芜湖一中2023-2024学年度高一上学期期末数学测试
考试时间：120分钟 满分：150分
第I卷（选择题）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知实数集，集合，，则( )
A. B. C. D.
2.已知不等式的解集为，则的解集为( )
A. B.
C. 或 D. 或
3.化简得( )
A. B.
C. D.
4.若则有( )
A. B. C. D.
5.若函数的定义域为，则函数的定义域为( )
A. B. C. D.
6.已知，则的最小值为( )
A. B. C. D.
7.已知函数，则不等式的解集为( )
A. B.
C. D.
8.已知函数对任意都有，若在上的值域为，则实数的取值范围为( )
A. B. C. D.
多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.下列命题正确的是( )
A. 命题“”的否定是“”
B. 的充要条件是
C.
D. 是的充分条件
10.设函数的最小正周期为，且把的图象向左平移个单位后得到的图象关于原点对称，则下列结论中正确的是( )
A. 函数的图象关于直线对称
B. 函数的图象关于点对称
C. 函数在区间上单调递增
D. 若，则
11.已知定义在上的偶函数对任意的满足，当时，，函数且，则下列结论正确的有( )
A. 是周期为的周期函数
B. 当时，
C. 若在上单调递减，则
D. 若方程在上有个不同的实数根，则实数的取值范围是
第II卷（非选择题）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知已知关于的不等式的解集是空集，则实数的取值范围是__________．
13.已知函数，则满足的的取值范围是_____________．
14.设为实数，函数，若对于一切，不等式恒成立，则实数的取值范围是_____________．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知集合，，．
求，；
若，求实数的取值范围．
16.本小题分
已知，求函数的最大值，并求出此时值；
已知，正实数集，且，求的最小值，并求出此时，的值；
已知，，且，求的最大值，并求出此时，的值．
17.本小题分
已知是定义在上的奇函数，且当时，
求函数的解析式；
当时，不等式恒成立，求实数的取值范围．
18.本小题分
已知函数．
求函数的最小正周期；
若，求的值．
若对于任意均有恒成立，求的取值范围．
19.本小题分
已知函数，其反函数为．
求函数，的最小值；
对于函数，若定义域内存在实数，满足，则称为“函数”已知函数为其定义域上的“函数”，求实数的取值范围．芜湖一中2023-2024学年度高一上学期期末数学测试
考试时间：120分钟 满分：150分
第I卷（选择题）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知实数集，集合，，则( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】【分析】
本题考查交集、补集的求法，考查运算求解能力，是基础题．
求出集合，进而求出，由此能求出．
【解答】
解：集合，，
，
则 ．
故选A．
2.已知不等式的解集为，则的解集为( )
A. B.
C. 或 D. 或
【答案】C
【解析】【分析】
本题考查了一元二次不等式解集与相应的一元二次方程的实数根的关系、根与系数的关系，属于中档题．
由于不等式 的解集为，可得，是一元二次方程 的实数根，利用根与系数的关系求出，，再求解不等式．
【解答】
解：不等式 的解集为，
，是一元二次方程 的实数根．
，，
，，
由不等式 ，
即，解得 或 ．
的解集为或，
故选：．
3.化简得( )
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】【分析】
本题考查同角三角函数的基本关系式和诱导公式，属于基础题．
把已知式子化为，然后根据，去绝对值即可求出结果．
【解答】
解：
，
，
，，
，
．
故选C．
4.若则有( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】【分析】
本题考查了指数幂的运算法则，指数函数的性质，对数的运算性质及其对数函数的性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．分别利用指数函数的性质和对数函数的性质求出，的范围，再根据对数的运算性质求出，即可比较大小．
【解答】
解：
，
故选A．
5.若函数的定义域为，则函数的定义域为( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】【分析】
本题考查了抽象函数的定义域，属于基础题．
由已知函数的定义域为，得到，即可求出函数的定义域．
【解答】
解： 因为函数的定义域为，
所以，
即，解得，
即的定义域是．
故选A．
6.已知，则的最小值为( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】【分析】
本题主要考查了基本不等式在最值问题中的应用，注意基本不等式满足的条件是：一正、二定、三相等，属于中档题．
，然后利用基本不等式求解即可．
【解答】
解：，
，，
，
当且仅当，即时，等号成立，
故的最小值为，
故选C．
7.已知函数，则不等式的解集为( )
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】【分析】
本题考查了不等式求解，对数与对数运算，函数的单调性与单调区间，复合函数的单调性，函数的奇偶性，一元二次不等式的解法和利用导数研究函数的单调性，属于中档题．
利用对数运算得，利用偶函数的定义得函数是偶函数，令，利用导数研究函数的单调性得函数在是增函数，再利用复合函数的单调性得函数在是增函数，再利用偶函数的性质和函数的单调性由得，再利用不等式求解得，再利用一元二次不等式的解法，计算得结论．
【解答】
解：因为函数的定义域为，
而，
所以，
因此函数是偶函数．
令，则，
当时，，因此，
即函数在是增函数，
所以函数在是增函数．
因为函数是偶函数，
所以等价于．
又因为函数在是增函数，所以，
即，
即，解得，
所以不等式的解集为．
故选D．
8.已知函数对任意都有，若在上的值域为，则实数的取值范围为( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】【分析】
本题考查三角函数的最值问题，属于较难题．
对任意的都有说明的最大值为，从而求出，再利用辅助角公式把函数化成，再根据函数在上的值域，即可求解．
【解答】
解：，
所以，
又对任意的都有说明的最大值为，
所以，解得，
，
，，
因为在上的值域为，
，，
所以，
解得，
故选A．
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.下列命题正确的是( )
A. 命题“”的否定是“”
B. 的充要条件是
C.
D. 是的充分条件
【答案】AD
【解析】【分析】
本题考查充分必要条件的判定，含义量词的命题的否定和真假判定，根据含量词的命题的否定方法判断，根据充分条件和必要条件的定义判断，，根据全称量词命题的真假的判断方法判断．
【解答】
命题“”的否定是“”，对，
当时，但不存在，所以不是的充分条件，错，
当时，，错，
由可得，所以是的充分条件，对，
10.设函数的最小正周期为，且把的图象向左平移个单位后得到的图象关于原点对称，则下列结论中正确的是( )
A. 函数的图象关于直线对称
B. 函数的图象关于点对称
C. 函数在区间上单调递增
D. 若，则
【答案】AD
【解析】【分析】
本题考查正弦函数的图象与性质的应用，三角函数的图象变换，诱导公式，属于中档题．
根据正弦函数的周期可得，再根据条件可得，则 ，利用正弦函数的性质即可判断，根据诱导公式即可判断，可得结果．
【解答】
解：由的最小正周期为 ，可得，
把的图象向左平移个单位后得到函数的图象，
由于的图象关于原点对称，
所以，解得 ，
由于，故取，，
故，
对于，由 ，
则函数的图象关于直线对称，A正确；
对于，，B错误；
对于，当时，，C错误；
对于， ，
则 ，D正确．
故选AD．
11.已知定义在上的偶函数对任意的满足，当时，，函数且，则下列结论正确的有( )
A. 是周期为的周期函数
B. 当时，
C. 若在上单调递减，则
D. 若方程在上有个不同的实数根，则实数的取值范围是
【答案】ACD
【解析】【分析】
本题考查函数的奇偶性，周期性，单调性，考查分段函数和对数函数，考查函数图象的应用，属于较难题．
由判断；结合当时，，可求当时的解析式，判断；若在上单调递减，则可判断；作出图像，结合图像，分类讨论可判断．
【解答】
解：由已知条件：对任意的满足，得A正确；
当时，，由周期性得，B错误；
若在上单调递减，则，解得，故C正确；
当时，，则，
由周期性和奇偶性作出的图象：
注意到，
当时，，与在时无交点，
时，与应有个交点，则
解得，
当时，，与在时无交点，
时，与应有个交点，则，
解得，
综上，实数的取值范围是，D正确．
故选：．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知已知关于的不等式的解集是空集，则实数的取值范围是_____________．
【答案】
【解析】【分析】
本题考查了一元二次不等式的解法，一元二次不等式与相应的函数与方程的关系，熟练掌握二次函数的性质是解本题的关键，属于基础题．
设，按二次项系数是否为进行分类讨论，当二次项系数不为时，利用二次函数的性质得到二次项系数小于，根的判别式小于列出关于的不等式，求出不等式的解集即可确定出的范围．
【解答】解：设，
当时，不等式的解集为空集，符合题意；
当时，原不等式变形为，不是空集，不符合题意；
当时，则
解得：，
综上，的取值范围为
故答案为
13.已知函数，则满足的的取值范围是_____________．
【答案】
【解析】【分析】
本题考查分段函数及不等式求解，涉及指数与对数函数性质的应用，属于基础题．
分和进行讨论，即可求解得到答案．
【解答】
解：时，则 ，解得；
时，则 ，解得．
综上可得的取值范围是．
故答案为：．
14.设为实数，函数，若对于一切，不等式恒成立，则实数的取值范围是_____________．
【答案】
【解析】【分析】
本题考查了分段函数的应用及分类讨论的思想应用，关键在于化为最值问题，属于较难题．
当时，，分类讨论以确定函数的单调性，从而求最值，化简恒成立问题为最值问题即可．
【解答】
解：当时，
，
，
当时，
，
故不等式恒成立；
当时，
由对勾函数的单调性及分段函数的单调性可知，
在上单调递增，
故，
故，
故；
当时，在上单调递增，
故，
故，
故无解，
综上所述，．
故答案为：．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知集合，，．
求，；
若，求实数的取值范围．
【答案】解：，．
．
又，
．
如图．
要使，则．
【解析】本题考查了集合的运算，考查了集合中参数的取值范围，属于基础题．
直接根据集合的运算求解即可；
结合数轴，由集合的关系可以求出的取值范围．
16.本小题分
已知，求函数的最大值，并求出此时值；
已知，正实数集，且，求的最小值，并求出此时，的值；
已知，，且，求的最大值，并求出此时，的值．
【答案】解：，，故．
．
，
，
当且仅当，即或舍时，等号成立，
故当时，，
，，，
，
当且仅当，且，即时等号成立，
当，时，，
，
当且仅当，即，时，有最大值．
【解析】由已知可得，然后利用基本不等式即可求解；
由已知可得，，展开后利用基本不等式即可求解；
由，利用基本不等式可求解。
本题主要考查了利用基本不等式求解最值及证明不等式，解题的关键是应用条件配凑．
17.本小题分
已知是定义在上的奇函数，且当时，
求函数的解析式；
当时，不等式恒成立，求实数的取值范围．
【答案】解：当时，，
则当时，，所以，
又是奇函数，，故，
当时，，
故函数
由，可得．
是奇函数，．
又是减函数，所以对恒成立．
令，则，
对恒成立．
方法一：令， ，
因为二次函数开口向上，所以为，中较大的值，
，解得．
实数的取值范围为．
方法二分离参数法对恒成立．
记，函数在区间上单调递减，
所以 ，
实数的取值范围为．
【解析】本题考查函数的奇偶性及函数解析式的求解，同时考查不等式恒成立问题及二次函数，属于较难题．
当时，，再由，求解当时，，故可得答案；
由已知可得恒成立，令，，则，即对恒成立．
方法一：利用二次函数性质可得，解出即可；
方法二：分离参数可得对恒成立，记，由函数的单调性即可求出答案．
18.本小题分
已知函数．
求函数的最小正周期；
若，求的值．
若对于任意均有恒成立，求的取值范围．
【答案】解：由
，
可得函数 的最小正周期 ．
因为 ， ，
所以 ．
因为 ，所以 ，
所以 ，
所以
．
由知，函数 ，
可得 ，
因为对于任意 均有 恒成立，
即对于任意 均有 恒成立，
即对于任意 均有 恒成立，
又因为 ，
因为 ，可得 ，
又因为 单调递增且大于，可得 在 上单调递减，
所以 ，
所以 ，
所以 的取值范围为 ．
【解析】本题主要考查三角函数的性质，属于较难题．
化简 ，然后利用周期公式计算；
根据 得到 ，然后利用同角三角函数基本关系及和差角公式计算；
将任意 均有 恒成立转化为对于任意 均有 恒成立，然后利用函数单调性求最值即可得到 的取值范围．
19.本小题分
已知函数，其反函数为．
求函数，的最小值；
对于函数，若定义域内存在实数，满足，则称为“函数”已知函数为其定义域上的“函数”，求实数的取值范围．
【答案】解：由题意知，
令，则，
，，
当时，函数在区间上单调递增，
故F最小值等于，
当时，函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，
故F最小值等于，
当时，函数在区间上单调递减，
故F最小值等于，
综上所述，；
由题意得
当时，，
，，
由，可得，
即，
，
令，，
在为减函数，
当时，，
，，
由，可得，
即，
变形可得，
令，得，
由，有，
，结合对勾函数的性质可知在区间单调递减，在区间上单调递增，
，，
，
由可得，
在区间上单调递增，
当时，，
，，
由，可得，
即，
令，，
在单调递增，
，
综上所述，实数的取值范围为
【解析】本题考查函数的最值，函数中的新定义，考查分段函数，指数函数，二次函数等，考查计算能力和分类讨论的思想，属于较难题．
令，则，，，分类讨论可得的最小值
由题意得分，，三种情况讨论，由新定义，建立关于和的等式，分离参数即可．芜湖一中2023-2024学年度高一上学期期末测试
数学 答题卡
姓名：______________班级：______________
准考证号
一、选择题（请用2B铅笔填涂）
1 [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 2 [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 3 [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 4 [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 5 [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 6 [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 7 [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 8 [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 9 [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 10 [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 11 [ A ] [ B ] [ C ] [ D ]
二、填空题（请在横线上作答）
12 13 14
三、解答题（请在指定区域内作答）
15.本小题分
16本小题分
17.本小题分
18.本小题分
19.本小题7分
1
