中小学教育资源及组卷应用平台
人教版九年级上册期末模拟争先领航卷
数 学
（考试时间：120分钟 考试满分：120分）
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．方程的解为（ ）
A． B． C．或－4 D．或4
2．下列事件中，是随机事件的是（ ）
A．在一副扑克牌中抽出一张，抽出的牌是黑桃6；
B．在一个只装了红球的袋子里，摸出一个白球；
C．明天太阳从东方升起；
D．画一个三角形，其内角和是．
3．如图，是的半径，弦是优弧上一点，如果，那么的度数为（ ）
A． B． C． D．
4．某商品原价为200元，连续两次平均降价的百分率为，连续两次降价后售价为146元，下面所列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
5．的直径为6，直线上有一点满足，则与的位置关系是（ ）
A．相切 B．相离 C．相离或相切 D．相切或相交
6．如图，中，，将绕点逆时针旋转得到，交于点．当时，点恰好落在上，则( )
A． B． C． D．
7．小星利用表格中的数据，估算一元二次方程的根．
x … 0 1.1 1.2 1.3 1.4 …
… 0.08 0.52 …
由此可以确定，方程的一个根的大致范围是（ ）
A． B． C． D．
8． 往直径为的圆柱形容器内装入一些水以后，截面如图所示，若水面的宽度为，则水的最大深度为（ ）
A． B． C． D．
9．内接于，过点A作直线EF，已知，根据弦AB的变化，两人分别探究直线EF与的位置关系：
甲：如图1，当弦AB过点O时，EF与相切；
乙：如图2，当弦AB不过点O时，EF也与相切；
下列判断正确的是（ ）
A．甲对，乙不对 B．甲不对，乙对
C．甲乙都对 D．甲乙都不对
10．如图，已知抛物线的对称轴为，过其顶点的一条直线与该抛物线的另一个交点为要在坐标轴上找一点，使得的周长最小，则点的坐标为（ ）
A． B．
C．或 D．以上都不正确
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11．抛物线的顶点坐标是 ．
12．如图，在△ABC中，∠BAC＝33°，将△ABC绕点A按顺时针方向旋转50°，对应得到△AB′C′，则∠B′AC的度数为 ．
13．已知点在二次函数（a为常数）的图像上．若，则m n．（填“”、“ ”或“”）．
14．如图，在中，，以为直径作半圆，交于点，交于点，则弧的长为 （结果保留）。
15．在如图所示的电路图中，当随机闭合开关中的任意一个时，能够使小灯泡发光的概率为 ．
16．如图，D是内一点，，，，，，则的长是 ．
三、综合题（本大题共8小题，共72分）
17．（9分）工厂加工某花茶的成本为30元/千克，根据市场调查发现，批发价定为48元/千克时，每天可销售500千克，为增大市场占有率，在保证盈利的情况下，工厂采取降价措施，调查发现：批发价每千克降低1元，每天销量可增加50千克.
（1）求工厂每天的利润W元与降价x元之间的函数关系.
（2）当降价多少元时，工厂每天的利润最大，最大为多少元？
（3）若工厂每天的利润要达到9750元，并尽可能让利于民，则定价应为多少元？
18．（9分）已知：△ABC在坐标平面内，三个顶点的坐标分别为A（0，3），B（3，4），C（2，2）．（正方形网格中，每个小正方形的边长是1个单位长度）
（1）画出△ABC向下平移4个单位，再向左平移1个单位得到的△A1B1C1，并直接写出C1点的坐标；
（2）画出△ABC绕点A顺时针方向旋转90°后得到的△A2B2C2，并直接写出C2点的坐标；
（3）请求出（2）中△ABC旋转过程中所扫过的面积为
．
19．（9分）如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点．
（1）求该抛物线的解析式及顶点坐标；
（2）若点是抛物线的对称轴与直线的交点，点是抛物线的顶点，求的长；
（3）抛物线上是否存在点使得 如果存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
20．（9分）如图，AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，且AD平分∠CAB，过点D作AC的垂线，与AC的延长线相交于E，与AB的延长线相交于点F，G为AB的下半圆弧的中点，DG交AB于H，连接DB、GB．
（1）证明EF是⊙O的切线；
（2）求证：∠DGB=∠BDF：
（3）已知圆的半径R=5，BH=3，求GH的长．
21．（9分）随着信息技术的迅猛发展，人们去商场购物的支付方式更加多样、便捷．某校数学兴趣小组设计了一份调查问卷，要求每人选且只选一种最喜欢的支付方式．现将调查结果进行统计并绘制成如下两幅不完整的统计图．请结合图中所给的信息解答下列问题：
（1）这次活动共调查了 人；
（2）在扇形统计图中，表示“支付宝”支付的扇形圆心角的度数为 ；
（3）在一次购物中，小明和小亮都想从“微信”“支付宝”“银行卡”三种方式中选一种方式进行支付，请用画树状图或列表的方法，求出两人恰好选择同一种支付方式的概率．
22．（9分）如图，小明父亲想用长为100m的栅栏，再借助房屋的外墙围成一个矩形的羊圈ABCD．已知房屋外墙长40m，设矩形ABCD的边AB＝xm，面积为Sm2．
（1）请直接写出S与x之间的函数表达式为 ，并直接写出x的取值范围是 ；
（2）求当x为多少m时，面积S为1050m2；
（3）当AB，BC分别为多少米时，羊圈的面积最大？最大面积是多少？
23．（9分）红星公司生产的某种时令商品每件成本为20元，经过市场调研发现，这种商品在未来40天内的日销售量m（件）是时间t（天）的一次函数，当 时， ；当 时 ；未来40天内，前20天每天的价格 （元/件）与时间t（天）的函数关系式为 （ 且t为整数)，后20天每天的价格 （元/件）与时间t（天）的函数关系式为 （ 且t为整数).下面我们就来研究销售这种商品的有关问题：
（1）求 （件）与t（天）之间的函数关系式；
（2）请预测未来40天中哪一天的日销售利润最大，最大日销售利润是多少？
（3）在实际销售的前20天中，该公司决定每销售一件商品就捐赠a元利润（ ）给希望工程.公司通过销售记录发现，前20天中，每天扣除捐赠后的日销售利润随时间t（天）的增大而增大，求 的取值范围.
24．（9分）如图，点C为△ABD外接圆上的一动点（点C不在 上，且不与点B，D重合），∠ACB=∠ABD=45°.
（1）求证：BD是该外接圆的直径；
（2）连结CD，求证： AC=BC+CD；
（3）若△ABC关于直线AB的对称图形为△ABM，连接DM，试探究 ，三者之间满足的等量关系，并证明你的结论.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台
人教版九年级上册期末模拟争先领航卷
数 学
（考试时间：120分钟 考试满分：120分）
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．方程的解为（ ）
A． B． C．或－4 D．或4
【答案】C
【解析】【解答】∵一元二次方程为，
∴x2=16，
解得：x1=4，x2=-4，
故答案为：C.
【分析】利用直接开方法直接求解一元二次方程的解即可.
2．下列事件中，是随机事件的是（ ）
A．在一副扑克牌中抽出一张，抽出的牌是黑桃6；
B．在一个只装了红球的袋子里，摸出一个白球；
C．明天太阳从东方升起；
D．画一个三角形，其内角和是．
【答案】A
【解析】【解答】A、∵在一副扑克牌中抽出一张，抽出的牌是黑桃6属于随机事件，∴A符合题意；
B、∵在一个只装了红球的袋子里，摸出一个白球属于不可能事件，∴B不符合题意；
C、∵明天太阳从东方升起属于必然事件，∴C不符合题意；
D、∵画一个三角形，其内角和是属于必然事件，∴D不符合题意；
故答案为：A.
【分析】利用随机事件的定义逐项分析判断即可.
3．如图，是的半径，弦是优弧上一点，如果，那么的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：，
，
．
故答案为：B．
【分析】利用垂径定理可得，再利用弧与圆心角的性质可得．
4．某商品原价为200元，连续两次平均降价的百分率为，连续两次降价后售价为146元，下面所列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：第一次降价后价格为，
第二次降价后价格为．
故答案为：B．
【分析】利用“降价两次后的价格=原价×（1-降价率）2”列出方程即可.
5．的直径为6，直线上有一点满足，则与的位置关系是（ ）
A．相切 B．相离 C．相离或相切 D．相切或相交
【答案】D
【解析】【分析】本题考查直线与圆的位置关系．解决此类问题可通过比较圆心到直线距离d与圆半径大小关系完成判定．根据直线与圆的位置关系来判定．判断直线和圆的位置关系：①直线l和相交；②直线l和相切；③直线l和相离．分垂直于直线l，不垂直直线l两种情况讨论．
【解答】解：如图所示，
当垂直于直线l时，即圆心O到直线l的距离，与l相切；
当不垂直于直线l时，即圆心O到直线l的距离，与直线l相交．
故直线l与的位置关系是相切或相交．
故答案为：D．
【分析】分类讨论：①OP垂直直线l，②OP不垂直直线l，再利用直线与圆的位置关系（①直线l和圆相交；②直线l和圆相切；③直线l和圆相离）分析求解即可.
6．如图，中，，将绕点逆时针旋转得到，交于点．当时，点恰好落在上，则( )
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：将逆时针旋转，得到，
，，，，
又，
，
，
，
故答案为：B．
【分析】由旋转得到，，，，然后再根据等边对等角得到，再根据三角形内角和定理解题即可．
7．小星利用表格中的数据，估算一元二次方程的根．
x … 0 1.1 1.2 1.3 1.4 …
… 0.08 0.52 …
由此可以确定，方程的一个根的大致范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】【解答】根据表格中的数据可得：当x=1.2时，；当x=1.3时，，
∴方程的一个根的大致范围是，
故答案为：C.
【分析】根据表格中的数据可得当x=1.2时，；当x=1.3时，，再求出方程的一个根的大致范围即可.
8． 往直径为的圆柱形容器内装入一些水以后，截面如图所示，若水面的宽度为，则水的最大深度为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解：过点O作OC⊥AB交AB于点D，交圆O于点C，连接OA
∵OC⊥AB，AB=24
∴
∵圆直径为26
∴OA=OC=13
∴
∴CD=OC-OD=8
故答案为：D
【分析】过点O作OC⊥AB交AB于点D，交圆O于点C，连接OA，根据垂径定理可得，再根据勾股定理可求出OD=5，再根据CD=OC-OD即可求出答案.
9．内接于，过点A作直线EF，已知，根据弦AB的变化，两人分别探究直线EF与的位置关系：
甲：如图1，当弦AB过点O时，EF与相切；
乙：如图2，当弦AB不过点O时，EF也与相切；
下列判断正确的是（ ）
A．甲对，乙不对 B．甲不对，乙对
C．甲乙都对 D．甲乙都不对
【答案】C
【解析】【解答】解：甲：是的直径，
，
，
，
，
，
是半径，
是的切线；
乙：作直径，连接，如图所示：
即（在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角相等），
，
，
是的直径，
，
，
，
，
是半径，
是的切线．
故答案为：C
【分析】根据直径所对的圆周角是直角可知，再根据三角形的内角和定理，可得，结合题意进而可得，据此即可判断甲；如图，作直径，连接，根据圆周角定理可推出，进而可求出，据此可判断乙。
10．如图，已知抛物线的对称轴为，过其顶点的一条直线与该抛物线的另一个交点为要在坐标轴上找一点，使得的周长最小，则点的坐标为（ ）
A． B．
C．或 D．以上都不正确
【答案】A
【解析】【解答】解：∵抛物线的对称轴为，点是抛物线上一点
，解得：
∴抛物线的解析式为：
△PMN的周长为MN+PM+PN，且MN是定值，所以只需PM+PN最小
如图，过点M（-3，5）作关于y轴对称的点M'（3，5），连接M'N，M'N与y轴的交点即为所求的点P
设直线M'N的解析式为：y=ax+t(a≠0)
则，解得：
故直线M'N的解析式为：y=x+2
当x=0时，y=2，即P（0，2）
∵PM+PN=M'N=
则△PMN的周长为
同理，如图，过点M（-3，5）作关于x轴对称的点M'（-3，-5），连接M'N，M'N与y轴的交点即为所求的点P
设直线M'N的解析式为：y=ax+t(a≠0)
则，解得：
故直线M'N的解析式为：y=3x+4
当y=0时，，即
∵PM+PN=M'N=
则△PMN的周长为
∴点P在y轴上时，△PMN的周长最小，即点P的坐标为（0，2）
故答案为：A
【分析】根据抛物线的性质，待定系数法将点坐标代入抛物线解析式即可求出抛物线解析式为，则△PMN的周长为MN+PM+PN，且MN是定值，所以只需PM+PN最小，过点N分别作y轴，x轴的对称点M'，连接M'N，M'N与x轴，y轴的交点即为点P，设直线M'N的解析式为：y=ax+t(a≠0)，根据待定系数法可求出直线M'N的解析式，可求出p点坐标，再根据勾股定理即可求出答案.
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11．抛物线的顶点坐标是 ．
【答案】
【解析】【解答】解：抛物线的顶点坐标是，
故答案为：．
【分析】利用抛物线的顶点式直接求出顶点坐标即可.
12．如图，在△ABC中，∠BAC＝33°，将△ABC绕点A按顺时针方向旋转50°，对应得到△AB′C′，则∠B′AC的度数为 ．
【答案】17°
【解析】【解答】∵∠BAC=33°，将△ABC绕点A按顺时针方向旋转50°，对应得到△AB′C′，
∴∠B′AC′=33°，∠BAB′=50°，
∴∠B′AC=∠BAB′-=50° 33°=17°.
故答案为：17°.
【分析】根据旋转的情况可知∠BAB′=50°，且△ABC≌△AB′C′，从而可求得∠B′AC.
13．已知点在二次函数（a为常数）的图像上．若，则m n．（填“”、“ ”或“”）．
【答案】
【解析】【解答】解：由题意可得：
函数对称轴为x=-1
∵a<0
∴当x>-1时，y随x的增大而减小
∵1<2
∴m>n
故答案为：>
【分析】根据二次函数的性质即可求出答案.
14．如图，在中，，以为直径作半圆，交于点，交于点，则弧的长为 （结果保留）。
【答案】
【解析】【解答】解：连接，，，如图所示：
∵为直径，
∴，
∵，
∴，，
∴，，
∴弧的长为，
故答案为：
【分析】连接，，，先根据圆周角定理得到，进而结合等腰三角形的性质进行角的运算得到，，从而得到，，再根据弧长的计算公式即可求解。
15．在如图所示的电路图中，当随机闭合开关中的任意一个时，能够使小灯泡发光的概率为 ．
【答案】
【解析】【解答】解：由题意得闭合C时能够让灯泡发光，
∴能够使小灯泡发光的概率为，
故答案为：
【分析】根据简单事件的概率结合题意进行计算即可求解。
16．如图，D是内一点，，，，，，则的长是 ．
【答案】
【解析】【解答】解：将绕点D顺时针旋转至，连接，交于F，交于M，
则，，
，
，
又，，
，
，，
，
，
，
在与中，
，
，
，
，
解得：
，
，
在中，
，
故答案为：．
【分析】本题考查全等三角形的证明和性质的应用、勾股定理解直角三角形.将绕点D顺时针旋转至，连接，交于F，交于M，勾股定理求出， 利用角的运算可得：，再结合，，利用全等三角形的判定定理可证明：，利用全等三角形的性质可得：，，利用角的运算可得：，进而可得：，在与中，利用勾股定理可得：，代入数据可列出方程，解方程可求出，利用勾股定理可求出、进而可得，最后在中再利用勾股定理可求出BC的长度．
三、综合题（本大题共8小题，共72分）
17．（9分）工厂加工某花茶的成本为30元/千克，根据市场调查发现，批发价定为48元/千克时，每天可销售500千克，为增大市场占有率，在保证盈利的情况下，工厂采取降价措施，调查发现：批发价每千克降低1元，每天销量可增加50千克.
（1）求工厂每天的利润W元与降价x元之间的函数关系.
（2）当降价多少元时，工厂每天的利润最大，最大为多少元？
（3）若工厂每天的利润要达到9750元，并尽可能让利于民，则定价应为多少元？
【答案】（1）解：由题意知
∴工厂每天的利润W元与降价x元之间的函数关系为.
（2）解：由的图象和性质，可知当时，值最大，值为9800
∴当降价4元时，工厂每天的利润最大，最大为9800元.
（3）解：令
则
解得或
∵时，每天销售650千克，时，每天销售750千克
∴为了尽可能让利于民，则应该降价5元.
【解析】【分析】（1）根据利润=单件的利润×销售量，列出函数关系式即可；
（2）根据二次函数的性质求解即可；
（3） 令 W=9750 ，求出x值，再分别求出销售量，然后比较即可.
18．（9分）已知：△ABC在坐标平面内，三个顶点的坐标分别为A（0，3），B（3，4），C（2，2）．（正方形网格中，每个小正方形的边长是1个单位长度）
（1）画出△ABC向下平移4个单位，再向左平移1个单位得到的△A1B1C1，并直接写出C1点的坐标；
（2）画出△ABC绕点A顺时针方向旋转90°后得到的△A2B2C2，并直接写出C2点的坐标；
（3）请求出（2）中△ABC旋转过程中所扫过的面积为
．
【答案】（1）解：△A1B1C1如图1所示，C1（1，-2）；
（2）解：△A2B2C2如图2所示，C2（-1，1）；
（3） π+
【解析】【解答】解：（3）∵AB= ，AC= ，BC= ，
∴AC2+BC2=AB2，
∴△ABC是等腰直角三角形，扇形AOB2
∴S△ABC= × × = ，
∴△ABC旋转过程中所扫过的面积= S△ABC
= +
= π+ ．
故答案为： π+ ．
【分析】（1）根据平移的性质分别确定出点ABC向下平移4个单位，再向左平移1个单位得到的对应点A1、B1、C1，然后顺次连接即得△A1B1C1，根据点C1的位置写出坐标即可；
（2）根据旋转的性质分别确定出点A、B、C 绕点A顺时针方向旋转90°后得到的对应点A2、B2、C2，然后顺次连接即得△A2B2C2，根据点C2的位置写出坐标即可；
（3）△ABC旋转过程中所扫过的面积= S△ABC据此计算即可.
19．（9分）如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点．
（1）求该抛物线的解析式及顶点坐标；
（2）若点是抛物线的对称轴与直线的交点，点是抛物线的顶点，求的长；
（3）抛物线上是否存在点使得 如果存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：∵抛物线 与轴的两个交点分别为，，
∴抛物线的解析式为．
，
∴顶点坐标．
（2）解：由（1）知，抛物线的解析式为，则，
设直线 的解析式为，
把代入，得 ，
解得 ，则直线的解析式为．
故当 时， ，即，
由 （1） 知
∴，
即
（3）解：存在，
设点，由 ，得
∴，
∴，
当时，，
∴，
当时， ，
∴ ，
∴当点P 的坐标分别为时， ．
【解析】【分析】（1）将点A、B的坐标代入求出b、c的值可得函数解析式，再求出顶点坐标即可；
（2）先利用待定系数法求出直线BC的解析式，再求出点E、F的坐标，最后求出EF的长即可；
（3）设点，根据，可得，再将其代入求出x的值，即可得到点P的坐标。
20．（9分）如图，AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，且AD平分∠CAB，过点D作AC的垂线，与AC的延长线相交于E，与AB的延长线相交于点F，G为AB的下半圆弧的中点，DG交AB于H，连接DB、GB．
（1）证明EF是⊙O的切线；
（2）求证：∠DGB=∠BDF：
（3）已知圆的半径R=5，BH=3，求GH的长．
【答案】（1）证明：连接OD，
∵OA=OD，
∴∠OAD=∠ODA
又∵AD平分∠BAC，
∴∠OAD=∠CAD
∴∠ODA=∠CAD，
∴OD∥AE，
又∵EF⊥AE，
∴OD⊥EF，
∴EF是⊙O的切线
（2）解：∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°
∴∠DAB+∠OBD＝90°
由（1）得，EF是⊙O的切线，∴∠ODF＝90°
∴∠BDF+∠ODB＝90°
∵OD=OB，
∴∠ODB=∠OBD
∴∠DAB＝∠BDF
又∠DAB＝∠DGB
∴∠DGB＝∠BDF
（3）解：连接OG，∵G是半圆弧中点，
∴∠BOG＝90°
在Rt△OGH中，OG＝5，OH=OB－BH=5－3=2.
∴
【解析】【分析】（1）连接OD，
D在⊙O上，通过证明OD∥AE，得到EF⊥AE，OD⊥EF，即得EF是⊙O的切线；
（2）通过等角的余角相等可得
∠DAB＝∠BDF，再根据同弧所对的圆周角相等即可得到∠DAB＝∠DGB，即得∠DGB＝∠BDF；
（3）由垂径定理可得
∠BOG＝90°，再利用勾股定理即可求出GH长。
21．（9分）随着信息技术的迅猛发展，人们去商场购物的支付方式更加多样、便捷．某校数学兴趣小组设计了一份调查问卷，要求每人选且只选一种最喜欢的支付方式．现将调查结果进行统计并绘制成如下两幅不完整的统计图．请结合图中所给的信息解答下列问题：
（1）这次活动共调查了 人；
（2）在扇形统计图中，表示“支付宝”支付的扇形圆心角的度数为 ；
（3）在一次购物中，小明和小亮都想从“微信”“支付宝”“银行卡”三种方式中选一种方式进行支付，请用画树状图或列表的方法，求出两人恰好选择同一种支付方式的概率．
【答案】（1）200
（2）81°
（3）解：将微信记为A，支付宝记为B，银行卡记为C，列表格如下：
A B C
A （A，A） （A，B） （A，C）
B （B，A） （B，B） （B，C）
C （C，A） （C，B） （C，C）
共有9种等可能性的结果，其中两人恰好选择同一种支付方式的结果有3种，
则P（两人恰好选择同一种支付方式）＝．
【解析】【解答】(1)解：这次活动共调查了（人），
故答案为：200；
(2)解：微信支付的人数为（人），
支付宝支付的人数为200-60-30-50-15=45（人），
表示“支付宝”支付的扇形圆心角的度数为，
故答案为：81°；
【分析】（1）利用“银行卡”的人数除以对应的百分比即可得到总人数；
（2）利用总人数求出“支付宝”的人数，再除以总人数然后乘以360°即可得到圆心角的度数；
（3）利用列表法求出所有等可能的情况数，再利用概率公式求解即可。
22．（9分）如图，小明父亲想用长为100m的栅栏，再借助房屋的外墙围成一个矩形的羊圈ABCD．已知房屋外墙长40m，设矩形ABCD的边AB＝xm，面积为Sm2．
（1）请直接写出S与x之间的函数表达式为 ，并直接写出x的取值范围是 ；
（2）求当x为多少m时，面积S为1050m2；
（3）当AB，BC分别为多少米时，羊圈的面积最大？最大面积是多少？
【答案】（1）；30≤x＜50
（2）解：令，则，
解得：，，
，
，
当为时，面积为；
（3）解：，
，
当时，S随着x的增大而减小，
，
当时，S有最大值为1200，
当，时，面积S有最大值为．
【解析】【解答】解：（1），则，
，
，
，
与x之间的函数表达式为，自变量x的取值范围是，
故答案安为：，；
【分析】（1）先利用x的表达式表示出BC的长，再利用矩形的面积公式列出函数解析式即可得到，再结合“ 外墙长40m ”求出x的取值范围即可；
（2）将代入求出x的值即可；
（3）根据题意列出函数解析式，再利用二次函数的性质求解即可。
23．（9分）红星公司生产的某种时令商品每件成本为20元，经过市场调研发现，这种商品在未来40天内的日销售量m（件）是时间t（天）的一次函数，当 时， ；当 时 ；未来40天内，前20天每天的价格 （元/件）与时间t（天）的函数关系式为 （ 且t为整数)，后20天每天的价格 （元/件）与时间t（天）的函数关系式为 （ 且t为整数).下面我们就来研究销售这种商品的有关问题：
（1）求 （件）与t（天）之间的函数关系式；
（2）请预测未来40天中哪一天的日销售利润最大，最大日销售利润是多少？
（3）在实际销售的前20天中，该公司决定每销售一件商品就捐赠a元利润（ ）给希望工程.公司通过销售记录发现，前20天中，每天扣除捐赠后的日销售利润随时间t（天）的增大而增大，求 的取值范围.
【答案】（1）设一次函数为
将 和 代入一次函数 中，
有 .
∴ ，
∴ .
（2）设前20天日销售利润为 元，后20天日销售利润为 元.
由 ，
∵ ，
∴当 时， 有最大值578（元）.
由 .
∵ 且对称轴为 ，
∴函数 在 上随t的增大而减小.
∴当 时， 有最大值为 （元）.
∵ ，故第14天时，销售利润最大，为578元.
（3）
对称轴为 .
∵ ，
∴当 就 时， 随t的增大而增大.
又∵ ，
∴ .
【解析】【分析】（1）设 把两组t，m的值代入解析式中，求出m和t值即可得到结论；
（2）设前20天日销售利润为 元，后20天日销售利润为 元，分别求出P1,P2的函数解析式，分别求出其取值范围内的最大值，比较大小即可求出第14天的利润最大和最大的日利润；
（3）根据题意求出捐赠后P1的函数解析式化成顶点式，根据前20天中，要求每天扣除捐赠后的日利润随时间t的增大而增大，根据二次函数的增减性可得对称轴必须大于等于20，再结合a<4，即可得到结论.
24．（9分）如图，点C为△ABD外接圆上的一动点（点C不在 上，且不与点B，D重合），∠ACB=∠ABD=45°.
（1）求证：BD是该外接圆的直径；
（2）连结CD，求证： AC=BC+CD；
（3）若△ABC关于直线AB的对称图形为△ABM，连接DM，试探究 ，三者之间满足的等量关系，并证明你的结论.
【答案】（1）证明：∵弧AB＝弧AB，
∴∠ADB＝∠ACB，
又∵∠ACB＝∠ABD＝45°，
∴∠ABD＝∠ADB＝45°，
∴∠BAD＝90°，
∴△ABD为等腰直角三角形，
∴BD是该外接圆的直径，
（2）证明：如图所示作CA⊥AE，延长CB交AE于点E
∵∠ACB＝45°，CA⊥AE，
∴△ACE为等腰直角三角形，
∴AC＝AE，
由勾股定理可知CE2＝AC2＋AE2＝2AC2，
∴ ，
由（1）可知△ABD为等腰直角三角形，
∴AB＝AD，∠BAD＝90°，
又∵∠EAC＝90°，
∴∠EAB＋∠BAC＝∠DAC＋∠BAC，
∴∠EAB＝∠DAC，
∴在△ABE和△ADC中 ，
∴△ABE≌△ADC（SAS），
∴BE＝DC，
∴CE＝BE＋BC＝DC＋BC＝ ，
（3）DM2＝BM2＋2MA2，
延长MB交圆于点E，连结AE、DE，
∵∠BEA=∠ACB=∠BMA=45°，
∴在△MAE中有MA=AE，∠MAE=90°，
∴ ，
又∵AC=MA=AE，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
即 ，
∴DE=BC=MB，
∵BD为直径，
∴∠BED=90°，
在Rt△MED中，有 ，
∴ .
【解析】【分析】（1）易证△ABD为等腰直角三角形，即可判定BD是该外接圆的直径；
（2）如图所示作CA⊥AE，延长CB交AE于点E，再证△ACE为等腰直角三角形，可得AC＝AE，再由勾股定理即可得 ；利用SAS判定△ABE≌△ADC，可得BE＝DC，所以CE＝BE＋BC，所以CE＝DC＋BC＝ ；
（3）延长MB交圆于点E，连结AE、DE，因∠BEA=∠ACB=∠BMA=45°，在△MAE中有MA=AE，∠MAE=90°，由勾股定理可得 ，再证∠BED=90°，在Rt△MED中，有 ，所以 .
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)
