铜陵一中2024-2025学年度高二上学期期中考试数学试题
考试范围：选修二1-2章、第3章椭圆；考试时间：120分钟
第I卷（选择题）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知是空间向量的一个基底，则可以与向量，构成基底的向量是( )
A. B. C. D.
2.设，，向量，，，且，，则( )
A. B. C. D.
3.圆关于直线对称的圆的方程是，则的值为( )
A. B. C. D.
4.若直线平面，直线的方向向量为，平面的法向量为，则下列结论正确的是( )
A. ， B. ，
C. ， D. ，
5.一条光线从点射出，与轴相交于点，并经轴反射，则反射光线所在的直线方程是( )
A. B.
C. D.
6.过点作圆：的切线，直线：与直线平行，则直线与的距离为( )
A. B. C. D.
7.在平面直角坐标系中，已知圆，，直线与圆相切，与圆相交于两点，分别以点，为切点作圆的切线设直线的交点为，则的最小值为( )
A. B. C. D.
8.已知椭圆的离心率为且过点，，分别是椭圆在轴上的左、右焦点，过的直线与过的直线交于点，线段的中点为，线段的垂直平分线与的交点第一象限在椭圆上，且交轴于点，则( )
A. B.
C. D.
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.设椭圆的右焦点为，直线与椭圆交于、两点，则( )
A. 为定值 B. 的周长的取值范围是
C. 当时，为直角三角形 D. 当时，的面积为
10.以下四个命题表述正确的是( )
A. 直线恒过定点
B. 圆上有且仅有个点到直线的距离都等于
C. 圆与圆恰有三条公切线，则
D. 已知圆，点为直线上一动点，过点向圆引两条切线、，、为切点，则直线经过定点
11.如图，四棱锥中，底面为菱形，，，面面，为等腰直角三角形，且，与交于点为的中点，在直线上，若，则下列说法正确的有( )
A. 异面直线与所成角的余弦值为
B. 当时，平面平面
C. 点到平面的距离为
D. 存在，使得
第II卷（非选择题）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.所有棱长都为的平行六面体中，若为与的交点，，，则的值为_________．
13.曲线与直线仅有一个交点时，实数的取值范围是_________．
14.如图，在直角坐标系中，已知椭圆的左、右焦点分别为、，点、为椭圆上位于轴上方的两点，且，则的取值范围为_________．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知空间直角坐标系中的三点，，．
若，且，求向量的坐标；
已知向量与互相垂直，求的值；
求点到直线的距离．
本小题分
若直线和直线．
若，求
若，求．
17.本小题分
圆：，点为轴上一动点，过点引圆的两条切线，切点分别为，．
若，求直线的方程；
若两条切线，与直线分别交于，两点，求面积的最小值．
18.本小题分
在如图所示的图形中，四边形为菱形，和均为直角三角形，，现沿将和进行翻折，使在平面同侧，如图．
当二面角为时，判断与平面是否平行；
探究当二面角为时，平面与平面是否垂直；
在的条件下，求平面与平面夹角的余弦值．
19.本小题分
已知椭圆：，短轴长为，离心率为，直线过椭圆的右焦点，且与椭圆交于、两点．
求椭圆的标准方程；
求面积的取值范围；
若圆以椭圆的长轴为直径，直线与圆交于、两点，若动点满足，试判断直线与圆的位置关系，并说明理由．铜陵一中2024-2025学年度高二上学期期中考试数学试题
考试范围：选修二1-2章、第3章椭圆；考试时间：120分钟
第I卷（选择题）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知是空间向量的一个基底，则可以与向量，构成基底的向量是( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】【分析】
本题主要考查空间向量基底意义的正确理解及应用，属于基础题．
利用空间向量基底的意义即可得出．
【解答】
解：，，，
，，中的向量都不能与向量，构成基底．
是空间向量的一个基底，
与向量，构成基底中必须存在，满足题意．
故选D．
2.设，，向量，，，且，，则( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】【分析】
本题考查空间向量垂直和平行的坐标运算，以及空间向量的模的计算，属于中档题．
根据空间向量垂直和平行的坐标运算解得，，可得，解得，再由模长公式求解．
【解答】
解：，
因为，则
解得
所以，
则，
所以．
故选C．
3.圆关于直线对称的圆的方程是，则的值为( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】【分析】
由题意可得两圆的圆心的连线和对称轴垂直，斜率之积等于，求出的值．
本题主要考查两个圆关于一条直线对称的性质，属于中档题．
【解答】
由于圆的圆心为，圆的圆心为，又两圆关于直线对称，故有，解得．
4.若直线平面，直线的方向向量为，平面的法向量为，则下列结论正确的是( )
A. ，
B. ，
C. ，
D. ，
【答案】C
【解析】【分析】
本题考查了向量共线定理，属于基础题．
由于直线平面，可得直线的方向向量与平面的法向量平行，再利用向量共线定理即可判断出结论．
【解答】
解：直线平面，
直线的方向向量与平面的法向量平行，
即
经验证可知选项C满足：，正确．
故选：
5.一条光线从点射出，与轴相交于点，并经轴反射，则反射光线所在的直线方程是( )
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】解：设入射光线，反射光线，
光线从点射出，与轴相交于点，
根据两点式，入射光线的方程：，整理，得．
入射光线的斜率，反射光线的斜率，
反射光线过点点，
反射光线的方程，即．
故选：．
设入射光线，反射光线，由光线从点射出，与轴相交于点，根据两点式，能求出入射光线的方程；由入射光线的斜率，知反射光线的斜率，由反射光线过点点，能求出反射光线的方程．
本题考查直线方程的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意两点式方程和点斜式方程的合理运用．
6.过点作圆：的切线，直线：与直线平行，则直线与的距离为( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】【分析】
本题考查圆的切线、两直线垂直的判断和两平行直线之间的距离，考查推理能力和计算能力，属于基础题．
先求出和直线的方程，然后利用两平行直线间的距离公式即可求解．
【解答】
解：由已知，切线斜率存在且不为，
因为为圆上一点，则有
而，
．
所以直线
直线即
与的距离为．
故选：．
7.在平面直角坐标系中，已知圆，，直线与圆相切，与圆相交于两点，分别以点，为切点作圆的切线设直线的交点为，则的最小值为( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】【分析】
本题考查两圆相交弦有关的综合问题 ，圆问题中的最值问题，属于难题．
设出点的坐标，求出以为直径的圆方程，利用切点弦求出的直线方程，利用与圆相切，求出，之间的关系，再代入距离公式，求出最小值即可．
【解答】
解：设，而，
从而以为直径的圆方程为：，
化简得：，
与圆方程相减得到直线的方程：，
由题意，与圆相切，从而，
又由，
从而，，
由于二次函数在上单调递减，从而当时，有最小值．
故选D．
8.已知椭圆的离心率为且过点，，分别是椭圆在轴上的左、右焦点，过的直线与过的直线交于点，线段的中点为，线段的垂直平分线与的交点第一象限在椭圆上，且交轴于点，则( )
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】【分析】
本题主要考查了椭圆的标准方程和直线与椭圆的位置关系及其应用，着重考查数形结合思想，以及推理与运算能力，属于较难题．
先求出椭圆的方程，画出简图，结合图象，得到，设点，由两点间的距离公式，以及相似三角形转化为的表达式，然后求解取值范围，即可求解．
【解答】
解：设椭圆方程为，
由题意有，由此解得，
椭圆方程为，
结合题意画出图象，如下图所示，
为的垂直平分线，所以，
又为中点，为中点，
由中位线定理可得．
设点，
点在椭圆上，
，即，且，
由两点间的距离公式，
得
，
同理可得，
线段的垂直平分线与的交点第一象限在椭圆上，
，
，
，
，
，
又，
，
，
令，
由复合函数的单调性可知，在上单调递增，
，
，
故的取值范围为．
故本题选D．
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.设椭圆的右焦点为，直线与椭圆交于、两点，则
A. 为定值
B. 的周长的取值范围是
C. 当时，为直角三角形
D. 当时，的面积为
【答案】ACD
【解析】【分析】
本题主要考查了椭圆的性质，椭圆与直线的位置关系，属于基础题．
根据椭圆的性质，以及椭圆与直线的位置关系，逐项分析判断正误即可．
【解答】
解：设椭圆的左焦点为，则，所以为定值，A正确；
的周长为，因为为定值，易知的范围是，
所以的周长的范围是，B错误；
将与椭圆方程联立，可解得，，又易知，
所以，所以为直角三角形，C正确；
将与椭圆方程联立，解得，，所以，D正确，
故选ACD．
10.以下四个命题表述正确的是( )
A. 直线恒过定点
B. 圆上有且仅有个点到直线的距离都等于
C. 圆与圆恰有三条公切线，则
D. 已知圆，点为直线上一动点，过点向圆引两条切线、，、为切点，则直线经过定点
【答案】BCD
【解析】【分析】
本题主要考查命题的真假判断，涉及知识点较多，综合性较强，属于中档题
A.将直线方程进行重新整理，利用参数分离法进行求解即可；根据圆心到直线的距离与半径的关系可判断；通过题意可得两圆相切，则两圆心的距离为半径和，即可求得的值；设出点，求出以线段为直径的圆的方程，题中的切点、为圆与圆的交点，将两圆作差求出公共弦的方程，即可发现直线经过的定点．
【解答】
解：直线，
得，
由，得
即直线恒过定点，
故A错误；
B. 圆心到直线的距离为
，
圆的半径，
故圆上有个点到直线的距离为，
故B正确；
C. 曲线，即，
曲线，
即，
两圆心的距离为，
解得，故C正确；
D. 因为点为直线上一动点，设点，
圆的圆心为，
以线段为直径的圆的方程为，
即，
故直线，即为圆与圆的公共弦方程为：，
即，
即，
令得
所以直线经过定点，故D正确．
故选：．
11.如图，四棱锥中，底面为菱形，，，面面，为等腰直角三角形，且，与交于点为的中点，在直线上，若，则下列说法正确的有( )
A. 异面直线与所成角的余弦值为
B. 当时，平面平面
C. 点到平面的距离为
D. 存在，使得
【答案】AD
【解析】【分析】
本题主要考查了面面垂直的性质，利用空间向量解决异面直线所成的角，点到平面的距离，面面垂直的关系，线线垂直关系，属于较难题．
取的中点，连接，，可证明，以为原点，，，分别为，，轴建立空间直角坐标系如图，写出各点的坐标，依次用空间向量进行解答．
【解答】
解：取的中点，连接，，
为等腰直角三角形，且，，
又面面，面面，面，
面，
又，底面是菱形，是等边三角形，，
以为原点，，，分别为，，轴建立空间直角坐标系如图，
则，，，，，，
，，
，
，，
，
故选项A正确；
当时，，
平面的法向量为，
平面的法向量为，
则，
所以选项B错误；
设面的法向量，
则
取，
又，
点到平面的距离为，
故选项C错误；
，，
时，，
故选项D正确．
故选：．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.所有棱长都为的平行六面体中，若为与的交点，，，则的值为_________．
【答案】
【解析】【分析】
本题考查空间向量的线性运算，空间向量长度与夹角的坐标表示，空间向量的数量积运算，属于基础题．
以 为基底表示，再根据向量的运算规则计算即可．
【解答】
解：由题意，
，
所以
，
所以．
故答案为：．
13.曲线与直线仅有一个交点时，实数的取值范围是_________．
【答案】
【解析】【分析】
本题考查了直线和圆的位置关系，直线过定点问题，圆的标准方程，直线斜率与倾斜角的关系，属于中档题．
根据直线方程确定直线所过的定点，曲线方程变形为，可知曲线是半圆，利用直线和圆的位置关系，结合图形即可得到直线斜率的取值范围．
【解答】
解：由知该直线过定点，
将，两边平方得
，
则曲线是以为圆心，为半径的半圆，
当该直线过点时，与曲线有两个不同的交点，
此时，解得
当直线与曲线相切时，圆心到
直线的距离，
解得，
要使直线与曲线
仅有一个交点，
结合图象可得或 ，
故答案为．
14.如图，在直角坐标系中，已知椭圆的左、右焦点分别为、，点、为椭圆上位于轴上方的两点，且，则的取值范围为_________．
【答案】
【解析】【分析】
本题考查椭圆上点到焦点或定点距离的最值，直线与椭圆的位置关系及其应用，属于困难题．
作点关于原点的对称点，连接、、，分析可知且、、三点共线，故，设直线的方程为，设点、，将直线的方程与椭圆的方程联立，利用弦长公式可求得的取值范围，即可得解．
【解答】
解：作点关于原点的对称点，连接、、，
因为椭圆，
则点、，
由椭圆的对称性可知点也在椭圆上，
因为为、的中点，所以，四边形为平行四边形，
所以，且，
因为，故、、三点共线，则，
所以，．
因为点、为椭圆上位于轴上方的两点，则直线不与轴重合，
设直线的方程为，设点、，
联立可得，
则，
，，
所以，
所以，．
故答案为：．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知空间直角坐标系中的三点，，．
若，且，求向量的坐标；
已知向量与互相垂直，求的值；
求点到直线的距离．
【答案】解：因为，，
所以，
因为，
可设，，
然后根据，
可得，
所以或；
，，，
可得，，
由向量与互相垂直，
可得，
解得；
由于，
，
则在上的投影向量的模长，
则所求距离，
故点到直线的距离为．
【解析】本题考查空间向量平行的坐标表示，空间向量长度与夹角的坐标表示，空间向量垂直的坐标表示，点线、线线距离的向量求法，属于中档题．
由向量共线的坐标表示和向量的模的公式，可得所求；
由向量垂直的条件，解方程可得所求值；
由投影向量和勾股定理，计算可得所求距离．
16.本小题分
若直线和直线．
若，求
若，求．
【答案】解：若，则，
则或，
当时，直线和直线平行；
当时，直线和直线重合；
综上
若，则，则．
【解析】本题考查两条直线垂直的判定、两条直线平行的判定，属基础题．
根据两条直线平行的条件可得，解得或，并验证即可
根据两条直线垂直的条件可得，求解即可．
17.本小题分
圆：，点为轴上一动点，过点引圆的两条切线，切点分别为，．
若，求直线的方程；
若两条切线，与直线分别交于，两点，求面积的最小值．
【答案】时，，设圆的过点的切线方程为，即，
故到直线的距离，
解得或，所以切线方程为和．
，，，
故以为圆心，以为半径的圆的方程为，
显然线段为圆和圆的公共弦，
所以直线的方程为：，即．
设直线与的直线方程分别为：，
又与圆相切，
所以，即．
所以，
，，
，
，
所以面积的最小值为．
【解析】本题主要考查直线和圆的位置关系，考查圆和圆的位置关系，还考查了数形结合的思想和运算求解的能力，属于中档题．
设切线方程为，根据到切线的距离等于计算，得出切线方程；计算，得出以为圆心，以为半径的圆，将直线转化为两圆的公共弦求解；
设直线与的直线方程分别为：，又与圆相切，所以，即所以是方程的两实根，再根据公式，
求其最小值，代入三角形面积公式求解．
18.本小题分
在如图所示的图形中，四边形为菱形，和均为直角三角形，，现沿将和进行翻折，使在平面同侧，如图．
当二面角为时，判断与平面是否平行；
探究当二面角为时，平面与平面是否垂直；
在的条件下，求平面与平面夹角的余弦值．
【答案】解：若二面角为，
则平面平面，
因为平面平面，且，平面
所以平面，如图，
以为坐标原点，，的方向分别为，轴的正方向，建立空间直角坐标系，
则，，，，，
设平面的法向量为，
因为，，
所以
令，得，
因为，
所以，
所以不与平面平行；
取的中点，连接，则，
因为，
所以二面角的平面角为，即，
如图，
以为坐标原点，，的方向分别为，轴的正方向，建立空间直角坐标系，
则，，，，
由，可得
设平面的法向量为，
因为，，
所以
令，得，
设平面的法向量为，
因为，，
所以
令，得，
因为，
所以，不垂直，
所以平面不与平面垂直；
在中的坐标系中，设平面的法向量为，
因为，，
所以
令，得，
设平面与平面的夹角为，
则，，
所以平面与平面夹角的余弦值为．
【解析】本题考查线面平行的向量表示、面面垂直的向量表示、平面与平面所成角的向量求法，属于较难题．
证出平面，建立空间直角坐标系，求出平面的法向量为，根据，即可判定；
建立空间直角坐标系，求出平面与平面的法向量，利用向量法即可判定；
在中的坐标系中，求出平面的法向量，利用，，即可求出结果．
19.本小题分
已知椭圆：，短轴长为，离心率为，直线过椭圆的右焦点，且与椭圆交于、两点．
求椭圆的标准方程；
求面积的取值范围；
若圆以椭圆的长轴为直径，直线与圆交于、两点，若动点满足，试判断直线与圆的位置关系，并说明理由．
【答案】解：由题可得 ， ，且 ， 解得 ， ，
椭圆标准方程为
由题可知，直线不能与重合， ，设直线的方程为 ，
直线与椭圆的交点为 ， ，
由 整理得 ，
， ， ，
，
令 ，可得 ， ，则 ，
设 ，当 时， 单调递增，
所以当 时， 取得最小值为 ，所以 ， 可得，
当 ，即 时，面积取到最大值 ；
与圆相切，圆方程为 ，设 ，因为点在圆上，
所以 ， ， ，
， ，
由 ，得 ，
即 ， ，可得 ，
由于，
所以， 即 ，
所以与圆相切．
【解析】本题考查椭圆的标准方程，考查椭圆中的三角形面积问题，考查向量的数量积、函数的单调性等知识，属于难题．
根据椭圆 的关系求解；
利用根与系数的关系求出 ，再结合函数的单调性求面积的最值；
利用向量的数量积的坐标表示 ，再判断， 即可判断位置关系．
