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湘教版九年级上册期末模拟实战演练提优卷
数 学
（考试时间：120分钟 考试满分：120分）
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．把方程化为的形式，则的值是（ ）
A．7 B．3 C．5 D．
2．有一个人患了流感，经过两轮传染后，共有36人患了流感，设每轮传染中平均一个人传染了x个人，则下列结论错误的是（ ）
A．1轮后有个人患了流感
B．第2轮又增加个人患流感
C．依题意可以列方程
D．按照这样的传播速度，三轮后一共会有180人感染
3．用配方法解一元二次方程时，配方后的方程是（ ）
A． B． C． D．
4．如图，直线a∥b∥c，分别交直线m、n于点A、C、E、B、D、F，下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
5．如图，与位似，位似中心是点，且，若的面积为5，则的面积为（ ）
A．10 B．15 C．20 D．25
6．如图，以点为位似中心，将四边形放大到原来的3倍，得到四边形，若四边形的面积为1，则四边形的面积是（ ）
A．3 B．6 C．8 D．9
7．一次函数的图象与反比例函数的图象在同一坐标系中大致图象是（ ）
A． B．
C． D．
8．某钢铁厂一月份生产钢铁560吨，从二月份起，由于改进操作技术，使得第一季度共生产钢铁1850吨，问二、三月份平均每月的增长率是多少？若设二、三月份平均每月的增长率为x，则可得方程（ ）
A． B．
C． D．
9．如图，在矩形中，过点作对角线的垂线并延长，与的延长线交于点，与交于点，垂足为点，连接，且，则下列结论正确的有（ ）个：①；②；③；④
A．1 B．2 C．3 D．4
10．将矩形OABC如图放置，O为坐标原点，若点A（﹣1，2），点B的纵坐标是 ，则点C的坐标是（ ）
A．（4，2） B．（3， ） C．（3， ） D．（2， ）
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
11．如图，某登山运动员从营地A沿坡角为30°的斜坡AB到达山顶B，如果AB＝2000米，则他实际上升了 米.
12．若△ABC∽△A′B′C′，且，△ABC的周长为12cm，则△A′B′C′的周长为 .
13．已知，那么 ．
14．若点、、都在反比例函数（K为常数）的图象上，则、、的大小关系为 ．
15．如图，在矩形中，，，F是上的一个动点（F不与A，B重合），过点F的反比例函数的图象与边交于点E，若时，则 .
16．如图所示，在边长相同的小正方形组成的网格中，两条经过格点的线段相交所成的锐角为，则夹角的正弦值为 ．
17．如图，在矩形ABCD中，AD＝3，点E在AB边上，AE＝4，BE＝2，点F是AC上的一个动点．连接EF，将线段EF绕点E逆时针旋转90°并延长至其2倍，得到线段EG，当时，点G到CD的距离是 ．
18．如图，在平面直角坐标系中，点、的坐标分别为、，点在第一象限内，连接、.已知，则 .
三、综合题（本大题共8小题，共66分）
19．（6分）已知关于x的一元二次方程.
（1）若方程有两个相等的实数根，求m的值.
（2）若方程的两根都为负数，求m的取值范围.
20．（6分）如图，在平行四边形中，过点A作，垂足为E，连接，F为上一点，且.
（1）求证：；
（2）若，，，求的长.
21．（9分）水果店老板以每斤2元的价格购进苹果若干斤，然后以每斤4元的价格出售，每天可售出100斤，通过调查发现，每斤苹果的售价每降低0.1元，每天可多售出20斤，为保证每天至少售出280斤，老板决定降价销售．
（1）若每斤售价降低0.5元，则每天的销售量是 斤．
（2）若每斤售价降低x元，则每天的销售量是 斤（用含x的代数式表示，需要化简）；
（3）水果店老板要想通过销售苹果每天盈利300元，需将每斤苹果的售价定为多少元？
22．（9分）在矩形中，，，点为上的点，且，连结.点为的中点，点为上的一动点，连结，过点作，交或于点，连结.
（1）如图1，当点与点重合时，求的长.
（2）如图2，当时，求的长.
（3）如图3，点从点出发，当的长为时，点停止运动.请直接写出的中点的运动路径长.
23．（9分）如图，已知一次函数的图象与反比例函数的图象交于A，B两点，且点A的横坐标和点B的纵坐标都是，求：
（1）一次函数的解析式；
（2）的面积．
（3）根据图象回答：当x为何值时，一次函数的函数值大于反比例函数的函数值．
24．（9分）某中学九年级学生共进行了五次体育模拟测试，已知甲、乙两位同学五次模拟测试成绩的总分相同，小明根据甲同学的五次测试成绩绘制了尚不完整的统计表，并给出了乙同学五次测试成绩的方差的计算过程.
甲同学五次体育模拟测试成绩统计表
次数 第一次 第二次 第三次 第四次 第五次
成绩（分） 35 39 37 40
小明将乙同学五次模拟测试成绩直接代入方差公式，计算过程如下：
根据上述信息，完成下列问题：
（1）a的值是 ；
（2）根据甲、乙两位同学这五次模拟测试成绩，你认为谁的体育成绩更好？并说明理由；
（3）如果甲再测试1次，第六次模拟测试成绩为38分，与前5次相比，甲6次模拟测试成绩的方差 .（填“变大”“变小”或“不变”）
25．（9分）如图1，在△ABC中，∠A＝90°，AB＝6，AC＝8，点D，F分别是边AB，BC上的动点，点D不与点A，B重合，过点D作DEBC，交AC于点E，连接DF，EF．
（1）当DF⊥BC时，求证：△FBD∽△ABC；
（2）在（1）的条件下，当四边形BDEF是平行四边形时，求BF的长；
（3）是否存在点F，使得△FDE为等腰直角三角形？若不存在，请说明理由；若存在，请求出DE的长．
26．（9分）已知：如图，在中，，，，点D是边BC延长线上的一点，在射线AB上取一点E，使得，过点A作于点F．
（1）当点E在线段AB上时，求证：；
（2）在（1）题的条件下，设，，求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围；
（3）记DE交射线AC于点G，当时，求CD的长．
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湘教版九年级上册期末模拟实战演练提优卷
数 学
（考试时间：120分钟 考试满分：120分）
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．把方程化为的形式，则的值是（ ）
A．7 B．3 C．5 D．
【答案】B
【解析】【解答】解：
即
∴m=-3，n=6
∴m+n=3
故答案为：B
【分析】根据配方法进行化简，求出m，n值，再代入代数式即可求出答案.
2．有一个人患了流感，经过两轮传染后，共有36人患了流感，设每轮传染中平均一个人传染了x个人，则下列结论错误的是（ ）
A．1轮后有个人患了流感
B．第2轮又增加个人患流感
C．依题意可以列方程
D．按照这样的传播速度，三轮后一共会有180人感染
【答案】D
【解析】【解答】解：由题意可得：
每轮传染中平均一个人传染了x个人
∴1轮后有个人患了流感，A正确
第2轮又增加个人患流感，B正确
由题意可得：，即，C正确
解得：x1=5，x2=-7（舍去）
∴36(1+x)=36(1+5)=216(人）
∴按照这样的传播速度，三轮后一共会有216人感染，D错误
故答案为：D
【分析】设每轮传染中平均一个人传染了x个人，则1轮后有个人患了流感，第2轮又增加个人患流感，根据题意建立方程，解方程可得x值，再求出三轮后感染人数即可求出答案.
3．用配方法解一元二次方程时，配方后的方程是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解：
两边同时加4可得：
则
故答案为：D
【分析】根据配方法的定义即可求出答案.
4．如图，直线a∥b∥c，分别交直线m、n于点A、C、E、B、D、F，下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】【解答】∵a∥b∥c，
∴，，，，
故答案为：D.
【分析】利用平行线分线段成比例的性质逐项分析判断即可.
5．如图，与位似，位似中心是点，且，若的面积为5，则的面积为（ ）
A．10 B．15 C．20 D．25
【答案】C
【解析】【解答】解：∵△ABC和△ABC位似
∴OA：OA1=AC：A1C1=三角形ABC底边AC的高：三角形A1B1C1底边AC的高=1：2
∴S△ABC：S△A1B1C1=×AC×三角形ABC底边AC的高：×A1C1×三角形A1B1C1底边AC的高=×=
∵三角形ABC的面积为5
∴三角形A1B1C1=5÷=20
故答案为：C.
【分析】根据三角形位似的性质，可得对应边之比相等；根据三角形面积公式即可解题.
6．如图，以点为位似中心，将四边形放大到原来的3倍，得到四边形，若四边形的面积为1，则四边形的面积是（ ）
A．3 B．6 C．8 D．9
【答案】D
【解析】【解答】解：以点为位似中心，将四边形放大到原来的3倍，
，
四边形的面积为1，
四边形的面积是9，
故答案为：D．
【分析】本题考查位似变换、相似多边形的性质．由题意可知两个多边形的相似比为，根据相似多边形的面积比等于相似比，可知两个图形的面积比为，据此可求出答案．
7．一次函数的图象与反比例函数的图象在同一坐标系中大致图象是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】【解答】解：当k>0时，一次函数 经过一、二、三象限，反比例函数在一、三象限；
当k<0时，一次函数 经过二、三、四象限，反比例函数在二、四象限；
四个选项中只有A符合题意，
故答案为：A.
【分析】分k>0；k<0两种情况进行讨论得到一次函数和反比例函数经过的象限，进行逐一判断即可求解.
8．某钢铁厂一月份生产钢铁560吨，从二月份起，由于改进操作技术，使得第一季度共生产钢铁1850吨，问二、三月份平均每月的增长率是多少？若设二、三月份平均每月的增长率为x，则可得方程（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】【解答】第一个月是560，第二个月是560（1+x），第三月是560（1+x）2
，所以第一季度总计560+560（1+x）+560（1+x）2=1850，故答案为：D.
【分析】根据题意分别求出第二个月的产量是560（1+x），第三月的产量是560（1+x）2，再根据第一季度共生产钢铁1850吨列出方程即可作出判断.
9．如图，在矩形中，过点作对角线的垂线并延长，与的延长线交于点，与交于点，垂足为点，连接，且，则下列结论正确的有（ ）个：①；②；③；④
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【解析】【解答】解：①由题意可得：，，，，
∴，
∴，
∴，
∴，①符合题意；
②由题意可得：，
∴，
∴，即，
∴，即，②不符合题意；
③由题意可得：，
∴，
∴，即
又∵，
∴，③符合题意；
④过点作，交延长线于点，如下图：
由题意可得：，，
∴，，
∴，
∴，
由勾股定理可得：，
∵，
∴，
又∵，，
∴，
∴，
又∵，
∴，即，④符合题意；
正确的个数为3，
故答案为：C
【分析】利用全等三角形的判定方法和性质，相似三角形的判定方法和性质逐项判断即可。
10．将矩形OABC如图放置，O为坐标原点，若点A（﹣1，2），点B的纵坐标是 ，则点C的坐标是（ ）
A．（4，2） B．（3， ） C．（3， ） D．（2， ）
【答案】B
【解析】【解答】如图，过点A作AE⊥x轴于点E，过点B作BF⊥x轴于点F，过点A作AN⊥BF于点N，
过点C作CM⊥x轴于点M．
∵∠EAO+∠AOE=90°，∠AOE+∠MOC=90°，
∴∠EAO=∠COM，
又∵∠AEO=∠CMO=90°，
∴△AEO∽△OMC，
∴ ，
∵∠BAN+∠OAN=90°，∠EAO+∠OAN=90°，
∴∠BAN=∠EAO=∠COM，
在△ABN和△OCM中，
，
∴△ABN≌△OCM（AAS），
∴BN=CM．
∵点A（﹣1，2），点B的纵坐标是 ，
∴BN ，
∴CM ，
∴ ，
∴MO=3，
∴点C的坐标是：（3， ）．
故答案为：B．
【分析】首先构造直角三角形，利用相似三角形的判定与性质以及结合全等三角形的判定与性质得出CM＝ ，MO＝3，进而得出答案．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
11．如图，某登山运动员从营地A沿坡角为30°的斜坡AB到达山顶B，如果AB＝2000米，则他实际上升了 米.
【答案】1000
【解析】【解答】解：过点B作BC⊥水平面于点C，在Rt△ABC中，∵AB=2000米，∠A=30°，∴BC=ABsin30°=2000× =1000.
故答案为：1000.
【分析】过点B作BC⊥水平面于点C，在Rt△ABC中，由BC=ABsin30°即可求出结论.
12．若△ABC∽△A′B′C′，且，△ABC的周长为12cm，则△A′B′C′的周长为 .
【答案】16cm
【解析】【解答】解：∵△ABC∽△A′B′C′，且，即相似三角形的相似比为，
∵△ABC的周长为12cm
∴△A′B′C′的周长为12÷=16cm.
故答案为：16cm.
【分析】根据相似三角形的周长比等于相似比进行计算.
13．已知，那么 ．
【答案】
【解析】【解答】，
故答案为：.
【分析】由得到代入进行化简从而求解.
14．若点、、都在反比例函数（K为常数）的图象上，则、、的大小关系为 ．
【答案】
【解析】【解答】解：，
反比例函数（K为常数）的图象经过一、三象限，
当x>0时，y>0，且y随x的增大而减小，当x<0时，y<0，且y随x的增大而减小，
点、、都在反比例函数的图象上，
，即 .
故答案为： .
【分析】根据可知反比例函数图象在一、三象限，且在每一象限内，y随x的增大而减小，结合反比例函数的性质即可判断、、的大小.
15．如图，在矩形中，，，F是上的一个动点（F不与A，B重合），过点F的反比例函数的图象与边交于点E，若时，则 .
【答案】
【解析】【解答】解：连接OF，如图，
∵ F在反比例函数上，
∴ S△OAF=×AF×OA=k，
∵ S△AEF=×AF×BE=k，
∴ BE=OA=4，
∵ 四边形OABC为矩形，
∴ CB=OA=12，
∴ CE=CB-BE=12-4=8，
∴ E（8，10），
∵ E在反比例函数上，
∴ k=8×10=80.
故答案为：80.
【分析】根据 △OAF 和△AEF为同底三角形，进而求得E的坐标，再代入反比例函数的解析式，即可求得.
16．如图所示，在边长相同的小正方形组成的网格中，两条经过格点的线段相交所成的锐角为，则夹角的正弦值为 ．
【答案】
【解析】【解答】连接BC，如图所示：
根据图形可得：AB=BC=，AC=，AB⊥BC，
∴，
故答案为：.
【分析】先利用勾股定理求出BC和AC的长，再利用正弦定义列出算式求解即可.
17．如图，在矩形ABCD中，AD＝3，点E在AB边上，AE＝4，BE＝2，点F是AC上的一个动点．连接EF，将线段EF绕点E逆时针旋转90°并延长至其2倍，得到线段EG，当时，点G到CD的距离是 ．
【答案】或
【解析】【解答】解：如图1所示，过点G作NH∥AD分别交BA，CD延长线于 H，N，过点F作FM∥BC，交AB于M，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B=∠BAD=∠HAD=∠ADC=∠AND=90°，
∴∠H=∠N=∠AMF=90°，
∴四边形HADH是矩形，，即，
∴HN=AD，
由旋转的性质可知∠GEF=90°，
∴∠HEG+∠NEF=90°，
又∵MEF+∠MFE=90°，
∴∠HEG=∠MFE，
∴△HEG∽△MFE，
∴，
∴，，
∵MF∥BC，
∴△AMF∽△ABC，
∴，，
∴，
∴，
∴，即点G到CD的距离为；
如图2所示，过点G作NH∥AD分别交直线BA，直线CD于 H，N，过点F作FM∥BC，交AB于M，
同理可求出，，
同理可证△AMF∽△ABC，
∴，，
∴，
∴，
∴，即点G到CD的距离为；
综上所述，点G到CD的距离为或．
【分析】分两种情况：①当线段EG在EA的右侧；②当线段EG在EA的左侧；根据旋转的性质、相似三角形的判定与性质、锐角三角函数的定义分别求解即可.
18．如图，在平面直角坐标系中，点、的坐标分别为、，点在第一象限内，连接、.已知，则 .
【答案】
【解析】【解答】解：如图，过点C作CD⊥y轴，交y轴于点D，则CD∥AO，
∴∠DCE＝∠CAO，
∵∠BCA＝2∠CAO，
∴∠BCA＝2∠DCE，
∴∠DCE＝∠DCB，
∵CD⊥y轴，
∴∠CDE＝∠CDB＝90°，
又∵CD＝CD，
∴CDE≌CDB（ASA），
∴DE＝DB，
∵B（0，4），C（3，n），
∴CD＝3，OD＝n，OB＝4，
∴DE＝DB＝OB－OD＝4－n，
∴OE＝OD－DE
＝n－（4－n）
＝2n－4，
∵A（－4，0），
∴AO＝4，
∵CD∥AO，
∴AOE∽CDE，
∴ ，
∴，
解得：.
故答案为：.
【分析】过点C作CD⊥y轴，交y轴于点D，则CD∥AO，由平行线的性质可得∠DCE＝∠CAO，结合已知条件可得∠DCE＝∠DCB，证明△CDE≌△CDB，得到DE＝DB，根据点B、C的坐标可得CD＝3，OD＝n，OB＝4，DE＝DB＝4-n，OE＝2n-4，证明△AOE∽△CDE，然后根据相似三角形的性质求解即可.
三、综合题（本大题共8小题，共66分）
19．（6分）已知关于x的一元二次方程.
（1）若方程有两个相等的实数根，求m的值.
（2）若方程的两根都为负数，求m的取值范围.
【答案】（1）解：关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，
，
.
（2）解：关于x的一元二次方程的两根都为负数，
，，，
.
【解析】【分析】（1）根据方程有两个相等的实数根可得△=b2-4ac=0，代入求解可得m的值；
（2）根据根与系数的关系结合题意可得x1+x2=-6<0，x1x2=2m-1>0，△=b2-4ac≥0，求解可得m的范围.
20．（6分）如图，在平行四边形中，过点A作，垂足为E，连接，F为上一点，且.
（1）求证：；
（2）若，，，求的长.
【答案】（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，，，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∴；
（2）解：∵，，
∴，
∵，，
∴，
在中，根据勾股定理得：
，
∵，
由（1）得：，
∴，
即，
解得：.
【解析】【分析】（1）利用平行四边形的性质可证得AB∥CD，AD∥BC，AD=BC，利用平行线的性质及补角的性质可证得∠ABF=∠BEC，∠C=∠AFB，利用有两组对应角分别相等的两三角形相似，可证得结论.
（2）利用垂直的定义可证得∠AED=∠BAE=90°，利用已知求出AE的长；再利用勾股定理求出BE的长，再利用相似三角形的对应边成比例，可得到 代入计算求出AF的长.
21．（9分）水果店老板以每斤2元的价格购进苹果若干斤，然后以每斤4元的价格出售，每天可售出100斤，通过调查发现，每斤苹果的售价每降低0.1元，每天可多售出20斤，为保证每天至少售出280斤，老板决定降价销售．
（1）若每斤售价降低0.5元，则每天的销售量是 斤．
（2）若每斤售价降低x元，则每天的销售量是 斤（用含x的代数式表示，需要化简）；
（3）水果店老板要想通过销售苹果每天盈利300元，需将每斤苹果的售价定为多少元？
【答案】（1）200
（2）（200x+100）
（3）解：设若每斤售价降低x元，根据题意得：
解得
当时，，不符合题意；
当时，，符合题意，
（元）
则售价为3元
答：水果店老板要想通过销售苹果每天盈利300元，需将每斤苹果的售价定为3元
【解析】【解答】(1)根据题意，每斤苹果的售价每降低0.1元，每天可多售出20斤，
则每斤售价降低0.5元，每天可多售出20（斤），
每天的销售量是（斤）
故答案为：200
(2)若每斤售价降低x元，则每天的销售量是
故答案为：（200x+100）
【分析】（1）利用平均每天的销售量=100+20×（每斤售价降低的价格÷0.1），即可求出结论；
（2）若每斤售价降低x元，利用平均每天的销售量=100+20×（每斤售价降低的价格÷0.1），即可用含x的代数式表示出每天的销售量；
（3）设若每斤售价降低x元，根据题意列出方程，再求解即可。
22．（9分）在矩形中，，，点为上的点，且，连结.点为的中点，点为上的一动点，连结，过点作，交或于点，连结.
（1）如图1，当点与点重合时，求的长.
（2）如图2，当时，求的长.
（3）如图3，点从点出发，当的长为时，点停止运动.请直接写出的中点的运动路径长.
【答案】（1）解：∵四边形是矩形，
，
， ，
∵点F是BC的中点，
，
，
，
，
，
，
，
；
（2）解：如图1，
作交BH于E，
，
，
，
，
，
，
∴四边形EFCG是平行四边形，
∴四边形EFCG是矩形，
，
，
以FG的中点O为圆心，以OE为半径作圆交BH于E′，作于H，于T，
由（1）知：
，
，
综上所述：或；
（3）解：如图2，
当G从点H运动到点D时，中点T从T′到T″，
是的中位线，
，
同理可得：，
∴中点T的路径长是：.
【解析】【分析】（1） 根据矩形的性质可得∠A=90°，BC=AD=10，AD∥BC，由平行线的性质可得∠AHB=∠FBE，利用勾股定理可得BH，根据中点的概念可得BF=5，证明△BEF∽△HAB，然后根据相似三角形的性质进行计算；
（2）作EF⊥BC交BH于E，由平行线的性质可得∠EBF=∠CFG，利用ASA证明△BEF≌△FGC，得到EF=CG，推出四边形EFCG是矩形，根据三角函数的概念可得BE，以FG的中点O为圆心，以OE为半径作圆交BH于E′，作OR⊥BH于H，FT⊥BH于T，根据勾股定理可得E′R、ER，然后根据BE′=BE+2EB进行计算；
（3）当G从点H运动到点D时，中点T从T′到T″，T′T″是△FHD的中位线，则T′T″=DH，同理可得TT′′，据此可得中点T的路径长.
23．（9分）如图，已知一次函数的图象与反比例函数的图象交于A，B两点，且点A的横坐标和点B的纵坐标都是，求：
（1）一次函数的解析式；
（2）的面积．
（3）根据图象回答：当x为何值时，一次函数的函数值大于反比例函数的函数值．
【答案】（1）解：令反比例函数中，则，
∴点A的坐标为；
反比例函数中，则，
解得：，
∴点B的坐标为．
∵一次函数过A、B两点，
∴，解得：，
∴一次函数的解析式为．
（2）解：令为中，则，
∴点N的坐标为，
∴．
（3）解：观察函数图象发现：
当或时，一次函数图象在反比例函数图象上方，
∴一次函数的函数值大于反比例函数的函数值时x的取值范围为或．
【解析】【分析】（1）利用待定系数法求函数解析式即可；
（2）先求出点N的坐标为， 再利用三角形的面积公式计算求解即可；
（3）根据题意先求出 当或时，一次函数图象在反比例函数图象上方， 再求解集即可。
24．（9分）某中学九年级学生共进行了五次体育模拟测试，已知甲、乙两位同学五次模拟测试成绩的总分相同，小明根据甲同学的五次测试成绩绘制了尚不完整的统计表，并给出了乙同学五次测试成绩的方差的计算过程.
甲同学五次体育模拟测试成绩统计表
次数 第一次 第二次 第三次 第四次 第五次
成绩（分） 35 39 37 40
小明将乙同学五次模拟测试成绩直接代入方差公式，计算过程如下：
根据上述信息，完成下列问题：
（1）a的值是 ；
（2）根据甲、乙两位同学这五次模拟测试成绩，你认为谁的体育成绩更好？并说明理由；
（3）如果甲再测试1次，第六次模拟测试成绩为38分，与前5次相比，甲6次模拟测试成绩的方差 .（填“变大”“变小”或“不变”）
【答案】（1）39
（2）解： ，
乙的体育成绩更好.因为 ， ，两人的平均成绩相同，但乙的方差较小，说明乙的成绩更稳定，所以乙的体育成绩更好；
（3）变小
【解析】【解答】解：（1）由乙同学五次模拟测试成绩的方差公式，可知乙同学的五次成绩分别是：36、38、37、39、40，乙同学五次成绩之和为190，
∵甲和乙的五次成绩之和相等，
∴ ，
故答案为：39；
（3）第六次模拟测试成绩为38分，则平均数 ，不变，
， 会变小，
故答案为：变小.
【分析】（1）由方差公式可求出乙同学的五次总成绩为190，可得甲五次总成绩为190，利用总成绩分别减去甲同学第一、第二、第三、第五次成绩即得a值；
（2）由于两人的平均成绩相同，可求出甲成绩的方差，方差越小越稳定，据此判断即可；
（3） 由于第六次模拟测试成绩刚好等于平均数，可知平均数不变，但计算方差时导致方差变小.
25．（9分）如图1，在△ABC中，∠A＝90°，AB＝6，AC＝8，点D，F分别是边AB，BC上的动点，点D不与点A，B重合，过点D作DEBC，交AC于点E，连接DF，EF．
（1）当DF⊥BC时，求证：△FBD∽△ABC；
（2）在（1）的条件下，当四边形BDEF是平行四边形时，求BF的长；
（3）是否存在点F，使得△FDE为等腰直角三角形？若不存在，请说明理由；若存在，请求出DE的长．
【答案】（1）证明：∵DF⊥BC，
∴∠BFD＝90°＝∠A，
又∵∠B＝∠B，
∴△DBF∽△CBA
（2）解：∵∠A＝90°，AB＝6，AC＝8，
∴BC＝ ＝ ＝10，
∵△DBF∽△CBA，
∴ ，
∴ ，
∴BF＝ BD，
∵四边形BDEF是平行四边形，
∴BF＝DE，
∵DE∥BC，
∴∠ADE＝∠B，
又∵∠A＝∠DFB＝90°，
∴△ADE∽△FBD，
∴ ，
∴（6﹣BD） BD＝BF2＝ BD2，
∴BD＝0（舍去），BD＝ ，
∴BF＝ × ＝
（3）解：如图2，当∠EDF＝90°，DE＝DF时，
∵DE∥BC，
∴∠EDF＝∠DFB＝90°，
∵△DBF∽△CBA，
∴ ，
∴ ，
∴设BF＝3x，DF＝4k，BD＝5k，
∴DE＝4k，AD＝6﹣5k，
∵cos∠ADE＝cosB＝ ，
∴ ＝ ，
∴k＝ ，
∴DE＝ ；
当∠DEF'＝90°，DE＝EF'时，
又∵∠EDF＝∠DFF'＝90°，
∴四边形DEF'F是矩形，
∴DF＝EF'＝ ，
∴DE＝ ；
当∠DF''E＝90°，DF''＝EF''时，过点A作AH⊥BC于H，过点F''作F''N⊥DE于N，
∵S△ABC＝ ×AB×AC＝ BC×AH，
∴6×8＝10AH，
∴AH＝4.8，
∵∠DF''E＝90°，DF''＝EF''，F''N⊥DE，
∴DN＝NE＝NF''＝ DE，
∵△ADE∽△ABC，
∴ ，
∴ ，
∴DE＝ ，
综上所述：DE的长为 或
【解析】【分析】（1）先求出 ∠BFD＝90°＝∠A， 再根据 ∠B＝∠B， 证明求解即可；
（2）利用勾股定理求出BC=10，再利用相似三角形的性质计算求出 BF＝ BD， 最后计算求解即可；
（3）利用相似三角形的性质和锐角三角函数计算求解即可。
26．（9分）已知：如图，在中，，，，点D是边BC延长线上的一点，在射线AB上取一点E，使得，过点A作于点F．
（1）当点E在线段AB上时，求证：；
（2）在（1）题的条件下，设，，求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围；
（3）记DE交射线AC于点G，当时，求CD的长．
【答案】（1）证明：∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）解：∵，，
∴，
设，，
∵，
∴，
解得：，
∴，，
∴，
由（1）得，
∴，
∴，
当时，，符合题意，
∴；
当时，点E与点B重合，点F与点C重合，此时x取得最大值，
∴，
当时，
，不符合题意，不进行讨论；
综上可得：；
（3）解：如图所示：当点G在线段AC上时，延长AF交BC于点M，作于点N，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵
∴，
∴，
∴，
∵AM平分，
∴，
由得，
，
解得：，
∴；
如图所示：当点G在AC的延长线上时，
∵，
∴，
∵是的外角，
∴，
这种情况不存在，
∴．
【解析】【分析】（1）证明及，进而命题得证；
（2）根据得出，进而得出y与x的关系式，当x=0，求得此时DE的长，进而求得x的范围；
（3）当G在线段AC上时，延长AF交BC于M，作MN⊥AB于N，可推出CM=CD，根据AM平分∠BAC，推出MN=CM，根据面积法求得CM，从而得出CD，G点在AC的延长线上不存在。
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