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上海市八年级上册期末名校真题汇编提优卷
数 学
（考试时间：120分钟 满分：100分）
一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
1．函数的自变量x的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．下列命题中，是真命题的是（ ）
A．如果，那么
B．9的立方根是3
C．有一个角是的三角形是等边三角形
D．16的算术平方根是4
3．下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
4．如图，是的角平分线，，则是（ ）．
A． B． C． D．
5．如图，以直角三角形的各边边长分别向外做等边三角形，再把较小的两个三角形按如图2的方式放置在最大的三角形内，是小梯形面积，是三个三角形重叠部分的面积，是大梯形的面积，是平行四边形的面积，则下列关系一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
6．如图，正方形ABCD的边长为10，AG=CH=8，BG=DH=6，则线段GH的长为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共12小题，每小题2分，共24分）
7．要使代数式有意义，则实数的取值范围是 ．
8．计算 的结果是 ．
9．如图，在中，，，，则的长为 ．
10．若实数，分别满足，，且，则的值为 ．
11．在我国古代数学著作《九章算术》中记载了一道有趣的问题，这个问题的大意是：如图，有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形．在水池正中央有一根新生的芦苇，它高出水面1尺．如果把这根芦苇垂直拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面，则这个水池的深度是 尺．
12．在Rt△ABC中， ， ， ，则 = ．
13．如图，已知 ，点 ， ， ，…在射线ON上，点 ， ， ，…在射线OM上， ， ， ，…均为等边三角形，若 ，则 的边长为 .
14．”两个全等的三角形的周长相等“的逆命题是 命题。（填”真“或”假“）。
15．已知x＝ +1，则x2﹣2x﹣3＝ ．
16．如图，一架秋千静止时，踏板离地的垂直高度DE＝0.5m，将它往前推送1.5m（水平距离BC＝1.5m）时，秋千的踏板离地的垂直高度BF＝1m，秋千的绳索始终拉直，则绳索AD的长是 m．
17．如图，将等边△ABC折叠，使得点B恰好落在AC边上的点D处，折痕为EF，O为折痕EF上一动点，若AD=1，AC=3，△OCD周长的最小值是 ．
18．如图所示，已知直线m∥n，且这两条平行线间的距离为5个单位长度，点P为直线n上一定点，以P为圆心、大于5个单位长度为半径画弧，交直线m于A、B两点.再分别以点A、B为圆心、大于AB长为半径画弧，两弧交于点Q，作直线PQ，交直线m于点O，点H为射线OB上一动点，作点O关于直线PH的对称点O'，当点O'到直线n的距离为4个单位时，线段PH的长度为 .
三、解答题（本大题共8小题，共58分）
19．（6分）如图，△ABC是等边三角形，延长BC到点E，使CE=BC，若D是AC的中点，连接ED并延长交AB于点F．
（1）若AF=3，求AD的长；
（2）求证：DE=2DF．
20．（6分）如图，在 中， ， ， ，动点 、 同时从 、 两点出发，分别在 、 边上匀速移动，它们的速度分别为 ， ，当点 到达点 时， 、 两点同时停止运动，设点 的运动时间为 .
（1）当 为何值时， 为等边三角形？
（2）当 为何值时， 为直角三角形？
21．（6分）如图，网格中每个小正方形的边长都为1．
（1）求四边形 的面积；
（2）求 的度数．
22．（6分）如图，网格中的 ，若小方格边长为1，请你根据所学的知识，
（1）判断 是什么形状？并说明理由；
（2）求 的面积.
23．（6分）在△ABC中，∠ABC＝45°，F是高AD与高BE的交点.
（1）求证：△ADC≌△BDF.
（2）连接CF，若CD＝4，求CF的长.
24．（6分）如图， 是边长为6的等边三角形， 是 边上一动点，由 向 运动（与 、 不重合）， 是 延长线上一动点，与点 同时以相同的速度由 向 延长线方向运动（ 不与 重合），过 作 于 ，连接 交 于 .
（1）当 时，求 的长；
（2）在运动过程中线段 的长是否发生变化？如果不变，求出线段 的长；如果发生改变，请说明理由.
25．（10分）如图，在平面直角坐标系中， 为等边三角形，点 上方的C为y轴上一动点，以 为边作等边 ，直线 交x轴于点E.
（1）当点C运动到 时， ；
（2）猜想 度，并说明理由；
（3）当点C运动时， 的长度是否发生变化？若不变，求出 的值；若变化，请说明理由.
26．（12分）已知： ， ， ， ．
（1）试猜想线段 与 的位置关系，并证明你的结论．
（2）若将 沿 方向平移至图2情形，其余条件不变，结论 还成立吗？请说明理由．
（3）若将 沿 方向平移至图3情形，其余条件不变，结论 还成立吗？请说明理由．
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上海市八年级上册期末名校真题汇编提优卷
数 学
（考试时间：120分钟 满分：100分）
一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
1．函数的自变量x的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解：由题意，得：，
∴；
故答案为：D.
【分析】根据二次根式有意义的条件，进行求解即可．掌握二次根式的被开方数大于等于0，是解题的关键．
2．下列命题中，是真命题的是（ ）
A．如果，那么
B．9的立方根是3
C．有一个角是的三角形是等边三角形
D．16的算术平方根是4
【答案】D
【解析】【解答】解：A、如果，若，那么；若，那么，此选项错误，不符合题意；
B、9的立方根是，此选项错误，不符合题意；
C、有一个角是的等腰三角形是等边三角形，此选项错误，不符合题意；
D、16的算术平方根是4，此选项正确，符合题意．
故答案为：D
【分析】题设成立，结论也成立的命题就是真命题，据此逐一分析判定。
3．下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解：A、，不是同类二次根式，不能合并，故A不符合题意；
B、，故B不符合题意；
C、，故C符合题意；
D、，故D不符合题意；
故答案为：C．
【分析】根据二次根式的性质化简，二次根式的加减，实质就是合并同类二次根式。
4．如图，是的角平分线，，则是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解；∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵是的角平分线，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选：C．
【分析】根据三角形内角和180°可得和，根据角平分线的性质可得，由此可得，然后再利用求解即可.
5．如图，以直角三角形的各边边长分别向外做等边三角形，再把较小的两个三角形按如图2的方式放置在最大的三角形内，是小梯形面积，是三个三角形重叠部分的面积，是大梯形的面积，是平行四边形的面积，则下列关系一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：如下图，设直角三角形的三边长度分别为，过点作于点，
∵为直角三角形，，
∴，
∵为等边三角形，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
同理，，，
根据题意，把较小的两个三角形放置在最大的三角形内，如图2，
可知，，，
∴，
∴，
∴.
故答案为：B.
【分析】设直角△ABC的三边长度分别为a、b、c，过点D作DH⊥AB于点H，由勾股定理可得a2+b2=c2，由等边三角形的性质可得AB=BD=AD=c，表示出BH、DH，根据三角形的面积公式可得S△ABD，同理可得S△BCF、S△ACE，根据题意可知S1+S2=S△ACE，S2+S3=S△BCF，S1+S2+S2+S3=S△ABD，据此解答.
6．如图，正方形ABCD的边长为10，AG=CH=8，BG=DH=6，则线段GH的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】【解答】解：如图，延长BG交CH于点E，
∵AB＝CD＝10，BG＝DH＝6，AG＝CH＝8，
∴AG2+BG2＝AB2，
∴△ABG和△DCH是直角三角形，
在△ABG和△CDH中，
，
∴△ABG≌△CDH（SSS），
∴∠1＝∠5，∠2＝∠6，
∴∠1+∠2＝90°，∠5+∠6＝90°，
又∵∠2+∠3＝90°，∠4+∠5＝90°，
∴∠1＝∠3＝∠5，∠2＝∠4＝∠6，
在△ABG和△BCE中，
，
∴△ABG≌△BCE（ASA），
∴BE＝AG＝8，CE＝BG＝6，∠BEC＝∠AGB＝90°，
∴GE＝BE-BG＝8-6＝2，
同理可得HE＝2，
在Rt△GHE中，GH2.
故答案为：A.
【分析】延长BG交CH于点E，利用勾股定理逆定理得△ABG和△DCH是直角三角形，由SSS证明△ABG≌△CDH，得到∠1＝∠5，∠2＝∠6，进而推出∠1＝∠3＝∠5，∠2＝∠4＝∠6，由ASA证明△ABG≌△BCE，得到BE＝AG＝8，CE＝BG＝6，GE＝BE-BG＝2，同理可得HE＝2，然后利用勾股定理进行计算.
二、填空题（本大题共12小题，每小题2分，共24分）
7．要使代数式有意义，则实数的取值范围是 ．
【答案】x≥3
【解析】【解答】根据二次根式有意义的条件可得x-3≥0，解得x≥3.
【分析】根据 有意义， 求出x-3≥0，再计算即可。
8．计算 的结果是 ．
【答案】
【解析】【解答】解：
=
= ．
故答案为： ．
【分析】利用二次根式的性质计算求解即可。
9．如图，在中，，，，则的长为 ．
【答案】
【解析】【解答】解：在中，，，
∴，
∵，
∴，
解得，
∴，
故答案为：8
【分析】先根据含30°角的直角三角形的性质得到，进而结合题意即可求出BC的长，从而即可求解。
10．若实数，分别满足，，且，则的值为 ．
【答案】8
【解析】【解答】解：∵a2-4a+3=0，b2-4b+3=0；
即（a-3）（a-1）=0，（b-3）（b-1）=0，
∴a=3或1，b=3或1，
∵a≠b，
∴a=3，b=1或a=1，b=3；
则（a+1）（b+1）=2×4=8，
故答案为：8.
【分析】根据因式分解法求一元二次方程的解，在代入求值即可得出答案.
11．在我国古代数学著作《九章算术》中记载了一道有趣的问题，这个问题的大意是：如图，有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形．在水池正中央有一根新生的芦苇，它高出水面1尺．如果把这根芦苇垂直拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面，则这个水池的深度是 尺．
【答案】12
【解析】【解答】设水池的深度为x尺，则芦苇的长为尺，
根据勾股定理得： ，
解得：
即水池的深度是12尺．
故答案为：12
【分析】设水池的深度为x尺，则芦苇的长为尺，根据勾股定理列出关于x的方程，解此方程即可解答.
12．在Rt△ABC中， ， ， ，则 = ．
【答案】5
【解析】【解答】∵AB=13，AC=12，∠C=90°，
∴BC= 5．
故答案为：5．
【分析】在Rt△ABC中，∠C=90°，则AB2=AC2+BC2，根据题目给出的AB，AC的长，则根据勾股定理可以求BC的长．
13．如图，已知 ，点 ， ， ，…在射线ON上，点 ， ， ，…在射线OM上， ， ， ，…均为等边三角形，若 ，则 的边长为 .
【答案】32
【解析】【解答】解： △ 是等边三角形，
， ，
，
，
，
又 ，
，
，
，
，
△ 、△ 是等边三角形，
， ，
，
， ，
， ，
， ，
，
同理可得： ，
△ 的边长为 ，
△ 的边长为 .
故答案为：32.
【分析】根据底边三角形的性质求出 以及平行线的性质得出 ，以及 ，得出 ， ， 进而得出答案.
14．”两个全等的三角形的周长相等“的逆命题是 命题。（填”真“或”假“）。
【答案】假
【解析】【解答】解：逆命题为：周长相等的两个三角形全等，
因为已知三角形的周长，三角形三边的长短是不确定的，所以不能判断是否全等，是假命题.
故答案为：假.
【分析】逆命题的条件和结论分别是原命题的结论和条件，先写出逆命题再分析判断真假即可.
15．已知x＝ +1，则x2﹣2x﹣3＝ ．
【答案】1
【解析】【解答】解：当x＝ +1时，
原式＝（ +1）2﹣2（ +1）﹣3
＝6+2 ﹣2 ﹣2﹣3
＝1，
故答案为：1．
【分析】将x的值代入原式，再依据二次根式的混合运算顺序和运算法则计算可得．
16．如图，一架秋千静止时，踏板离地的垂直高度DE＝0.5m，将它往前推送1.5m（水平距离BC＝1.5m）时，秋千的踏板离地的垂直高度BF＝1m，秋千的绳索始终拉直，则绳索AD的长是 m．
【答案】2.5
【解析】【解答】解：∵BF⊥EF，AE⊥EF，BC⊥AE，
由平行线间距离处处相等可得：CE=BF=1m，
∴CD=CE-DE=1-0.5=0.5（m），而
设绳索AD的长为x m， 则AB=AD=x m，AC=AD-CD=（x-0.5）m，
在Rt△ABC中，由勾股定理得：AC2+BC2=AB2，
即（x-0.5）2+1.52=x2， 解得：x=2.5（m），
即绳索AD的长是2.5m，
故答案为：2.5．
【分析】设绳索AD的长为x m， 则AB=AD=x m，AC=AD-CD=（x-0.5）m， 在Rt△ABC中，由勾股定理得：AC2+BC2=AB2， 列式求解即可。
17．如图，将等边△ABC折叠，使得点B恰好落在AC边上的点D处，折痕为EF，O为折痕EF上一动点，若AD=1，AC=3，△OCD周长的最小值是 ．
【答案】5
【解析】【解答】解：如图，连接BD，OB，
∵将等边△ABC折叠，使得点B恰好落在AC边上的点D处，
∴EF是BD的对称轴，
∴OB=OD，
∵AD=1，AC=3，
∴CD=2，
∵△OCD周长=CD+OD+OC=2+BO+OC，
∴当点B、O、C共线时，△OCD周长最小值=2+BC=5，
故答案为：5．
【分析】连接BD，OB，由折叠知EF是BD的对称轴，可得OB=OD，求出CD=AC-AD=2，由于△OCD周长=CD+OD+OC=2+BO+OC，当点B、O、C共线时，BO+OC=BC为最小值，从而求出△OCD周长最小值=2+BC，继而得解.
18．如图所示，已知直线m∥n，且这两条平行线间的距离为5个单位长度，点P为直线n上一定点，以P为圆心、大于5个单位长度为半径画弧，交直线m于A、B两点.再分别以点A、B为圆心、大于AB长为半径画弧，两弧交于点Q，作直线PQ，交直线m于点O，点H为射线OB上一动点，作点O关于直线PH的对称点O'，当点O'到直线n的距离为4个单位时，线段PH的长度为 .
【答案】或
【解析】【解答】解：如图所示，过点O'作直线n的垂线，交m、n于点D、E，连接O'H，
由作图可知，，PO=PO'=5，点O'到直线n的距离为4个单位，即EO'=4，
，
则，，
设OH=x，可知，DH=（3- x），
解得，，
；
如图所示，过点O'作直线n的垂线，交m、n于点D、E，连接O'H，
由作图可知，，，点O'到直线n的距离为4个单位，即EO'=，
，
则，，
设OH=x，可知，DH=（x-3），
解得，，
；
故答案为：或.
【分析】分两种情况：①当点O'在直线n的上方；②当点O'在直线n的下方，据此画出图形并解答即可.
三、解答题（本大题共8小题，共58分）
19．（6分）如图，△ABC是等边三角形，延长BC到点E，使CE=BC，若D是AC的中点，连接ED并延长交AB于点F．
（1）若AF=3，求AD的长；
（2）求证：DE=2DF．
【答案】（1）解：∵△ABC为等边三角形，
∴AC=BC，∠A=∠ACB=60°，
∵D为AC中点，
∴CD=AD=AC，
∵CE=BC，
∴CD=CE，
∴∠E=∠CDE，
∵∠ACB=∠E+∠CDE，
∴∠E=∠CDE=30°，
∴∠ADF=∠CDE=30°，
∵∠A=60°，
∴∠AFD=180°-∠A-∠ADF=90°，
∵AF=3，
∴AD=2AF=6，
（2）解：连接BD，
∵△ABC为等边三角形，D为AC中点，
∴BD平分∠ABC，∠ABC=60°，
∴∠DBC=∠ABD=∠ABC=30°，
∵∠BFD=90°，
∴BD=2DF，
∵∠DBC=∠E=30°，
∴BD=DE，
∴DE=2DF，
【解析】【分析】（1）根据已知条件，易证CD=CE，从而求出∠E=∠CDE=30°，再根据AF=3，即可得出AD的长；
（2）连接BD，根据等腰三角形的三线合一的性质，即可解答。
20．（6分）如图，在 中， ， ， ，动点 、 同时从 、 两点出发，分别在 、 边上匀速移动，它们的速度分别为 ， ，当点 到达点 时， 、 两点同时停止运动，设点 的运动时间为 .
（1）当 为何值时， 为等边三角形？
（2）当 为何值时， 为直角三角形？
【答案】（1）解：在 中，
， ，
.
，
， ，
当 时， 为等边三角形.
即 .
.
当 时， 为等边三角形；
（2）若 为直角三角形，
①当 时， ，
即 ，
.
②当 时， ，
即 ，
.
即当 或 时， 为直角三角形.
【解析】【分析】（1）首先根据内角和定理求出∠B的度数，易得BP=4-2t，BQ=t，当BP=BQ时，△PBQ为等边三角形，据此可得t的值；
（2）当∠BQP=90°，BP=2BQ，据此可得t的值；当∠BPQ=90°时，BQ=2BP，求解可得t的值.
21．（6分）如图，网格中每个小正方形的边长都为1．
（1）求四边形 的面积；
（2）求 的度数．
【答案】（1）解：
（2）解：连接 ，
∵ ， ，
∴
∴ 是直角三角形，∴
【解析】【分析】（1）利用正方形的面积减去四个顶点上三角形及小正方形的面积即可
（2）连接BD，根据勾股定理的逆定理判断出 的形状，进而求解
22．（6分）如图，网格中的 ，若小方格边长为1，请你根据所学的知识，
（1）判断 是什么形状？并说明理由；
（2）求 的面积.
【答案】（1）解：∵ ，
，
，
，
为直角三角形；
（2）解：由（1）可知：
；
的面积为5.
【解析】【分析】（1）根据勾股定理求出AB2、AC2、BC2，然后利用勾股定理逆定理进行判断；
（2）直接根据三角形的面积公式进行计算即可.
23．（6分）在△ABC中，∠ABC＝45°，F是高AD与高BE的交点.
（1）求证：△ADC≌△BDF.
（2）连接CF，若CD＝4，求CF的长.
【答案】（1）证明：∵AD⊥BC，
∴∠FDB＝∠ADC＝90°，
∵∠ABC＝45°，
∴∠BAD＝45°＝∠ABD，
∴AD＝BD，
∵BE⊥AC，
∴∠AEF＝∠FDB＝90°，
∵∠AFE＝∠BFD，
∴由三角形内角和定理得：∠CAD＝∠FBD，
在△ADC和△BDE中
∴△ADC≌△BDE（ASA）
（2）解：∵△ADC≌△BDE，CD＝4，
∴DF＝CD＝4，
在Rt△FDC中，由勾股定理得：CF＝ ＝ ＝4 .
【解析】【分析】（1）先证明AD＝BD，再证明∠FBD＝∠DAC，从而利用ASA证明△BDF≌△ADC；（2）利用全等三角形对应边相等得出DF＝CD＝4，根据勾股定理求出CF即可.
24．（6分）如图， 是边长为6的等边三角形， 是 边上一动点，由 向 运动（与 、 不重合）， 是 延长线上一动点，与点 同时以相同的速度由 向 延长线方向运动（ 不与 重合），过 作 于 ，连接 交 于 .
（1）当 时，求 的长；
（2）在运动过程中线段 的长是否发生变化？如果不变，求出线段 的长；如果发生改变，请说明理由.
【答案】（1）解：过P作PF∥QC，
则△AFP是等边三角形，
∵P、Q同时出发，速度相同，即BQ=AP，
∴BQ=PF，
在△DBQ和△DFP中，
，
∴△DBQ≌△DFP，
∴BD=DF，
∵∠BQD=∠BDQ=∠FDP=∠FPD=30°，
∴BD=DF=FA= AB=2，
∴AP=2；
（2）解：由（1）知BD=DF，
∵△AFP是等边三角形，PE⊥AB，
∴AE=EF，
∴DE=DF+EF= BF+ FA= AB=3为定值，即DE的长不变
【解析】【分析】（1）过P作PF∥QC，证明△DBQ≌△DFP，根据全等三角形的性质计算即可；（2）根据等边三角形的性质、直角三角形的性质解答．
25．（10分）如图，在平面直角坐标系中， 为等边三角形，点 上方的C为y轴上一动点，以 为边作等边 ，直线 交x轴于点E.
（1）当点C运动到 时， ；
（2）猜想 度，并说明理由；
（3）当点C运动时， 的长度是否发生变化？若不变，求出 的值；若变化，请说明理由.
【答案】（1）3
（2）60°
（3）解：当点C运动时， 的长度没有发生变化.
∵ ， ，
∴ .
又∵ ， ，
∴ ， ，
∴ .
【解析】【解答】解：（1）∵ 和 是等边三角形，
∴OB＝AB，BD＝BC，∠ABO＝∠CBD＝60°，
∴∠ABO+∠ABC＝∠CBD+∠ABC，
即∠OBC＝∠ABD，
在△CBO和△DBA中，
，
∴△CBO≌△DBA（SAS），
∴OC＝AD；
∵OC＝3
.
故答案为：3；
（2） .
理由：
∵ ， 均为等边三角形，
∴ ，
， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
故答案为：60°；
【分析】（1）根据等边三角形的性质以及角的和差关系可推出∠OBC＝∠ABD，从而利用SAS证得△CBO≌△DBA，然后根据全等三角形的对应边相等可得答案；
（2）同理证明△OBC≌△ABD，然后由全等三角形的对应角相等可得答案；
（3）由A（0，2）得出OA=2，进而找出∠AEO=30°，然后根据含30°角的直角三角形的边之间的关系求解即可.
26．（12分）已知： ， ， ， ．
（1）试猜想线段 与 的位置关系，并证明你的结论．
（2）若将 沿 方向平移至图2情形，其余条件不变，结论 还成立吗？请说明理由．
（3）若将 沿 方向平移至图3情形，其余条件不变，结论 还成立吗？请说明理由．
【答案】（1）解： 理由如下：
∵ ， ，
∴
在 和 中
∴ ，
∴
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴
（2）解：成立，理由如下：
∵ ， ，
∴ ，
在 和 中 ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
在 中， ，
∴
（3）解：成立，理由如下：
∵ ， ，
∴
在 和 中 ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
在 中， ，
∴
【解析】【分析】（1）先求出
，再利用HL证明三角形全等，求出
，最后进行证明求解即可；
（2）先求出
，再证明
， 最后利用三角形的内角和等于180°，进行证明即可；
（3）先求出
，再证明
， 求出
， 最后计算求解即可。
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