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苏科版九年级上册期末进阶训练领航卷
数 学
时间：120分钟 满分：120分
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．过点作圆的切线只有一条，那么点与圆的位置关系是（ ）
A．点在圆外 B．点在圆上
C．点在圆内 D．以上都有可能
2．下列方程，是一元二次方程的是（ ）
①，②，③，④．
A． B． C． D．
3．一个袋中装有红、白两种颜色的球，这些球除颜色外其它都相同．其中红球个数：白球个数=3：2．任意摸出一个球，求摸到红球的可能性大小是（ ）
A． B． C． D．
4．如图，半径为5的圆中有一个内接矩形，点是的中点，于点，若矩形ABCD的面积为30，则线段MN的长为（ ）.
A． B． C． D．
5．已知圆锥的母线长为2，底面半径为1，则该圆锥的侧面展开图的面积为（ ）
A． B． C． D．
6．如图，某小区居民休闲娱乐中心是一块长方形（长60米，宽40米）场地，被3条宽度相同的绿化带分为总面积为1750平方米的活动场所，如果设绿化带的宽度为x米，由题意可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
7．已知x=2是关于x的方程x2-(m+4)x+4m=0的一个实数根，并且这个方程的两个实数根恰好是等腰三角形ABC的两条边长，则△ABC的周长为（ ）
A．6 B．8 C．10 D．8或10
8．将方程x2+4x＝5左边配方成完全平方式，右边的常数应该是（ ）
A．9 B．1 C．6 D．4
9．如图，直线y＝ x＋ 与x轴、y轴分别相交于A、B两点，圆心P的坐标为（1，0），⊙P与y轴相切于点O．若将⊙P沿x轴向左移动，当⊙P与该直线相交时，满足横坐标为整数的点P的个数是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
10．如图，AC是矩形ABCD的对角线，⊙O是△ABC的内切圆，现将矩形ABCD按如图所示的方式折叠，使点D与点O重合，折痕为FG，点F，G分别在AD，BC上，连结OG，DG，若OG⊥DG，且⊙O的半径长为1，则下列结论不成立的是（ ）
A．CD+DF=4 B．CD DF=2 3
C．BC+AB=2+4 D．BC AB=2
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
11．已知⊙O的半径为2cm，则⊙O最长的弦为 cm．
12．设，是一元二次方程的两根，则 ．
13．如图，在矩形中，已知，将矩形绕点旋转，到达的位置，则在转动过程中，边扫过的图形的面积 .
14．如图所示，四边形为的内接四边形，，则的大小是 .
15．如果a是方程的一个实数根，则的值为 ．
16．小明上学经过两个路口，如果每个路口可直接通过或需等待的可能性相等，那么小明上学时在这两个路口都直接通过的概率为 .
17．如图，在Rt△ABC中，∠BCA=90°，∠A=30°，AB=4 ．若动点D在线段AC上(不与点A，C重合)，过点D作DE上AC交AB边于点E若点A关于点D的对称点为点F，以FC为半径作⊙C，当DE= 时，⊙C与直线AB相切．
18．△ABC中，AB=CB，AC=10，S△ABC=60，E为AB上一动点，连结CE，过A作AF⊥CE于F，连结BF，则BF的最小值是 ．
三、综合题（本大题共8小题，共66分）
19．（6分）如图，在中，，，．点从点开始沿边向点以1cm/s的速度移动、同时点从点开始沿边向点以2cm/s的速度移动，当其中一点到达终点时，另外一点也随之停止运动．
（1）的面积能否等于？请说明理由．
（2）几秒后，四边形的面积等于？请写出过程．
20．（6分）九年级物理学习了电学知识后，小明选取了四个开关按键、一个电源、一个小灯泡和若干电线设计了如图的电路图（四个开关按键都处于打开状态）．
（1）若闭合，则任意闭合其余三个开关按键中的一个，小灯泡能发光的概率为 ；
（2）求同时闭合其中的两个开关按键，灯泡能发光的概率．（用列表或树状图法）
21．（9分）如图，在正方形网格图中建立一直角坐标系，一条圆弧经过网格点A、B、C，请在网格中进行下列操作：
（1）请在图中确定该圆弧所在圆心D点的位置，D点坐标为 ；
（2）连接AD、CD，则⊙D的半径为 ；扇形DAC的圆心角度数为 ；
（3）若扇形DAC是某一个圆锥的侧面展开图，求该圆锥的底面半径．
22．（9分）八月底，八年级（1）班学生小颖对全班同学这一个多月来去重庆大学图书馆的次数做了调查统计，将结果分为A、B、C、D、E五类，其中A表示“0次”、B类表示“1次”、C类表示“2次”、D类表示“3次”、E类表示“4次及以上”．并制成了如下不完整的条形统计和扇形统计图（如图所示）．
请你根据统计图表中的信息，解答下列问题：
（1）填空：a= ；
（2）补全条形统计图，并求出扇形统计图中D类的扇形所占圆心角的度数；
（3）从全班去过该图书馆的同学中随机抽取1人，谈谈对新图书馆的印象和感受．求恰好抽中去过“4次及以上”的同学的概率．
23．（9分）解下列方程：
（1） ；
（2） ；
（3） .
24．（9分）将如图所示的牌面数字1、2、3、4的四张扑克牌背面朝上，洗匀后放在桌面上.
（1）从中随机抽出一张牌，牌面数字是奇数的概率是 ；
（2）从中随机抽出两张牌，两张牌牌面数字的和是6的概率是 ；
（3）先从中随机抽出一张牌，将牌面数字作为十位上的数字，然后将该牌放回并重新洗匀，再随机抽取一张，将牌面数字作为个位上的数字，请用树状图或列表的方法求组成的两位数恰好是3的倍的概率.
25．（9分）综合应用：如图，AB是的直径，点C是上一点，AD与过点C的切线垂直，垂足为点D，直线DC与AB的延长线相交于点P，G是的内心，连接CG并延长，交于点E，交AB于点F，连接BE．
（1）求证：AC平分；
（2）连接BG，判断的形状，并说明理由；
（3）若，，求线段EC的长．
26．（9分）如图，已知矩形ABCD中，AB=8，AD=6， 点E是边CD上一个动点，连接AE，将△AED沿直线AE翻折得△AEF.
（1）当点C落在射线AF上时，求DE的长；
（2）以F为圆心，FB长为半径作圆F，当AD与圆F相切时，求cos∠FAB的值；
（3）若P为AB边上一点，当边CD上有且仅有一点Q满∠BQP=45°，直接写出线段BP长的取值范围.
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数 学
时间：120分钟 满分：120分
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．过点作圆的切线只有一条，那么点与圆的位置关系是（ ）
A．点在圆外 B．点在圆上
C．点在圆内 D．以上都有可能
【答案】B
【解析】【解答】解：如果点在外，则过点作的切线有两条；
如果点在内，则过点的直线与相交；
如果点在上，则过点作的切线只有一条；
如图，连接，过点作的切线，则，
是唯一的，
过点作的切线只有一条，
故答案为：B
【分析】根据点与圆的位置关系分情况进行讨论，结合切线的性质即可求出答案.
2．下列方程，是一元二次方程的是（ ）
①，②，③，④．
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解：①是一元二次方程；
②含有两个未知数，不是一元二次方程；
③不是整式方程，不是一元二次方程；
④是一元二次方程．
故答案为：D
【分析】根据一元二次方程的定义即可求出答案.
3．一个袋中装有红、白两种颜色的球，这些球除颜色外其它都相同．其中红球个数：白球个数=3：2．任意摸出一个球，求摸到红球的可能性大小是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】【解答】解：∵红球个数：白球个数=3：2，
∴摸到红球的可能性大小是
故答案为：A.
【分析】根据"红球个数：白球个数=3：2"，结合概率计算公式计算即可.
4．如图，半径为5的圆中有一个内接矩形，点是的中点，于点，若矩形ABCD的面积为30，则线段MN的长为（ ）.
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】【解答】解： 如图，连接AC，CM，BM，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC=90°，
∴AC是圆的直径，
∴∠AMC=90°，
∵该圆的半径为5，
∴AC=10，
∵点M是 的中点 ，
∴弧AM=弧CM，
∴AM=CM，
∴△AMC是等腰直角三角形，
∴∠ACM=45°，AM2+CM2=2AM2=AC2=100，
∴∠ACM=∠ABM=45°，AM2=50，
设AB为x，BC=y，且x＞y，
则，
解得或(舍去)，
即，
∵MN⊥AB，且∠ABM=45°，
∴△MNB是等腰直角三角形，
∴MN=BN，
∴AN=AB-BN=-MN，
∵AN2+MN2=AM2，
∴，
解得MN=或MN=（舍去）.
故答案为：A.
【分析】连接AC，CM，BM，由矩形的性质得∠ABC=90°，由圆周角定理得AC是圆的直径，∠AMC=90°，由等弧所对的弦相等得AM=CM，故△AMC是等腰直角三角形，则∠ACM=45°，AM2+CM2=2AM2=AC2=100，进而由圆周角定理推出∠ACM=∠ABM=45°，AM2=50，设AB为x，BC=y，且x＞y，根据勾股定理及矩形的面积建立出方程组，求解得出；再判断出△MNB是等腰直角三角形，得MN=BN，在Rt△AMN中，利用勾股定理建立方程可求出MN的长.
5．已知圆锥的母线长为2，底面半径为1，则该圆锥的侧面展开图的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解： ∵圆锥的侧面展开图的弧长c=21=2，
∴圆锥的侧面展开图的面积=×2×2=2，故A、B、D不正确，
故答案为：C.
【分析】圆锥的侧面展开图为扇形，根据扇形的面积公式S=×弧长×半径，由题意可求出弧长为圆锥底面周长，半径为圆锥母线长度，根据面积公式即可求解.
6．如图，某小区居民休闲娱乐中心是一块长方形（长60米，宽40米）场地，被3条宽度相同的绿化带分为总面积为1750平方米的活动场所，如果设绿化带的宽度为x米，由题意可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：∵长方形场地的长为60米，宽为40米，且绿化带的宽度为x米，
∴把绿化带移到边上，被分成六块的活动场所可组成长为(60-2x)米，宽为(40-x)米的长方形.
根据题意得：(60-2x)(40-x)=1750.
故答案为：B.
【分析】根据各边之间的关系，把绿化带移到边上，可得出被分成六块的活动场所可合成长为(60-2x)米，宽为(40-x)米的长方形，结合活动场所的面积为1750平方米，可得出关于x的一元二次方程.
7．已知x=2是关于x的方程x2-(m+4)x+4m=0的一个实数根，并且这个方程的两个实数根恰好是等腰三角形ABC的两条边长，则△ABC的周长为（ ）
A．6 B．8 C．10 D．8或10
【答案】C
【解析】【解答】解：把x＝2代入方程x2﹣（m+4）x+4m＝0得4﹣2（m+4）+4m＝0，解得m＝2，
故原方程为：x2﹣6x+8＝0，解得x1＝4，x2＝2，
当2为腰的时候，因为2+2＝4，故不能围成三角形；
当2为底的时候，三角形三边为4、4、2，
所以△ABC的周长为10．
故答案为：C。
【分析】先利用一元二次方程解的定义把x＝2代入方程x2﹣（m+4）x+4m＝0得m＝2，则方程化为x2﹣6x+8＝0，然后利用因式分解法解方程求出方程的两根，利用三角形三边的关系确定三角形的三边，对能围成三角形的，根据三角形的周长计算方法算出答案。
8．将方程x2+4x＝5左边配方成完全平方式，右边的常数应该是（ ）
A．9 B．1 C．6 D．4
【答案】A
【解析】【解答】∵ ，∴ ，∴ ，故A选项为正确答案.
【分析】直接将方程左右两边都加上4，左边写成完全平方式，据此解答即可.
9．如图，直线y＝ x＋ 与x轴、y轴分别相交于A、B两点，圆心P的坐标为（1，0），⊙P与y轴相切于点O．若将⊙P沿x轴向左移动，当⊙P与该直线相交时，满足横坐标为整数的点P的个数是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】A
【解析】【解答】解：根据直线与坐标轴的交点，得出A，B的坐标，再利用三角形相似得出圆与直线相切时的坐标，进而得出相交时的坐标．
∵直线y＝ x＋ 与x轴、y轴分别相交于A、B两点，圆心P的坐标为（1，0），
∴A点的坐标为0＝ x＋
x=-3，A（-3，0），
B点的坐标为：（0， ），
∴AB=2
将圆P沿x轴向左移动，当圆P与该直线相切于C1时，P1C1=1，
根据△AP1C1∽△ABO，
∴AP1=2，
∴P1的坐标为：（-1，0），
将圆P沿x轴向左移动，当圆P与该直线相切于C2时，P2C2=1，
根据△AP2C2∽△ABO，
∴AP2=2，
P2的坐标为：（-5，0），
从-1到-5，整数点有-2，-3，-4，故横坐标为整数的点P的个数是3个．
故答案为：A．
【分析】先求出函数与x轴、y轴的交点坐标，进一步求出函数与x轴的夹角，计算出 ⊙P 与AB相切时点P的坐标，判断出P的横坐标的取值范围.
10．如图，AC是矩形ABCD的对角线，⊙O是△ABC的内切圆，现将矩形ABCD按如图所示的方式折叠，使点D与点O重合，折痕为FG，点F，G分别在AD，BC上，连结OG，DG，若OG⊥DG，且⊙O的半径长为1，则下列结论不成立的是（ ）
A．CD+DF=4 B．CD DF=2 3
C．BC+AB=2+4 D．BC AB=2
【答案】A
【解析】【解答】解：如图，设⊙O与BC的切点为M，连接MO并延长MO交AD于点N，
利用AAS易证△OMG≌△GCD，
所以OM=GC=1，CD=GM=BC-BM-GC=BC-2．
又因AB=CD，
所以BC AB=2．
设AB=a，BC=b，AC=c，⊙O的半径为r，
⊙O是Rt△ABC的内切圆可得r=（a+b-c），
所以c=a+b-2．
在Rt△ABC中，
由勾股定理可得，
整理得2ab-4a-4b+4=0，
又因BC AB=2即b=2+a，
代入可得2a（2+a）-4a-4（2+a）+4=0，
解得，
所以，即可得BC+AB=2+4．
再设DF=x，在Rt△ONF中，FN=，OF=x，ON=，
由勾股定理可得，
解得，
CD DF=，CD+DF=．
综上只有选项A符合题意，
故答案为：A．
【分析】利用全等三角形的判定与性质，勾股定理计算求解即可。
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
11．已知⊙O的半径为2cm，则⊙O最长的弦为 cm．
【答案】4
【解析】【解答】解：∵直径是圆中最长的弦，⊙O的半径为2cm，
∴⊙O最长弦为4 cm，
故答案为：4.
【分析】根据直径是圆中最长的弦求解．
12．设，是一元二次方程的两根，则 ．
【答案】
【解析】【解答】根据题意
即
故填：
【分析】根据一元二次方程根的意义，利用整理代入的思想将所求代数式降次，最后根据韦达定理计算求值。
13．如图，在矩形中，已知，将矩形绕点旋转，到达的位置，则在转动过程中，边扫过的图形的面积 .
【答案】
【解析】【解答】
解：
连接AC，AC′，AD，AD′，根据题意可知，∠CAC′=∠DAD′=90°，CD=AB=8，
故答案为：
【分析】根据图形中各部分间的面积关系可以推导出CD扫过的面积等于扇形ACC′的面积减去扇形ADD′的面积，运用扇形面积公式，结合 勾股定理可得出CD扫过的面积等于，代入CD的值可求出结果。
14．如图所示，四边形为的内接四边形，，则的大小是 .
【答案】120°
【解析】【解答】解：∵四边形为的内接四边形，，
∴∠BAD=60°，
∴∠BOD=120°，
故答案为：120°
【分析】先根据圆内接四边形的性质得到∠BAD=60°，进而根据圆周角定理即可求解。
15．如果a是方程的一个实数根，则的值为 ．
【答案】2023
【解析】【解答】解：把代入得到，
则．
又∵，
把代入得，
故答案为：2023.
【分析】根据方程解的概念，将x=a代入方程中可得a2-2a=2，待求式可变形为2(a2-2a)+2019，据此计算.
16．小明上学经过两个路口，如果每个路口可直接通过或需等待的可能性相等，那么小明上学时在这两个路口都直接通过的概率为 .
【答案】
【解析】【解答】解：根据题意画图如下：
共有4种等可能结果，其中小明上学时在这三个路口都直接通过的只有1种结果，
所以小明上学时在这两个路口都直接通过的概率为；
故答案为．
【分析】根据题意画出树状图，得出所有等可能结果，再得出小明上学时在这个三个路口都直接通过的结果数，再根据概率公式计算即可。
17．如图，在Rt△ABC中，∠BCA=90°，∠A=30°，AB=4 ．若动点D在线段AC上(不与点A，C重合)，过点D作DE上AC交AB边于点E若点A关于点D的对称点为点F，以FC为半径作⊙C，当DE= 时，⊙C与直线AB相切．
【答案】或
【解析】【解答】解：过点C作CH⊥AB于点H ，
∵∠ACB=90°，∠A=30°，AB=4，
∴BC=AB=2，AC=6，
∴S△ABC=·BC·AC=·AB·CH，
∴CH=3，
①如图1：
∵CF=CH=3，
∴AF=AC-CF=6-3=3，
又∵ 点A关于点D的对称点为点F，
∴DF=AD=AF=，
∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ACB，
∴，
即，
∴DE=；
②如图2：
∵CF=CH=3，
∴AF=AC+CF=6+3=9，
又∵ 点A关于点D的对称点为点F，
∴DF=AD=AF=，
∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ACB，
∴，
即，
∴DE=；
综上所述：当DE长为或时， ⊙C与直线AB相切 .
故答案为：或.
【分析】过点C作CH⊥AB于点H ，根据直角三角形性质得BC=2，AC=6，由三角形面积公式求得CH=3，分情况讨论，根据相似三角形判定得△ADE∽△ACB，由相似三角形性质得，从而求得DE长.
18．△ABC中，AB=CB，AC=10，S△ABC=60，E为AB上一动点，连结CE，过A作AF⊥CE于F，连结BF，则BF的最小值是 ．
【答案】7
【解析】【解答】解：过B作BD⊥AC于D，
∵AB=BC，
∴AD=CD= AC=5，
∵S△ABC=60，
∴ ×AC×BD＝60，即 ×10×BD＝60，
解得BD=12，
∵AF⊥CE，
∴∠AFC=90°，
∴F在以AC为直径的圆上，
∵BF+DF＞BD，且DF=DF'，
∴当F在BD上时，BF的值最小，
此时BF'=12-5=7，
则BF的最小值是7，
故答案为：7.
【分析】过B作BD⊥AC于D，根据S△ABC=60，计算BD的长，由∠AFC=90°，可知F在以AC为直径的圆上，由三角形三边关系得：BF+DF＞BD，则当F在BD上时，BF的值最小，求BF'的长即可.
三、综合题（本大题共8小题，共66分）
19．（6分）如图，在中，，，．点从点开始沿边向点以1cm/s的速度移动、同时点从点开始沿边向点以2cm/s的速度移动，当其中一点到达终点时，另外一点也随之停止运动．
（1）的面积能否等于？请说明理由．
（2）几秒后，四边形的面积等于？请写出过程．
【答案】（1）解：的面积不能等于，理由如下：
s，s，
运动时间的取值范围为：，
根据题意可得：cm， cm，cm，
假设的面积等于，
则，
整理得：，
，
所列方程没有实数根，
的面积不能等于；
（2）解：由（1）得：cm， cm，cm，运动时间的取值范围为：，
四边形的面积等于，
，
整理得：，
解得，，
当当时，点重合，不符合题意，舍去，
，
答：1s后，四边形的面积等于．
【解析】【分析】（1）根据题意可得：cm， cm，cm，根据题意列出方程，再利用一元二次方程根的判别式求解即可；
（2）根据题意列出方程，求出t的值即可。
20．（6分）九年级物理学习了电学知识后，小明选取了四个开关按键、一个电源、一个小灯泡和若干电线设计了如图的电路图（四个开关按键都处于打开状态）．
（1）若闭合，则任意闭合其余三个开关按键中的一个，小灯泡能发光的概率为 ；
（2）求同时闭合其中的两个开关按键，灯泡能发光的概率．（用列表或树状图法）
【答案】（1）
（2）解：用树状图分析如下：
一共有12种不同的情况，其中有6种情况下灯泡能发光，
所以P（灯泡发光）．
【解析】【解答】（1）若闭合，还剩下3个开关按键，只有闭合开关按键，灯泡才会发光，
所以P（灯泡发光）；
【分析】（1）利用概率公式求解即可；
（2）先利用树状图求出所有等可能的情况数，再利用概率公式求解即可。
21．（9分）如图，在正方形网格图中建立一直角坐标系，一条圆弧经过网格点A、B、C，请在网格中进行下列操作：
（1）请在图中确定该圆弧所在圆心D点的位置，D点坐标为 ；
（2）连接AD、CD，则⊙D的半径为 ；扇形DAC的圆心角度数为 ；
（3）若扇形DAC是某一个圆锥的侧面展开图，求该圆锥的底面半径．
【答案】（1）(2，0)
（2）2|90
（3）解：设圆锥的底面半径是r，
则，
∴，
即该圆锥的底面半径为.
【解析】【解答】解：（1）如图，分别作AB、BC的垂直平分线，两线交于点D，
∴D点的坐标为(2，0).
（2）连接DA、DC，如图，
则AD=，
即⊙D的半径为.
∵OD=CE，OA=DE=4，
∠AOD=∠CEO=90°，
∴△AOD≌△DEC，
∴∠OAD=∠CDE，
∴∠ADO+∠CDE=∠ADO+∠OAD=90°，
∴∠ADC=90°，
即扇形DAC的圆心角度数为90°.
【分析】（1）分别作AB、BC的垂直平分线，两线交于点D，再直接写出点D的坐标即可；
（2）连接DA，DC，利用勾股定理求出AD的长，再证明△AOD≌△DEC，可得∠OAD=∠CDE，再利用角的运算和等量代换可得∠ADC=90°，从而得解；
（3）设圆锥的底面半径是r，根据题意列出方程，再求出即可。
22．（9分）八月底，八年级（1）班学生小颖对全班同学这一个多月来去重庆大学图书馆的次数做了调查统计，将结果分为A、B、C、D、E五类，其中A表示“0次”、B类表示“1次”、C类表示“2次”、D类表示“3次”、E类表示“4次及以上”．并制成了如下不完整的条形统计和扇形统计图（如图所示）．
请你根据统计图表中的信息，解答下列问题：
（1）填空：a= ；
（2）补全条形统计图，并求出扇形统计图中D类的扇形所占圆心角的度数；
（3）从全班去过该图书馆的同学中随机抽取1人，谈谈对新图书馆的印象和感受．求恰好抽中去过“4次及以上”的同学的概率．
【答案】（1）20
（2）解：C类人数为50 8 12 10 4＝16（人），
条形统计图为：
扇形统计图中D类的扇形所占圆心角的度数为360°×20%＝72°；
（3）解：恰好抽中去过“4次及以上”的同学的概率＝．
【解析】【解答】解：（1）调查的总人数为12÷24%＝50（人），
所以a%＝＝20%，即a＝20；
故答案为20；
【分析】（1）先利用B的人数除以对应的百分比求出的总人数，再利用D的人数除以总人数即可得到a的值；
（2）先利用总人数求出C的人数，再作出条形统计图，再求出D的百分比，然后乘以360°即可得到D类的圆心角；
（3）利用概率公式求解即可。
23．（9分）解下列方程：
（1） ；
（2） ；
（3） .
【答案】（1）解： ，
∵ ， ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ；
（2）解： ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ；
（3）解： ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ， .
【解析】【分析】（1）观察方程的特点，左边不能分解因式，因此利用公式法解方程；
（2）先去括号，将方程转化为一元二次方程的一般形式，再将方程的左边分解因式，然后求出方程的解；
（3）观察方程的特点：方程右边可以分解因式，可得到方程两边都含有公因式（x-3），因此利用因式分解法求出方程的解.
24．（9分）将如图所示的牌面数字1、2、3、4的四张扑克牌背面朝上，洗匀后放在桌面上.
（1）从中随机抽出一张牌，牌面数字是奇数的概率是 ；
（2）从中随机抽出两张牌，两张牌牌面数字的和是6的概率是 ；
（3）先从中随机抽出一张牌，将牌面数字作为十位上的数字，然后将该牌放回并重新洗匀，再随机抽取一张，将牌面数字作为个位上的数字，请用树状图或列表的方法求组成的两位数恰好是3的倍的概率.
【答案】（1）
（2）
（3）解：列表如下：
第二次第一次 1 2 3 4
1 11 12 13 14
2 21 22 23 24
3 31 32 33 34
4 41 42 43 44
其中恰好是3的倍数的有12，21，24，33，42五种结果.
所以，P（3的倍数）＝ .
【解析】【解答】解：（1）1，2，3，4共有4张牌，随意抽取一张为偶数的概率为 ＝ ；
故答案为：；
（ 2 ）只有2+4＝6，但组合一共有3+2+1＝6，故概率为 ；
故答案为： ；
【分析】（1）根据概率的意义直接计算即可解答；
（2）找出两张牌牌面数字的和是6的情况再与所有情况相比即可解答；
（3）依据题意先用列表法或画树状图法分析所有等可能的出现结果和恰好是3的倍数的情况数， 然后根据概率公式求出该事件的概率即可.
25．（9分）综合应用：如图，AB是的直径，点C是上一点，AD与过点C的切线垂直，垂足为点D，直线DC与AB的延长线相交于点P，G是的内心，连接CG并延长，交于点E，交AB于点F，连接BE．
（1）求证：AC平分；
（2）连接BG，判断的形状，并说明理由；
（3）若，，求线段EC的长．
【答案】（1）证明：∵DP切于C。
∴
∵
∴
∴
∴
∵在中，
∴
∴
即AC平分
（2）解：是等腰三角形．理由：
∵G是的内心
∴，
∵
∴
∴
∵，
∴
∴
∴是等腰三角形
（3）解：过B作于H，连接AE，如图所示：
∵AB是的直径
∴
∴
∴在中，
在等腰直角三角形CBH中，
∵
∴
∴在中，
∴在中，
∴
【解析】【分析】（1）先根据切线的性质得到，进而根据垂直得到，根据平行线的判定与性质得到，从而根据等腰三角形的性质得到，等量代换得到，再根据角平分线的判定即可求解；
（2）先根据三角形的内心得到，，进而结合题意等量代换得到，从而根据等腰三角形的判定即可求解；
（3）过B作于H，连接AE，先根据圆周角定理得到，从而根据等腰直角三角形的性质得到，再根据勾股定理求出AB，从而根据题意解直角三角形得到，进而求出BE和EH，最后根据CE=CH+EG即可求解。
26．（9分）如图，已知矩形ABCD中，AB=8，AD=6， 点E是边CD上一个动点，连接AE，将△AED沿直线AE翻折得△AEF.
（1）当点C落在射线AF上时，求DE的长；
（2）以F为圆心，FB长为半径作圆F，当AD与圆F相切时，求cos∠FAB的值；
（3）若P为AB边上一点，当边CD上有且仅有一点Q满∠BQP=45°，直接写出线段BP长的取值范围.
【答案】（1）解：当点C落在射线AF上时，如图1，
图1
∵在矩形ABCD中，AB=8，AD=6，△AED沿直线AE翻折得△AEF，
∴AF=AD=6，AC= ，
∴CF=AC-AF=10-6=4，
设DE=x，则EF=DE=x，CE=8-x，
∵在Rt CFE中， ，
∴ ，解得：x=3，
∴DE=3
（2）解：以F为圆心，FB长为半径作圆F，当AD与圆F相切时，如图2，
图2
设切点为M，连接FM，则FM⊥AD，过点F作FN⊥AB，
设FM=x，则AN=FM=x，BF=FM=x，BN=8-x，
∵ ，
∴ ，解得：x= ，
∴cos∠FAB= =
（3）解：以PB为底边作等腰直角三角形 PMB，以点M为圆心，MP为半径作圆M，
①当圆M与CD相切时，如图3，切点为Q，此时，边CD上有且仅有一点Q满足∠BQP=45°，
连接QM，延长QM交PB于点H，则HQ⊥CD，HQ⊥PB，
图3
∵ PMB是等腰直角三角形，
∴设PH=BH=MH=x，则PM=QM= ，
∵HQ=AD=6，
∴x+ =6，解得：x= ，
∴BP=2x=
②当圆M过点C时，如图4，此时，边CD上有两个点Q满足∠BQP=45°，
图4
∵∠MPB=45°，∠PBC=90°，
∴BP=BC=6，
③当圆M过点D时，如图5，此时，边CD上有且仅有一点Q满足∠BQP=45°，
连接MD，过点M作MN⊥AD，MH⊥BP，
图5
设PH=HM=HB=x，则MP=MD= ，MN=AH=8-x，ND=6-x，
∵在Rt MND中， ，
∴ ，解得：x= ，
∴BP=2× = ，
综上所述：线段BP长的取值范围是：BP=12 -12或6＜BP≤ .
【解析】【分析】(1)当点C落在射线AF上时，设DE=x，则EF=DE=x，CE=8-x，根据勾股定理，列出方程，即可求解；(2)以F为圆心，FB长为半径作圆F，当AD与圆F相切时，设切点为M，连接FM，则FM⊥AD，过点F作FN⊥AB，设FM=x，则AN=FM=x，BF=FM=x，BN=8-x，根据勾股定理，列出方程，即可求解；(3)以PB为底边作等腰直角三角形 PMB，以点M为圆心，MP为半径作圆M，分三类：①当圆M与CD相切时，求出BP的值；②当圆M过点C时，求出BP的值；③当圆M过点D时，求出BP的值，进而，可求出BP的范围.
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