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人教版八年级上册期末真题通关提优卷
数 学
（考试时间：120分钟 考试满分：120分）
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．剪纸艺术是我国古老的民间艺术之一，作为一种镂空艺术，它能给人以视觉上的透空感觉和艺术享受，下列剪纸作品中是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
2．下列命题是真命题的是（ ）
A．同位角互补，两直线平行 B．三角形内角和等于
C．对顶角相等 D．内错角相等
3．为估计池塘两岸A、B间的距离，如图，小明在池塘一侧选取了一点O，测得，，那么AB的距离可能是（ ）
A． B． C． D．
4．下列运算中，计算结果正确的是（ ）
A． B． C． D．
5．在 中，若一个内角等于另外两个角的差，则（ ）
A．必有一个角等于 B．必有一个角等于
C．必有一个角等于 D．必有一个角等于
6．如图，在中，已知，，，边的垂直平分线交于，交于，且，则的长是（ ）
A． B． C． D．
7． 分式方程 的解是（ ）
A． B． C． D．
8．某公司准备铺设一条长的道路，由于采用新技术，实际每天铺路的速度比原计划快，结果提前天完成任务设原计划每天铺设道路，根据题意可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
9．如图， ， ，过 作 的垂线，交 的延长线于 ，若 ，则 的度数为（ ）
A．45° B．30° C．22.5° D．15°
10．如图，△ABC和△CDE都是等边三角形，则下列结论不成立的是（ ）
A．∠BDE=120° B．∠ACE=120° C．AB=BE D．AD=BE
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11．等腰三角形的一个底角为，则它的顶角的度数为 ．
12．图是一个运算程序．若，，则的值为 ．
13．分解因式： .
14．如图，B是射线上动点，，若为等腰三角形，则的度数可能是 ．
15．已知关于x的分式方程有增根，则方程的增根为 ．
16．小聪在研究题目“如图，在等腰三角形ABC中，
，
，
的平分线与AB的垂直平分线OD交于点O，点C沿直线EF折叠后与点O重合，你能得出那些结论？”时，发现了下面三个结论：① ；②图中没有60°的角；③D、O、C三点共线．请你直接写出其中正确的结论序号：
三、综合题（本大题共8小题，共72分）
17．（9分）如图，等腰直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，D、E分别为AB、AC边上的点，AD＝AE，AF⊥BE交BC于点F，过点F作FG⊥CD交BE的延长线于点G，交AC于点M．
（1）求证：△ADC≌△AEB；
（2）判断△EGM是什么三角形，并证明你的结论；
（3）判断线段BG、AF与FG的数量关系并证明你的结论．
18．（9分）我国著名数学家华罗庚曾说“数缺形时少直观，形少数时难入微”，数形结合的方法是我们解决数学问题常用到的思想方法.图①是一个长为2a，宽为2b的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四个小长方形，然后按图②的方式拼成一个正方形.
（1）图②中阴影部分正方形的边长是 .
（2）通过观察，请用两种不同的方法求出图②中阴影部分的面积：
方法1：S阴影＝ ；
方法2：S阴影＝ .
（3）观察图②，请你写出（a+b）2，（a-b）2与ab之间的等量关系.
19．（9分）如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A(1，1)、B(4，2)、C(3，4)。
（1）若△A1B1C1与△ABC关于y轴成轴对称，则△A1B1C1三个顶点坐标分别为：A1 ，B1 ，C1 ；
（2）若P为x轴上一点，则PA+PB的最小值为 。
（3）计算△ABC的面积。
20．（9分）两个大小不同的等腰直角三角板如图1所示放置，图2是由它抽象出的几何图形，，，在同一条直线上，连结.
（1）请找出图2中的全等三角形，并给予证明（说明：结论中不得含有未标识的字母）；
（2）证明：.
（3）（巧手设计）请你仿照此题，用两个大小不同的含角的直角三角板设计一道几何题（画出相应图形，并标明答案，注明所用思路）.
21．（9分）如图，已知AM∥BN，∠A＝64°．点P是射线AM上一动点（与点A不重合），BC、BD分别平分∠ABP和∠PBN，分别交射线AM于点C，D．
（1）∠ABN的度数是 ，∠CBD的度数是 ；
（2）当点P运动时，∠APB与∠ADB之间的数量关系是否随之发生变化？若不变化，请写出它们之间的关系，并说明理由：若变化，请写出变化规律；
（3）当点P运动到使∠ACB＝∠ABD时，∠ABC的度数是多少？
22．（9分）在等边三角形ABC中，点E在AB上，点D在CB的延长线上，且AE=BD，
（1）当点E为AB的中点时，如图1，求证：EC=ED；
（2）当点E不是AB的中点时，如图2，过点E作EF//BC，求证：△AEF是等边三角形；
（3）在第（2）小题的条件下，EC与ED还相等吗，请说明理由.
23．（9分）在△ABC中，DE垂直平分AB ，分别交AB、BC于点D 、E，MN垂直平分AC，分别交AC、BC于点M、N，连接AE，AN.
（1）如图1，若∠BAC= 100°，求∠EAN的度数；
（2）如图2，若∠BAC=70°，求∠EAN的度数；
（3）若∠BAC=a(a≠90°)，请直接写出∠EAN的度数. (用含a的代数式表示)
24．（9分）在初中数学学习阶段，我们常常会利用一些变形技巧来简化式子，解答问题.
材料一：在解决某些分式问题时，倒数法是常用的变形技巧之一，所谓倒数法，即把式子变成其倒数形式，从而运用约分化简，以达到计算目的.
例：已知： ，求代数式x2+ 的值.
解：∵ ，∴ ＝4
即 ＝4∴x+ ＝4∴x2+ ＝（x+ ）2﹣2＝16﹣2＝14
材料二：在解决某些连等式问题时，通常可以引入参数“k”，将连等式变成几个值为k的等式，这样就可以通过适当变形解决问题.
例：若2x＝3y＝4z，且xyz≠0，求 的值.
解：令2x＝3y＝4z＝k（k≠0）
则
根据材料回答问题：
（1）已知 ，求x+ 的值.
（2）已知 ，（abc≠0），求 的值.
（3）若 ，x≠0，y≠0，z≠0，且abc＝7，求xyz的值.
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数 学
（考试时间：120分钟 考试满分：120分）
一、选择题
1．剪纸艺术是我国古老的民间艺术之一，作为一种镂空艺术，它能给人以视觉上的透空感觉和艺术享受，下列剪纸作品中是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解：选项A、B、D不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形，
选项C能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形，
故答案为：C．
【分析】根据轴对称图形的定义“如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形”逐项判断即可．
2．下列命题是真命题的是（ ）
A．同位角互补，两直线平行 B．三角形内角和等于
C．对顶角相等 D．内错角相等
【答案】C
【解析】【解答】解：A、同位角相等，两直线平行，故原命题是假命题；
B、三角形的内角和是180°，故原命题是假命题；
C、对顶角相等是真命题；
D、两直线平行，内错角相等，故原命题是假命题.
故答案为：C．
【分析】根据对顶角的性质，三角形内角和定理，平行线的性质，以及平行线的判定方法，逐项分析即可．
3．为估计池塘两岸A、B间的距离，如图，小明在池塘一侧选取了一点O，测得，，那么AB的距离可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：∵OA＝10m，OB＝6m，
∴10 6＜AB＜10＋6，
∴4＜AB＜16，
∴AB的距离可能是15m.
故答案为：B．
【分析】利用三角形三边的关系可得10 6＜AB＜10＋6，求出4＜AB＜16，再求解即可.
4．下列运算中，计算结果正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解：A、∵a2 a3＝a5，∴A不正确，不符合题意；
B、∵a3与a2不是同类项，不能进行合并，∴B不正确，不符合题意；
C、∵（a2）3＝a6，∴C正确，符合题意；
D、∵a8÷a4＝a4，∴D不正确，不符合题意；
故答案为：C．
【分析】利用同底数幂的乘法、合并同类项的计算方法、幂的乘方和同底数幂的除法的计算方法逐项分析判断即可.
5．在 中，若一个内角等于另外两个角的差，则（ ）
A．必有一个角等于 B．必有一个角等于
C．必有一个角等于 D．必有一个角等于
【答案】D
【解析】【解答】设三角形的一个内角为x，另一个角为y，则三个角为(180°－x－y)，则有三种情况：
①
②
③
综上所述，必有一个角等于90°
故答案为：D.
【分析】设三角形的一个内角为x，另一个角为y，则三个角为(180°－x－y)，分三种情况讨论
①②③，分别求出结论，然后判断即可.
6．如图，在中，已知，，，边的垂直平分线交于，交于，且，则的长是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：∵AB边的垂直平分线交AB于E，交BC于D，（已知）
∴AD＝BD，（线段垂直平分线的性质）
∴∠DAE＝∠B＝15°且AD＝BD＝13cm，（等腰三角形的性质）
∴∠ADC＝30°，（外角性质）
∴AC=AD＝6.5cm.
故答案为：B.
【分析】先利用垂直平分线的性质可得AD＝BD，再利用三角形外角的性质可得∠ADC＝30°，最后利用含30°角的直角三角形的性质可得AC=AD＝6.5cm.
7． 分式方程 的解是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】【解答】解：
去分母得2x=x-3，
解得x=-3，
经检验x=-3是原方程的根.
故答案为：A.
【分析】利用去分母将分式方程化为整式方程，解出整式方程并检验即得.
8．某公司准备铺设一条长的道路，由于采用新技术，实际每天铺路的速度比原计划快，结果提前天完成任务设原计划每天铺设道路，根据题意可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】【解答】解：设原计划每天铺设道路，则实际每天铺设道路为（1+10%）xm，
依题意得： .
故答案为：A.
【分析】设原计划每天铺设道路，则实际每天铺设道路为（1+10%）xm，根据工作总量除以工作效率=工作时间分别表示出原计划及实际的工作时间，进而根据“ 提前天完成任务 ”列出方程即可.
9．如图， ， ，过 作 的垂线，交 的延长线于 ，若 ，则 的度数为（ ）
A．45° B．30° C．22.5° D．15°
【答案】C
【解析】【解答】解：连接AD，延长AC、DE交于M，
∵∠ACB=90°，AC=CD，
∴∠DAC=∠ADC=45°，
∵∠ACB=90°，DE⊥AB，
∴∠DEB=90°=∠ACB=∠DCM，
∵∠ABC=∠DBE，
∴∠CAB=∠CDM，
在△ACB和△DCM中
∴△ACB≌△DCM（ASA），
∴AB=DM，
∵AB=2DE，
∴DM=2DE，
∴DE=EM，
∵DE⊥AB，
∴AD=AM，
故答案为：C．
【分析】连接AD，延长AC、DE交于M，求出∠CAB=∠CDM，根据全等三角形的判定得出△ACB≌△DCM，求出AB=DM，求出AD=AM，根据等腰三角形的性质得出即可．
10．如图，△ABC和△CDE都是等边三角形，则下列结论不成立的是（ ）
A．∠BDE=120° B．∠ACE=120° C．AB=BE D．AD=BE
【答案】C
【解析】【解答】解：∵△CDE都是等边三角形，
∴∠CDE=60°，
∴∠BDE=180°﹣∠CDE=120°，故A正确；
∵△ABC和△CDE都是等边三角形，
∴∠ACB=60°，∠DCE=60°，
∴∠ACE=∠ACB+∠DCE=60°+60°=120°，故B正确；
∵△ABC和△CDE都是等边三角形，
∴AC=BC，EC=DC，∠ACD=∠BCE=60°．
在△ACD和△BCE中，
，
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴AD=BE．故D正确；
∵△ABD与△EBD不全等，
∴AB≠BE．
故答案为：C．
【分析】根据△CDE都是等边三角形，得到∠CDE=60°，利用平角即可证明A；根据△ABC和△CDE都是等边三角形，得到∠ACB=60°，∠DCE=60°，由∠ACE=∠ACB+∠DCE即可证明B；根据等边三角形的性质可得AC=BC，EC=DC，∠ACD=∠BCE=60°，利用“边角边”证明△ACD和△BCE全等，再根据全等三角形对应边相等证明D．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11．等腰三角形的一个底角为，则它的顶角的度数为 ．
【答案】
【解析】【解答】解：∵等腰三角形底角相等，
∴，
∴顶角为．
故答案为：．
【分析】利用等腰三角形的两个底角相等解题即可．
12．图是一个运算程序．若，，则的值为 ．
【答案】
【解析】【解答】解：∵x=-4，y=5，
∴x＜y，
∴m=|x|-3y=|-4|-3×5=4-15=-11．
故答案为：-11.
【分析】先判断x、y大小，再确定用那个代数式求值，然后代入x、y的值进行求值即可。
13．分解因式： .
【答案】a（a+5）（a-5）
【解析】【解答】解： 原式
.
故答案为：a（a+5）（a-5）
【分析】首先提取公因式a，然后利用平方差公式分解即可.
14．如图，B是射线上动点，，若为等腰三角形，则的度数可能是 ．
【答案】，或
【解析】【解答】解：根据题意
当为等腰三角形的顶角时，
当为等腰三角形的顶角时
当为等腰三角形的顶角时，
综上，的度数可能是，或
故答案为：，或
【分析】题中说为等腰三角形但未说明哪个角是顶角或者哪个边是腰，故需要分别讨论三种情况，根据三角形内角和定理和等腰三角形两底角相等的性质可求的度数。
15．已知关于x的分式方程有增根，则方程的增根为 ．
【答案】
【解析】【解答】∵分式方程有增根，
∴x+5=0，
解得：x=-5.
故答案为：x=-5.
【分析】利用分式方程增根的定义可得x+5=0，再求出x的值即可.
16．小聪在研究题目“如图，在等腰三角形ABC中，
，
，
的平分线与AB的垂直平分线OD交于点O，点C沿直线EF折叠后与点O重合，你能得出那些结论？”时，发现了下面三个结论：① ；②图中没有60°的角；③D、O、C三点共线．请你直接写出其中正确的结论序号：
【答案】①
【解析】【解答】解：∵∠BAC=50°，AO为∠BAC的平分线，
∴∠BAO=
∠BAC=
×50°=25°．
又∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB=65°．
∵DO是AB的垂直平分线，
∴OA=OB，
∴∠ABO=∠BAO=25°，
∴∠OBC=∠ABC-∠ABO=65°-25°=40°．
∵AO为∠BAC的平分线，AB=AC，
∴直线AO垂直平分BC，
∴OB=OC，
∴∠OCB=∠OBC=40°，
∵将∠C沿EF（E在BC上，F在AC上）折叠，点C与点O恰好重合，
∴OE=CE．
∴∠COE=∠OCB=40°；
在△OCE中，∠OEC=180°-∠COE-∠OCB=180°-40°-40°=100°，
∴∠OEF=
∠CEO=50°，①符合题意；
∵∠OCB=∠OBC=∠COE=40°，
∴∠BOE=180°-∠OBC-∠COE-∠OCB =180°-40°-40°-40°=60°， ②不符合题意；
∵∠ABO=∠BAO=25°，DO是AB的垂直平分线，
∴∠DOB=90°-∠ABO=75°，
∵∠OCB=∠OBC=40°，
∴∠BOC=180°-∠OBC -∠OCB=180°-40°-40°=100°，
∴∠DOC=∠DOB+∠BOC=75°+100°=175°，即D、O、C三点不共线，③不符合题意.
故答案为：①．
【分析】根据等腰三角形的性质，角平分线，垂直平分线的定义对每个结论一一判断即可。
三、综合题（本大题共8小题，共72分）
17．（9分）如图，等腰直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，D、E分别为AB、AC边上的点，AD＝AE，AF⊥BE交BC于点F，过点F作FG⊥CD交BE的延长线于点G，交AC于点M．
（1）求证：△ADC≌△AEB；
（2）判断△EGM是什么三角形，并证明你的结论；
（3）判断线段BG、AF与FG的数量关系并证明你的结论．
【答案】（1）证明：∵等腰直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，
∴AC＝AB，∠ACB＝∠ABC＝45°，
在△ADC和△AEB中
∴△ADC≌△AEB（SAS），
（2）解：△EGM为等腰三角形；
理由：∵△ADC≌△AEB，
∴∠1＝∠3，
∵∠BAC＝90°，
∴∠3+∠2＝90°，∠1+∠4＝90°，
∴∠4+∠3＝90°
∵FG⊥CD，
∴∠CMF+∠4＝90°，
∴∠3＝∠CMF，
∴∠GEM＝∠GME，
∴EG＝MG，△EGM为等腰三角形．
（3）解：线段BG、AF与FG的数量关系为BG＝AF+FG．
理由：如图所示：过点B作AB的垂线，交GF的延长线于点N，
∵BN⊥AB，∠ABC＝45°，
∴∠FBN＝45°＝∠FBA．
∵FG⊥CD，
∴∠BFN＝∠CFM＝90°-∠DCB，
∵AF⊥BE，
∴∠BFA＝90°-∠EBC，∠5+∠2＝90°，
由（1）可得∠DCB＝∠EBC，
∴∠BFN＝∠BFA，
在△BFN和△BFA中
∴△BFN≌△BFA（ASA），
∴NF＝AF，∠N＝∠5，
又∵∠GBN+∠2＝90°，
∴∠GBN＝∠5＝∠N，
∴BG＝NG，
又∵NG＝NF+FG，
∴BG＝AF+FG．
【解析】【分析】（1）利用等腰直角三角形的性质可证得AC＝AB，∠ACB＝∠ABC＝45°，利用SAS可证得结论.
（2）利用全等三角形的性质可证得∠1=∠3，利用三角形的内角和定理可知∠3+∠2＝90°，∠1+∠4＝90°，可推出∠4+∠3=90°，再证明∠CMF+∠4=90°，利用余角的性质可证得∠GEM＝∠GME，利用等角对等边可证得EG=MG，可证得结论.
（3）过点B作AB的垂线，交GF的延长线于点N，利用垂直的定义可推出∠FBN＝45°＝∠FBA，利用余角的性质可证得∠DCB=∠EBC，利用ASA证明△BFN≌△BFA，利用全等三角形的性质可证得NF＝AF，∠N＝∠5，由此可推出∠GBN＝∠5＝∠N，利用等角对等边可知BG=NG，根据NG=NF+FG，可得到线段BG、AF与FG的数量关系.
18．（9分）我国著名数学家华罗庚曾说“数缺形时少直观，形少数时难入微”，数形结合的方法是我们解决数学问题常用到的思想方法.图①是一个长为2a，宽为2b的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四个小长方形，然后按图②的方式拼成一个正方形.
（1）图②中阴影部分正方形的边长是 .
（2）通过观察，请用两种不同的方法求出图②中阴影部分的面积：
方法1：S阴影＝ ；
方法2：S阴影＝ .
（3）观察图②，请你写出（a+b）2，（a-b）2与ab之间的等量关系.
【答案】（1）a-b
（2）（a-b）2；（a+b）2-4ab
（3）解：（a-b）2＝（a+b）2-4ab，
【解析】【解答】解：（1）图②中阴影部分正方形的边长是a-b，
故答案为：a-b；
（2）图②中阴影部分的面积为：（a-b）2或（a+b）2-4ab，
故答案为：（a-b）2，（a+b）2-4ab；
【分析】（1）根据线段的和差求解；
（2）方法一：根据正方形的面积公式求解；方法二：用大正方形的面积减去周围四个矩形的面积可得阴影部分的面积；
（3）根据同一个图形的面积不变求解．
19．（9分）如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A(1，1)、B(4，2)、C(3，4)。
（1）若△A1B1C1与△ABC关于y轴成轴对称，则△A1B1C1三个顶点坐标分别为：A1 ，B1 ，C1 ；
（2）若P为x轴上一点，则PA+PB的最小值为 。
（3）计算△ABC的面积。
【答案】（1）(-1，1)；(-4，2)；(-3，4)
（2）解：
（3）解：△ABC的面积
=3×3- ×3×1- ×1×2- ×2×3
=
【解析】【解答】(2)如图所示： PA+PB 的最小值为3 ；
【分析】（1）根据关于y轴对称的点的特征，即可得到三个顶点的坐标；
（2）根据题意可知，作点A关于x轴的对称点A'，连接A'B与x轴交于点P，线段A'B的长即为PA+OB的最小值；
（3）根据题意，利用做差法求出三角形的面积即可。
20．（9分）两个大小不同的等腰直角三角板如图1所示放置，图2是由它抽象出的几何图形，，，在同一条直线上，连结.
（1）请找出图2中的全等三角形，并给予证明（说明：结论中不得含有未标识的字母）；
（2）证明：.
（3）（巧手设计）请你仿照此题，用两个大小不同的含角的直角三角板设计一道几何题（画出相应图形，并标明答案，注明所用思路）.
【答案】（1）解：.
证明：∵∠BAC=∠EAD=90°，
∴=，
∴，
在△ABE和△ACD中
，
∴；
（2）证明∵△ABE≌△ACD，
∴∠ACD=∠ABE=45°，
又∵∠ACB=45°，
∴∠BCD=∠ACB+∠ACD=90°，
∴DC⊥BE；
（3）解：把两个大小不同的含30°的直角三角板ABC和BDE如图放置，当 A、B、D在同一条直线上.求BC与BE的位置关系.
解：BC⊥BE，理由：
∵∠DBE=30°，∠ABC=60°，
∴∠CBE=180°-60°-30°=90°，
∴BC⊥BE.
【解析】【分析】（1）由同角的余角相等可得∠BAE=∠CAD，然后利用全等三角形的判定定理进行证明；
（2）由全等三角形的性质可得∠ACD=∠ABE=45°，易知∠ACB=45°，则∠BCD=∠ACB+∠ACD=90°，据此证明；
（3）把两个大小不同的含30°的直角三角板ABC和BDE如图放置，当 A、B、D在同一条直线上，求BC与BE的位置关系，根据平角的概念可得∠CBE=180°-60°-30°=90°，据此解答.
21．（9分）如图，已知AM∥BN，∠A＝64°．点P是射线AM上一动点（与点A不重合），BC、BD分别平分∠ABP和∠PBN，分别交射线AM于点C，D．
（1）∠ABN的度数是 ，∠CBD的度数是 ；
（2）当点P运动时，∠APB与∠ADB之间的数量关系是否随之发生变化？若不变化，请写出它们之间的关系，并说明理由：若变化，请写出变化规律；
（3）当点P运动到使∠ACB＝∠ABD时，∠ABC的度数是多少？
【答案】（1）116°；58°
（2）解：不变，
∠APB：∠ADB＝2：1，
∵AM∥BN，
∴∠APB＝∠PBN，∠ADB＝∠DBN，
∵BD平分∠PBN，
∴∠PBN＝2∠DBN，
∴∠APB：∠ADB＝2：1
（3）解：当点P运动到使∠ACB＝∠ABD时，∠ABC的度数是29°
∵AM∥BN，
∴∠ACB＝∠CBN，
当∠ACB＝∠ABD时，
则有∠CBN＝∠ABD，
∴∠ABC+∠CBD＝∠CBD+∠DBN
∴∠ABC＝∠DBN，
由（1）∠ABN＝116°，
∴∠CBD＝58°，
∴∠ABC+∠DBN＝58°，
∴∠ABC＝29°，
【解析】【解答】解：（1） ∵AM∥BN，
∴∠ABN+∠A＝180°，
∴∠ABN＝180°﹣64°＝116°，
∴∠ABP+∠PBN＝116°，
∵BC平分∠ABP，BD平分∠PBN，
∴∠ABP＝2∠CBP，∠PBN＝2∠DBP，
∴2∠CBP+2∠DBP＝116°，
∴∠CBD＝∠CBP+∠DBP＝58°
【分析】（1）根据平行线的性质，即可得到∠ABN的度数；利用角平分线的性质即可得到∠CBD=∠ABN，得到答案即可；
（2）根据题意证明得到∠APB=∠PBN，∠PBN=2∠DBN，即可得到答案；
（3）先证明∠ABC=∠DBN，继而推出∠CBD=58°，即可得到∠ABC的度数。
22．（9分）在等边三角形ABC中，点E在AB上，点D在CB的延长线上，且AE=BD，
（1）当点E为AB的中点时，如图1，求证：EC=ED；
（2）当点E不是AB的中点时，如图2，过点E作EF//BC，求证：△AEF是等边三角形；
（3）在第（2）小题的条件下，EC与ED还相等吗，请说明理由.
【答案】（1）证明：如图1，在等边△ABC中，AB=BC=AC，
∴∠ABC=∠ACB=∠A=60°，
∵AE=EB=BD，
∴∠ECB= ∠ACB=30°，∠EDB=∠DEB= ∠ACB=30°，
∴∠EDB=∠ECB，
∴EC=ED
（2）证明：如图2，
∵EF∥BC，
∴∠AEF=∠ABC=60°，∠AFE=∠C=60°，
∴△AEF为等边三角形
（3）解：EC=ED；
理由：∵∠AEF=∠ABC=60°，
∴∠EFC=∠DBE=120°，
∵AB=AC，AE=AF，
∴AB-AE=AC-AF，即BE=FC，
在△DBE和△EFC中，
，
∴△DBE≌△EFC（SAS），
∴ED=EC.
【解析】【分析】（1）根据等边三角形的性质可得∠ECB=30°，∠ABC=60°，根据AE=EB=BD，∠EDB=∠DEB=30°，根据等角对等边即可证得结论；
（2）根据平行线的性质证得∠AEF=∠ABC=60°，∠AFE=∠C=60°，即可证得结论；
（3）先求得BE=FC，然后利用SAS证得△DBE≌△EFC，再根据全等三角形的对应边相等得出ED=EC.
23．（9分）在△ABC中，DE垂直平分AB ，分别交AB、BC于点D 、E，MN垂直平分AC，分别交AC、BC于点M、N，连接AE，AN.
（1）如图1，若∠BAC= 100°，求∠EAN的度数；
（2）如图2，若∠BAC=70°，求∠EAN的度数；
（3）若∠BAC=a(a≠90°)，请直接写出∠EAN的度数. (用含a的代数式表示)
【答案】（1）解：因为DE垂直平分AB，
所以AE=BE，∠BAE=∠B，
同理可得∠CAN= ∠C，
所以∠EAN=∠BAC -∠BAE-∠CAN=∠BAC -(∠B+∠C），
在△ABC中，∠B+∠C=180°- ∠BAC=80°，
所以∠EAN=
100-80=20°
（2）解：因为 DE垂直平分AB，
所以AE= BE，∠BAE=∠B，
同理可得∠CAN= ∠C，
所以∠EAN=∠BAE+∠CAN-∠BAC=(∠B+∠C)-∠BAC，
在△ABC中，∠B+∠C= 180°-∠BAC= 110°，
所以∠EAN=110°-
70°=40°
（3）解：当0
当180°>a>90°时，∠EAN=2a
-180°
【解析】【分析】（1）根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得AE=BE，再根据等边对等角可得∠BAE=∠B，同理可得，∠CAN=∠C，然后利用三角形的内角和定理求出∠B+∠C，再根据∠EAN=∠BAC-（∠BAE+∠CAN）代入数据进行计算即可得解；（2）同（1）的思路，最后根据∠EAN=∠BAE+∠CAN-∠BAC代入数据进行计算即可得解；（3）根据前两问的求解，分α＜90°与α＞90°两种情况解答．
24．（9分）在初中数学学习阶段，我们常常会利用一些变形技巧来简化式子，解答问题.
材料一：在解决某些分式问题时，倒数法是常用的变形技巧之一，所谓倒数法，即把式子变成其倒数形式，从而运用约分化简，以达到计算目的.
例：已知： ，求代数式x2+ 的值.
解：∵ ，∴ ＝4
即 ＝4∴x+ ＝4∴x2+ ＝（x+ ）2﹣2＝16﹣2＝14
材料二：在解决某些连等式问题时，通常可以引入参数“k”，将连等式变成几个值为k的等式，这样就可以通过适当变形解决问题.
例：若2x＝3y＝4z，且xyz≠0，求 的值.
解：令2x＝3y＝4z＝k（k≠0）
则
根据材料回答问题：
（1）已知 ，求x+ 的值.
（2）已知 ，（abc≠0），求 的值.
（3）若 ，x≠0，y≠0，z≠0，且abc＝7，求xyz的值.
【答案】（1）解：∵ ＝ ，
∴ ＝4，
∴x﹣1+ ＝4，
∴x+ ＝5；
（2）解：∵设 ＝ ＝ ＝k（k≠0），则a＝5k，b＝2k，c＝3k，
∴ ＝ ＝ ＝ ；
（3）解：解法一：设 ＝ ＝ ＝ （k≠0），
∴①， ②， ③，
①+②+③得：2（ ）＝3k，
＝ k④，
④﹣①得： ＝ k，
④﹣②得： ，
④﹣③得： k，
∴x＝ ，y＝ ，z＝ 代入 ＝ 中，得：
＝ ，
，
k＝4，
∴x＝ ，y＝ ，z＝ ，
∴xyz＝ ＝ ＝ ；
解法二：∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
将其代入 中得： ＝
＝ ，y＝ ，
∴x＝ ，z＝ ＝ ，
∴xyz＝ ＝ .
【解析】【分析】（1）仿照材料一，取倒数，再约分，利用等式的性质求解即可；（2）仿照材料二，设 ＝ ＝ ＝k（k≠0），则a＝5k，b＝2k，c＝3k，代入所求式子即可；（3）本题介绍两种解法：解法一：（3）解法一：设 ＝ ＝ ＝ （k≠0），化简得： ①， ②， ③，相加变形可得x、y、z的代入 ＝ 中，可得k的值，从而得结论；解法二：取倒数得： ＝ ＝ ，拆项得 ，从而得x＝ ，z＝ ，代入已知可得结论.
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