2024-2025学年北师大版数学八年级下册1.2直角三角形 同步练习（含详解）

1.2直角三角形
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．如图，∠BAC=90°，AD⊥BC，则图中互余的角有( )
A．2对 B．3对 C．4对 D．5对
2．如图所示，在的正方形网格中，的顶点都在格点上，下列结论错误的是（ ）
A． B． C． D．
3．已知a，b，c是的三边，下列条件中，能够判断为直角三角形的是（ ）
A． B．
C． D．，，
4．下列长度的三条线段能组成直角三角形的是（　　　）
A．2，3，4 B．4，6，8 C．6，8，10 D．5，11，12
5．以下列各组数为边的三角形中，是直角三角形的有（ ）
（1）3，4，5；（2），，；（3），，；（4）0.03，0.04，0.05．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
6．以下列各组数为边长，能组成直角三角形的是（ ）
A．5，6，7 B．4，5，6 C．6，7，8 D．5，12，13
7．在中，的对边分别是，下列条件中，不能判定是直角三角形的是（ ）
A． B．
C． D．，
8．以下列各组数为边长，能构成直角三角形的是（ ）
A．9，12，15 B．，， C．6，7，8 D．4，5，6
9．如图，在四边形中，，，，，若，则的大小为（　　）
A． B． C． D．
10．下列条件不能使得三角形是直角三角形的是（ ）
A． B．
C． D．
11．如图，在中，，点在边上，点在边上，于点，连接，若，则线段的长是（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
12．已知，中、、的对边分别是、、，下列条件不能判断是直角三角形的是（ ）
A． B．，，
C． D．∶∶∶∶
二、填空题
13．一直角三角形的一直角边长为6，斜边长比另一直角边长大2，则斜边上的高是 ．
14．已知等腰三角形ABC的面积是5，底边上的高AD是，则它的周长为
15．直角三角形的三个内角之比为，则的值是 ．
16．如图，在中，，点为边上一动点，过点作，垂足为点，延长交的延长线于点，若，设长为，长为，则关于的函数关系式为 .（不需写出的取值范围）
17．如图，甲、乙两艘客轮同时离开港口，各自沿一固定方向航行，甲客轮每小时航行，乙客轮小时航行，它们离开港口一个半小时后分别位于点、处，且相距．如果知道甲客轮沿着北偏西的方向航行，则乙客轮的航行方向可能是 ．
三、解答题
18．如图1是一个婴儿车，图2为其简化结构示意图．现测得，，其中与之间由一个固定为的零件连接（即）．

(1)求的长度；
(2)根据安全标准需满足，通过计算说明该车是否符合安全标准？
19．如图，方格纸中每个小正方形的边长均为1个单位，线段，的端点均在小正方形的顶点上，请按下列要求画格点三角形．
(1)在图中画出以为底的等腰三角形，且的面积为．
(2)在图中画出以为一边的等腰三角形，且的面积为5．
20．在春天来临之际，八（1）班和八（2）班的同学计划在学校劳动实践基地种植蔬菜；如图，点是自来水管的位置，点和点分别表示八（1）班和八（2）班实践基地的位置，、两处相距6米，两处相距8米，两处相距10米；为了更好的使用自来水灌溉，八（1）班和八（2）班在图纸上设计了两种水管铺设方案：
八（1）班方案：沿线段铺设2段水管；
八（2）班方案：过点作于点，沿线段铺设3段水管；
(1)求证：；
(2)从节约水管的角度考虑，你会选择哪个班的铺设方案？为什么？
21．如图，在笔直的公路旁有一座山，从山另一边的处到公路上的停靠站的距离为，与公路上另一停靠站的距离为，停靠站、之间的距离为，为方便运输货物现要从公路上的处开凿隧道修通一条公路到处，且．
(1)请判断的形状？
(2)求修建的公路的长．
22．某农场主承包一片土地，形状如图所示，经测得，，，，．
(1)为方便种植，农场主打算修建一条小路，连接，求的长；
(2)求该四边形土地的面积．
23．如图所示，在平面直角坐标系中，，，，．
(1)求证：．
(2)求四边形的面积．
(3)点是轴上一个动点，若，求点的坐标．
24．补全命题的已知条件并写出完整的证明过程．
命题：如果一个三角形的两个边相等，那么这两个边所对的角也相等（简称“等边对等角”）．
已知：如图，在中， ，求证：．
《1.2直角三角形》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C A D C B D B A C B
题号 11 12
答案 B D
1．C
【分析】直接利用直角三角形两锐角之和等于90°即可得到答案.
【详解】解：∵∠BAC=90°，
∴∠B+∠A=90°，
∠BAD+∠CAD=90°，
又∵AD⊥BC，
∴∠B+∠BAD=90°，
∠C+∠CAD=90°，
综上，共有4对互余的角.
故选C.
【点睛】本题主要考查余角，解此题的关键在于准确分析题图，切勿遗漏.
2．A
【分析】利用勾股定理求出三边长，再依据勾股定理逆定理判断出即可得出答案．
【详解】解：由勾股定理可得：，
，
，
∵，，
∴，
∴，故B、C、D都正确，不符合题意，
∵，，
∴，
∴，
∴，故A错误，符合题意．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了勾股定理和其逆定理，运用勾股定理求出三边长，是解题的关键．
3．D
【分析】本题主要考查勾股定理逆定理及三角形内角和，熟练掌握勾股定理逆定理及三角形内角和是解题的关键；因此此题可根据三角形内角和及勾股定理逆定理进行排除选项．
【详解】解：A、由可设，则，所以，即，故不是直角三角形；
B、由及，所以，即，故不是直角三角形；
C、由可设，则，故不是直角三角形；
D、由，，可得，故是直角三角形；
故选D．
4．C
【分析】根据勾股定理判断即可；
【详解】解：A．22+32=13≠42，不能构成直角三角形；
B．42+62=52≠82，不能构成直角三角形；
C．62+82=100=102，能构成直角三角形；
D．52+112=146≠122，不能构成直角三角形．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了勾股定理逆定理，准确分析判断是解题的关键．
5．B
【分析】根据勾股定理的逆定理进行判断即可．
【详解】解：（1）∵，∴是直角三角形；
（2）∵，∴不是直角三角形；
（3）∵，∴不是直角三角形；
（4）∵，∴是直角三角形．
故选：B．
【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，当三角形的三边之间有时，则它是直角三角形．
6．D
【分析】根据勾股定理的逆定理可知，当三角形中三边的关系为a2＋b2＝c2时，则三角形为直角三角形.
【详解】解：A、52＋62≠72，不符合勾股定理的逆定理，不能组成直角三角形，故错误；
B、42＋52≠62，不符合勾股定理的逆定理，不能组成直角三角形，故错误；
C、62＋72≠82，不符合勾股定理的逆定理，不能组成直角三角形，故错误；
D、52＋122＝132，符合勾股定理的逆定理，能组成直角三角形，故正确．
故选D．
【点睛】此题考查的知识点是勾股定理的逆定理：已知三角形的三边满足：a2＋b2＝c2时，则该三角形是直角三角形．解答时只需看两较小数的平方和是否等于最大数的平方．
7．B
【分析】本题考查勾股定理的逆定理、三角形内角和定理，根据三角形内角和定理可判断选项A、B是否是直角三角形；根据勾股定理逆定理可判断选项C、D 是否是直角三角形．
【详解】解：∵，
∴，
∴是直角三角形，故A不符合题意；
∵，
∴设
∵，
∴，
解得，，
∴
∴不是直角三角形，故B符合题意；
∵
∴设
又
∴是直角三角形，故C不符合题意；
∵，，
∴
∴是直角三角形，故D不符合题意；
故选：B．
8．A
【分析】根据勾股定理逆定理，逐个进行判断即可．
【详解】解：A、，故A能构成之间三角形，符合题意；
B、，故B不能构成直角三角形，不符合题意；
C、，故C不能构成直角三角形，不符合题意；
D、，故D不能构成直角三角形，不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题主要考查了勾股定理的逆定理，解题的关键是掌握两边平方和等于第三边平方的三角形是直角三角形．
9．C
【分析】连接AC，由勾股定理求出AC的长，再根据勾股定理的逆定理判断出△ACD的形状，进而可求出∠BCD的度数；
【详解】连接AC，
∵AB=BC=1，∠B=90°
∴AC=，
又∵AD=2，DC=，
∴()2=22+()2，
即CD2=AD2+AC2，
∴∠DAC=90°，
∵，
∴∠ACD=90°-α，
∵AB=BC，
∴∠BAC=∠BCA=45°，
∴∠BCD=90°-α+45°=135°-α；
故选：C.
【点睛】本题考查的是勾股定理、勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理及其逆定理是解答此题的关键．
10．B
【分析】根据勾股定理和三角形内角和定理逐项求解即可．
【详解】解：A、∵，
∴，
∴能判定为直角三角形，故此选项不合题意；
B、∵，，
∴不能判定为直角三角形，故此选项符合题意；
C、∵，，
∴能判定为直角三角形，故此选项不合题意；
D、∵，，
∴，即，
∴能判定为直角三角形，故此选项不合题意；
故选：B．
【点睛】此题主要考查了直角三角形的判定，关键是掌握如果三角形的三边长，，满足，那么这个三角形就是直角三角形．
11．B
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，掌握其判定的方法和性质是解题的关键．
根据题意，可证，得到，则有，再证，得到，由，即可求解．
【详解】解：在和中，
，
∴，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
故选：B ．
12．D
【分析】利用直角三角形的定义和勾股定理的逆定理逐项判断即可．
【详解】解：A、∵，∴，∴是直角三角形，故此选项不符合题意；
B、∵，，，∴，∴是直角三角形，故此选项不符合题意；
C、∵，，∴，∴是直角三角形，故此选项不符合题意；
D、∵，，∴最大的角，∴不是直角三角形，故此选项符合题意；
故选：D．
【点睛】本题主要考查直角三角形的判定方法，掌握判定直角三角形的方法是解题的关键，可以利用定义也可以利用勾股定理的逆定理．
13．
【分析】设另一条直角边为a，则斜边为（a+2），再根据勾股定理求出a的值，利用等面积法求斜边上的高即可．
【详解】解：另一条直角边为a，则斜边为（a+2）． ∵另一直角边长为6，
∴
解得a=8，
∴a+2=8+2=10．
设斜边上的高为，
故答案为：．
【点睛】本题考查的是勾股定理，根据题意设出直角三角形的斜边及直角边的长是解答此题的关键．
14．＋
【分析】根据已知可求得BC的长，再根据勾股定理即可求得AB，AC的长，从而求出其周长．
【详解】如图所示：
∵等腰△ABC的面积是5，底边上的高AD是
∴BC＝2，BD=，
∴根据勾股定理得AB＝AC＝
∴它的周长为＋，
故答案为＋．
【点睛】本题是对等腰三角形的计算问题的考查，可以通过作底边上的高线转化为解直角三角形的问题来解决．
15．或
【分析】分两种情况来进行求解，当所对的角为直角或所对角的为直角时，根据直角三角形的性质，求解即可．
【详解】解：直角三角形的三个内角之比为，设三个内角分别为，，
当所对的角为直角时，利用直角三角形的性质可得：
解得
当所对角的为直角时，利用直角三角形的性质可得：
解得
故答案为：或
【点睛】此题考查了直角三角形的性质，掌握直角三角形的两个锐角互余是解题的关键，注意分情况讨论．
16．
【分析】根据等腰三角形的性质和直角三角形两锐角互余得到∠E=∠CPD，再根据对顶角相等得到∠E=∠APE，根据等角对等边得到AE=AP，即可得到结论．
【详解】∵AB=AC，
∴∠B=∠C．
∵PD⊥BC，
∴∠EDB=∠PDC=90°，
∴∠B+∠E=90°，∠C+∠CPD=90°，
∴∠E=∠CPD．
∵∠APE=∠CPD，
∴∠E=∠APE，
∴AE=AP．
∵AB=AC=10，PC=x，
∴AP=AE=10-x．
∵BE=AB+AE，
∴y=10+10-x=20-x．
故答案为：y=20-x．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和判定以及直角三角形的性质．解题的关键是得到∠E=∠CPD．
17．北偏东（东北方向）
【分析】根据题意求得的长度，根据勾股定理逆定理求得为直角三角形，，即可求解．
【详解】解：由题意可知：，，
∵，即
∴为直角三角形，
∴，即乙客轮的航行方向为北偏东（东北方向）
故答案为：北偏东（东北方向）
【点睛】此题考查了勾股定理的逆定理，解题的关键是根据题意求得三角形的边长并通过勾股定理逆定理判定为直角三角形．
18．(1)
(2)符合，理由见解析
【分析】（1）在中，利用勾股定理即可求出；
（2）根据勾股定理的逆定理得即可得答案．
【详解】（1）解：在中，，
由勾股定理得，．
，
．
（2）解：由（1）知，
在中，，
，
由勾股定理的逆定理得，是直角三角形，
，
．
故该车符合安全标准．
【点睛】本题考查勾股定理及其逆定理，解题关键是正确运用逆定理．
19．(1)作图见详解
(2)作图见详解
【分析】本题考查作图应用与设计作图，勾股定理及其逆定理，解题的关键是掌握网格的特征，画出符合条件的图形．
（1）取格点，连接，，即为所求；
（2）取格点，连接，，即为所求．
【详解】（1）解：取格点，连接，，即为所求；如图：
∵，，，
∴即为所求；
（2）解：取格点，连接，，即为所求，如图：
由勾股定理得：，，
∴，
∴，
∴，
∴即为所求．
20．(1)证明见解析
(2)从节约水管的角度考虑，应选择八（1）班铺设方案，理由见解析
【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用，求三角形高：
（1）利用勾股定理的逆定理证明是直角三角形，且，即可证明结论；
（2）利用等面积法求出，进而求出两个方案中水管的长度即可得到结论．
【详解】（1）证明：由题意得，，
∵，
∴，
∴是直角三角形，且，
∴；
（2）解：从节约水管的角度考虑，应选择八（1）班铺设方案，理由如下：
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，且，
∴八（1）班方案中水管的长度小于八（2）班方案中水管的长度，
∴从节约水管的角度考虑，应选择八（1）班铺设方案．
21．(1)是直角三角形
(2)
【分析】本题考查了勾股定理，勾股定理逆定理的应用，以及三角形的面积公式等知识，熟练掌握这两个定理是解题关键．
（1）根据勾股定理的逆定理，由得到是直角三角形．
（2）利用的面积公式可得，，从而求出的长．
【详解】（1）解：是直角三角形．
，，，
，
，
，
是直角三角形．
（2）解：，
，
．
答：修建的公路的长是．
22．(1)；
(2)
【分析】本题考查了勾股定理和勾股定理逆定理的应用，熟练掌握定理是解决问题的关键．
（1）在中，利用勾股定理求小路的长；
（2）由勾股定理逆定理判断的形状，由三角形面积公式求得四边形土地的面积．
【详解】（1）解：在中，，利用勾股定理得，
，
．
答：小路的长为．
（2）解：在中，
，，
，
为直角三角形，且，
四边形土地的面积为：．
答：该四边形土地的面积为．
23．(1)证明见解析
(2)36
(3)坐标为或
【分析】（1）利用勾股定理求出，再利用勾股定理的逆定理即可证明；
（2）利用即可求解；
（3）由，可得，设，即可得，根据，可得，解方程即可求解．
【详解】（1）∵，，
∴，，，
又∵，，
∴，
∴，
∴；
（2）∵，，，，，
∴
；
（3）∵，，
∴，
如图，根据点是轴上一个动点，设，
∵，
∴，
又∵，
∴，
解得：，或者，
即坐标为或．
【点睛】本题主要考查了坐标与图形，勾股定理及其逆定理，坐标系中三角形的面积等知识，掌握勾股定理及其逆定理是解答本题的关键．
24．见解析
【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定；先根据题意补充已知，再过点A作于D，通过证明，即可证明．
【详解】已知：如图，在中，，求证：．
证明：如图所示，过点A作于D，
∴，
在和中，
，
∴，
∴．