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【北师大版八年级数学（下）课时练习】
§1.3线段的垂直平分线（B）
一、选择题（每小题3分共30分）
1．（3分）如图，直线是线段的垂直平分线，为直线上一点，若线段，则线段的长为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．2
解：∵直线是线段的垂直平分线，为直线上一点，
∴，
故选：A．
2．（3分）如图，在中，的垂直平分线分别交、于点、点，且点是边的中点，连接，则下列说法错误的是（ ）
A． B． C． D．
解∶是的垂直平分线，
，，选项A、C、D正确，不符合题意；
点是边的中点，不能得出，选项B说法错误，符合题意，故答案为∶B．
3．（3分）如图，在中，，以点为圆心，长为半径作弧交于点，分别以、为圆心，大于，两弧相交于点，作射线交于点，，则（ ）
A． B． C． D．
解：由作图可知，，
∴，
∵，
∴ ，
∵，
∴．
故选：．
4．（3分）如图，△ABC中，，的垂直平分线交AC于点，的周长是，则（ ）
A． B． C． D．
解：∵的垂直平分线交AC于点，
∴，
∵，的周长是，
∴，
∴；
故选A．
5．（3分）如图，在中，，，的垂直平分线分别交与于点D和点E．若，则的长是（ ）
A．4 B． C．3 D．
解：，，
，
是的垂直平分线，
，
，
，
，
，
，
故选：A．
6．（3分）如图，在钝角△ABC中，是钝角，，的垂直平分线分别交于，两点．设，，，则x，y，z之间的关系是（ ）
A． B．
C． D．
解在的垂直平分线上，
，
，
，
同理：，
，
．
故选：B．
7．（3分）下列命题中，是真命题的是（ ）
A．三角形的外角大于三角形的任何一个内角
B．线段的垂直平分线上的任一点与该线段两个端点能构成等腰三角形
C．三角形一边的两个端点到这边上的中线所在的直线的距离相等
D．面积都相等的两个三角形一定全等
解：A.钝角三角形与钝角相邻的外角小于该角，原命题是假命题，故该选项不符合题意；
B.如果该点在线段上，那么不能构成等腰三角形，原命题是假命题，故该选项不符合题意；
C.当该中线为等腰三角形底边上的中线时，根据三线合一即可得出这两个端点到这边上的中线所在的直线的距离相等，
当三角形不是等腰三角形或中线不是等腰三角形底边上的中线时，
如图所示，AD为△ABC的中线，BF⊥AD，CE⊥AD，
∵AD为△ABC的中线，
∴BD=CD，
∵BF⊥AD，CE⊥AD，
∴∠BFD=∠CED=90°，
∵∠ADB=∠EDC，
∴△BDF≌△CDE（AAS），
∴BF=CE，
综上，三角形一边的两个端点到这边上的中线所在的直线的距离相等，原命题是真命题，故该选项符合题意；
D.如果是一个钝角三角形和锐角三角形，某边相等且该边上的高相等，但它们不全等，原命题是假命题，故该选项不符合题意；
故选：C．
8．（3分）如图，在△ABC中，是的垂直平分线，，的周长为，则的周长是（ ）
A． B． C． D．
解：是的垂直平分线，，
，
的周长为，
，
的周长，
故选：A．
9．（3分）如图，在中，，的角平分线和的平分线相交于点，交于点，交的延长线于点，过点作交的延长线于点，交的延长线于点，连接并延长交于点，则下列结论：
①；②；③；④；其中正确的有（ ）
A．②③ B．②④ C．①②③④ D．①③④
解：设，，
∵平分，
∴，
根据三角形外角的性质可得：，
∴，故①正确；
延长、交于点，如下图：
∵，
∴，
∵平分，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，②正确；
同理可得：，
∴，③正确；
∴为等腰直角三角形，即，
在上截取，连接，如下图：
则为的垂直平分线，
∴，
∴，
∴为等腰直角三角形，即
∵，，
∴，，
又∵
∴，
∴，
∴，④正确；
故选：C．
10．（3分）如图，四边形中，，，在、上分别找一点、，使周长最小时，则的度数为（ ）．
A． B． C． D．
解：如图，延长AB至点，使得，延长AD至点，使得，连接
，即
是的垂直平分线，CD是的垂直平分线
周长
由两点之间线段最短得：当点在同一条直线上时，最小，最小值为
由等腰三角形的性质得：
故选：A．
二、填空题（共15分）
11．（3分）垂直平分线的性质1： 上的点与这条线段两个端点的距离相等．
几何语言叙述：
∵点P在线段AB的
∴PA＝PB
解： 线段垂直平分线 线段垂直平分线
12．（3分）如图，是的垂直平分线，若，则四边形的周长为 ．
解：是线段的垂直平分线，
，，
四边形的周长，
故答案为：20．
13．（3分）如图，中，，的垂直平分线交于，交于，且，则 ．
解：∵是的垂直平分线，
∴，
∴，
∵，
∴设，，
∴，
∵，，
∴，
解得：．
∴．
故答案为：．
14．（3分）如图，在中，，，，的垂直平分线分别交、于点D、E，则的长为 ．
解：如图，连接，
∵，，，
∴，
∵的垂直平分线分别交、于点D、E，
∴，
∴由，可得：
，
解得：．
故答案为：．
15．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC，AO平分∠BAC，OD垂直平分AB，将∠C沿着EF折叠，使得点C与点O重合，∠AFO＝52°，则∠OEF＝ ．
解：连接、，
垂直平分，
，
，
平分，
，
，，
∴△AOB≌△AOC，
，，
，
∠OBA=∠OAB=∠OCA，
∵∠AFO=52 ，
∴∠FCO+∠FOC=52 ，
由折叠知，，
∴∠OCF=∠COF=26 ，
∴∠OBA=∠OAB=∠OAC=∠OCA=26 ，
∴∠OBC=∠OCB=0.5(180 -4×26)=38 ，
由折叠知，，，
∴∠COE=∠OCE=38 ，∠OEC=180 -∠COE-∠OCE=104
∴∠OEF=0.5∠OEC=52 ，
故答案为：．
三、解答题（共55分）
16．（6分）如图，在△ABC中，，E为线段的中点，过点E作交于点D，连接．
(1)若，求的度数；
(2)若，的周长为26，直接写出的周长．
解（1）∵E为线段的中点，，
∴直线是线段的垂直平分线，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
（2）∵直线是线段的垂直平分线，，
∴，，
∴，
∵的周长是，
∴，
∴
∴，
∴△ABC的周长为．
17．（7分）如图，已知线段．
（1）只用直尺(没有刻度的尺)和圆规作，使，，(要求保留作图痕迹，不必写出作法)；
（2）若在（1）作出的中，，求边上的高．
解：（1）作射线BD，以B为圆心，a的长为半径作弧，交BD于点E，可知BE=a；
分别以B、E为圆心，大于为半径作弧，两弧分别交于点M、N，作直线MN，交BE于点C，可知直线MN垂直平分BE，；
以B为圆心，a的长为半径作弧，交直线MN于点A，连接AB，此时，如下图所示，△ABC即为求；
（2）过点C作CF⊥AB于点F，如上图所示
∵
∴BC=
根据勾股定理可得：AC=cm
∵S△ABC=AB·CF=BC·AC
∴×2·CF=×1×
解得：CF=cm
即边上的高为cm．
18．（8分）有一段关于古代藏宝图的记载（如图）：“从赤石向一颗杉树笔直走去，恰好在其连线中点处向右转前进，到达山脚的一个洞穴，宝物就在洞穴中．”若赤石标记为点“A”，杉树标记为点“B”，洞穴标记为点“C”．
(1)根据这段记载，应用数学知识描述点C与线段之间的关系．
(2)若在藏宝图上建立适当的直角坐标系，点A，B的坐标分别为，点C到线段之间的距离为5（单位长度），请画出坐标系，并求出洞穴到赤石的距离．
（1）解：连接，取线段的中点D，连接，如图所示：
点共线，D点是的中点，
，
，
，
∴点与线段的垂直平分线上．
（2）解：如图，建立坐标系如下：，
由题意可得：，，而，
，
∴，
∴洞穴到赤石的距离为个单位长度．
19．（8分）如图，在△ABC中，于，点是线段上一点，点是延长线上一点，且．
(1)请直接写出线段和之间的数量关系：______．
(2)请说明： ；
(3)请说明：是等边三角形；
(4)请直接写出线段之间的数量关系．
解（1）∵，，
∴点D是的中点，
∴是的垂直平分线，
∴，
∵，
∴．
故答案为：
（2）∵，
∴，
∵，
∴，
∵
∴，
∵
∴，
∴．
（3）∵，
∴
∵，
∴，
∵
∴，
∴是等边三角形．
（4）在线段上取点E，使，
∵，，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
在和中
，
∴，
∴，
∴．
20．（8分）如图，是等边三角形外的一点，，，点，分别在，上．
(1)求证：是的垂直平分线．
(2)若平分，写出，，三者之间的数量关系，并证明你的结论．
（1）证明：是等边三角形，
，
在的垂直平分线上，
，
∴在的垂直平分线上，
∴是的垂直平分线．
（2）证明：
过作，如图：
是等边三角形，
，，
．
．
，．
，平分，
，
，
．
，，
．
．
又，
，
21．（9分）如图，在△ABC中，，分别垂直平分和，交于，两点，与相交于点．
(1)若，则的度数为_____________；
(2)若，则的度数为_____________；（用含的代数式表示）
(3)连接、、，的周长为，的周长为，求的长．
解（1）∵，分别垂直平分和，
∴，，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∴，
故答案为：；
（2）∵，分别垂直平分和，
∴，，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
故答案为：；
（3）如图，
∵、分别垂直平分和，
∴，，
∴的周长，
∵的周长为，
∴，
∵的周长为，
∴，
∴，
∵，分别垂直平分和，
∴，，
∴，
∴．
22．（9分）如图，在中，点为内一点，且．
（1）求证：；
（2）， 为延长线上的一点，且．
①若点在上，连接MC且DC=DM，请判断△MCD的形状，并给出证明；
②若点N为直线AE上一点，且△CEN为等腰三角形， 直接写出∠CNE的度数．
解：（1）证明：∵CB=CA，DB=DA，
∴C、D在AB的垂直平分线上，∴CD垂直平分线段AB，∴CD⊥AB；
（2）①△MCD为等边三角形，理由如下：
∵，CD⊥AB，
∴∠ACD=45°，
∵,
∴∠CDE=60°，
∵DC=DM
∴△MCD为等边三角形；
②∵，
∴∠AEC=∠CAD=15°，
当EN=EC时，
∠ENC=0.5(180 -165 )=7.5或∠ENC=；
当EN=CN时，∠ENC=180 -30 =150 ；
当CE=CN时，∠CNE==15°，所以∠CNE的度数为7.5°、15°、82.5°、150°．
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【北师大版八年级数学（下）课时练习】
§1.3线段的垂直平分线（B）
一、选择题（每小题3分共30分）
1．（3分）如图，直线是线段的垂直平分线，为直线上一点，若线段，则线段的长为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．2
2．（3分）如图，在中，的垂直平分线分别交、于点、点，且点是边的中点，连接，则下列说法错误的是（ ）
A． B． C． D．
3．（3分）如图，在中，，以点为圆心，长为半径作弧交于点，分别以、为圆心，大于，两弧相交于点，作射线交于点，，则（ ）
A． B． C． D．
4．（3分）如图，△ABC中，，的垂直平分线交AC于点，的周长是，则（ ）
A． B． C． D．
5．（3分）如图，在中，，，的垂直平分线分别交与于点D和点E．若，则的长是（ ）
A．4 B． C．3 D．
6．（3分）如图，在钝角△ABC中，是钝角，，的垂直平分线分别交于，两点．设，，，则x，y，z之间的关系是（ ）
A． B．
C． D．
7．（3分）下列命题中，是真命题的是（ ）
A．三角形的外角大于三角形的任何一个内角
B．线段的垂直平分线上的任一点与该线段两个端点能构成等腰三角形
C．三角形一边的两个端点到这边上的中线所在的直线的距离相等
D．面积都相等的两个三角形一定全等
8．（3分）如图，在中，是的垂直平分线，，的周长为，则的周长是（ ）
A． B． C． D．
9．（3分）如图，在中，，的角平分线和的平分线相交于点，交于点，交的延长线于点，过点作交的延长线于点，交的延长线于点，连接并延长交于点，则下列结论：
①；②；③；④；其中正确的有（ ）
A．②③ B．②④ C．①②③④ D．①③④
10．（3分）如图，四边形中，，，在、上分别找一点、，使周长最小时，则的度数为（ ）．
A． B． C． D．
二、填空题（共15分）
11．（3分）垂直平分线的性质1： 上的点与这条线段两个端点的距离相等．
几何语言叙述：
∵点P在线段AB的 ∴PA＝PB
12．（3分）如图，是的垂直平分线，若，则四边形的周长为 ．
13．（3分）如图，中，，的垂直平分线交于，交于，且，则 ．
14．（3分）如图，在中，，，，的垂直平分线分别交、于点D、E，则的长为 ．
15．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC，AO平分∠BAC，OD垂直平分AB，将∠C沿着EF折叠，使得点C与点O重合，∠AFO＝52°，则∠OEF＝ ．
三、解答题（共55分）
16．（6分）如图，在△ABC中，，E为线段的中点，过点E作交于点D，连接．
(1)若，求的度数；
(2)若，的周长为26，直接写出的周长．
17．（7分）如图，已知线段．
（1）只用直尺(没有刻度的尺)和圆规作，使，，(要求保留作图痕迹，不必写出作法)；
（2）若在（1）作出的中，，求边上的高．
18．（8分）有一段关于古代藏宝图的记载（如图）：“从赤石向一颗杉树笔直走去，恰好在其连线中点处向右转前进，到达山脚的一个洞穴，宝物就在洞穴中．”若赤石标记为点“A”，杉树标记为点“B”，洞穴标记为点“C”．
(1)根据这段记载，应用数学知识描述点C与线段之间的关系．
(2)若在藏宝图上建立适当的直角坐标系，点A，B的坐标分别为，点C到线段之间的距离为5（单位长度），请画出坐标系，并求出洞穴到赤石的距离．
19．（8分）如图，在△ABC中，于，点是线段上一点，点是延长线上一点，且．
(1)请直接写出线段和之间的数量关系：______．
(2)请说明： ；
(3)请说明：是等边三角形；
(4)请直接写出线段之间的数量关系．
20．（8分）如图，是等边三角形外的一点，，，点，分别在，上．
(1)求证：是的垂直平分线．
(2)若平分，写出，，三者之间的数量关系，并证明你的结论．
21．（9分）如图，在△ABC中，，分别垂直平分和，交于，两点，与相交于点．
(1)若，则的度数为_____________；
(2)若，则的度数为_____________；（用含的代数式表示）
(3)连接、、，的周长为，的周长为，求的长．
22．（9分）如图，在中，点为内一点，且．
（1）求证：；
（2）， 为延长线上的一点，且．
①若点在上，连接MC且DC=DM，请判断△MCD的形状，并给出证明；
②若点N为直线AE上一点，且△CEN为等腰三角形， 直接写出∠CNE的度数．
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