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华师大版九年级上册期末全真模拟培优卷
数 学
时间：120分钟 总分：120分
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分）
1．在平面直角坐标系中，点关于轴对称点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
2．方程的解是（ ）
A．2 B．，1 C． D．2，
3．下列条件不能判定△ABC与△DEF相似的是（ ）
A． B．，，
C．∠A=∠D，∠B=∠E D．，∠B=∠E
4．如图1，有一张长，宽的长方形硬纸片，裁去角上2个小正方形和2个小长方形（图中阴影部分）之后，恰好折成如图2所示的有盖纸盒．若纸盒的底面积是，则纸盒的高为（ ）
A． B． C． D．
5．某种商品原来每件售价为元，经过连续两次降价后，该种商品每件售价为元设平均每次降价的百分率为，根据题意，所列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
6．下列一元二次方程有实数根的为（ ）
A． B． C． D．
7．如图，将矩形纸片沿折叠，使点与的中点重合，若，，则与的面积之比为（ ）
A．： B．： C．： D．：
8．在一个不透明的袋子中有除颜色外均相同的6个白球和若干黑球，通过多次摸球试验后，发现摸到白球的频率约为30%，估计袋中黑球有（ ）个．
A．8 B．9 C．14 D．15
9．下列关于事件发生可能性的表述，正确的是（ ）
A．“在地面向上抛石子后落在地上”是随机事件
B．掷两枚硬币，朝上面是一正面一反面的概率为
C．在同批次10000件产品中抽取100件发现有5件次品，则这批产品中大约有500件左右的次品
D．彩票的中奖率为10%，则买100张彩票必有10张中奖
10．某商品的价格为 元，经过连续两次降价 后的价格是 元，则 为（ ）
A． B． C． D．
11．在长和宽分别是19和15矩形内，如图所示放置5个大小相同的正方形，且A、B、C、D四个顶点分别在矩形的四条边上，则每个小正方形的边长是（ ）
A． B．5.5 C． D．3
12．如图，已知正方形ABCD，顶点A（1，3）、B（1，1）、C（3，1）.规定“把正方形ABCD先沿x轴翻折，再向左平移1个单位”为一次变换，如此这样，连续经过2014次变换后，正方形ABCD的对角线交点M的坐标变为（ ）
A．（-2012，2） B．（-2012，-2）
C．（-2013，-2） D．（-2013，2）
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
13．若方程的一个根是，则另一个根是 ．
14．如果方程x2-4x+3=0的两个根分别是Rt△ABC的两条边，△ABC最小的角为A，那么tanA的值为 .
15．如图是一位同学用激光笔测量某古城墙高度的示意图.点P处放一水平的平面镜，光线从点A出发经平面镜反射后刚好到古城墙的顶端C处，若，，测得，，，则该古城墙的高度是 .
16．已知，若，则 ．
17．如图，平面直角坐标系中，正方形和正方形是以O为位似中心的位似图形，位似比为1：2，点F，B，C在x轴上，若，则点G的坐标为 .
18．如图，在中，，.D是边BC的中点，点E在AB边上，将沿直线DE翻折，使点B落在同一平面内点F处，线段FD交边AB于点G，若时，则 .
三、综合题（本大题共8小题，共66分）
19．（6分）如图，葡萄园大棚支架的顶部形如等腰△ABC.经测量，钢条AD⊥BC，BC＝600cm，∠B＝38°.（精确到1cm，参考数据：sin 38°≈0.616，cos 38°≈0.788，tan 38°≈0.781）
（1）求钢条AB的长.
（2）为了加固支架，现在顶部加两根钢条DE和DF，已知DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，求DE的长.
20．（6分）某商场将进价为30元的台灯以40元售出，平均每月能售出600个.经调查发现，这种台灯的售价x每上涨1元，其销售量y就将减少10个（40≤x≤60）.
（1）求每月销售量y（用含x的代数式表示）.
（2）为了实现平均每月10000元的销售利润，这种台灯的售价应定为多少元？这时应购进台灯多少个？
21．（9分）在一个不透明的口袋里装有若干个相同的红球，为了估计袋中红球的数量，九（2）班学生在数学实验室分组做摸球实验：每组先将15个与红球大小形状完全相同的白球装入袋中，搅匀后从中随机摸出一个球并记下颜色，再把它放回袋中，不断重复.下表是这次活动统计汇总各小组数据后获得的全班数据统计表：
摸球的次数s 150 300 600 900 1200 1500
摸到红球的频数n 63 123 247 365 484 603
摸到红球的频率 0.420 0.410 0.412 0.406 0.403 a
（1）a＝ .
（2）请估计：当次数s很大时，摸到红球的频率将会接近 （精确到0.01）；请推测：摸到红球的概率是 （精确到0.1）.
（3）求口袋中红球的数量.
22．（9分）如图，一次函数y1＝mx+n与反比例函数y2＝ （x＞0）的图象分别交于点A（a，4）和点B（8，1），与坐标轴分别交于点C和点D．
（1）求一次函数与反比例函数的解析式；
（2）观察图象，当x＞0时，直接写出y1>y2的解集；
（3）若点P是x轴上一动点，当△COD与△ADP相似时，求点P的坐标．
23．（9分）如图，四边形中，平分，，E为的中点．
（1）求证：；
（2）求证：；
（3）若，，求的值．
24．（9分）在矩形 中，E为边 上一点，把 沿 翻折，使点D恰好落在边 上的点F处．
（1）求证： ．
（2）若 ， ，则 的值为 ．
（3）若 ， ，则AB的长为 ．
25．（9分）如图，已知矩形ABCD与矩形AEFG， ，连接GD，BE相交于点Q．
（1）求证：△GAD∽△EAB；
（2）猜想GD与BE之间的位置关系，并证明你的结论；
（3）请连接DE，BG，若AB=6，AE=3， 求DE2+BG2的值．
26．（9分）如图，已知在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝2，AC＝4，点D在射线BC上，以点D为圆心，BD为半径画弧交边AB于点E，过点E作EF⊥AB交边AC于点F，射线ED交射线AC于点G．
（1）求证：△EFG∽△AEG；
（2）设FG＝x，△EFG的面积为y，求y关于x的函数解析式并写出定义域；
（3）联结DF，当△EFD是等腰三角形时，请直接写出FG的长度．
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数 学
时间：120分钟 总分：120分
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分）
1．在平面直角坐标系中，点关于轴对称点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】【解答】∵点P的坐标为（-3，-5），
∴点P关于y轴对称的点坐标为（3，-5），
故答案为：C.
【分析】根据关于y轴对称的点坐标的特征：横坐标变为相反数，纵坐标不变可得答案.
2．方程的解是（ ）
A．2 B．，1 C． D．2，
【答案】D
【解析】【解答】解：由题意得，
∴x=2或x=-1，
∴方程的解是2，-1
故答案为：D
【分析】根据因式分解法解一元二次方程，进而即可求解。
3．下列条件不能判定△ABC与△DEF相似的是（ ）
A． B．，，
C．∠A=∠D，∠B=∠E D．，∠B=∠E
【答案】B
【解析】【解答】解：A.根据三角形相似判定定理，如果两个三角形对应边成比例，可得出两个三角形相似，A符合题意；
BD.根据三角形相似判定定理，如果两个三角形对应边的比相等且夹角相等，可得两个三角形相似，B不符合题意，D符合题意；
C.根据三角形相似判定定理，如果两个三角形的两个角对应相等，可得出两个三角形相似，C符合题意；
故答案为：B.
【分析】根据相似三角形的判定，结合选项进行判断即可求解。
4．如图1，有一张长，宽的长方形硬纸片，裁去角上2个小正方形和2个小长方形（图中阴影部分）之后，恰好折成如图2所示的有盖纸盒．若纸盒的底面积是，则纸盒的高为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解：设当纸盒的高为xcm时，纸盒的底面积是130cm2，则纸盒的底的长为cm，宽为（16-2x）cm，
依题意得，
化简，得，
解得．
当时，，不符合题意，舍去．
故纸盒的高为，
故选：C．
【分析】本题考查一元二次方程的应用 设当纸盒的高为xcm时，纸盒的底面积是130cm2，据此可表示出纸盒的底的长为cm，宽为（16-2x）cm，根据长方形的面积=长×宽，可列出关于x的一元二次方程，解方程可求出x的值，再进行检验可求出纸盒的高．
5．某种商品原来每件售价为元，经过连续两次降价后，该种商品每件售价为元设平均每次降价的百分率为，根据题意，所列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：设平均每次降价的百分率为x，根据题意得100（1-x）2=81.
故答案为：B.
【分析】由题意可知等量关系为：原售价×（1-降低率）2=两次降价后的售价，列方程即可.
6．下列一元二次方程有实数根的为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解：A、∵b2-4ac=1-8=-7＜0，
∴此方程无实数根，故A不符合题意；
B、∵b2-4ac=0-8=-8＜0，
∴此方程无实数根，故B不符合题意；
C、∵b2-4ac=4-8=-4＜0，
∴此方程无实数根，故C不符合题意；
D、∵b2-4ac=9+8=17＞0，
∴此方程有两个不相等的实数根，故D符合题意；
故答案为：D.
【分析】分别求出各选项中b2-4ac，然后根据当b2-4ac＞0，方程有两个不相等的实数根；当b2-4ac=0，方程有两个相等的实数根；当b2-4ac＜0，方程没有实数根；即可作出判断.
7．如图，将矩形纸片沿折叠，使点与的中点重合，若，，则与的面积之比为（ ）
A．： B．： C．： D．：
【答案】C
【解析】【解答】解：根据题意可知：∠A'B'F＝∠B＝90°，B'F＝BF，B'C＝B'D＝CD＝AB＝1
设BF＝x，则B'F＝BF＝x，CF＝3-x，
∵，
∴
解得，x=
∴CF＝
易证明△FCB'∽△B'DG，
∴
故答案为：C.
【分析】设BF＝x，根据勾股定理求出BF，得CF，证明△FCB'∽△B'DG，根据面积比等于相似比求出结果。
8．在一个不透明的袋子中有除颜色外均相同的6个白球和若干黑球，通过多次摸球试验后，发现摸到白球的频率约为30%，估计袋中黑球有（ ）个．
A．8 B．9 C．14 D．15
【答案】C
【解析】【解答】解：∵摸到白球的频率约为30%，
∴不透明的袋子中一共有球为：6÷30%=20（个），
黑球有20-6=14（个），
故答案为：C．
【分析】根据摸到白球的频率约为30%，用6除以30%得出总球数，再计算求解即可。
9．下列关于事件发生可能性的表述，正确的是（ ）
A．“在地面向上抛石子后落在地上”是随机事件
B．掷两枚硬币，朝上面是一正面一反面的概率为
C．在同批次10000件产品中抽取100件发现有5件次品，则这批产品中大约有500件左右的次品
D．彩票的中奖率为10%，则买100张彩票必有10张中奖
【答案】C
【解析】【解答】解：A、“在地面向上抛石子后落在地上”是必然事件，故此选项不符合题意；
B、掷两枚硬币，朝上面是一正面一反面的概率为 ，故此选项不符合题意；
C、在同批次10000件产品中抽取100件发现有5件次品，则这批产品中大约有500件左右的次品，符合题意；
D、彩票的中奖率为10%，则买100张彩票可能有10张中奖，故原说法不符合题意．
故答案为：C．
【分析】根据事件发生的可能性及随机事件的定义逐项判断即可。
10．某商品的价格为 元，经过连续两次降价 后的价格是 元，则 为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解：平均每次降价的百分率为 ，根据题意列方程得：
100×（1 ）2＝81，
解得x1＝10，x2＝190（不符合题意，舍去），
故答案为：C.
【分析】此题的等量关系为：降价前的价格×（1-降价率）2=81，列方程求出方程的解即可.
11．在长和宽分别是19和15矩形内，如图所示放置5个大小相同的正方形，且A、B、C、D四个顶点分别在矩形的四条边上，则每个小正方形的边长是（ ）
A． B．5.5 C． D．3
【答案】A
【解析】【解答】解：如图，过T作EF垂直矩形的宽，过P作HJ垂直于矩形的长，
设正方形的边长为x，由EF和DT所成的角为θ，则PJ和PC所成的角为θ，在
EF=ET+OT+AH+AM=2xsinθ+xcosθ+xcosθ+xcosθ=19， 即2xsinθ+3xcosθ=19
JH=PJ+PH=2xcosθ+xcosθ=15，即3xcosθ=15，
∴xsinθ=2， xcosθ=5，
两边平方相加得：x2=29，
∴x=， 即正方形的边长为.
故答案为：A.
【分析】过T作EF垂直矩形的宽，过P作HJ垂直于矩形的长，设正方形的边长为x，由EF和DT所成的角为θ，得出PJ和PC所成的角为θ，利用θ的正弦值和余弦值表示出矩形的长和宽，两式联立求解即可.
12．如图，已知正方形ABCD，顶点A（1，3）、B（1，1）、C（3，1）.规定“把正方形ABCD先沿x轴翻折，再向左平移1个单位”为一次变换，如此这样，连续经过2014次变换后，正方形ABCD的对角线交点M的坐标变为（ ）
A．（-2012，2） B．（-2012，-2）
C．（-2013，-2） D．（-2013，2）
【答案】A
【解析】【解答】∵正方形ABCD，顶点A（1，3）、B（1，1）、C（3，1）.
∴对角线交点M的坐标为（2，2），
根据题意得：第1次变换后的点M的对应点的坐标为（2-1，-2），即（1，-2），
第2次变换后的点M的对应点的坐标为：（2-2，2），即（0，2），
第3次变换后的点M的对应点的坐标为（2-3，-2），即（-1，-2），
第n次变换后的点M的对应点的为：当n为奇数时为（2-n，-2），当n为偶数时为（2-n，2），
∴连续经过2014次变换后，正方形ABCD的对角线交点M的坐标变为（-2012，2）.
故答案为：A.
【分析】首先由正方形ABCD，顶点A（1，3）、B（1，1）、C（3，1），然后根据题意求得第1次、2次、3次变换后的对角线交点M的对应点的坐标，即可得规律：第n次变换后的点M的对应点的为：当n为奇数时为（2-n，-2），当n为偶数时为（2-n，2），继而求得把正方形ABCD连续经过2014次这样的变换得到正方形ABCD的对角线交点M的坐标.
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
13．若方程的一个根是，则另一个根是 ．
【答案】-2
【解析】【解答】解：∵方程x2+2x-k=0的一个根是0，设另一个根是α，
则0+α=-2，
∴α=-2.
故答案为：-2.
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系求解。若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根，则，．
14．如果方程x2-4x+3=0的两个根分别是Rt△ABC的两条边，△ABC最小的角为A，那么tanA的值为 .
【答案】或
【解析】【解答】解：解方程x2-4x+3=0得，x1=1，x2=3，
①当3是直角边时，∵△ABC最小的角为A，∴tanA=；
②当3是斜边时，根据勾股定理，∠A的邻边=，∴tanA=；
所以tanA的值为或.
【分析】利用因式分解法求出方程的解，再分情况讨论：当3是直角边时，利用锐角三角函数的定义可求出tanA的值；当3是斜边时，利用勾股定理求出∠A的邻边，然后利用锐角三角函数的定义可求出tanA的值.
15．如图是一位同学用激光笔测量某古城墙高度的示意图.点P处放一水平的平面镜，光线从点A出发经平面镜反射后刚好到古城墙的顶端C处，若，，测得，，，则该古城墙的高度是 .
【答案】4.5
【解析】【解答】解：如图，
由题意可得：∠APE=∠CPE，
∴∠APB=∠CPD，
∵AB⊥BD，CD⊥BD，
∴∠ABP=∠CDP=90°，
∴ΔABP∽ΔCDP，
∴AB：BP=CD：PD，
∵AB=1.5米，BP=2米，PD=6米，
∴，
解得：CD=4.5米，
故答案为：4.5.
【分析】证明△ABP∽△CDP，得AB：BP=CD：PD，据此求出CD的长.
16．已知，若，则 ．
【答案】12
【解析】【解答】解：，
由等比性质，得，
所以．
故答案为：12.
【分析】由等比性质得，据此不难求出a+c+e的值.
17．如图，平面直角坐标系中，正方形和正方形是以O为位似中心的位似图形，位似比为1：2，点F，B，C在x轴上，若，则点G的坐标为 .
【答案】(6，3)
【解析】【解答】解：∵正方形和正方形是以O为位似中心的位似图形，位似比为1：2，
∴，，，
∴，
∴，即，
解得：，，
∴点G的坐标为，
故答案为：.
【分析】根据正方形的性质以及位似图形的性质可得BC=AD=CD=6，BG∥CD，，证明△OBG∽△OCD，根据相似三角形的性质可得OB、BG的值，进而可得点G的坐标.
18．如图，在中，，.D是边BC的中点，点E在AB边上，将沿直线DE翻折，使点B落在同一平面内点F处，线段FD交边AB于点G，若时，则 .
【答案】4
【解析】【解答】解：如图，过点作交的延长线于，如图，
，
，
，
设，，
，
沿直线翻折得到，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，，
，
，即，
，
，
.
故答案为：4.
【分析】过B点作BH∥DE交GD的延长线于H，根据三角函数的概念可设DG=3x，BD=5x，由勾股定理可得BG=4x，根据折叠的性质可得∠BDE=∠FDE，由平行线的性质得∠FDE=∠H，∠BDE=∠DBH，则∠H=∠DBH，推出DH=DB=5x，根据平行线分线段成比例的性质可得BE，证明△BDG∽△BAC，根据相似三角形的性质可得AB，由AE=AB-BE可得AE，据此求解.
三、综合题（本大题共8小题，共66分）
19．（6分）如图，葡萄园大棚支架的顶部形如等腰△ABC.经测量，钢条AD⊥BC，BC＝600cm，∠B＝38°.（精确到1cm，参考数据：sin 38°≈0.616，cos 38°≈0.788，tan 38°≈0.781）
（1）求钢条AB的长.
（2）为了加固支架，现在顶部加两根钢条DE和DF，已知DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，求DE的长.
【答案】（1）解：∵在等腰△ABC中，AD⊥BC.
∴BC＝2BD＝600，
∴BD＝300.
∵∠ABC＝38°，
∴.
答：钢条AB的长为381cm；
（2）解：∵DE⊥AB于点E.BD＝300.
∴.
答：钢条DE的长为185cm.
【解析】【分析】（1）在 中，利用 的余弦值 ，代入相关数据计算即可；
（2）在 中，利用 的正弦值 ，代入相关数据计算即可.
20．（6分）某商场将进价为30元的台灯以40元售出，平均每月能售出600个.经调查发现，这种台灯的售价x每上涨1元，其销售量y就将减少10个（40≤x≤60）.
（1）求每月销售量y（用含x的代数式表示）.
（2）为了实现平均每月10000元的销售利润，这种台灯的售价应定为多少元？这时应购进台灯多少个？
【答案】（1）解：∵以40元售出，平均每月能售出600个，售价x每上涨1元，其销售量y就将减少10个，
∴每月销量y与售价x的函数关系式为：
；
即 .
（2）解：根据题意得： ，
解得： ， ，
∵ ，
∴ 舍去，
∴这种台灯的售价应定为50元；
这时应购进台灯： （个）.
【解析】【分析】（1）当售价为x元时，销售量减少10(x-40)，利用600减去减少的量即可表示出y与x的关系式；
（2）由题意可得每个的利润为(x-30)元，利用每个的利润×销售量=总利润可得关于x的方程，求解即可.
21．（9分）在一个不透明的口袋里装有若干个相同的红球，为了估计袋中红球的数量，九（2）班学生在数学实验室分组做摸球实验：每组先将15个与红球大小形状完全相同的白球装入袋中，搅匀后从中随机摸出一个球并记下颜色，再把它放回袋中，不断重复.下表是这次活动统计汇总各小组数据后获得的全班数据统计表：
摸球的次数s 150 300 600 900 1200 1500
摸到红球的频数n 63 123 247 365 484 603
摸到红球的频率 0.420 0.410 0.412 0.406 0.403 a
（1）a＝ .
（2）请估计：当次数s很大时，摸到红球的频率将会接近 （精确到0.01）；请推测：摸到红球的概率是 （精确到0.1）.
（3）求口袋中红球的数量.
【答案】（1）0.402
（2）0.40；0.4
（3）解：设口袋中有红球x个，则
，
解得x=10，
∴口袋中有红球10个.
【解析】【解答】（1）解： a=603÷1500=0.402，
故答案为0.402；
（2）解：当次数s很大时，摸到红球的频率将会接近0.40，推测摸到红球的概率是0.4，
故答案为：0.40，0.4；
【分析】（1）根据频率＝频数÷样本总数分别求得a的值即可；
（2）从表中的统计数据可知，摸到红球的频率稳定在0.4左右；
（3）根据红球的概率公式可得关于x的方程，解方程求解即可.
22．（9分）如图，一次函数y1＝mx+n与反比例函数y2＝ （x＞0）的图象分别交于点A（a，4）和点B（8，1），与坐标轴分别交于点C和点D．
（1）求一次函数与反比例函数的解析式；
（2）观察图象，当x＞0时，直接写出y1>y2的解集；
（3）若点P是x轴上一动点，当△COD与△ADP相似时，求点P的坐标．
【答案】（1）解：把B（8，1）代入反比例函数 中，
则 ，解得
∴反 比 例 函 数 的 关 系 式 为 ，
∵点 A（a，4）在 图象上，
∴ a＝ ＝2，即A（2，4）
把A（2，4），B（8，1）两点代入y1＝mx+n中得
解得： ，
所以直线AB的解析式为：y1＝﹣ x+5；反比例函数的关系式为y2= ，
（2）解：由图象可得，当x＞0时，y1>y2的解集为2＜x＜8．
（3）解：由（1）得直线AB的解析式为y1＝﹣ x+5，
当x＝0时，y＝5，
∴ C（0，5），
∴ OC＝5，
当y＝0时，x＝10，
∴D点坐标为（10，0）
∴ OD＝10，
∴ CD＝ ＝
∵A（2，4），
∴ AD＝ ＝4
设P点坐标为（a，0），由题可知，点P在点D左侧，则PD＝10﹣a
由∠CDO＝∠ADP可得
①当 时， ，如图1
此时 ，
∴ ，解得a＝2，
故点P坐标为（2，0）
②当 时， ，如图2
当时， ，
∴ ，解得a＝0，
即点P的坐标为（0，0）
因此，点P的坐标为（2，0）或（0，0）时，△COD与△ADP相似．
【解析】【分析】（1）先将点B代入反比例函数解析式中求出反比例函数的解析式，然后进一步求出A的坐标，再将A，B代入一次函数中求一次函数解析式即可；（2）根据图象和两函数的交点即可写出y1>y2的解集；（3）先求出C，D的坐标，从而求出CD，AD，OD的长度，然后分两种情况：当 时，△COD∽△APD；当 时，△COD∽△PAD，分别利用相似三角形的性质进行讨论即可．
23．（9分）如图，四边形中，平分，，E为的中点．
（1）求证：；
（2）求证：；
（3）若，，求的值．
【答案】（1）证明：平分，
，
在和中，，
，
，
；
（2）证明：，为的中点，
，
，
由（1）已得：，
，
；
（3）解：，E为的中点，
，
由（2）已证：，
，
，
，即，
．
【解析】【分析】（1）由平分，，证得，再由相似三角形的对应边成比例，即可得出结论；
（2）为的中点，根据在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半，即可证得，继而证得，从而得出结论；
（3）易证得出，再由相似三角形的对应边成比例，即可求得结果。
24．（9分）在矩形 中，E为边 上一点，把 沿 翻折，使点D恰好落在边 上的点F处．
（1）求证： ．
（2）若 ， ，则 的值为 ．
（3）若 ， ，则AB的长为 ．
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B＝∠C＝∠D＝90°，
由翻折可知，∠D＝∠AFE＝90°，
∴∠AFB＋∠EFC＝90°，∠EFC＋∠CEF＝90°，
∴∠AFB＝∠FEC，
∴△ABF∽△FCE
（2）
（3）
【解析】【解答】解：（2）∵把△ADE沿AE翻折，使点D恰好落在边BC上的点F处，
∴AD＝AF＝10，DE＝EF，∠EAF＝∠DAE，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝CD＝6，
∴BF＝ ＝ ＝8，
设DE＝x，则EF＝x，CE＝6 x，
∵△ABF∽△FCE，
∴ ，
∴ ，
解得x＝ ，
∴DE＝ ，
∴tan∠EAF＝tan∠DAE＝ ＝ ＝ ，
故答案为： ；
（3）设CE＝y，则CD＝AB＝y＋3，
由折叠知，AD＝AF＝6，DE＝EF＝3，
∵△FCE∽△ABF，
∴ ，
∴BF＝2y，CF＝ ，
∴2y＋ ＝6，
解得y＝ ，
∴AB＝CD＝DE＋CE＝3＋ ＝ ，
故答案为： ．
【分析】（1）根据两角对应相等的两个三角形相似证明即可；
（2）由折叠的性质得出AD＝AF＝10，DE＝EF，∠EAF＝∠DAE，由勾股定理求出BF＝8，设DE＝x，则EF＝x，CE＝6 x，由相似三角形的性质得出，可求出DE的长，则可得出答案；
（3）设CE＝y，则CD＝AB＝y＋3，由折叠AD＝AF＝6，DE＝EF＝3，由相似三角形的性质得出BF＝2y，CF＝ ，则可得出方程求出CE的长，则可得出答案。
25．（9分）如图，已知矩形ABCD与矩形AEFG， ，连接GD，BE相交于点Q．
（1）求证：△GAD∽△EAB；
（2）猜想GD与BE之间的位置关系，并证明你的结论；
（3）请连接DE，BG，若AB=6，AE=3， 求DE2+BG2的值．
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD与AEFG为矩形，
∴∠DAB=∠EAG=90°，
∴∠DAG=∠EAB，
∵ ，即 ，
∴△GAD∽△EAB；
（2）解：GD⊥BE，理由如下：
如图，设QE与AG相交于点M，
∵△GAD∽△EAB；
∴∠AGD=∠AEB，
又∵∠QMG=∠AME，
∴∠GQE=∠GAE，
又∵∠GAE=90°，
∴∠GQE=90°，
∴GD⊥BE；
（3）解：如图，连接BD和EG，
∵GD⊥BE，
∴ ， ，
∴ ，
即 ，
∴ ，
∵AB=6，AE=3， ，
∴AD=8，AG=4，
∴ ．
【解析】【分析】（1）先求出 ∠DAG=∠EAB， 再求出 ， 最后证明求解即可；
（2）根据题意求出 ∠AGD=∠AEB， 再求出 ∠GQE=90°， 最后作答即可；
（3）利用勾股定理计算求解即可。
26．（9分）如图，已知在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝2，AC＝4，点D在射线BC上，以点D为圆心，BD为半径画弧交边AB于点E，过点E作EF⊥AB交边AC于点F，射线ED交射线AC于点G．
（1）求证：△EFG∽△AEG；
（2）设FG＝x，△EFG的面积为y，求y关于x的函数解析式并写出定义域；
（3）联结DF，当△EFD是等腰三角形时，请直接写出FG的长度．
【答案】（1）证明：∵ ED=BD，
∴ ∠B=∠BED．
∵ ∠ACB=90°，
∴ ∠B+∠A=90°．
∵ EF⊥AB，
∴ ∠BEF=90°．
∴ ∠BED+∠GEF=90°．
∴ ∠A=∠GEF．
∵ ∠G是公共角，
∴ △EFG∽△AEG；
（2）解：作EH⊥AF于点H．
∵ 在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=2，AC=4，
∴tanA= = ，
∴ 在Rt△AEF中，∠AEF=90°，tanA= = ，
∵ △EFG∽△AEG，
∴ ，
∵ FG=x，
∴ EG=2x，AG=4x．
∴ AF=3x．
∵ EH⊥AF，
∴ ∠AHE=∠EHF=90°．
∴ ∠EFA+∠FEH=90°．
∵ ∠AEF=90°，
∴ ∠A+∠EFA=90°，
∴ ∠A=∠FEH，
∴ tanA =tan∠FEH，
∴ 在Rt△EHF中，∠EHF=90°，tan∠FEH= = ，
∴ EH=2HF，
∵ 在Rt△AEH中，∠AHE=90°，tanA= = ，
∴ AH=2EH，
∴ AH=4HF，
∴ AF=5HF，
∴ HF= ，
∴EH= ，
∴y= FG·EH= x· = 定义域：（0（3）解：当△EFD为等腰三角形时，
①当ED=EF时，则有∠EDF=∠EFD，
∵∠BED=∠EFH，
∴∠BEH=∠AHG，
∵∠ACB=∠AEH=90°，
∴∠CEF=∠HEF，即EF为∠GEH的平分线，
则ED=EF=x，DG=8 x，
∵anA= ，
∴x=3，即BE=3；
②若FE=FD， 此时FG的长度是 ；
③若DE=DF， 此时FG的长度是 .
【解析】【分析】（1）先证明∠B=∠BED．利用等角的余角相等，判断出 ∠A=∠GEF．即可得出结论；
（2）先判断出 AH=2EH，EH= ，即可得出结论；
（3）分三种情况：①当ED=EF时，②若FE=FD， ③若DE=DF， 分了讨论即可。
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