19
A. B. C. D.
21 2 21 21
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
1 2
9.已知事件 ， 发生的概率分别为 ( ) = ， ( ) = ，则下列说法中正确的是( )
4 3
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11 2
A. 若 与 互斥，则 ( ∪ ) = B. 若 ，则 ( ) =
12 3
1 1
C. 若 与 相互独立，则 ( ) = D. 若 ( ) = ，则 与 相互独立
4 2
10.已知等差数列{ }的前 项和为 ，且 13 > 14 > 12，则下列结论中正确的是( )
A. { }是递增数列 B. > 0时， 的最大值为13
C. 数列{ }中的最大项为 13 D. > 0时， 的最大值为27
11.如图所示，在棱长为2的正方体 1 1 1 1中，点 是棱 1的中点，则下
列结论中正确的是( )
A. 点 1到平面 的距离为√ 6
√ 15
B. 异面直线 1与 所成角的余弦值为 10
C. 三棱锥 1 的外接球的表面积为11
D. 若点 在底面 内运动，且点 到直线 1的距离为√ 3，则点 的轨迹为一个椭圆的一部分
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.已知等比数列{ }的前 项和为 ，且 2 = 3， 5 = 81，则 5 = ______．
13.如图，二面角 的大小为60°，其棱 上有两个点 ， ，线段
与 分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱 .若 = 3， =
2， = 2，则 ， 两点间的距离为______．
2 2
14.已知双曲线 ： 2 2 = 1( > 0, > 0)的左焦点为 ，过点 的直线 与圆
2 + 2 = 2相切于点 ，与

的右支交于点 ，若| | = 3| |，则 的离心率为______．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知圆 过点 (1,0)， (3,2)， (3, 2)．
(1)求圆 的标准方程；
(2)若过原点的直线 交圆 于 ， 两点，且| | = 2，求直线 的方程．
16.(本小题15分)
一个不透明的箱子中有4个红球、2个蓝球(球除颜色外，没有其它差异)．
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(1)若从箱子中不放回的随机抽取两球，求两球颜色相同的概率；
(2)若从箱子中有放回的抽取两球，求两球颜色相同的概率．
17.(本小题15分)
已知数列{ }的前 项和为 ，且 = 2 + 3．
(1)证明数列{ 1}为等比数列，并求{ }的通项公式；
1
(2)在 和 +1之间插入 个数，使这 + 2个数组成一个公差为 的等差数列，求数列{ }的前 项和
．

18.(本小题17分)
如图，在多面体 中，平面 ⊥平面 ，△ 是边长为2的等边三角形，四边形 是菱形，
且∠ = 60°， // ， = 2 ．
(1)求证： ⊥平面 ；
√ 5
(2)在线段 上是否存在点 ，使平面 与平面 夹角的余弦值为 .若存在，请说明点 的位置；若
5
不存在，请说明理由．
19.(本小题17分)
2 2 √ 2
已知椭圆 ： 2 + 2 = 1( > > 0)的离心率为 ，左、右焦点分别为 1、 2，上顶点为 ，且 = 4． 2 △ 1 2
(1)求 的标准方程；
(2)不过原点 的直线 ： = + 与 交于不同的两点 、 ，在 的延长线上取一点 使得| | = | |，
连接 交 于点 (点 在线段 上且不与端点重合)，若 △ = 2 △ ，试求直线 与坐标轴所围成三角
形面积的最小值．
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1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】121
13.【答案】√ 13
5
14.【答案】
3
15.【答案】解：(1)设圆 的标准方程为( )2 + ( )2 = 2( > 0)，
(1 )2 + 2 = 2 = 3
代入 、 、 的坐标，可得{(3 )2 + (2 )2 = 2 ，解得{ = 0，
(3 )2 + ( 2 )2 = 2 = 2
所以圆 的标准方程为( 3)2 + 2 = 4；
(2)当直线 的斜率不存在时，直线 方程为 = 0，与圆 相离，不符合题意；
当直线 的斜率存在时，设 的方程为 = ，即 = 0，
因为直线 被圆 截得弦长为| | = 2，可得2√ 2 2 = 2( 为点 到直线 的距离)，
|3 | √ 2 √ 2
解得 = √ 3，即 (3,0)到直线 的距离 = = √ 3，解得 = ± ，所以直线 的方程是 = ± ，即
√ 2 2 2 +1
± √ 2 = 0．
16.【答案】解：(1)把4个红球标记为 1， 2， 3， 4，2个蓝球标记为 1， 2，
从箱子中随机抽取两球的样本空间为：
= { 1 2 , 1 3, 1 4, 1 1, 1 2 , 2 3 , 2 4 , 2 1 , 2 2 , 3 4 , 3 1 , 3 2 , 4 1 , 4 2 , 1 2}，共有15个样
本点，
设事件 =“从箱子中随机抽取两球且颜色相同”，
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则事件 = { 1 2, 1 3, 1 4 , 2 3, 2 4, 3 4 , 1 2}，包含7个样本点，
7
∴ ( ) = ．
15
(2)设事件 =“从箱子中有放回地抽取两球且颜色相同”，
事件 =“从箱子中有放回地抽取两球且两球都为红球”，
事件 =“从箱子中有放回地抽取两球且两球都为蓝球”，
则 = ∪ ，且 与 互斥．
4 4 4 2 2 1
所以 ( ) = × = ， ( ) = × = ，
6 6 9 6 6 9
4 1 5
则 ( ) = ( ∪ ) = ( )+ ( ) = + = ．
9 9 9
17.【答案】证明：(1)因为 = 2 + 3①，
当 = 1时， 1 = 2 1 2，所以 1 = 2，
当 ≥ 2时， 1 = 2 1 + 4②，
由① ②得 = 2 2 1 + 1，即 = 2 1 1，
所以 1 = 2( 1 1)，又 1 1 = 1，
所以数列{ 1}是首项为1，公比为2的等比数列，
所 1 1 1 = 2 ，故 = 2 + 1；
解：(2)因为 +1 = + ( + 1) ，所以2
+ 1 = 2 1 + 1+ ( + 1) ，
2 1 1 +1
解得 = ，所以 = +1 2 1
，

2 3 4 +1
所以 = 0 + 1 + 2 + + 1， 2 2 2 2
1 2 3 4 +1

2
= 1 + + + +2 22 23 2 1
+ ，
2
1 1 1 1 1 +1
两式相减得 = 2+ ( + + + +2 21 22 23 2 1
)
2
1 1 1
[1 ( ) ]
2 2 +1 +3= 2 + 1 = 3 ，
1 2 2
2
+3
所以 = 6 1． 2
18.【答案】证明：(1)取 的中点 ，连接 ， ，
因为△ 为等边三角形，所以 ⊥ ，
又平面 ⊥平面 ，平面 ∩平面 = ， 平面 ，
所以 ⊥平面 ，
又四边形 是菱形，且∠ = 60°，所以 ⊥ ，
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故以 为原点， 为 轴， 为 轴， 为 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
因为 = = = = = 2， = 1，计算可得 = = √ 3，
则 (1,0,0)， (0, √ 3, 0)， ( 2,√ 3, 0)， ( 1,0,0)， (0,0, √ 3)，
所以 1 1 √ 3 = ( 1,√ 3, 0)， = = ( , , 0)，
2 2 2
得到 1 √ 3 3 √ 3 ( , , √ 3)，故 = ( , , √ 3)， = ( 1, √ 3, 0)，
2 2 2 2
得到 = 0，所以 ⊥ ，
又 ⊥ ， 平面 ， 平面 ， ∩ = ，
所以 ⊥平面 ；
解：(2)假设存在点 ，使平面 与平面 夹角的余弦值为√ 5，
5
设 = ，0 ≤ ≤ 1，则( 1, , ) = ( 1,0, √ 3)，
所以 = 1 ， = 0， = √ 3 .即 (1 , 0, √ 3 )，
所以 = (1 , √ 3, √ 3 )， = ( 2,0,0)，
设平面 的法向量为 = ( , , )，则 ⊥ ， ⊥ ，
= (1 ) √ 3 + √ 3 = 0则{ ，所以{
=
，
= 2 = 0 = 0
令 = 1，得 = 0， = ，所以 = (0, , 1)，
又平面 的一个法向量为 = (0,1,0)，
| | √ 5
所以|cos < , > | = =
1 1
2 5 ，解得 = 或 = (舍去)， √ +1 2 2
所以存在点 ，使平面 与平面 夹角的余弦值为√ 5，此时点 为线段 的中点．
5
1 1
19.【答案】解：(1)由题意可得 △ = | 1 2 | | | = × 2 × = = 4， 1 2 2 2
又因为椭圆 的离心率为 √ 2 = = ，所以 2 = 2 2，
2
又 2 = 2 + 2，联立解得 2 = 8， 2 = 4，
2 2
所以椭圆 的标准方程为： + = 1；
8 4
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(2)设点 ( 1 , 1)、 ( 2, 2)，
2 2
+ = 1
联立{ 8 4 整理可得：(2 2 +1) 2 + 4 + 2 2 8 = 0，
= +
则 = (4 )2 4(2 2 + 1)(2 2 8) = 8(4 2+ 2 2) > 0，①
4 2 2 8
由韦达定理可得 1 + 2 = 2 ， =
2 +1 1 2 2
，
2 +1
所以 21 2 = ( 1 + )( 2 + ) = 1 2 + ( + )+
2
1 2
2 2 2
(2 2 8) 4 2+ 2(2 +1) 2
2
8
= 2 = 2 ，
2 +1 2 +1
因为点 为 中点，所以 (2 1 ,2 1)，
由 △ = 2 △ ，可得 △ = △ = 2 △ ，即| | = 2| |，
所以，点 为 中点，
1 1
所以点 的坐标为( 1 + 2, 1 + )， 2 2 2
2 2 1 1 1 1
将点 的坐标代入椭圆 的方程 + = 1，可得 ( 2 2
8 4 8 1
+ 2) + ( 1 + 2) = 1， 2 4 2
2 21 1
2 2
化简得( + 1) + ( 2 + 2) + ( 1 2 + 1 2) = 1，
8 4 4 8 4 8 4
2 2 2 2
又 1 + 1 = 1， 2 + 2 = 1，
8 4 8 4
1 2 1
代入上式可得， + 1 2 = ，即 1 2 + 2 8 4 4 1 2 = 2．
2 2 8 2 2
把 8 1 2 = 2 ， =
2 +1 1 2 2
，代入 1 2 +2 1 2 = 2，
2 +1
可得2 2 = 6 2 + 3，且满足①式．

在直线 的方程中，令 = 0，可得 = ，即直线 交 轴于点( , 0)，

则直线 与坐标轴所围成三角形面积为
1 1 2
2
1 6 +3 3 1 3 1 3√ 2
= | || | = = = (2| | + ) ≥ × 2√ 2| | = ，
2 2 | | 4 | | 4 | | 4 | | 2
1
当且仅当2| | = 时，即当 √ 2 = ± 时取等号． | | 2
3
所以直线 与坐标轴所围成三角形面积的最小值为 √ 2．
2
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