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浙教版九年级上册期末冲刺全能夺冠测评卷
数 学
（时间：120分钟 满分：120分）
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．下列事件是随机事件的是（ ）
A．任意画一个三角形，其内角和为
B．测量西安市某天的最低气温为
C．掷一枚硬币，正面朝上
D．太阳从东方升起
2．关于函数，下列描述正确的是（ ）
A．开口向上 B．对称轴是直线
C．函数最大值是 D．当时，随的增大而增大
3．如图，点E是线段BC的中点，，下列结论中，说法错误的是（ ）
A． B．
C． D．
4．如图，在中半径，互相垂直，点在劣弧上若，则（ ）
A． B． C． D．
5．将抛物线向左平移个单位，再向下平移个单位，得到的抛物线解析式为（ ）
A． B． C． D．
6．如图，已知与位似，且与的面积之比为：，点的坐标为，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
7．下列函数在第一象限中，的值随着的增大而减小的是（ ）
A． B． C． D．
8．如图，放映幻灯片时，通过光源，把幻灯片上的图形放大到屏幕上，若光源到幻灯片的距离为，光源到屏幕的距离为，且幻灯片中图形的高度为，则屏幕图形的高度为（ ）
A． B． C． D．
9．已知：抛物线的对称轴为直线，与x轴的一个交点坐标为，其部分图像如图所示，下列结论：①；②；③；④方程的两个根是，；⑤．其中正确的结论有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
10．如图，正方形ABCD和正方形CGFE的顶点C、D、E在同一直线上，顶点B、C、G在同一条直线上.O是EG的中点，∠EGC的平分线GH过点D，交BE于点H，连接FH交EG于点M，连接OH，以下四个结论：①GH⊥BE；②△EHM∽△FHG；③1；④，其中正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）
11．若一个正多边形的每一个外角都等于36°，那么这个正多边形的中心角为 度.
12．两个相似多边形的面积比是，其中较小多边形的周长为，则较大多边形的周长为 ．
13．如图，在中，直径，弦相交于点．连接．且，若，则的度数为 ．
14．用长度一定的绳子围成一个矩形，如果矩形的一边长x（m）与面积y（m2）满足函数关系，则该矩形面积的最大值为 m2.
15．如图，将矩形ABCD绕点A顺时针旋转α（0°＜α＜360°），得到矩形AEFG．当α＝ 时，GC＝GB．
16．如图，边长为1的正六边形放置于平面直角坐标系中，边在x轴正半轴上，顶点F在y轴正半轴上，将正六边形绕坐标原点O顺时针旋转，每次旋转，那么经过第2022次旋转后，顶点D的坐标为 ．
三、综合题（本大题共7小题，共66分）
17．（9分）抚顺某中学为了解八年级学生的体能状况，从八年级学生中随机抽取部分学生进行体能测试，测试结果分为A，B，C，D四个等级．请根据两幅统计图中的信息回答下列问题：
（1）本次抽样调查共抽取了多少名学生？
（2）求测试结果为C等级的学生数，并补全条形图；
（3）若该中学八年级共有700名学生，请你估计该中学八年级学生中体能测试结果为D等级的学生有多少名？
（4）若从体能为A等级的2名男生2名女生中随机的抽取2名学生，做为该校培养运动员的重点对象，请用列表法或画树状图的方法求所抽取的两人恰好都是男生的概率．
18．（9分）如图，△ABC中，D是BC上一点，∠DAC=∠B，E为AB上一点．
（1）求证：△CAD∽△CBA；
（2）若BD=10，DC=8，求AC的长；
（3）在（2）的条件下，若DE∥AC，AE=4，求BE的长．
19．（9分）在平面直角坐标系中，设二次函数（）．
（1）求二次函数对称轴；
（2）若当时，函数的最大值为4，求此二次函数的顶点坐标；
（3）抛物线上两点，若对于，都有在，求的取值范围．
20．（9分）在美化校园的活动中，某兴趣小组借助如图所示的直角墙角（墙角两边和足够长），用长的篱笆围成一个矩形花园（篱笆只围和两边）．设，．
（1）求与之间的关系式，并写出自变量的取值范围；
（2）当矩形花园的面积为时，求的长；
（3）如果在点处有一棵树（不考虑粗细），它与墙和的距离分别是和，如果要将这棵树围在矩形花园内部（含边界），直接写出矩形花园面积的最大值．
21．（9分）已知一抛物线的顶点为（2，4），图象过点（1，3）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）动点P（x，5）能否在抛物线上？请说明理由；
（3）若点A（a，y1），B（b，y2）都在抛物线上，且a＜b＜0，比较y1，y2的大小，并说明理由．
22．（9分）若四边形的一组对角α，β，满足∠α ∠β＝180°，我们把这个四边形称为可衍生四边形，∠β为二倍角.
（1）如图1，在四边形ABCD中，AD⊥CD，∠A＝130°，当四边形ABCD为可衍生四边形，且∠C为二倍角时，求∠B的度数；
（2）如图2，四边形ABCD内接于⊙O，点E是圆上一点，连结并延长CE，AD交于点F，延长CD，BA交于点G，CD DG＝AD DF，求证：四边形ABCF是可衍生四边形；
（3）如图3，在（2）的条件下，连结AE，EG，若CD是⊙O的直径，AF⊥EG，AG＝5AB，求sin∠FAG的值.
23．（12分）如图， 是 的直径，弦 是 延长线上的一点，连结 交 于点 ，连结 .
（1）若 的度数是40°，求 的度数；
（2）求证： 平分 ；
（3）若 经过圆心，求 的长.
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浙教版九年级上册期末冲刺全能夺冠测评卷
数 学
（时间：120分钟 满分：120分）
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．下列事件是随机事件的是（ ）
A．任意画一个三角形，其内角和为
B．测量西安市某天的最低气温为
C．掷一枚硬币，正面朝上
D．太阳从东方升起
【答案】C
【解析】【解答】解：任意画一个三角形，其内角和为180°是必然事件，故A不符合题意；
西安市某天的最低温度为﹣180℃是不可能事件，故B不符合题意；
掷一枚硬币，正面朝上是随机事件，故C符合题意；
太阳从东方升起是必然事件，故D不符合题意．
故答案为：C.
【分析】根据随机事件的定义，逐项分别后作判断．
2．关于函数，下列描述正确的是（ ）
A．开口向上 B．对称轴是直线
C．函数最大值是 D．当时，随的增大而增大
【答案】C
【解析】【解答】解：对于函数，
则，开口向下，选项A说法不正确，不符合题意；
对称轴为，选项B说法不正确，不符合题意；
顶点坐标为，
又∵开口向下，
∴函数有最大值为，选项C说法正确，符合题意；
∵，开口向下，对称轴为
∴当时，y随x的增大而减小，选项D说法不正确，不符合题意；
故答案为：C．
【分析】根据二次函数的图象，性质与系数的关系逐项进行判断即可求出答案.
3．如图，点E是线段BC的中点，，下列结论中，说法错误的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解：∵∠AEC=∠AED+∠DEC=∠B+∠BAE，∠B=∠AED，
∴∠DEC=∠BAE，
在△BAE和△CED中，
∴△BAE∽△CED，
∴，
∵BE=CE，
∴，
∴
在△ABE和△AED中，
∴△ABE∽△AED，
∴，
故A，B，C正确.
故答案为：D.
【分析】证明△BAE∽△CED，△ABE∽△AED，可得结论.
4．如图，在中半径，互相垂直，点在劣弧上若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解：连接OC，如图，
∵半径，互相垂直，
∴∠AOB=90°，
∵，∠ABC=18°，
∴∠AOC=2∠ABC=2×18°=36°，
∴∠BOC=∠AOB-∠AOC=90°-36°=54°，
∵，
∴∠BAC=.
故答案为：D.
【分析】根据垂直的定义得∠AOB=90°，根据圆周角定理得∠AOC=36°，从而得∠BOC=54°，最后再根据圆周角定理得∠BAC的度数.
5．将抛物线向左平移个单位，再向下平移个单位，得到的抛物线解析式为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：将抛物线向左平移个单位，再向下平移个单位，
∴得到的抛物线解析式为.
故答案为：B.
【分析】根据抛物线平移规律："左加右减，上加下减"，即可求解.
6．如图，已知与位似，且与的面积之比为：，点的坐标为，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：∵ △ABO与△DCO位似，且△ABO与△DCO的面积之比为1：4，
∴ △ABO与△DCO的相似比为1：2，
∵ B(-3，2)，
∴ C(6，-4).
故答案为：B.
【分析】根据位似和面积比求出相似比，即可求得.
7．下列函数在第一象限中，的值随着的增大而减小的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：A、对于，第一象限中，y的值随着x的增大而增大，不符合题意；
B、对于，第一象限中，y的值随着x的增大而减小，符合题意；
C、对于，第一象限中，y的值随着x的增大而增大，不符合题意；
D、对于，第一象限中没有函数图象，不符合题意；
故答案为：B
【分析】根据一次函数、反比例函数、二次函数的性质结合题意对选项逐一判断即可求解。
8．如图，放映幻灯片时，通过光源，把幻灯片上的图形放大到屏幕上，若光源到幻灯片的距离为，光源到屏幕的距离为，且幻灯片中图形的高度为，则屏幕图形的高度为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解：如图，由题意得：AE=20，AC=40，DE=8
，
∴∠DEA=∠C，
又∵∠A=∠A
∴，
，
设屏幕上的图形高是，则，
解得，
经检验是原方程的解，
故选：．
【分析】
根据题意画出图形，可知是典型的A字相似，根据相似的判和性质，对应边成比例，列方程求解即可。
9．已知：抛物线的对称轴为直线，与x轴的一个交点坐标为，其部分图像如图所示，下列结论：①；②；③；④方程的两个根是，；⑤．其中正确的结论有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】A
【解析】【解答】解：∵抛物线开口向下与y轴交于正半轴，对称轴在y轴右侧，
能得到：
∴abc＜0，故①不符合题意；
抛物线与轴有两个交点，
故②符合题意；
抛物线与x轴的一个交点坐标为，
故③符合题意；
抛物线的对称轴为直线，
与x轴的一个交点坐标为，
抛物线与x轴的另一个交点坐标为，
所以方程的两个根是，；故④符合题意；
∵抛物线的对称轴为，即，
而时，，即，
∴3a+c=0，
∵抛物线的开口向下，
∴a＜0， ∴5a＜0，
∴；故⑤符合题意；
综上：②③④⑤符合题意；
故答案为：A
【分析】利用二次函数的图象与系数的关系可得a、b、c的正负，再利用二次函数的性质逐项判断即可。
10．如图，正方形ABCD和正方形CGFE的顶点C、D、E在同一直线上，顶点B、C、G在同一条直线上.O是EG的中点，∠EGC的平分线GH过点D，交BE于点H，连接FH交EG于点M，连接OH，以下四个结论：①GH⊥BE；②△EHM∽△FHG；③1；④，其中正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【解析】【解答】解：如图，
∵四边形ABCD和四边形CGFE是正方形，
∴BC=CD，CE=CG，∠BCE=∠DCG，
在△BCE和△DCG中，
∴△BCE≌△DCG（SAS），
∴∠BEC=∠BGH，
∵∠BGH+∠CDG=90°，∠CDG=∠HDE，
∴∠BEC+∠HDE=90°，
∴GH⊥BE.故①正确；
∵△EHG是直角三角形，O为EG的中点，
∴OH=OG=OE，
∴点H在正方形CGFE的外接圆上，
∵EF=FG，
∴∠FHG=∠EHF=∠EGF=45°，∠HEG=∠HFG，
∴△EHM∽△FHG，
故②正确；
∵△BGH≌△EGH，
∴BG=EG，
设CG=a，则BG=GE=，
∴BC=，
∴；故③正确；
∵△BGH≌△EGH，
∴EH=BH，
∵HO是△EBG的中位线，
∴HO=BG，
∴HO=EG，
设正方形ECGF的边长是2b，
∴EG=，
∴HO=，
∵OH∥BG，CG∥EF，
∴OH∥EF，
∴△MHO∽△MFE，
∴，
∴EM=OM，
∴，
∴，
∵EO=GO，
∴S△HOE=S△HOG，
∴，故④错误；
∴正确的选项有①②③，共3个；
故答案为：C.
【分析】由正方形的性质得BC=CD，CE=CG，∠BCE=∠DCG，证△BCE≌△DCG，得∠BEC=∠BGH，推出∠BEC+∠HDE=90°，据此判断①；由直角三角形斜边上中线等于斜边的一半得OH=OG=OE，证明△EHM∽△FHG，据此判断②；由全等三角形的性质可得BG=EG，设CG=a，则BG=GE=a，BC=a-a，据此判断③；由全等三角形的性质可得EH=BH，根据中位线的性质可得HO=BG，则HO=EG，设正方形ECGF的边长是2b，则EG=2b，HO=b，易证△MHO∽△MFE，由相似三角形的性质可得EM=OM，，根据EO=GO可知S△HOE=S△HOG，据此判断④.
二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）
11．若一个正多边形的每一个外角都等于36°，那么这个正多边形的中心角为 度.
【答案】36
【解析】【解答】解：∵正多边形的每一个外角都等于36°，
∴正多边形的边数为：，
∴这个正多边形的中心角为：.
故答案为：36.
【分析】由于任何多边形形的外角和都是360°，故用360°除以36°即可得出多边形的边数，进而根据正多边形的中心角等于360°除以边数即可算出答案.
12．两个相似多边形的面积比是，其中较小多边形的周长为，则较大多边形的周长为 ．
【答案】
【解析】【解答】解：由题意可得：
两个相似多边形的面积比是，面积比是周长比的平方
∴两多边形的周长比为2：3
设大多边形的周长为x
则，解得：x=54
故答案为：54
【分析】根据相似多边形的面积比是周长比的平方即可求出答案.
13．如图，在中，直径，弦相交于点．连接．且，若，则的度数为 ．
【答案】
【解析】【解答】解：∵AB为⊙O的直径，OC⊥AB，
∴∠AOC=90°，
∴∠ADC=∠AOC=×90°=45°，
∵∠A=20°，
∴∠BPD=∠A+∠ADC=20°+45°=65°.
故答案为：65°.
【分析】由垂直定义得∠AOC=90°，根据圆周角定理可得∠ADC=∠AOC，然后根据三角形的外角的性质“三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和”可求解.
14．用长度一定的绳子围成一个矩形，如果矩形的一边长x（m）与面积y（m2）满足函数关系，则该矩形面积的最大值为 m2.
【答案】144
【解析】【解答】解：∵且，
∴当时，最大=.
即：该矩形面积的最大值为m2．
故答案为：144．
【分析】根据二次函数的性质直接求解。
15．如图，将矩形ABCD绕点A顺时针旋转α（0°＜α＜360°），得到矩形AEFG．当α＝ 时，GC＝GB．
【答案】60°或300°
【解析】【解答】解：当GC＝GB 时，点G在BC的垂直平分线上，
第一种情况：当点G在AD右侧时，取BC的中点H，连接GH交AD于点M，如图，
可得GC=GB，
GH⊥BC，
四边形ABHM是矩形，
GM垂直平分AD，
GD=GA=AD，
△ADG是等边三角形，
∠GAD=60°，
此时，α＝ 60°；
第二种情况：当点G在AD左侧时，取BC的中点H，连接GH并延长交AD于点M，如图，
同理可证明△ADG是等边三角形，
∠GAD=60°，
此时，α＝360°- 60°=300°.
故答案为：60°或300° .
【分析】当GC＝GB 时，点G在BC的垂直平分线上，需要分两种情况进行讨论：第一种情况：当点G在AD右侧时，取BC的中点H，连接GH交AD于点M，证明△ADG是等边三角形，即可得出结论；第二种情况：当点G在AD左侧时，取BC的中点H，连接GH并延长交AD于点M，同理可证明△ADG是等边三角形，即可得出结论，从而求解.
16．如图，边长为1的正六边形放置于平面直角坐标系中，边在x轴正半轴上，顶点F在y轴正半轴上，将正六边形绕坐标原点O顺时针旋转，每次旋转，那么经过第2022次旋转后，顶点D的坐标为 ．
【答案】
【解析】【解答】解：如图，连接AD，BD，
在正六边形ABCDEF中，，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵将正六边形ABCDEF绕坐标原点O顺时针旋转，每次旋转60°，
∴6次一个循环，
∵，
∴经过第2022次旋转后，顶点D的坐标与第一象限中D点的坐标相同，
故答案为：．
【分析】连接AD，BD，由正六边形的性质可得AD=2，∠DAB=90°，利用勾股定理求出BD=，在中，可求出OA、OB的长，即得D点坐标，由于将正六边形ABCDEF绕坐标原点O顺时针旋转，每次旋转60°，可知6次一个循环，从而得出经过第2022次旋转后，顶点D的坐标与第一象限中D点的坐标相同，据此即得结论.
三、综合题（本大题共7小题，共66分）
17．（9分）抚顺某中学为了解八年级学生的体能状况，从八年级学生中随机抽取部分学生进行体能测试，测试结果分为A，B，C，D四个等级．请根据两幅统计图中的信息回答下列问题：
（1）本次抽样调查共抽取了多少名学生？
（2）求测试结果为C等级的学生数，并补全条形图；
（3）若该中学八年级共有700名学生，请你估计该中学八年级学生中体能测试结果为D等级的学生有多少名？
（4）若从体能为A等级的2名男生2名女生中随机的抽取2名学生，做为该校培养运动员的重点对象，请用列表法或画树状图的方法求所抽取的两人恰好都是男生的概率．
【答案】（1）解：10÷20%=50（名）
答：本次抽样调查共抽取了50名学生.
（2）解：50-10-20-4=16（名）
答：测试结果为C等级的学生有16名.
图形统计图补充完整如下图所示：
（3）解：700× =56（名）
答：估计该中学八年级学生中体能测试结果为D等级的学生有56名.
（4）解：画树状图法：设体能为A等级的两名男生分别为 ，体能为A等级的两名女生分别为 ， ，画树状图如下：
由树状图可知，共有12 种结果，每种结果出现的可能性相同，而抽取的两人都是男生的结果有两种：（ ），（ ， ）， ∴P（抽取的两人是男生）= .
【解析】【分析】（1）两图结合，用相同部分的数量除以百分比可求出样本容量；（2）用抽取的总量减去其余的量可得C等的数量；（3）样本的特性可以估计总体的特性；(4)“随机取两名学生"可抽象为第一次取后不放回，共有12种机会均等的结果，两人是男生的情况有2种，利用概率公式可求出概率.
18．（9分）如图，△ABC中，D是BC上一点，∠DAC=∠B，E为AB上一点．
（1）求证：△CAD∽△CBA；
（2）若BD=10，DC=8，求AC的长；
（3）在（2）的条件下，若DE∥AC，AE=4，求BE的长．
【答案】（1）解：∵在△CAD和△CBA中，
∠DAC=∠B，∠ACD=∠BCA，
∴△CAD∽△CBA
（2）解：∵△CAD∽△CBA，
∴ = ，即AC2=CD×CB，
又∵BD=10，DC=8，
∴AC2=8×18=144，
∴AC=±12，
又∵AC＞0，
∴AC=12
（3）解：∵DE∥AC，
∴ = ，
又∵BD=10，DC=8，AE=4，
∴ = ，
∴BE=5．
【解析】【分析】（1）有两组角对应相等的两个三角形相似，据此判断△CAD∽△CBA即可；（2）根据相似三角形的对应边成比例，得出AC2=CD×CB，再根据BD=10，DC=8，求得AC的长即可；（3）根据平行线分线段成比例定理，由DE∥AC，得出 = ，再根据BD=10，DC=8，AE=4，求得BE=5即可．
19．（9分）在平面直角坐标系中，设二次函数（）．
（1）求二次函数对称轴；
（2）若当时，函数的最大值为4，求此二次函数的顶点坐标；
（3）抛物线上两点，若对于，都有在，求的取值范围．
【答案】（1）解：
对称轴是：．
（2）解：∵，
根据二次函数图象的性质可得，
当时，取最大值4，
把代入二次函数可得，
，
解得：，（舍去），
∴顶点坐标为．
（3）解：∵，，对于，都有在，
∴，不关于对称，
∴，
∴
即，，
∴或．
【解析】【分析】（1）利用配方法将二次函数的一般式化为顶点式可得对称轴为；
（2）利用二次函数的性质可得当时，取最大值4，再将x=3代入解析式可得，求出a的值，即可得到顶点坐标；
（3）根据题意可得，即，，再求出t的取值范围即可。
20．（9分）在美化校园的活动中，某兴趣小组借助如图所示的直角墙角（墙角两边和足够长），用长的篱笆围成一个矩形花园（篱笆只围和两边）．设，．
（1）求与之间的关系式，并写出自变量的取值范围；
（2）当矩形花园的面积为时，求的长；
（3）如果在点处有一棵树（不考虑粗细），它与墙和的距离分别是和，如果要将这棵树围在矩形花园内部（含边界），直接写出矩形花园面积的最大值．
【答案】（1）解：由题意得．
∴．
（2）解：由题意结合（1）可得：．
解得，．
答：的长为12米或16米．
（3）解：面积的最大值为195米
【解析】【解答】(3)结合（1）中的函数关系式可得：；
又树到墙的距离为m，所以，即为；
结合二次函数的性质，∴ 当时，面积的最大值为195米．
【分析】（1）利用矩形的面积公式列出关系式即可；
（2）根据题意列出方程求解即可；
（3）利用抛物线的性质求解即可。
21．（9分）已知一抛物线的顶点为（2，4），图象过点（1，3）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）动点P（x，5）能否在抛物线上？请说明理由；
（3）若点A（a，y1），B（b，y2）都在抛物线上，且a＜b＜0，比较y1，y2的大小，并说明理由．
【答案】（1）解：设抛物线的解析式为
把点（1，3）的坐标代入中，得a+4=3
∴
即抛物线的解析式为
（2）解：动点P（x，5）不在抛物线上
理由如下：
在中，当y=5时，得
即
此方程无解
故点P不在抛物线上；
（3）解：y1＜y2
理由如下：
抛物线的对称轴为直线x=2
∵二次项系数 1<0，且
∴函数值随自变量的增大而增大
即y1＜y2
【解析】【分析】（1）设抛物线顶点式，将（1，3）代入解析式求解即可；
（2）根据函数最大值为4可判断点P不在图象上；
（3）根据二次函数开口向下得出x<0时，y随x增大而增大，进而求解。
22．（9分）若四边形的一组对角α，β，满足∠α ∠β＝180°，我们把这个四边形称为可衍生四边形，∠β为二倍角.
（1）如图1，在四边形ABCD中，AD⊥CD，∠A＝130°，当四边形ABCD为可衍生四边形，且∠C为二倍角时，求∠B的度数；
（2）如图2，四边形ABCD内接于⊙O，点E是圆上一点，连结并延长CE，AD交于点F，延长CD，BA交于点G，CD DG＝AD DF，求证：四边形ABCF是可衍生四边形；
（3）如图3，在（2）的条件下，连结AE，EG，若CD是⊙O的直径，AF⊥EG，AG＝5AB，求sin∠FAG的值.
【答案】（1） 四边形 为可衍生四边形，∠C为二倍角，∠A＝130°，AD⊥CD，
， ，
，
，
（2） ，
即 ，
，
，
，
四边形 是圆 的内接四边形，
，
，
，
，
，
四边形ABCF是可衍生四边形；
（3）连接 ，设 交 于点 ，如图，
CD是⊙O的直径，
，
由（2）可知 ，
，
，
又 ， ，
，
，
，
四边形 是圆 的内接四边形，
，
，
，
，
，
，
AF⊥EG，
，
又 ，
，
，
.
【解析】【分析】（1）由题意可得∠A+∠C=180°，∠ADC=90°， ∠A＝130°， 求出∠C的度数，然后根据四边形内角和为360°进行求解；
（2）易证△CDF∽△ADG，得到∠DAG=∠DCF，由圆内接四边形的性质可得∠DAG=∠DCB，进而推出∠DAG=∠FCB，由邻补角的性质可得∠FAB+∠DAG=180°，推出∠FAB+∠FCB=180°，据此证明；
（3）连接ED、BD，设EG交AF于点H，由圆周角定理可得∠CED=∠CBD=90°，证明△ECD≌△BCD，得到EC=BC，进而证明△CEG≌△CBG，得到BG=6AB=BE，由圆内接四边形的性质可得∠EAG=∠ECB，由圆周角定理可得∠EAH=∠ECD，进而推出∠EAH=∠GAH，证明△AHE≌△AHG，得到EH=HG=3AB，然后利用三角函数的概念进行求解.
23．（12分）如图， 是 的直径，弦 是 延长线上的一点，连结 交 于点 ，连结 .
（1）若 的度数是40°，求 的度数；
（2）求证： 平分 ；
（3）若 经过圆心，求 的长.
【答案】（1）解：如图1中，连接OD，AD，设AB交CD于H.
∵ 的度数是40°，
∴∠BOD=40°，
∴∠DAB= ∠DOB=20°，
∵AB⊥CD，
∴∠AHD=90°，
∴∠ADH=90°-∠DAB=70°，
∴∠AFC=∠ADH=70°.
（2）证明：∵AB是直径，AB⊥CD，
∴
∴∠ACD=∠ADC，
∵∠ACD+∠AFD=180°，∠AFD+∠AFE=180°，
∴∠AFE=∠ACD，
∵∠AFC=∠ADC=∠ACD，
∴∠AFC=∠AFE，
即AF平分∠CFE.
（3）如图2中，设AB交CD于H.
∵AB是直径，AB⊥CD，CD=4
∴CH=DH=2，
∵OC= = ，∠OHC=90°，
∴ ，
∴HA=OH+OA=4，
∴ ，
∵CF是直径，
∴∠CDF=∠AHC=90°，
∴AH∥DE，
∵CH=HD，
∴AC=AE，
∴CE=2AC= .
【解析】【分析】（1）连接OD，AD，设AB交CD于H，易得∠BOD=40°，由圆周角定理可得∠DAB=∠DOB=20°，由余角的性质可得∠ADH=70°，然后利用圆周角定理求解即可；
（2）由垂径定理可得 ，则∠ACD=∠ADC，由圆内接四边形的性质可得∠ACD+∠AFD=180°，由邻补角的性质可得∠AFD+∠AFE=180°，则∠AFE=∠ACD，由圆周角定理可得∠AFC=∠ADC=∠ACD，进而可推出∠AFC=∠AFE，据此证明；
（3）设AB交CD于H，由垂径定理可得CH=DH=2，由勾股定理可得OH，进而求出HA，再次利用勾股定理求出AC，由圆周角定理可得∠CDF=∠AHC=90°，则AH∥DE，推出AC=AE，据此求解.
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