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苏科版八年级上册期末模拟直击考点卷
数 学
时间：120分钟 满分：120分
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．下列几种著名的数学曲线中，不是轴对称图形的是（ ）
A． 蝴蝶曲线 B．笛卡尔心形线
C． 科赫曲线 D． 费马螺线
2．在Rt中，一条直角边长为1，斜边长为2，则另一直角边长为（ ）
A．1 B．2 C． D．
3．如图，四边形中，，且，若，则（ ）
A．6 B．9 C．12 D．16
4．如图，点E、点F在BC上，BE＝CF， ∠B=∠C， 添加一个条件，不能证明△ABF≌△DCE的是（ ）
A．∠A＝∠D B．∠AFB＝∠DEC
C．AB＝DC D．AF＝DE
5．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标是，点B的坐标是，点M是上一点，将沿折叠，点B恰好落在x轴上的点处，则点M的坐标为（ ）
A． B． C． D．
6．已知P1（x1，y1），P2（x2，y2）是一次函数y＝﹣ x+5图象上的两个点，且x1＜x2，则y1与y2的大小关系是（ ）
A．y1＝y2 B．y1＜y2 C．y1＞y2 D．无法确定
7．等腰三角形的顶角为150°,则它的底角为（ ）
A．30° B．15° C．30°或15° D．50°
8．如图，矩形中，在数轴上，若以点A为圆心，对角线的长为半径作到交数轴的正半轴于M，则点M，在数轴上表示的数为（ ）
A．2 B． C． D．
9．如图，等边的边长为3，点P是边上的一个动点，过点P作于点D，延长至点Q，使得，连接交于点E，则之长为（ ）
A．1 B． C．2 D．
10．已知点A（-1，3），点B（-1，-4），若常数a使得一次函数y=ax+1与线段AB有交点，且使得关于x的不等式组 无解，则所有满足条件的整数a的个数为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
11．已知正比例函，当时，.则比例系数k= .
12．如图，等腰中，，，为内一点，且，，则 .
13．如图，已知，，，，若，则的度数为 ．
14． 如图，一次函数的图象与一次函数的图象相交于点，则关于，的方程组的解为 ．
15．如图，在平面直角坐标系中，图案由全等的个长方形纸片摆成的若点，则点的坐标为 ．
16．如图，中，，过点作若，则的大小为 ．
17．如图，在 中， ， 是 的角平分线，交 于点N， ，若 ， ，则 ．
18．如图，正方形ABCD的边长是4，∠DAC的平分线交DC于点E，若点P、Q分别是AD和AE上的动点，则DQ+PQ的最小值是
。
三、综合题（本大题共8小题，共66分）
19．（6分）如图，在△ABC中，点D，点E分别在边AB，边BC上，连接DE，AD=AC，ED=EC.
（1）求证：∠ADE=∠C.
（2）若BD=BE，∠B=30°，求∠A的度数.
20．（6分）已知点分别根据下列条件求出点P的坐标.
（1）点P在x轴上；
（2）点Q的坐标为（1，5），直线PQ∥y轴；
21．（9分）元旦期间，某移动公司就手机流量套餐推出三种优惠方案，具体如下表所示：A，B，C三种方案，每月所需的费用y（元）与每月使用的流量x（GB）之间的函数关系如图所示（已知）.解答下列问题
A方案 B方案 C方案
每月基本费用（元） 20 56 188
每月免费试用流量（GB） 10 m 无限
超出后每GB收费（元） n n
（1）填空：表中的m= ，n= ；
（2）在A方案中，若每月使用的流量不少于10GB，求每月所需的费用y（元）与每月使用的流量x（GB）之间的函数关系式；
（3）在这三种方案中，当每月使用的流量超过多少GB时，选择C方案最划算？
22．（9分）如图是一种单肩包，其背带由双层部分、单层部分和调节扣构成.小文购买时，售货员演示通过调节扣加长或缩短单层部分的长度，可以使背带的长度（单层部分与双层部分长度的和，其中调节扣所占长度忽略不计）加长或缩短，设双层部分的长度为，单层部分的长度为.经测量，得到下表中数据.
双层部分长度 2 8 14 20
单层部分长度 148 136 124 112
（1）根据表中数据规律，求出y与x的函数关系式；
（2）按小文的身高和习惯，背带的长度调为时为最佳背带长.请计算此时双层部分的长度；
（3）设背带长度为，求L的取值范围.
23．（9分）如图所示，已知点A（ - 2，3），B（4，3），C（ - 1， - 3）.
（1）求点C到x轴的距离.
（2）求△ABC的面积.
（3）点P在y轴上，当△ABP的面积为6时，请直接写出点P的坐标.
24．（9分）某地区的电力资源缺乏，未能得到较好的开发.该地区一家供电公司为了居民能节约用电，采用分段计费的方法来计算电费.月用电量 （度）与相应电费 （元）之间的函数图象如图所示.
（1）月用电量为 度时，应交电费多少元？
（2）当 时，求 与 之间的函数关系式；
（3）月用电量为 度时，应交电费多少元？
25．（9分）如图，是等边三角形，点在上，点在的延长线上，且．
（1）若点是的中点，如图1，则线段与的数量关系是 ；
（2）若点不是的中点，如图2，试判断与的数量关系，并证明你的结论；(提示：过点作，交于点)
（3）若点在线段的延长线上，（2）中的结论是否仍成立？如果成立，请给予证明；如果不成立，请说明理由．
26．（9分）如图1，对于平面直角坐标系x O
y中的点A和点P，若将点P绕点A顺时针旋转90°后得到点Q，则称点Q为点P关于点A的“垂链点”.
（1）△PAQ是 三角形；
（2）已知点A的坐标为（0， 0），点P关于点A的“垂链点”为点Q
①若点P的坐标为（2， 0），则点Q的坐标为 ；
②若点Q的坐标为（-2， 1），则点P的坐标为 ；
（3）如图2， 已知点D的坐标为（3， 0），点C在直线y=2x上，若点C关于点D的“垂链点”在坐标轴上，试求点C的坐标.
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苏科版八年级上册期末模拟直击考点卷
数 学
时间：120分钟 满分：120分
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．下列几种著名的数学曲线中，不是轴对称图形的是（ ）
A． 蝴蝶曲线 B．笛卡尔心形线
C． 科赫曲线 D． 费马螺线
【答案】D
【解析】【解答】解：A．该曲线所表示的图形是轴对称图形，故此选项不符合题意；
B．该曲线所表示的图形是轴对称图形，故此选项不符合题意；
C．该曲线所表示的图形是轴对称图形，故此选项不符合题意；
D． 该曲线所表示的图形不是轴对称图形，故此选项符合题意．
故选：D．
【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形逐项分析，即可求解.
2．在Rt中，一条直角边长为1，斜边长为2，则另一直角边长为（ ）
A．1 B．2 C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解：由勾股定理得另一条直角边的边长为
故答案为：C.
【分析】根据勾股定理即可求出另一条直角边的边长.
3．如图，四边形中，，且，若，则（ ）
A．6 B．9 C．12 D．16
【答案】D
【解析】【解答】解：记交于点，如图所示：
，
，，
，
，
，
即，
，
，
，
，
即，
．
故选：D．
【分析】这道题主要考查了勾股定理和三角形面积公式的应用；依据勾股定理，在直角三角形ABO和BCO中，得出AB2-AO2=BO2和BC2-CO2=BO2，所以得到AB2-AO2=BC2-CO2；已知AB=8，且AC=BC=BD，得出CO=AC-AO=BD-AO，进而得出BD·AO=32；最后根据三角形面积公式，代入得出.
4．如图，点E、点F在BC上，BE＝CF， ∠B=∠C， 添加一个条件，不能证明△ABF≌△DCE的是（ ）
A．∠A＝∠D B．∠AFB＝∠DEC
C．AB＝DC D．AF＝DE
【答案】D
【解析】【解答】解：BE＝CF，
BE+EF＝CF+EF，
即BF=CF，
当∠A=∠D时，利用AAS可判断△ABF≌△DCE，故A不符合题意；
当∠AFB＝∠DEC时，利用ASA可判断△ABF≌△DCE，故B不符合题意；
当AB＝DC时，利用SAS可判断△ABF≌△DCE，故C不符合题意；
当AF＝DE时，SSA不可判断△ABF≌△DCE，故D不符合题意；
故答案为：D.
【分析】根据BE＝CF进一步得BF=CF，再利用三角形全等的判定定理：AAS、ASA、SAS即可求解.
5．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标是，点B的坐标是，点M是上一点，将沿折叠，点B恰好落在x轴上的点处，则点M的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：，，，
，，
，
由折叠得，，
，
，
，
解得，
，
故答案为：B．
【分析】由勾股定理先求出，再根据折叠可得，，即可得到，然后再根据勾股定理得到，求出，即可解题．
6．已知P1（x1，y1），P2（x2，y2）是一次函数y＝﹣ x+5图象上的两个点，且x1＜x2，则y1与y2的大小关系是（ ）
A．y1＝y2 B．y1＜y2 C．y1＞y2 D．无法确定
【答案】C
【解析】【解答】∵一次函数y＝﹣ x+5中，k＝﹣ ＜0，
∴y随x的增大而减小，
∵x1＜x2，
∴y1＞y2．
故答案为：C．
【分析】利用一次函数的性质判断即可。
7．等腰三角形的顶角为150°,则它的底角为（ ）
A．30° B．15° C．30°或15° D．50°
【答案】B
【解析】【解答】∵等腰三角形的顶角为150°，
∴等腰三角形底角的度数为： .
故答案为：B.
【分析】根据等腰三角形的性质及三角形的内角和、外角和求解即可。
8．如图，矩形中，在数轴上，若以点A为圆心，对角线的长为半径作到交数轴的正半轴于M，则点M，在数轴上表示的数为（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解：∵矩形中，，，
∴，，
∴，
∴，
∵A点表示-1，
∴M点表示的数为：
故答案为：C．
【分析】利用勾股定理求出AC的长，可得AM的长，再结合点A表示的数，即可得到M点表示的数为：。
9．如图，等边的边长为3，点P是边上的一个动点，过点P作于点D，延长至点Q，使得，连接交于点E，则之长为（ ）
A．1 B． C．2 D．
【答案】B
【解析】【解答】解：过点P作PF∥BC交AB于点F，则∠EPF＝∠Q，如图所示：
∵△ABC是边长为3的等边三角形，
∴∠A＝∠ABC＝∠C＝60°，AB＝3，
∴∠AFP＝∠ABC＝60°，∠APF＝∠C＝60°，
∴∠A＝∠AFP＝∠APF，
∴△AFP是等边三角形，
∴FP＝AP，
∵BQ＝AP，
∴FP＝BQ，
在△FEP和△BEQ中，
∴△FEP≌△BEQ（AAS），
∴FE＝BE=BF，
∵PD⊥AB于点D，
∴FD＝AD=AF，
∴DE＝FD＋FE＝（AF＋BF）=AB=，
故答案为：B．
【分析】过点P作PF∥BC交AB于点F，则∠EPF＝∠Q，先利用“AAS”证出△FEP≌△BEQ，可得FE＝BE=BF，再结合FD＝AD=AF，可得DE＝FD＋FE＝（AF＋BF）=AB=.
10．已知点A（-1，3），点B（-1，-4），若常数a使得一次函数y=ax+1与线段AB有交点，且使得关于x的不等式组 无解，则所有满足条件的整数a的个数为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】D
【解析】【解答】解：把点A（﹣1，3）代入y＝ax+1得，3＝﹣a+1，解得a＝﹣2，
把点B（﹣1，﹣4）代入y＝ax+1得，﹣4＝﹣a+1，解得a＝5，
∵一次函数y＝ax+1与线段AB有交点，
∴﹣2≤a≤5，且a≠0，
解不等式组 得 ，
∵不等式组无解，
∴a﹣ ≤ ，
解得：a≤4，
则所有满足条件的整数a有：﹣2，﹣1，1，2，3，4.
故答案为：D.
【分析】将点A的坐标代入y＝ax+1算出a的值，再将点B的坐标代入y＝ax+1算出a的值，根据一次函数y＝ax+1与线段AB有交点，即可求出a的取值范围；将a作为常数解出不等式组中每一个不等式的解集，再根据该不等式组没有解集列出关于a的不等式，求解得出a的取值范围，综上所述即可求出满足上述所有条件的a的整数值。
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
11．已知正比例函，当时，.则比例系数k= .
【答案】－5
【解析】【解答】解：把 ， 代入 得： ，
∴ .
故答案为：-5.
【分析】将x=-2与y=10代入y=kx即可求出比例系数k的值.
12．如图，等腰中，，，为内一点，且，，则 .
【答案】65°
【解析】【解答】解：作∠BAC的角平分线AP交BO延长线于点P，连接CP，如图，
∵ AP平分∠BAC，∠BAC=70°，
∴ ∠BAP=∠CAP=35°，
∵ AB=AC，AP=AP，
∴ △ABP≌△ACP（SAS），
∴ ∠ACP=∠ABP=25°，
∵ AB=AC，∠BAC=70°，
∴ ∠ACB=∠ABC=55°，
∴ ∠OBC=∠ABC-∠ABO=30°，
∵ ∠OCB=5°，
∴ ∠OCP=25°，
∵ ∠POC=∠OBC+∠OCB，
∴ ∠POC=35°，
∴ ∠POC=∠PAC，
∵ PC=PC，
∴ △POC≌△PAC（AAS），
∴ PO=PA，
∵ ∠APC=180°-∠PAC-∠ACP=120°，
∴ ∠OAP=30°，
∴ ∠OAC=∠OAP+∠CAP=30°+35°=65°.
故答案为：65°.
【分析】作∠BAC的角平分线AP交BO延长线于点P，连接CP，根据角平分线的定义可得 ∠BAP=∠CAP=35°，根据SAS判定△ABP≌△ACP得∠ACP=∠ABP=25°，根据等腰三角形的性质可得∠ACB=∠ABC=55°，根据外角可得∠POC=35°，根据AAS判定△POC≌△PAC推出 PO=PA，根据等腰三角形的性质和三角形的内角和可得∠OAP，即可求得.
13．如图，已知，，，，若，则的度数为 ．
【答案】
【解析】【解答】解：∵，
∴
∵，，
∴
∴
∴
故答案为：10°
【分析】根据等腰三角形性质及三角形内角和定理可得，再根据等腰三角形性质及三角形外角性质得到，即可求出答案.
14． 如图，一次函数的图象与一次函数的图象相交于点，则关于，的方程组的解为 ．
【答案】
【解析】【解答】解：根据函数图象可知p（a，2）是方程组 的解，
可得：2=-a+3，
解得：a=1，
则方程组的解为，
故答案为：.
【分析】根据函数图象可知p（a，2），p一次函数的图象与一次函数的图象相交点，可知p的坐标即为方程组的解，把p（a，2）代入即可求出a的值，据此解题即可.
15．如图，在平面直角坐标系中，图案由全等的个长方形纸片摆成的若点，则点的坐标为 ．
【答案】
【解析】【解答】解：设长方形的长为x，宽为y，
由图形及A（-3，7），
∴，解得x=5，y=2，
∵B在第一象限，
∴B（7，2）.
故答案为：（7，2）.
【分析】设长方形的长为x，宽为y，由图形及A（-3，7），列出二元一次方程组并解之，根据图形及B的位置即可求解.
16．如图，中，，过点作若，则的大小为 ．
【答案】110°
【解析】【解答】解：∵CD∥AB， ，
∴∠B= ，
∵AB=AC，
∴∠B=∠ACB=35°，
∴∠A=180°-∠B-∠ACB=110°.
故答案为：110°.
【分析】由平行线的性质可得∠B= ，由等腰三角形的性质可得∠B=∠ACB=35°，再利用三角形内角和定理即可求解.
17．如图，在 中， ， 是 的角平分线，交 于点N， ，若 ， ，则 ．
【答案】8
【解析】【解答】解：如图所示：延长ED交BC于M，延长AD交BC于N ，
∵ AB=AC，AF平分∠BAC，
∴AN⊥BC，BN=CN；
∵ ∠EBC=∠E=60°，
∴ △BEM为等边三角形，
∴△EFD为等边三角形，
∵BE=6，DE=2，
∴DM=4，
∵△BEM为等边三角形，
∴∠EMB=60°，
∵AN⊥BC，
∴∠DNM=90°，
∠NDM=30°，
∴NM=2，
∴ BN=4，
∴BC=2BN=8，
故答案为：8．
【分析】延长ED交BC于M，延长AD交BC于N ，先证明△BEM为等边三角形，△EFD为等边三角形，从而得到BN的长，进而求出答案。
18．如图，正方形ABCD的边长是4，∠DAC的平分线交DC于点E，若点P、Q分别是AD和AE上的动点，则DQ+PQ的最小值是
。
【答案】
【解析】【解答】动点Q在∠CAD的角平分线AE上，作P点的对称点P′，对称点P′在AC上；因为PQ=P′Q，所以DQ+PQ=P′Q+DQ；很明显，只有当P′，Q，D共线时，有最小值，此时DP′⊥AC，可通过勾股定理，在等腰直角三角形DP′C中，解得DP′=；则DQ+PQ的最小值是
【分析】本题考查的是将军饮马模型中的“最值问题”。动点在对称轴上，作定点的对称点，利用三角形的两边之和大于第三边的特性，当三点共线时，求得DQ+PQ的最小值！解题过程中也涉及角平分线的性质和解直角三角形；
三、综合题（本大题共8小题，共66分）
19．（6分）如图，在△ABC中，点D，点E分别在边AB，边BC上，连接DE，AD=AC，ED=EC.
（1）求证：∠ADE=∠C.
（2）若BD=BE，∠B=30°，求∠A的度数.
【答案】（1）证明：连接AE，
在△ADE和△ACE中，
，
∴△ADE≌△ACE（SSS），
∴∠ADE=∠C；
（2）解：∵BD=BE，∠B=30°，
∴∠BDE=∠BED= ×（180°-30°）=75°，
∴∠ADE=105°，
∵∠ADE=∠C，
∴∠C=105°，
∴∠BAC=180°-∠B-∠C=180°-30°-105°=45°.
【解析】【分析】（1） 连接AE，利用SSS证明△ADE≌△ACE，根据全等三角形的对应角相等得∠ADE=∠C；（2）由等腰三角形的两底角相等及三角形的内角和定理得 ∠BDE=∠BED= ×（180°-30°）=75°， 根据领补角的定义及（1）的结论可得∠C的度数，最后根据三角形的内角和定理即可得出答案.
20．（6分）已知点分别根据下列条件求出点P的坐标.
（1）点P在x轴上；
（2）点Q的坐标为（1，5），直线PQ∥y轴；
【答案】（1）解：点P在x轴上，
，
点P的坐标
（2）解：点Q的坐标为（1，5），直线PQ∥y轴，
解得
点P的坐标
【解析】【分析】（1）根据在x轴上点的纵坐标为0，解答即可；
（2） 由直线PQ∥y轴，可得P、Q两点的横坐标相等，据此解答即可.
21．（9分）元旦期间，某移动公司就手机流量套餐推出三种优惠方案，具体如下表所示：A，B，C三种方案，每月所需的费用y（元）与每月使用的流量x（GB）之间的函数关系如图所示（已知）.解答下列问题
A方案 B方案 C方案
每月基本费用（元） 20 56 188
每月免费试用流量（GB） 10 m 无限
超出后每GB收费（元） n n
（1）填空：表中的m= ，n= ；
（2）在A方案中，若每月使用的流量不少于10GB，求每月所需的费用y（元）与每月使用的流量x（GB）之间的函数关系式；
（3）在这三种方案中，当每月使用的流量超过多少GB时，选择C方案最划算？
【答案】（1）30；3
（2）解：设函数表达式为 ，
把（10，20），（22，56）代入 ，得 ，
解得 ，
∴ 关于 的函数表达式为： ，
（3）解：花费188元A方案可用流量：10＋（188 20）÷3＝66GB
花费188元B方案可用流量：30＋（188 56）÷3＝74GB，
所以当每月使用的流量超过74GB时，选择C方案最划算．
【解析】【解答】解：（1） ，
.
故答案为：30，3；
【分析】（1）根据l2起点的横坐标即可读出m的值，用（56-20）÷（22-10）即可算出n；
（2）设每月所需的费用y（元）与每月使用的流量x（GB）之间的函数关系式为y=kx+b（k≠0） ，将点（10，20）、（22，56）分别代入可得关于k、b的方程组，求解得出k、b的值，从而即可求出y关于x的函数解析式；
（3）利用A、B方案每月免费使用流量56GB加上达到C方案所超出的GB即可．
22．（9分）如图是一种单肩包，其背带由双层部分、单层部分和调节扣构成.小文购买时，售货员演示通过调节扣加长或缩短单层部分的长度，可以使背带的长度（单层部分与双层部分长度的和，其中调节扣所占长度忽略不计）加长或缩短，设双层部分的长度为，单层部分的长度为.经测量，得到下表中数据.
双层部分长度 2 8 14 20
单层部分长度 148 136 124 112
（1）根据表中数据规律，求出y与x的函数关系式；
（2）按小文的身高和习惯，背带的长度调为时为最佳背带长.请计算此时双层部分的长度；
（3）设背带长度为，求L的取值范围.
【答案】（1）解：根据观察y与x是一次函数的关系，所以设
依题意，得
解得， ；
∴y与x的函数关系式：
（2）解：设背带长度是
则
当 时，
解得， ；
（3）解：∵ ，∴
解得， 又
∴
∴
即 .
【解析】【分析】（1）根据表中数据，利用待定系数法可求出y与x的函数关系式；
（2）根据单层部分的长度+双层部分的长度=背带的总长度，结合总长度130建立方程，求解即可；
（3）根据x和y都为非负数求出L的最大值和最小值即可确定取值范围．
23．（9分）如图所示，已知点A（ - 2，3），B（4，3），C（ - 1， - 3）.
（1）求点C到x轴的距离.
（2）求△ABC的面积.
（3）点P在y轴上，当△ABP的面积为6时，请直接写出点P的坐标.
【答案】（1）解：∵C（-1，-3），
∴点C到x轴的距离为|-3|=3.
（2）解：S△ABC=×6×6=18.
（3）解：（0，1）或（0，5）
【解析】【解答】解：（3） 点P在y轴上，当△ABP的面积为6时，点P到直线AB的距离为2，
∴点P的纵坐标为1或5，
∴P（0，1）或（0，5）.
【分析】（1）根据点到x轴的距离为纵坐标的绝对值可得答案；
（2）直接根据三角形的面积公式计算即可；
（3）首先根据△ABP的面积为6，结合三角形的面积公式求出：点P到直线AB的距离为2，然后写出点P的纵坐标，进而结合点P在y轴上可得点P的坐标.
24．（9分）某地区的电力资源缺乏，未能得到较好的开发.该地区一家供电公司为了居民能节约用电，采用分段计费的方法来计算电费.月用电量 （度）与相应电费 （元）之间的函数图象如图所示.
（1）月用电量为 度时，应交电费多少元？
（2）当 时，求 与 之间的函数关系式；
（3）月用电量为 度时，应交电费多少元？
【答案】（1）解： 时，
月用电量为 度时，应交电费 元
（2）解：当 时，设 与 之间的函数关系式为 ，
点 在函数 的图象上，
解得 ，
即当 时， 与 之间的函数关系式为
（3）解：当 时， ，
即月用电量为 时，应交电费 元.
【解析】【分析】（1）求出 时一次函数的解析式，即可求解；
（2）当 时， 与 之间的函数关系式为 ，把点 代入求解即可；
（3）把 代入（2）所求的解析式即可得到答案.
25．（9分）如图，是等边三角形，点在上，点在的延长线上，且．
（1）若点是的中点，如图1，则线段与的数量关系是 ；
（2）若点不是的中点，如图2，试判断与的数量关系，并证明你的结论；(提示：过点作，交于点)
（3）若点在线段的延长线上，（2）中的结论是否仍成立？如果成立，请给予证明；如果不成立，请说明理由．
【答案】（1）
（2）解：，理由如下：
如图，过点作，交于点，
，
则，
，
是等边三角形，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
又，
；
（3）解：结论仍成立，理由如下：
如图，过点作，交的延长线于点，
，
则，
，
是等边三角形，
，
，
，
，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
又，
．
【解析】【解答】解：（1）∵是等边三角形，点是的中点，
∴∠BDC=90°，∠DBC=30°，
∵BD=CE，
∴∠E=30°，
∴∠BDE=120°，
∴∠CDE=30°，
∴∠CDE=∠E，
∴CD=CE，
又∵AD=CD，
∴AD=CE；
【分析】（1）AD=CE。首先根据等边三角形的性质得出∠BDC=90°，∠DBC=30°，然后根据等腰三角形的性质可分别求得∠CDE=∠E=30°，即可得出CD=CE，进而得出结论AD=CE；
（2） 过点作，交于点， ， 首先根据AAS可以证明 ， 然后得出 ， 再等量代换成 ；
（3） 结论仍成立，如图，过点作，交的延长线于点， 首先根据AAS可以证明 ，可得出PD=CE，再等量代换成 。
26．（9分）如图1，对于平面直角坐标系x O
y中的点A和点P，若将点P绕点A顺时针旋转90°后得到点Q，则称点Q为点P关于点A的“垂链点”.
（1）△PAQ是 三角形；
（2）已知点A的坐标为（0， 0），点P关于点A的“垂链点”为点Q
①若点P的坐标为（2， 0），则点Q的坐标为 ；
②若点Q的坐标为（-2， 1），则点P的坐标为 ；
（3）如图2， 已知点D的坐标为（3， 0），点C在直线y=2x上，若点C关于点D的“垂链点”在坐标轴上，试求点C的坐标.
【答案】（1）等腰直角
（2）（ ）；（ ）
（3）解：根据题意，点D为（3，0）；
①当点C在第一象限时，则点C关于点D的“垂链点”在x轴上，
∴CD⊥x轴，
∴点C的横坐标为3，
∵点C在直线y=2x上，则y=6，
∴点C的坐标为：（3，6）；
②当点C在第三象限时，则“垂链点”C1在y轴上，
过点C作CH⊥x轴，交点为H，如图：
∵CH⊥x轴，∠CDC1=90°，
∴∠CHD=∠DOC1=90°，
∴∠CDH+∠HDC1=∠CDC1=90°，∠HDC1+∠OC1D=90°，
∴∠CDH=∠OC1D，
∵CD=C1D，
∴△CDH≌△DOC1（AAS），
∴CH=OD=3，
∴点C的纵坐标为 ，
把 代入y=2x，解得： ，
∴点C的坐标为：（ ， ）；
综合上述，点C的坐标为：（3，6）或（ ， ）
【解析】【解答】(1)解：由旋转的性质，可知，AP=AQ，∠PAQ=90°，
∴△PAQ是等腰直角三角形；
故答案为：等腰直角
( 2 )解：∵点A为（0，0），即为原点，
根据旋转的性质和“垂链点”的定义，得
①若点P的坐标为（2，0），则点Q的坐标为（ ）；
②点Q的坐标为（ ，1），则点P的坐标为（ ）；
故答案为：①（ ）；②（ ）
【分析】（1）根据旋转的性质，得到AP=AQ，∠PAQ=90°，即可得到答案；（2）根据旋转的性质和“垂链点”的定义，分别求出点Q和点P的坐标即可；（3）①当点C在第一象限时，则点C关于点D的“垂链点”在x轴上，则CD⊥x轴，即可求解；②当点C在第三象限时，证明△CDH≌△DOC1（AAS），得到CH=OD=3，即可求出点C的坐标.
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