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湘教版八年级上册期末考前抢分押题卷
数 学
（考试时间：120分钟 考试满分：120分）
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．下列式子为最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
2．下列每组数分别表示三根木棒的长，将它们首尾连接后，能摆成三角形的一组是（ ）
A．1，2，4 B．5，2，3 C．4，4，7 D．9，4，3
3．我们可以用以下推理来证明“当一个三角形的三边长a、b、c（a≤b≤c）满足a2+b2≠c2时，这个三角形不是直角三角形”．假设这个三角形是直角三角形，根据勾股定理，一定有a2+b2＝c2，这与已知条件a2+b2≠c2矛盾，因此假设不成立，即这个三角形不是直角三角形．上述推理使用的证明方法是（ ）
A．比较法 B．反证法 C．综合法 D．分析法
4．若分式的值为0，则实数x应满足的条件是（ ）
A．x＝2 B．x≠2 C．x＝﹣4 D．x≠﹣4
5．如图，AD是△ABC的中线，若△ABD的面积为2，则△ABC的面积为（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
6．如图，有A，B，C三个居民小区的位置成三角形，使超市到三个小区的距离相等，则超市应建在（ ）
A．在边AC，BC两条高的交点处
B．在边AC，BC两条中线的交点处
C．在边AC，BC两条垂直平分线的交点处
D．在∠ABC，∠ACB两条角平分线的交点处
7．《九章算术》中有一道关于古代驿站送信的题目，其白话译文为：一份文件，若用慢马送到800里远的城市，所需时间比规定时间多1天；若改为快马派送，则所需时间比规定时间少2天，已知快马的速度是慢马的倍，求规定时间.设规定时间为x天，则下列列出的分式方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
8．对于分式(，为常数)，若当时，该分式总有意义；当时，该分式的值为负数．则，与的大小关系正确的是（ ）
A． B． C． D．
9．如图，已知的内角，分别作内角与外角的平分线，两条平分线交于点，得；和的平分线交于点，得；……以此类推得到，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
10．王强同学用10块高度都是2cm的相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚可以放进一个等腰直角三角板（AC=BC， ∠ACB=90°）点C在DE上，点A和B分别与木墙的顶端重合，则两堵木墙之间的距离为（ ）
A．10cm B．14cm C．20cm D．6cm
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
11．若分式 的值为0，则x＝ .
12．小明家离学校2000米，小明平时从家到学校需要用x分钟，今天起床晚，怕迟到，走路速度比平时快5米/分钟，结果比平时少用了2分钟到达学校，则根据题意可列方程 ．
13．若等腰三角形有两条边长分别为1和3，则其周长为 .
14．如图，，，，，，则 ．
15．当 时，与互为倒数．
16．如果一个数的平方根是 和 ，则这个数为 .
17．如图，∠A＝∠B＝90°，AB＝60，E，F 分别为线段 AB 和射线 BD 上的一点，若点 E 从点 B 出发向点 A 运动，同时点 F 从点 B 出发向点 D 运动，二者速度之比为 3：7，运动到某时刻同时停止，在射线 AC 上取一点 G，使△AEG 与△BEF 全等，则 AG 的长为 .
18．一次测验共出5道题，做对一题得一分，已知26人的平均分不少于 分，最低的得3分，至少有3人得4分，则得5分的有 人
三、综合题（本大题共8小题，共66分）
19．（6分）如图，在五边形中，，．
（1）请你添加一个条件，使得，并说明理由；
（2）在(1)的条件下，若，，求的度数．
20．（6分）
（1）解方程：
（2）先化简，再求值：，其中．
21．（9分）如图，∠ACD是等边△ABC的一个外角，点E是∠ACD内部任意一点，作直线CE．
（1）当CE平分∠ACD时，证明：AB∥CE．
（2）已知点A关于直线CE的对称点为F，连接AF、BF、CF，其中AF、BF分别交直线CE于P、Q两点．记∠ACE＝α，当0＜α＜60°时，求∠BFC，（用含α的式子表示）
（3）若（2）中的α满足0°＜α＜120°时，
①∠AFB＝ °；
②探究线段QB、QC、QP之间的数量关系，并证明．
22．（9分）如图，在等腰△ABC与等腰△ADE中，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=α，连接BD和CE相交于点P，交AC于点M，交AD于点N．
（1）求证：BD=CE．
（2）求证：AP平分∠BPE．
（3）若α=60°，试探寻线段PE、AP、PD之间的数量关系，并说明理由．
23．（9分）为响应稳书记“足球进校园”的号召，某学校在某商场购买甲、乙两种不同足球，购实甲种足球共花费2000元，购买乙种足球共花费1400元，购买甲种是球数量是购类乙种足球数量的2倍，且购买一个乙种足球比购买一个甲种足球多花20元.
（1）求这间商场出售每个甲种足球、每个乙种足球的售价各是多少元；
（2）按照实际需要每个班须配备甲足球2个，乙种足球1个，购买的足球能够配备多少个班级
（3）若另一学校用3100元在这商场以同样的售价购买这两种足球，且甲种足球与乙种足球的个数比为2：3，求这学校购买这两种足球各多少个
24．（9分）如图，在 中， ， ， ，垂足为 ，且 ， ，其两边分别交 ， 于点 ， ．
（1）求证： 是等边三角形；
（2）若 ，求 的长；
（3）求证： ．
25．（9分）数学课上，王老师出示了如下框中的题目．
小明与同桌小聪讨论后，进行了如下解答：
（1）特殊情况 探索结论：在等边三角形ABC中，当点E为AB的中点时，点D在CB点延长线上，且ED=EC；如图1，确定线段AE与DB的大小关系．请你直接写出结论 ；
（2）特例启发，解答题目
王老师给出的题目中，AE与DB的大小关系是： ．理由如下：
如图2，过点E作EF∥BC，交AC于点F，(请你完成以下解答过程)
（3）拓展结论，设计新题
在△ABC中，AB=BC=AC=1；点E在AB的延长线上，AE=2；点D在CB的延长线上，ED=EC，如图3，请直接写CD的长 ．
26．（9分）如图1，在平面直角坐标系中，△OAB是等边三角形，O为坐标原点，点A的坐标是（3，0），点C在OA上且OC=1，连接BC．一动点P从点A出发，沿折线A→B→O的方向向终点O运动，记点P移动的路程为m．
（1）当点P在线段AB上运动时，连接OP，求满足△BPO≌△OCB的m值；
（2）连接PC，求△OPC的面积s关于m的函数表达式；
（3）如图2，过点P作边AB的垂线l，并以直线l为对称轴，作线段AC的对称线段A1C1．请写出在点P的运动过程中，线段A1C1与y轴有交点时m的取值范围．
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湘教版八年级上册期末考前抢分押题卷
数 学
（考试时间：120分钟 考试满分：120分）
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．下列式子为最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】【解答】A. 是最简二次根式，符合题意，
B. =2 ，故该选项不是最简二次根式，不符合题意，
C. ，故该选项不是最简二次根式，不符合题意，
D. 被开方数含分数，故该选项不是最简二次根式，不符合题意，
故答案为：A.
【分析】根据最简二次根式的定义（被开方数不含有能开的尽方的因式或因数，被开方数不含有分数），逐一判断即可得答案.
2．下列每组数分别表示三根木棒的长，将它们首尾连接后，能摆成三角形的一组是（ ）
A．1，2，4 B．5，2，3 C．4，4，7 D．9，4，3
【答案】C
【解析】【解答】解：
A：1，2，4，1+24，无法构成三角形，不符合题意
B：5，2，3，2+3=5，无法构成三角形，不符合题意
C：4，4，7，符合三边关系定理，能摆成三角形，符合题意
D：9，4，3，4+39，无法构成三角形，不符合题意
故答案为：C
【分析】掌握三角形三边关系定理，，可以在已知两边长的情况下判定第三边的取值范围，也可以判断任意三边是否可以构成三角形。
3．我们可以用以下推理来证明“当一个三角形的三边长a、b、c（a≤b≤c）满足a2+b2≠c2时，这个三角形不是直角三角形”．假设这个三角形是直角三角形，根据勾股定理，一定有a2+b2＝c2，这与已知条件a2+b2≠c2矛盾，因此假设不成立，即这个三角形不是直角三角形．上述推理使用的证明方法是（ ）
A．比较法 B．反证法 C．综合法 D．分析法
【答案】B
【解析】【解答】解：推理使用的证明方法是：反证法．
故答案为：B．
【分析】反证法的一般步骤“假设命题的结论不成立；从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；由矛盾判定假设不正确，从而肯定原命题的结论正确”．根据反证法的一般步骤判断即可．
4．若分式的值为0，则实数x应满足的条件是（ ）
A．x＝2 B．x≠2 C．x＝﹣4 D．x≠﹣4
【答案】A
【解析】【解答】解：∵分式的值为0，
∴且，
解得，
故答案为：A．
【分析】本题考查分式的值为零的条件，掌握分母不为零分子为零的条件是解题的关键，根据分母不为零分子为零的条件进行解题即可．
5．如图，AD是△ABC的中线，若△ABD的面积为2，则△ABC的面积为（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
【答案】C
【解析】【解答】解：∵AD是△ABC的中线
∴BD=DC
∵三角形ABC底边BC上的高相等
∴S△ABD=S△ADC=2cm2
∴S△ABC=2+2=4cm2 故答案为：C.
【分析】根据三角形的中线将三角形分为两个面积相等的部分解题即可.
6．如图，有A，B，C三个居民小区的位置成三角形，使超市到三个小区的距离相等，则超市应建在（ ）
A．在边AC，BC两条高的交点处
B．在边AC，BC两条中线的交点处
C．在边AC，BC两条垂直平分线的交点处
D．在∠ABC，∠ACB两条角平分线的交点处
【答案】C
【解析】【解答】解：利用线段垂直平分线的性质可得超市应建在边AC、BC两条垂直平分线的交点处，
故答案为：C.
【分析】利用垂直平分线的性质分析判断求解即可.
7．《九章算术》中有一道关于古代驿站送信的题目，其白话译文为：一份文件，若用慢马送到800里远的城市，所需时间比规定时间多1天；若改为快马派送，则所需时间比规定时间少2天，已知快马的速度是慢马的倍，求规定时间.设规定时间为x天，则下列列出的分式方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：由题意可得，
故答案为：B.
【分析】 设规定时间为x天 ，则慢马所用时间为（x+1）天，快马所用时间为（x-2）天，根据路程除以时间等于速度及快马的速度是慢马的倍 ，即可建立方程得出答案.
8．对于分式(，为常数)，若当时，该分式总有意义；当时，该分式的值为负数．则，与的大小关系正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】【解答】解：∵当时，该分式总有意义，
∴为非负数，且，
∴，则为非正数，即（非负数减负数不可能为零），
∵当时，该分式的值为负数，
∴，
∴，异号，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】根据“当时，该分式的值为负数”可得，证出，异号，再结合，可得，从而得解.
9．如图，已知的内角，分别作内角与外角的平分线，两条平分线交于点，得；和的平分线交于点，得；……以此类推得到，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：∵A1B是∠ABC的平分线，A1C是∠ACD的平分线，
∴∠A1BC＝∠ABC，∠A1CD＝∠ACD，
又∵∠ACD＝∠A+∠ABC，∠A1CD＝∠A1BC+∠A1，
∴（∠A+∠ABC）＝∠ABC+∠A1，
∴∠A1＝∠A，
∵∠A＝α，
∴∠A1＝；
同理可得∠A2＝∠A1＝ α＝，
同理可得∠A3＝∠A2＝ ＝，
……
∴∠An＝，
∴∠A2022＝．
故答案为：B．
【分析】根据角平分线的定义及三角形外角的性质分别求出∠A1＝，∠A2＝∠A1＝，∠A3＝∠A2=···，从而得出∠An＝，继而得解.
10．王强同学用10块高度都是2cm的相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚可以放进一个等腰直角三角板（AC=BC， ∠ACB=90°）点C在DE上，点A和B分别与木墙的顶端重合，则两堵木墙之间的距离为（ ）
A．10cm B．14cm C．20cm D．6cm
【答案】C
【解析】【解答】解：∵ ， ， ， ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
∵在 和 中，
∴ ；
∴ ， ，
∴ ，
故答案为：C．
【分析】几何题可以用反推法，两堵墙之间的距离，即“CD+CE”的和，所以要分别求出CD和CE的长，可以通过证明这两条线段所在的三角形全等，再利用转化的思想即可求出
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
11．若分式 的值为0，则x＝ .
【答案】-1
【解析】【解答】解：由分式的值为零的条件得x+1＝0，x﹣2≠0，
即x＝﹣1且x≠2
故答案为：﹣1.
【分析】根据分式值为零的条件计算即可；
12．小明家离学校2000米，小明平时从家到学校需要用x分钟，今天起床晚，怕迟到，走路速度比平时快5米/分钟，结果比平时少用了2分钟到达学校，则根据题意可列方程 ．
【答案】
【解析】【解答】设小明平时从家到学校需要用x分钟，则实际从家到学校用（x-2）分钟，
根据题意，得 ．
故答案为： ．
【分析】设小明平时从家到学校需要用x分钟，根据速度差列分式方程即可.
13．若等腰三角形有两条边长分别为1和3，则其周长为 .
【答案】7
【解析】【解答】解：∵等腰三角形有两条边长分别为1和3，
∴当腰长为1时，1+1＜3，不满足三角形的三边关系；
当腰长为3时，1+3＞3，满足三角形的三边关系；
即三角形的腰长为3，
∴三角形的周长为1+3+3=7，
故答案为：7.
【分析】根据等腰三角形的性质以及三角形的三边关系，分类讨论，计算求解即可。
14．如图，，，，，，则 ．
【答案】76°
【解析】【解答】解：∵AD=BE，
∴AD+AE=BE+AD，即DE=AB，
∵， ，
∴△DEF≌△ABC（SSS），
∴∠C=∠F=32°，
∴∠ABC=180°-∠BAC-∠C=180°-72°-32°= 76° .
故答案为： 76° .
【分析】证明△DEF≌△ABC（SSS），可得∠C=∠F=32°，利用三角形内角和定理即可求解.
15．当 时，与互为倒数．
【答案】3
【解析】【解答】解：∵与互为倒数
∴
于是
解得x=3
经检验x=3是原方程的解
故答案为：3.
【分析】根据题意，回顾倒数的定义，若两个数的乘积为1，则这两个数互为倒数，则由题可得分式方程，，解出x的值并检验，即可得出答案。
16．如果一个数的平方根是 和 ，则这个数为 .
【答案】49
【解析】【解答】解：因为一个非负数的平方根互为相反数，
所以a+3+2a-15=0
解得a=4
所以a+3=7
72=49.
即这个数是49.
故答案为：49.
【分析】由一个非负数的平方根有两个，这两个平方根互为相反数，可列方程，求出a值即可求出结论.
17．如图，∠A＝∠B＝90°，AB＝60，E，F 分别为线段 AB 和射线 BD 上的一点，若点 E 从点 B 出发向点 A 运动，同时点 F 从点 B 出发向点 D 运动，二者速度之比为 3：7，运动到某时刻同时停止，在射线 AC 上取一点 G，使△AEG 与△BEF 全等，则 AG 的长为 .
【答案】18或70
【解析】【解答】解：设BE=3t，则BF=7t，因为∠A=∠B=90°，使△AEG与△BEF全等，可分两种情况：
情况一：当BE=AG，BF=AE时，
∵BF=AE，AB=60，
∴7t=60-3t，
解得：t=6，
∴AG=BE=3t=3×6=18；
情况二：当BE=AE，BF=AG时，
∵BE=AE，AB=60，
∴3t=60-3t，
解得：t=10，
∴AG=BF=7t=7×10=70，
综上所述，AG=18或AG=70.
故答案为：18或70.
【分析】设BE=3t，则BF=7t，因为∠A=∠B=90°，使△AEG与△BEF全等，可分两种情况：①当BE=AG，BF=AE时，②当BE=AE，BF=AG时，据此分别建立方程进行解答即可.
18．一次测验共出5道题，做对一题得一分，已知26人的平均分不少于 分，最低的得3分，至少有3人得4分，则得5分的有 人
【答案】22
【解析】【解答】解：设得5分的人数为x人，得3分的人数为y人．
则可得 ，解得：x＞21.9．
∵一共26人，最低的得3分，至少有3人得4分，∴得5分最多22人，即x≤22．
∴21.9＜x≤22且x为整数，所以x=22．
故得5分的人数应为22人．故答案为：22．
【分析】设得5分的人数为x人，得3分的人数为y人．利用得三分的人数+得4分的人数+得5分的人数=26人，得三分的人数的总分数+得4分的人数的总分数+得5分的人数的总分数不小于26×4.8，这两个关系列出混合组，求解即可。
三、综合题（本大题共8小题，共66分）
19．（6分）如图，在五边形中，，．
（1）请你添加一个条件，使得，并说明理由；
（2）在(1)的条件下，若，，求的度数．
【答案】（1）解：添加：或．
∵在和中，
∴或．
（2）解：∵，
∴，
∴
，
∴．
【解析】【分析】（1）利用全等三角形的判定方法求解即可；
（2）根据全等三角形的性质可得，再利用角的运算和等量代换可得。
20．（6分）
（1）解方程：
（2）先化简，再求值：，其中．
【答案】（1）解：
可得：
解得，
经检验，是原分式方程的增根；
故方程无解；
（2）解：
，
将代入得，原式．
【解析】【分析】（1）先去分母，再移项、合并同类项，最后系数化为1并检验即可；
（2）先利用分式的混合运算化简，再将x的值代入计算即可。
21．（9分）如图，∠ACD是等边△ABC的一个外角，点E是∠ACD内部任意一点，作直线CE．
（1）当CE平分∠ACD时，证明：AB∥CE．
（2）已知点A关于直线CE的对称点为F，连接AF、BF、CF，其中AF、BF分别交直线CE于P、Q两点．记∠ACE＝α，当0＜α＜60°时，求∠BFC，（用含α的式子表示）
（3）若（2）中的α满足0°＜α＜120°时，
①∠AFB＝ °；
②探究线段QB、QC、QP之间的数量关系，并证明．
【答案】（1）证明：∵△ABC是等边三角形，
∴∠BAC=60°，AC=BC，
∵CE平分∠ACD，
∴∠ACD=120°，∠ACE=60°，
∴∠BAC=∠ACE，
∴AB∥CE；
（2）解：如图，
∵点A关于直线CE的对称点为F，
∴CE⊥AF，AP=PF，
∴∠APC=∠FPC=90°，
又∵CP=CP，
∴△ACP≌△FCP（SAS），
∴AC=CF，∠ACE=∠ECF=α，∠CAP=∠CFP，
∴BC=CF，
∴∠BFC=∠CBF=（180° ∠BCF）=（180° ∠ACB ∠ACE ∠ECF），
∵△ABC为等边三角形，
∴∠ACB=60°，
∴∠BFC=（180° ∠ACB ∠ACE ∠ECF）=60°-α；
（3）解：①30
②QB=2QP+QC，理由如下：
过C作CN⊥BF于N，
∴∠NCQ=∠AFB=30°，
∴QC=2QN，QF=2QP，
∵BC=CF，
∴BN=FN，
∴QB=QF+2QN，
∴QB=2QP+QC．
【解析】【解答】解：(3)①∠AFB=∠AFC-∠BFC
=∠CAP-∠BFC
=180°-∠CPA-∠ACE-∠BFC
=90°-α-∠BFC
=90°-α-（60°-α）
=30°，
故答案为：30；
【分析】（1）由CE平分∠ACD，得出∠BAC=∠ACE，即可得出结论；
（2）先利用SAS证明△ACP≌△FCP，得出AC=CF，∠ACE=∠ECF=α，∠CAP=∠CFP，得出BC=CF，∠BFC=∠CBF=（180° ∠BCF）=（180° ∠ACB ∠ACE ∠ECF），代入求解即可；
（3）①根据角之间的转化得出∠AFB=∠AFC-∠BFC=∠CAP-∠BFC，代入化简即可；②过C作CN⊥BF于N，得出∠NCQ=∠AFB=30°，从而得出QC=2QN，QF=2QP，由BN=FN，得出QB=QF+2QN，从而得出结论。
22．（9分）如图，在等腰△ABC与等腰△ADE中，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=α，连接BD和CE相交于点P，交AC于点M，交AD于点N．
（1）求证：BD=CE．
（2）求证：AP平分∠BPE．
（3）若α=60°，试探寻线段PE、AP、PD之间的数量关系，并说明理由．
【答案】（1）证明：∵∠BAC=∠DAE=α，
∴∠BAD=∠CAE，
又∵AB=AC，AD=AE，
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴BD=CE；
（2）证明：如图，过点A作AH⊥BD，AF⊥CE，
∵△BAD≌△CAE，
∴S△BAD=S△CAE，BD=CE，
∴BD×AH=CE×AF，
∴AH=AF，
又∵AH⊥BD，AF⊥CE，
∴AP平分∠BPE；
（3）解：PE=AP+PD，理由如下：
如图，在线段PE上截取OE=PD，连接AO，
∵△BAD≌△CAE，
∴∠BDA=∠CEA，
又∵OE=PD，AE=AD，
∴△AOE≌△APD（SAS），
∴AP=AO，
∵∠BDA=∠CEA，∠PND=∠ANE，
∴∠NPD=∠DAE=α=60°，
∴∠BPE=180°-∠NPD=180°-60°=120°，
又∵AP平分∠BPE，
∴∠APO=60°，
又∵AP=AO，
∴△APO是等边三角形，
∴AP=PO，
∵PE=PO+OE，
∴PE=AP+PD．
【解析】【分析】（1）由SAS证出△BAD≌△CAE，即可得出结论；
（2）由全等三角形的性质得出S△BAD=S△CAE，BD=CE，由三角形面积公式得出AH=AF，由角平分线的性质即可得出结论；
（3）由全等三角形的性质得出∠BDA=∠CEA，由SAS证出△AOE≌△APD，得出AP=AO，可证出△APO是等边三角形，推出AP=PO，得出PE=AP+PD。
23．（9分）为响应稳书记“足球进校园”的号召，某学校在某商场购买甲、乙两种不同足球，购实甲种足球共花费2000元，购买乙种足球共花费1400元，购买甲种是球数量是购类乙种足球数量的2倍，且购买一个乙种足球比购买一个甲种足球多花20元.
（1）求这间商场出售每个甲种足球、每个乙种足球的售价各是多少元；
（2）按照实际需要每个班须配备甲足球2个，乙种足球1个，购买的足球能够配备多少个班级
（3）若另一学校用3100元在这商场以同样的售价购买这两种足球，且甲种足球与乙种足球的个数比为2：3，求这学校购买这两种足球各多少个
【答案】（1）解：设购买一个甲种足球需x元，则购买一个乙种足球需（x+20）元，
可得：
解得：x=50
经检验x=50是原方程的解且符合题意
答：购买一个甲种足球需50元，则购买一个乙种足球需70元；
（2）解：由（1）可知该校购买甲种足球 = =40个，购买乙种足球20个，
∵每个班须配备甲足球2个，乙种足球1个，
答：购买的足球能够配备20个班级；
（3）解：设这学校购买甲种足球2x个，乙种足球3x个，根据题意得：
2x×50+3x×70=3100
解得：x=20
∴2x=40,3x=60
答：这学校购买甲种足球40个，乙种足球60个．
【解析】【分析】（1）设购买一个甲种足球需x元，则购买一个乙种足球需（x+20）元，根据题意列出分式方程即可求出结论；（2）根据题意，求出该校购买甲种足球和乙种足球的数量即可得出结论；（3）设这学校购买甲种足球2x个，乙种足球3x个，根据题意列出一元一次方程即可求出结论．
24．（9分）如图，在 中， ， ， ，垂足为 ，且 ， ，其两边分别交 ， 于点 ， ．
（1）求证： 是等边三角形；
（2）若 ，求 的长；
（3）求证： ．
【答案】（1）证明： ， ，
，
， ，
， 是等边三角形．
（2）解： 是等边三角形，
，
， ，
，即 ；
（3）证明： 是等三角形，
， ，
， ，
即 ．
在 和 中，
， ， ，
，
，
， ．
【解析】【分析】（1）连接BD由等腰三角形的性质和已知条件得出∠BAD＝∠DAC＝ ×120°＝60°，再由AD＝AB，即可得出结论；（2）由等边三角形三线合一可得， ，可得 ，即可求解；（3）由△ABD是等边三角形，得出BD＝AD，∠ABD＝∠ADB＝60°，证出∠BDE＝∠ADF，由ASA证明△BDE≌△ADF，得出AF＝BE，即可求解．
25．（9分）数学课上，王老师出示了如下框中的题目．
小明与同桌小聪讨论后，进行了如下解答：
（1）特殊情况 探索结论：在等边三角形ABC中，当点E为AB的中点时，点D在CB点延长线上，且ED=EC；如图1，确定线段AE与DB的大小关系．请你直接写出结论 ；
（2）特例启发，解答题目
王老师给出的题目中，AE与DB的大小关系是： ．理由如下：
如图2，过点E作EF∥BC，交AC于点F，(请你完成以下解答过程)
（3）拓展结论，设计新题
在△ABC中，AB=BC=AC=1；点E在AB的延长线上，AE=2；点D在CB的延长线上，ED=EC，如图3，请直接写CD的长 ．
【答案】（1）
（2）；如图，过点E作EF∥BC交AC于点F 是等边三角形， 又 又 在 和 中
（3）3
【解析】【解答】解：（1） 是等边三角形
点E为AB的中点
是 的角平分线
（ 3 ）作EF∥BC交AC的延长线于点F
是等边三角形
，且AE=AF=EF
【分析】（1）根据等边三角形三线合一的性质可知BE=AE，利用角的度数证明 ，可得 ，等量代换即可；（2）过点E作EF∥BC交AC于点F，利用AAS证 即可得结论；（3）作EF∥BC交AC的延长线于点F，利用等边三角形及平行线的性质易证 ，可得BD长，CD长可知.
26．（9分）如图1，在平面直角坐标系中，△OAB是等边三角形，O为坐标原点，点A的坐标是（3，0），点C在OA上且OC=1，连接BC．一动点P从点A出发，沿折线A→B→O的方向向终点O运动，记点P移动的路程为m．
（1）当点P在线段AB上运动时，连接OP，求满足△BPO≌△OCB的m值；
（2）连接PC，求△OPC的面积s关于m的函数表达式；
（3）如图2，过点P作边AB的垂线l，并以直线l为对称轴，作线段AC的对称线段A1C1．请写出在点P的运动过程中，线段A1C1与y轴有交点时m的取值范围．
【答案】（1）解：∵△BPO≌△OCB，
∴BP=OC=1．
∴m=AB﹣BP=3﹣1=2
（2）解：①如图1所示：当点P在AB上运动时，过点P作PD⊥OA．
∵∠OAP=60°，∠PDA=90°，
∴∠APD=30°．
∴PD= PA m．
∴S= ×1× m= m；
②如图2所示：当点P在OB上时，过点P作PD⊥OA．
∵OP=AB+OB﹣m=6﹣m，
∴PD= （6﹣m），
∴S= ×1× （6﹣m）= （6﹣m）．
综上所述，S与m的函数关系式为S=
（3）解：如图3所示：当点C的对应点C′落在y轴上时．
由翻折的性质可知：CC′⊥PE，DC=DC′，
又∵PE⊥AB，
∴DC∥PA．
∴∠C′CO=∠A=60°．
∴∠CC′O=30°．
∴CC′=2OC=2．
∴DC=1．
∵在△DCE中，∠EDC=90°，∠DCE=60°，
∴∠DEC=30°．
∴EC=2DC=2．
∴EC=CA．
∵DC∥AB，
∴ = ．
∴AP=2．即m=2．
如图4所示：当点A的对称点A′在y轴上时．
∵点A与点A′关于直线PD对称，
∴PA=PA′．
∵∠A=60°，∠AOA′=90°，
∴∠AA′O=30°．
∴AA′=2OA=6．
∴PA=3．
∴点B与点P重合，此时m=3．
如图5所示：当点P在OB上，点C′在y轴上．
∵∠PCO=60°，∠POC=60°，
∴△OPC为等边三角形．
∴PO=OC=1．
∴PB=2．
∴m=PB+AB=5．
∴线段A1C1与y轴有交点时m的取值范围是2≤m≤5
【解析】【分析】（1）由全等三角形的性质可知BP=OC，由m=AB﹣PB求解即可；（2）过点P作PD⊥OA，垂足为D，三角形OPC的面积S= OC DP，然后分为点P在AB和OB上两种情况求得PD的长，从而得到S与m的函数关系式；（3）求得点A′或点C′恰好在y轴上时m的值，从而可确定出m的范围．
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