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【北师大版八年级数学（下）课时练习】
§1.3线段的垂直平分线（A）
一、选择题（每小题3分共30分）
1．（3分）如图，中，，点P在上，使得．下列描述正确的是（ ）
A．P是中垂线与交点 B．P是中垂线与交点
C．P是的平分线与交点 D．P是中垂线与交点
解：∵，，
∴，
∴P是中垂线与交点，
故选：B．
2．（3分）如图，在Rt ABC中，∠B＝90°，作AC的中垂线l交BC于点D，连接AD，若AB＝3，BC＝9，则BD的长为（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
解：设BD＝x，则CD＝9﹣x，
∵直线l是AC的垂直平分线，
∴AD＝DC＝9﹣x，
在Rt△ABD中，AB2+BD2＝AD2，即32+x2＝（9﹣x）2，
解得：x＝4，即BD的长为4，
故选：C．
3．（3分）如图，已知，点是其中一边上的点，用尺规作图的方法在另一边上确定一点，使是等腰三角形，则作图痕迹不符合要求是（ ）
A． B． C． D．
解：A.由作图痕迹可知，是以A为圆心，为半径作圆，交于点C，得出，是等腰三角形，故选项不符合题意；
B. 由作图痕迹可知，是以B为圆心，为半径作圆，交于点C，得出，是等腰三角形，故选项不符合题意；
C. 由作图痕迹可知，作线段的垂直平分线，得出，是等腰三角形，故选项不符合题意；
D. 由作图痕迹可知，不是等腰三角形，故选项符合题意；
故选：D．
4．（3分）如图，在中，，的垂直平分线交于E，垂足为D．如果，则的长为（ ）
A．3 B．5 C．4 D．6
解：是的垂直平分线，
，
，，
，故选：B．
5．（3分）如图，中，，的垂直平分线l与相交于点D，则的周长为（ ）
A．4 B．8 C．6 D．10
解：∵的垂直平分线l与相交于点D，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴的周长为6，
故选：C．
6．（3分）如图，在中，，的垂直平分线l交于点D．若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
解：∵的垂直平分线l交于点D，
∴，
∴，
∵，
∴，
故选：A．
7．（3分）如图，AB＝AD，点B关于AC的对称点E恰好落在CD上，∠BAD＝140°，则∠ACB的度数为（ ）
A．15° B．20° C．25° D．30°
解：如图，连接，过作于，
点关于的对称点恰好落在上，
垂直平分，
，
，
，
，
又，
，
，
又，
中，，
∵AE=AB,∠EAC=∠BAC，AC=AC，
∴△EAC≌△BAC，
∴∠ACE=∠ACB，
，
故选：B．
8．（3分）如图，在中，，的垂直平分线交于M，交于E，的垂直平分线交于N，交于F，则的长为（ ）
A． B． C． D．
解：如图所示，连接，
∵，
∴，
∵垂直平分垂直平分，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∵，
∴，
故选：A．
9．（3分）已知在中，，根据图中的作图痕迹及作法，下列结论定成立的是（ ）
A． B．
C． D．
解：根据题意图中作图痕迹可知垂直平分，
∴，
∴，
∴，
故选项C正确，符合题意；
选项A、B、D不能经推导得出；
故选：C．
10．（3分）如图，等腰的底边BC长为4cm，面积为，腰AC的垂直平分线EF交AC于点E，交AB于点F，D为BC的中点，M为直线EF上的动点．则周长的最小值为（ ）
A．6cm B．8cm C．9cm D．10cm
解：连接AD，MA．
∵△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，
∴AD⊥BC，
∴S△ABC＝BC AD＝×4×AD＝16，解得AD＝8 cm，
∵EF是线段AC的垂直平分线，
∴MA＝MC，
∴MC+DM＝MA+DM≥AD，
∴AD的长为CM+MD的最小值，
∴△CDM的周长最短＝（CM+MD）+CD＝AD+BC＝8+×4＝10（cm）．
故选：D．
二、填空题（共15分）
11．（3分）已知，点在的内部，与关于对称，与关于对称， .
解：如图：
∵P为∠AOB内部一点，点P关于OA、OB的对称点分别为P1、P2，
∴∠P1OP2=2∠AOB=60°，
故答案为60°．
12．（3分）如图，作边的垂直平分线，交 于 点，交于点，连接 ，若 ，，则 的周长 ．
解：是的垂直平分线，
，
的周长，
故答案为：．
13．（3分）如图，在中，，的垂直平分线交于D，交于E，连接，则 ．
解：∵是的垂直平分线，
∴，
设，
∵，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
解得：，
∴，
故答案为：．
14．（3分）如图，在中，，点为的中点，点分别为、上的点，连接，若，则的长度为 ．
解：延长至，使，连接 、，过作于，
在和中，
，
，
，
，
，
，
为等腰直角三角形，
，
，
，
为GD的垂直平分线
设
在中，
解得 （舍 ）
故答案为： ．
15．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线DE交CA的延长线于点E，垂足为D，∠C＝26°，则∠EBA＝ °．
解：∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠C＝26°，
∵∠EAB＝∠ABC+∠C＝52°，
∵DE垂直平分AB，
∴EB＝EA，
∴∠EBA＝∠EAB＝52°，
故答案为52．
三、解答题（共55分）
16．（6分）如图，在中，，垂直平分，交于点，交于点，且，，求的度数．
解∵垂直平分，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴,
∴．
17．（7分）如图，已知是的中线，于点，，，．
(1)求的长；
(2)求证：垂直平分线段．
（1）解：∵，
∴，
在中，由勾股定理可得：
．
（2）证明：∵，
∴，
∵在中，，，
∴，
∵，
∴，
由（1）知，
∴，
∴，
∴是直角三角形，且，即，
又∵是的中线，
∴是的中点，
∴垂直平分线段．
18．（8分）如图，等腰直角中，，，点为上一点，于点，交于点，于点，交于点，连接，．
(1)若，求证：；
(2)若点在上运动，请你判断与的数量关系，并说明理由．
（1）证明：∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴为的垂直平分线，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∴；
（2）解：，理由如下：
∵，
∴，
∵中，，
∴，
∴，
∵，
∴，
又∵等腰直角中，，，
∴，
∴，
在和中，，
∴，
∴．
19．（8分）如图，某社区要在居民区A，B所在的直线上建一图书室E，并使图书室E到本社区两所学校C和D的距离相等．已知，，垂足分别为A，B，且，，．
(1)请用直尺和圆规在图中作出点E（不写作法，保留作图痕迹）；
(2)求图书室E到居民区A的距离．
（1）解：如图，点E即为所求作．
（2）解：设图书室E到居民区A的距为，即，，
，，
，
，
由勾股定理得，，即，
解得：
图书室E到居民区A的距离为．
20．（8分）如图，在一条笔直的马路同侧有两个小区，小区到马路的垂直距离为10千米，小区到马路的垂直距离为2千米，的长度为15千米．
(1)求小区之间的距离；
(2)现要在线段上修建一个车站，使得车站到两小区的距离相等，请用无刻度的直尺和圆规在图中确定车站的位置．（保留作图痕迹，不写画法）
（1）解：如图，过点作于，则，
∵，，
∴，，
∴千米，千米，
∴千米，
∴千米，
答：，小区之间的距离为千米；
（2）解：如图所示，作线段的垂直平分线交于P，点P即为所求．
21．（9分）如图，在中，，动点从点出发以每秒2个单位长度的速度沿折线向点运动，动点从点出发以每秒1个单位长度的速度向点运动，若两点同时出发，当有一个点到达终点时另一个点也停止运动，连结，设点运动的时间为（秒）．
(1)当点与点重合时，求的值；
(2)当点都在上运动时求的长（用含的代数式表示）；
(3)在点运动的过程中的面积是2时，求的值；
(4)若是的中点，连结，在点运动的过程中，线段的垂直平分线经过点或点时，直接写出的值．
（1）解：根据题意可知，点P和点Q在上运动时才可以重合，此时，，
则，即，解得；
（2）解：点P在上时，
由（1）知时重合，
若点P运动到点时，，解得；
若点Q运动到点时，；
那么，点P和点Q运动时间，
则当，；
当，；
故当时，；当时，．
（3）解：①当点P位于上时，，解得，
②当点P位于上时，
若时．，，解得，
若时，，，解得，
综上所述，或或时，的面积是2；
（4）解：∵，
∴，
∵是的中点，
∴，
①当线段的垂直平分线经过点时，如图，
则，即，解得；
②当线段的垂直平分线经过点时，如图，
则，即，解得；
综上所述，或，段的垂直平分线经过点或点．
22．（9分）如图①，点关于轴对称的对称点分别为，连接，交于，交于．
(1)若的长为18厘米，求的周长；
(2)若，，求的度数．
(3)如图②，连接，若，求的度数．
（1）解：点关于轴对称的对称点分别为
∴PM+MN+PN=CM+MN+ND=CD=18
的周长为；
（2）点关于轴对称的对称点分别为
垂直平分，垂直平分，
∴CM=PM, PN=DN, ∠C=∠MPC,∠D=∠NPD
∴∠PMN=∠C+MPC=42
∠PNM=∠D+∠NPD=56 ∴∠MPN=180 -∠PMN-∠PNM=82
（3）如图，连接，
点关于轴对称的对称点分别为
垂直平分，垂直平分，
∠COA=∠POA,∠DOB=∠POB
∠POA+∠POB=40
∴∠COA+∠POA+∠POB+∠DOB=80
∵OC=OD
∴∠OCD=0.5(180 -80 )=50
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【北师大版八年级数学（下）课时练习】
§1.3线段的垂直平分线（A）
一、选择题（每小题3分共30分）
1．（3分）如图，中，，点P在上，使得．下列描述正确的是（ ）
A．P是中垂线与交点 B．P是中垂线与交点
C．P是的平分线与交点 D．P是中垂线与交点
2．（3分）如图，在Rt ABC中，∠B＝90°，作AC的中垂线l交BC于点D，连接AD，若AB＝3，BC＝9，则BD的长为（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
3．（3分）如图，已知，点是其中一边上的点，用尺规作图的方法在另一边上确定一点，使是等腰三角形，则作图痕迹不符合要求是（ ）
A． B． C． D．
4．（3分）如图，在中，，的垂直平分线交于E，垂足为D．如果，则的长为（ ）
A．3 B．5 C．4 D．6
5．（3分）如图，中，，的垂直平分线l与相交于点D，则的周长为（ ）
A．4 B．8 C．6 D．10
6．（3分）如图，在中，，的垂直平分线l交于点D．若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
7．（3分）如图，AB＝AD，点B关于AC的对称点E恰好落在CD上，∠BAD＝140°，则∠ACB的度数为（ ）
A．15° B．20° C．25° D．30°
8．（3分）如图，在中，，的垂直平分线交于M，交于E，的垂直平分线交于N，交于F，则的长为（ ）
A． B． C． D．
9．（3分）已知在中，，根据图中的作图痕迹及作法，下列结论定成立的是（ ）
A． B．
C． D．
10．（3分）如图，等腰的底边BC长为4cm，面积为，腰AC的垂直平分线EF交AC于点E，交AB于点F，D为BC的中点，M为直线EF上的动点．则周长的最小值为（ ）
A．6cm B．8cm C．9cm D．10cm
二、填空题（共15分）
11（3分）已知，点在的内部，与关于对称，与关于对称，
12．（3分）如图，作边的垂直平分线，交 于 点，交于点，连接 ，若 ，，则 的周长 ．
13．（3分）如图，在中，，的垂直平分线交于D，交于E，连接，则 ．
14．（3分）如图，在中，，点为的中点，点分别为、上的点，连接，若，则的长度为 ．
15．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线DE交CA的延长线于点E，垂足为D，∠C＝26°，则∠EBA＝ °．
三、解答题（共55分）
16．（6分）如图，在中，，垂直平分，交于点，交于点，且，，求的度数．
17．（7分）如图，已知是的中线，于点，，，．
(1)求的长；
(2)求证：垂直平分线段．
18．（8分）如图，等腰直角中，，，点为上一点，于点，交于点，于点，交于点，连接，．
(1)若，求证：；
(2)若点在上运动，请你判断与的数量关系，并说明理由．
19．（8分）如图，某社区要在居民区A，B所在的直线上建一图书室E，并使图书室E到本社区两所学校C和D的距离相等．已知，，垂足分别为A，B，且，，．
(1)请用直尺和圆规在图中作出点E（不写作法，保留作图痕迹）；
(2)求图书室E到居民区A的距离．
20．（8分）如图，在一条笔直的马路同侧有两个小区，小区到马路的垂直距离为10千米，小区到马路的垂直距离为2千米，的长度为15千米．
(1)求小区之间的距离；
(2)现要在线段上修建一个车站，使得车站到两小区的距离相等，请用无刻度的直尺和圆规在图中确定车站的位置．（保留作图痕迹，不写画法）
21．（9分）如图，在中，，动点从点出发以每秒2个单位长度的速度沿折线向点运动，动点从点出发以每秒1个单位长度的速度向点运动，若两点同时出发，当有一个点到达终点时另一个点也停止运动，连结，设点运动的时间为（秒）．
(1)当点与点重合时，求的值；
(2)当点都在上运动时求的长（用含的代数式表示）；
(3)在点运动的过程中的面积是2时，求的值；
(4)若是的中点，连结，在点运动的过程中，线段的垂直平分线经过点或点时，直接写出的值．
22．（9分）如图①，点关于轴对称的对称点分别为，连接，交于，交于．
(1)若的长为18厘米，求的周长；
(2)若，，求的度数．
(3)如图②，连接，若，求的度数．
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