4.2图形的全等
【教学目标】
知识与技能
1.理解图形全等的概念和特征。
2.、知道全等三角形的概念及全等三角形的对应元素。
3.知道全等三角形的性质，能用符号正确地表示两个三角形全等。
4.能熟练找出两个全等三角形的对应角、对应边。
过程与方法
通过平移、旋转、翻折等图形基本变换对全等图形进行研究。
情感、态度与价值观
【教学重难点】
重点：能完全重合图形相关性质
难点：利用全等三角形的性质进行简单的推理和计算
【导学过程】
【知识回顾】
此板块分课型，有些课型可以没有，根据实际情况进行
【情景导入】
【新知探究】
探究一、
1.这些图形中有些是完全一样的，如果把它们叠在一起，它们就能重合。你能分别从图中找出这样的图形吗？
2.能够完全重合的两个图形成为 图形。
例：观察下面两组图形，它们是不是全等图形？为什么？
探究二、
能够完全重合的两个三角形叫做 表示方法:△ABC≌△DEF
例：你能找到图中的对应边和对应角吗？对应边和对应角有什么特征？
解：对应边： 和 、 和 、 和
对应角： 和 、 和 、 和
发现对应边 ，对应角
全等三角形对应边上的高，对应边上的中线也 。
练习：
如图, 已知⊿ABC≌⊿ADE.
(1)写出它们的对应边和对应角.
(2)证明: ∠EAC=∠BAD.
解：（1）对应边： 和 、 和 、 和
对应角： 和 、 和 、 和
（2）证明：∵⊿ABC≌⊿ADE（ ）
∴∠EAD=∠CAB （全等三角形 相等）
∴∠EAD-∠CAD= -∠CAD （ ）
∴ ∠EAC=
【知识梳理】
1.能够完全重合的两个图形成为 图形。
2.如果两个图形全等，它们的 和 一定都相同
3.全等三角形的性质：全等三角形的 相等， 相等。
【随堂练习】
1.下列说法正确的是（ ）
A、同一底片的两张相片一定全等； B、周长相等的两个图形一定全等；
C、全等的两个图形面积一定； D、以上说法都不对
2.下列图中的两个三角形是全等三角形，请依次说出它们的对应边、对应角。
（1）⊿_______≌⊿________;
对应边:______________________
对应角:______________________
3.如图，⊿ABD≌⊿ACE，你能说明BE=DC吗？
课件23张PPT。全等图形的定义
观察图中的两组图：
(1)(2) 这些图形中,有些是完全一样的,如果把它们叠在一起,它们就能重合.你能分别从图中找出这样的图形吗? 两个能够重合的图形称为全等图形.(congruent figures)自主预习图中共有多少对全等图形，（1）（2）（3）（4）（5）（12）6（13）（14）（15）（7）（8）（9）（16）(17) 判定两个图形是否全等的基本方法是把他们重叠起来,看看他们是否能够互相重合,但在不少情况下, 无须把两个图形重叠在一起, 就知他们是否全等.他们分别是全等图形的形状和大小都相同形状
相同大小
相同(1) 你能说出生活中全等图形的例子吗?(3) 如果两个图形全等，它们的形状大小一定都相同吗？新知探究 沿图形中的虚线，分别把下面图形划分为两个全等图形 （至少找出两种方法），并与同伴交流。2、 从图中找出
两对全等的图形，
与同伴进行交流。1、 如图，做四个
全等的小“L”型纸
片，将它们拼成一
个大“L”型全等的
图案。新知探究 的图形称为全等图形；如果两个图形全等，那么它们的 一定都相同；把一个图形划分为两个全等图形 ；把几个全等的图形拼成一个大的全等的图案。两个能够重合形状大小知识梳理ABCDEF 如果△ABC与△DEF会互相重合，顶点A与顶点___重合，顶点B与顶点___重合，顶点C与顶点___重合。
AB边与_____ 边重合， BC边与 _____ 边重合，AC边与_____边重合。
角∠A与_____重合，角∠B与 _____重合，角∠C与 ___重合。看一看DEFDEEFDF∠D∠E∠F全等三角形的对应边有什么关系？
全等三角形的对应角有什么关系？ 结论：全等三角形的对应边相等；对应角相等。ABCDEF 在全等三角形中，互相重合的顶点称为对应顶点，互相重合的边称为对应边，互相重合的角称为对应角。对应角所对的边是对应边， 对应边所对的角是对应角。知识梳理ABCDEF
△ABC全等于△DEF可表示为：△ABC △DEF注意：表示时通常把对应顶点的字母写在对应的位置上。
≌ABCDEF 若已知△ABC≌△DEF，则对应边有：______________________;
对应角有_______________________;
相等的边是：___________________;
相等的角是：____________________;
AB与DE,BC与EF,AC与DF∠A与∠D，∠B与∠E，∠C与∠FAB=DE,BC=EF,AC=DF∠A=∠D,∠B=∠E,∠C=∠F通过这节课的学习活动你有哪些收获？
你还有什么想法吗？知识梳理1、若△AOC≌△BOD，对应
边是 ，对应角是 ；ABOCD2、若△ABD≌△ACD，对应边是 ，对应角是 ；ABCD3、若△ABC≌△CDA,对应
边是 ，对应角是 ；
A BCD随堂练习 4、如图，已知△ABC≌△ADE,
∠C=∠E,BC=DE,找出其它的相等的边有 ：_________________;
相等的角有：________________;
ABCDE随堂练习5、如图，△ABD≌△ACE，若∠B＝25°，BD＝6㎝，AD＝4㎝，你能得出△ACE中哪些角的大小，哪些边的长度吗？为什么 ？ABCDE6、已知△ABC≌△DEF，A与D、B与E分别是对应顶点，∠ A＝52°，∠B＝67°，BC ＝15㎝。
则∠F＝________ ，EF＝______㎝。2018/11/2017随堂练习 1.右图是一个等边三角形，你能把它分成两个全等的三角形吗？你能把它分成三个、四个全等的三角形吗？随堂练习2、能够 的两个图形叫做全等图形。两个三角形重合时，互相 ＿＿ 的顶点叫做对应顶点。记两个全等三角形时，通常把表示 顶点的字母写在 的位置上。3、如图△ABC≌ △ADE若∠D= ∠B，
∠C= ∠AED，则∠DAE= ； ∠DAB= 。
4、如图△ ABD ≌ △CDB，若AB=4，AD=5，BD=6，则BC= ，CD= 。5、如图,已知△ AOC ≌ △BOD
求证：AC∥BD6、如图△ABD≌ △EBC，AB=3cm,BC=5cm,求DE的长. 读书破万卷，下笔如有神。
——杜甫：《杜工部集》 结束语课件14张PPT。1、尺规作图的工具是直尺和圆规2、我们已经会用尺规作一条线段等于已知线段、作一个角等于已知角3、如图，画出∠B的平分线，BC边上的高，AB边上的中线（画图工具不限）知识回顾已知：∠AOB，求作∠A′O′B′，使∠A′O′B′＝∠AOBCDO′B′A′D′C′情境引入已知三角形的两边及其夹角，求作三角形已知：线段a， b， ∠α ，求作：△ABC，使BC＝ a，
AB＝ c， ∠ABC ＝∠αBMDED′E′NCA (1)作∠MBN＝ ∠α(2)在射线B M上截取BC＝ a,在射线B N上截取BA＝ b， (3)连接AC则△ABC为所求作的三角形作法新知探究你能按照书上88页1中的条件作出三角形吗？剪下各自所做的三角形和同伴比较看是否全等？能说出全等的理由吗？新知探究已知:三角形的两角及它们的夹边,求作 三角形已知:∠α,∠β,线段c，求作：△ＡＢＣ,使∠A＝∠α,∠Ｂ＝∠β，ＡＢ＝ cBNKC新知探究你能按照书上89页2中的条件作出三角形吗？剪下各自所做的三角形和同伴比较看是否全等？能说出全等的理由吗？已知两角及一边，你会做三角形吗？新知探究已知三角形的三边求作三角形已知:线段a,b,c求作:△ABC,使BC＝a,AC＝b,AB＝c(1)做线段BC＝a, AC(2)以C为圆心, b为半径画弧 (3)以B为圆心, C为半径画弧两弧相交于点A(4)连接AB,AC则△ABC为所求作的三角形新知探究你能按照书上90页3中的条件作出三角形吗？剪下各自所做的三角形和同伴比较看是否全等？能说出全等的理由吗？新知探究 如图,在ABC中,BC＝5厘米,AC＝3厘米, AB＝3．5厘米,∠B＝36°,∠C＝44°,请你选择适当数据,画与△ABC全等的三角形(用三种方法画图,不写做法,但要从所画的三角形中标出用到的数据)新知探究BMC(2)以C为圆心, 3厘米为半径画弧 (3)以B为圆心3.5厘米为半径画弧两弧相交于点A(4)连接AB,AC则△ABC为所求作的三角形（1）做线段BC＝5厘米A今天同学们又有哪些新的收获？能告诉大家吗？学会了已知两边及它们的夹角做三角形的方法 学会了已知两角及它们的夹边做三角形的方法学会了已知三边做三角形的方法★★ 学会了用尺规做三角形的方法★学会了已知两角及一边做三角形的方法……知识梳理
1、利用尺规不能唯一作出的三角形是（ ）
A、已知三边 B、已知两边及夹角
C、已知两角及夹边 D、已知两边及其中一边的对角2、利用尺规不可作的直角三角形是 （ ）
A、已知斜边及一条直角边 B、已知两条直角边
C、已知两锐角 D、已知一锐角及一直角边3、以下列线段为边能作三角形的是 （ ）
A、2厘米、3厘米、5厘米 B、4厘米、4厘米、9厘米
C、1厘米、2厘米、 3厘米 D、2厘米、3厘米、4厘米DCD随堂练习已知：线段m，n,锐角∠α求作：△ＡＢＣ，使ＡＢ＝m， ，角平分线ＡＤ＝ nAMNBCPD K 驾驭命运的舵是奋斗。不抱有一丝幻想，不放弃一点机会，不停止一日努力。结束语课件12张PPT。 在一次战役中，我军阵地与敌人碉堡隔河相望，需要知道碉堡与我军阵地的距离。在不能过河测量又没有任何测量工具的情况下，一个战士利用他头上的帽子就测出了我军阵地与敌人碉堡的距离。你知道他用的是什么方法？其中的原理是什么？情境引入在△ABC与△DEF中，AB=DE，∠B= ∠E，∠A= ∠D则有BC=EF，为什么？将实际问题转换成数学问题为：情境引入在△ABC与△DEF中，AB=DE，∠B= ∠E，∠A= ∠D∴△ABC ≌ △DEF（角边角）∴BC=EF（全等三角形的对应边相等） 如图，A、B两点分别位于一个池塘的两端，小明想用绳子测量A、B间的距离，但绳子不够长，，一个叔叔帮他出了这样一个主意：先在地上取一个可以直接到达的点A和点B的点C，连接AC并延长到D，使CD=AC；连接BC并延长到E，使CE=CB，连接DE并测量出它的长度，DE的长就是A、B间的距离。 你能说明其中的道理吗？请把你的思路写下来。 ∴ △ABC≌ △DEC (SAS)∴ AB=DE （全等三角形对应边相等）解：在△ABC与△DEC 中CDE新知探究DC△ABC≌ △DEC(SAS)△ABC ≌ △ADC(SAS)△ABC≌ △DBC (SAS)CD1、将实际问题转化成
数学问题。
2、构造全等并说明理由。ECD你能想到其它测量方法吗？思路知识梳理你有什么收获？ 1、把两根钢条AB，CD的中点连在一起，可以做成一个测量工件内槽宽的工具（卡钳）。只要量得AC的长度，就可知工件的内径BD是否符合标准。你能明白其中的道理吗？O（SAS）随堂练习 课间，小明和小聪在操场上突然争论起来。 他们都说自己比对方长得高，这时数学老师走过来，笑着对他们说：“你们不用争了，其实你们一样高，瞧瞧地上，你俩的影子一样长！”如图，你知道数学老师为什么能从他们的影长相等就断定它们的身高相同？你能运用全等三角形的有关知识说明一下其中的道理吗？（假定太阳光线是平行的）你们其实一样高，瞧瞧，你们的影子一样长！随堂练习将实际问题转换成数学问题为：在△ABC和△DEF中，∠C= ∠F， ∠B= ∠E，BC=EF，求证：AB=DE 2、如图，要测量河两岸两点A、B间的距离，可用什么方法？并说明这样做的合理性．随堂练习理由：∵AB⊥BE，DG⊥BE ∴∠B＝∠BDF＝90°
在△ABC和△FDC中
∠B ＝∠BDF
BC = CD
∠ACB= ∠DCF（对顶角相等）
∴△ABC≌△FDC（ASA）
∴AB＝DF（全等三角形对应边相等）．解：方法：在AB的垂线BE上取两点C、D，使CD＝BC。过点D作BE的垂线DG，并在DG上取一点F，使A、C、F在一条直线上，这时测得的DF的长就是A、B间的距离． 久物之味，久则可厌; 读书之味，愈久愈深。
——程颐 结束语课件21张PPT。小结与复习义务教育教科书（北师）七年级数学下册
第4章 三角形 知识回顾例1 如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，BE⊥CE于点E，AD⊥CE于点D.
说明△BEC ≌△CDA.例题引路例2 已知：如图，点E，A，C在同一直线上，AB∥CD，AB=CE，AC=CD.
求证：BC=DE.例题引路【方法点拨】例题引路1.△ABC的内角和为( )
(A)180° (B)360°
(C)540° (D)720°
【解析】选A.根据三角形的内角和为180°，得△ABC的内角和为180°.故A正确.随堂练习2.以下列各组线段为边，能组成三角形的是( )
(A)1 cm,2 cm,4 cm (B)4 cm,6 cm,8 cm
(C)5 cm,6 cm,12 cm (D)2 cm,3 cm,5 cm
【解析】选B.A选项，1+2＜4,故不能构成三角形；B选项，4+6＞8,故能构成三角形；C选项，5+6＜12，故不能构成三角形；D选项，2+3=5，故也不能组成三角形.随堂练习3、将一副三角板按如图所示摆放，图中∠a的度数是( )
(A)75° (B)90° (C)105° (D)120°
【解析】选C.∠a的度数为180°-45°-30°=105°.随堂练习4.如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F等于_____度.
【解析】因为∠A+∠E+∠C=180°，∠D+∠B+∠F=180°，所以∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=360°.
答案：3605. 如图，△ABC中，∠C=90°，∠BAC的平分线交BC于点D，若CD=4，则点D到AB的距离是______.
【解析】过点D作DE⊥AB，垂足为E，因为∠C=90°，所以∠ACD=∠AED，又AD平分∠BAC，所以∠CAD=∠EAD，又AD=AD，所以△ACD≌△AED(AAS)，所以DE=CD=4，即点D到AB的距离为4.
答案：46.如图，∠E=∠F=90°，∠B=∠C，AE=AF，则下列结论：
①∠1=∠2；②BE=CF；③△ACN≌△ABM；
④△MCD≌△NBD中，正确的是_______.【解析】因为∠E=∠F=90°，∠B=∠C，AE=AF，
所以△AEB≌△AFC，所以BE=CF(②正确)；
因为△AEB≌△AFC，所以∠EAB=∠FAC，所以∠1=∠2(①正确)；
因为△AEB≌△AFC，所以AB=AC，∠B=∠C，
因为∠BAM=∠CAN，所以△ACN≌△ABM(③正确)；
所以AM=AN.因为AB=AC，所以BN=CM.因为∠B=∠C，∠MDC=∠NDB, 所以△MCD ≌△NBD(④正确).
答案：①②③④7.如图，点D在AB上，点E在AC上，AB=AC，∠B=∠C.求证：BE=CD.【证明】在△ABE和△ACD中,
∠A=∠A
AB=AC
∠B=∠C,
∴△ABE≌△ACD，
所以BE=CD.8.如图，在四边形ABCD中，
AD∥BC，E为CD的中点，连接AE，BE，
BE⊥AE，延长AE交BC的延长线于点F.
求证：(1)FC=AD.
(2)AB=BC+AD.【证明】(1)因为E是CD的中点，
所以DE=CE.因为AD∥BC，
所以∠ADE=∠FCE，∠DAE=∠CFE.
所以△ADE≌△FCE(AAS).
所以FC=AD.(2)因为△ADE≌△FCE，
所以AE=FE.
又因为BE⊥AE，
所以∠BEA=∠BEF=90°，
又因为BE=BE，
所以△BEA≌△BEF(SAS).所以AB=FB.
因为FB=BC+FC=BC+AD.
所以AB=BC+AD.9.如图，C是线段AB的中点，CD平分∠ACE,CE平分∠BCD，CD=CE.
(1)试说明△ACD≌△BCE.
(2)若∠D=50°，求∠B的度数.随堂练习【解析】(1)因为点C是线段AB的中点，
所以AC=BC，又因为CD平分∠ACE，CE平分∠BCD，
所以∠1=∠2，∠2=∠3，
所以∠1=∠3.
CD=CE，
在△ACD和△BCE中，∠1=∠3,
AC=BC,
所以△ACD≌△BCE(SAS).(2)因为∠1+∠2+∠3=180°，所以∠1=∠2=∠3=60°，
因为△ACD≌△BCE，所以∠E=∠D=50°，
所以∠B=180°-∠E-∠3=70°. 无所不能的人实在一无所能，无所不专的专家实在是一无所专……
——《韬奋文集》结束语4.5利用三角形全等测距离
【教学目标】
知识与技能
能利用三角形的全等解决实际问题，体会数学与实际生活的联系；
过程与方法
能在解决问题的过程中进行有条理的思考和表达。
情感、态度与价值观
利用所学的知识解决实际问题，体会数学知识在日常生活中的运用。
【教学重难点】
重点：能利用三角形的全等解决实际问题。
难点：能在解决问题的过程中进行有条理的思考和表达。
【导学过程】
【知识回顾】
三角形全等的条件是什么？
【情景导入】
在一次战役中，我军阵地与敌人碉堡隔河相望，需要知道碉堡与我军阵地的距离。在不能过河测量又没有任何测量工具的情况下，一个战士利用他头上的帽子就测出了我军阵地与敌人碉堡的距离。你知道他用的是什么方法？其中的原理是什么？
【新知探究】
探究一、
小明在上周末游览风景区时，看到了一个美的池塘 ，他想知道最远两点A、B之间的距离， 但是他没有船，不能直接去测。手里只有一根绳子和一把尺子，他怎样才能测出A、B之间的距离呢？把你的设计方案在图上画出来，并与你的同伴交流你的方案，看看谁是方案更便捷。
方案一：在能够到达A、B的空地上取一适当点C，连接AC，并延长AC到D，使CD=AC，连接BC，并延长BC到E，使CE=BC，连接ED。则只要测ED的长就可以知道AB的长了
理由: 在△ACB与△DCE中，
AC=CD
∠BCA=∠ECD
BC=CE
AB=DE (全等三角形的 相等)
方案二：如图，找一点D，使AD⊥BD，延长AD至C，使CD=AD，连结BC，量BC的长即得AB的长。
解:在Rt?ADB与Rt?CDB中
BD=BD （同一条线段）
∠ADB=∠CDB （都是 ）
CD=AD （ ）
≌?CDB ( )
∴ BA = BC （ ）
探究二、
1805年，法军在拿破仑的率领下与德军在莱茵河畔激战，德军在莱茵河北岸Q处，如图所示，因不知河宽，法军大炮很难瞄准敌兵营，聪明的拿破仑站在南岸的点O处，调整好自己的帽子，使视线恰好擦着帽舌边缘看到对面德军营Q处，然后他一步一步后退，一直退到自己的视线恰好落在他刚刚站立的点O处，让士兵丈量他所站位置B与O点的距离，并下令按这个距离炮轰敌兵营，试问：法军能命中目标吗？请说明理由，用帽舌边缘视线法还可以怎样测量，也能测出河岸两边OQ的距离？
探究三、
如图,某人要测量河中浅滩B和对岸A的距离,先在岸边定出点C,使C、A、B在一直线上，再依AC的垂直方向在岸边画线段CD，取它的中点O，又画DF垂直CD，观测得E、O、B在一直线上，同时F、O、A也在一直线上，那么EF的长就是AB的距离，为什么？
【知识梳理】
你有什么收获？
【随堂练习】
如图：A、B两点分别位于一个池塘的两端，小明想用绳子测量A，B间的距离，但绳子不够长。他叔叔帮他出了一个这样的主意：
先在地上取一个可以直接到达A点和B点的点C，连接AC并延长到D，使CD=AC；连接BC并延长到E，使CE=CB；连接DE并测量出它的长度；
DE=AB吗？请说明理由
如果DE的长度是8m，则AB的长度是多少？
变式练习：
如图，山脚下有A、B两点，要测出A、B两点的距离。
（1）在地上取一个可以直接到达A、B点的点O，连接AO并延长到C，使AO=CO，请你能完成右边的图形。
(2) 说明你是如何求AB的距离。
小结与复习
【教学目标】
知识与技能
1、通过三角形的概念和识别方法的复习，
2、会用三角形全等的条件推理和计算有关问题。
过程与方法
让学生体会辨别、探寻、运用全等三角形的一般方法，体会主动实验，探究新知的方法；
情感、态度与价值观
让学生体会辨别、探寻、运用全等三角形的一般方法，体会主动实验，探究新知的方法
【教学重难点】
重点：能够辨认全等三角形中对应的元素； 灵活运用“SSS”、“SAS”、“ASA”、“AAS”来判定三角形全等
难点：运用全等三角形的识别方法来探寻三角形以及运用全等三角形的知识解决实际问题.
【导学过程】
【知识回顾】
基本概念
1、三角形的三种重要线段：三条_______线、三条_______线、三条_______线.
（1）三角形的角平分线不同于一个角的平分线，前者是一条_________，后者是一条_________.三角形的高线是_________，而线段的垂线是_________.（填“线段”或“射线”或“直线”）
（2）三角形的三条角平分线相较于_________一点，三条中线相较于_________一点，三角形的三条高线也相较于一点，但锐角三角形的交点在三角形的_________，直角三角形的交点在三角形的_________，钝角三角形的交点在三角形的_________.（填“形内”或“形外”）
2、三角形的性质：
（1）边的性质：三角形的任意两边之和_________第三边，三角形的任意两边之差_________之差.
（2）角的性质：三角形的三个内角之和等于_________°；一个外角_________与它不相邻的两个内角的和，一个外角__________任何一个与它不相邻的内角，_________三角形的两个锐角互余.
（3）稳定性：即三边的长度确定后，三角形的形状保持不变.
3、三角形的分类：
（1）按边分：_________三角形和_________三角形.
（2）按角分：_________三角形和_________三角形和_________三角形.
基本性质与判定
1、全等三角形的性质：全等三角形的对应边_________，对应角_________.
2、全等三角形的判定
（1）一般三角形有：________、________、________、________共4种.
（2）直角三角形有：________、________、_______、_______、_______共5种.
判定两个三角形全等，必须满足三个条件对应相等，其中不能缺少边的条件，如“AAA”不能判定两个三角形全等；三角形全等没有“SSA”的判定方法，而“HL”是不同于“SSA”的.
基本思路、基本技能
1、判定三角形全等的基本思路
根据全等三角形的判定方法，要判定两个三角形全等，需结合题目中的已知边（或角），要迅速地确定还需要补充什么（边或角）条件，一般有以下几种思路.
2、尺规作三角形
（1）已知三角形的两边及其夹角，求作这个三角形.
（2）已知三角形的两角及其夹边，求作这个三角形.
（3）已知三角形的三边，求作这个三角形.
（4）已知三角形两角和其中一角的对边，求作这个三角形.
对于尺规作图应注意：①作图的痕迹要保留，不能去掉；②能够运用五种基本作图完成已知条件的三角形；③叙述作法时，语言要准确、简捷、规范.
【知识运用】
1.如图①,AB=CD,AD=BC,O为AC中点,过O点的直线分别与AD,BC相交于点M,N,（1）那么∠1与∠2有什么关系?AM,CN有什么关系?请说明理由.（2）若将过O点的直线旋转至图②③的情况时,其他条件不变,那么（1）中关系的还成立吗?请说明理由.
2.如图，在△ABC中，AB=AC，(BAC =40°，分别以AB，AC为边作两个等腰直角三角形ABD和ACE，使(BAD =(CAE =90°.
（1）求(DBC的度数；（2）求证：BD=CE．
【随堂练习】
1.在(ABC中，(A=30(，(B=2(C，则(C=______度，(B=______度.
2.一个三角形的三边长分别是3,4,，则的取值范围是（ ）
A.＞3 B.＞4 C.3＜＜4 D.1＜＜7
3.如图，OP平分(AOB，PA⊥OA，PB⊥OB，
垂足分别为A，B．下列结论中不一定成立的是（ ）
A．PA=PB B．PO平分(APB
C．OA=OB D．AB垂直平分OP
4.如图，在△ABE中，AB＝AE,AD＝AC,∠BAD＝∠EAC, BC、DE交于点O.
求证：(1) △ABC≌△AED； (2) OB＝OE .
5.如图，在△ABC和△DCB中，AB = DC，AC = DB，AC与DB交于点M．（1）求证：△ABC≌△DCB ；（2）过点C作CN∥BD，过点B作BN∥AC，CN与BN交于点N，试判断线段BN与CN的数量关系，并证明你的结论．
4.4用尺规作三角形
【教学目标】
知识与技能
1、会作一个角等于已知角，并了解作法理由。
2、在分别给出的两角夹边、两边夹角和三边的条件下，能够利用尺规作三角形
过程与方法
能结合三角形全等的条件与同伴交流作图过程和结果的合理性。
情感、态度与价值观
能结合三角形全等的条件与同伴交流作图过程和结果的合理性。
【教学重难点】
重点：基本尺规作图
难点：利用三角形的全等解决问题
【导学过程】
【知识回顾】
1、已知：a
求作：AB，使AB=a
2、已知：∠
求作：∠AOB，使∠AOB=∠
【新知探究】
探究一、已知三角形的三边,求作这个三角形.
已知：线段a，b，c。求作：ΔABC，使得AB=c，AC=b，BC=a。
作法：（1）作一条线段BC=a；
（2）分别以B，C为圆心，以 c，b为半径画弧，两弧交于A点
（3）连接AB,AC。
△ABC就是所求作的三角形
探究二、已知三角形的两边及其夹角,求作这个三角形.
已知：线段a，c，∠α。求作：ΔABC，使得BC= a，AB=c，∠ABC=∠α。
作法与过程：
①作一条线段BC=a；
②以B为顶点， 为一边，作角∠DBC= ；
③在射线 上截取线段BA= ；
④连接 ，ΔABC就是所求作的三角形。
探究三、已知三角形的两角及其夹边,求作这个三角形.
已知：线段∠α，∠β，线段c 。
求作：ΔABC，使得∠A=∠α，∠B=∠β，AB=c。
作法：①作___________=∠α；
②在射线_____上截取线段________=c；
③ 以____为顶点,以_______为一边,作∠____=∠β,
_______交______于点______.ΔABC就是所求作的三角形.
【知识梳理】
你有什么收获？
【随堂练习】
1、利用尺规不能唯一作出的三角形是（ ）
A、已知三边 B、已知两边及夹角
C、已知两角及夹边 D、已知两边及其中一边的对角
2、利用尺规不可作的直角三角形是 （ ）
A、已知斜边及一条直角边 B、已知两条直角边
C、已知两锐角 D、已知一锐角及一直角边
3、以下列线段为边能作三角形的是 （ ）
A、2厘米、3厘米、5厘米 B、4厘米、4厘米、9厘米
C、1厘米、2厘米、 3厘米 D、2厘米、3厘米、4厘米
已知三角形的两角及其夹边,求作这个三角形.
已知：线段∠α，∠β，线段b 。
求作：ΔABC，使得∠A=∠α，∠B=∠β，AC=b。
作法：1.作____________=∠α;
2.在射线______上截取线段_________=c;
3.以______为顶点,以_________为一边,作∠______=∠β,________
交_______于点_______.ΔABC就是所求作的三角形.
4.1认识三角形
4.1.1三角形的内角和
【教学目标】
知识与技能
1、能证明出“三角形内角和等于180°”，能发现“直角三角形的两个锐角互余”；
2、按角将三角形分成三类。
过程与方法
通过观察、想象、推理、交流等活动，发展空间观念、推理能力和有条理地表达能力；
情感、态度与价值观
通过对三角形的认识，感受几何图形的美和几何图形中蕴含的数学知识。
【教学重难点】
重点：三角形内角和定理推理和应用。
难点：三角形内角和定理推理和应用。
【导学过程】
【知识回顾】
我们知道三角形的哪些知识？
【情景导入】
（1）预习书64-66页
（2）思考①三角形的角之间的关系②三角形的分类
（3）预习作业
三角形中角的关系：（1）三角形的三个内角之和是 ；（2）直角三角形的两个锐角
三角形的分类：按角分为三类： 三角形； 三角形和 三角形。
【新知探究】
探究一、
三角形
(1)定义：由不在___________的三条_____首尾顺次相接所组成
的图形叫做三角形.
(2)三角形的表示方法：一般的三角形用符号“___”表示.直角
三角形用符号“_____”表示.
探究二、
三角形的内角和为180°
方法：(1)在纸上任意画一个三角形，测量它的三个内角可得，三个内角的和是_____.
(2)做一个三角形纸片，将其三个内角剪下拼在一起可以得到一个___角.
(3)做一个直角三角形的纸片，将其两个锐角剪下拼在一起可得一个___角.
练习：在△ABC中，（1）=
（2）=
（3）在△ABC中，的外角是120°，的度数是度数的一半，求△ABC的三个内角的度数
探究三、
三角形按角可分为：_____三角形、_____三角形、_____三角形.
练习：已知三角形中两个内角的度数，能确定三角形的形状吗？
提示：能，根据三角形的内角和是180°，可以确定第三个角的度数，进而确定三角形的形状.
【知识梳理】
你有什么收获？
【随堂练习】
1、在△ABC中（1）=
(2)若=55°，,那么= ,=
2、 已知△ABC中，,试判断此三角形是什么形状？
3、已知△ABC中，试判断此三角形是什么形状？
4、如图，在△ABC中，,CD⊥AB于点D，
5、 如图，已知的度数。
4.1认识三角形
4.1.2三角形的三边关系
【教学目标】
知识与技能
1.结合具体实例，进一步认识三角形的概念及其基本要素，
2.掌握三角形三边关系：“三角形任意两边之和大于第三边；三角形任意两边之差小于第三边”。
过程与方法
通过观察、操作、想象、推理、交流等活动，发展空间观念、推理能力和有条理地表达能力；
情感、态度与价值观
通过对三角形的认识，感受几何图形的美和几何图形中蕴含的数学知识。
【教学重难点】
重点：掌握并能运用三角形三边的关系的性质.
难点：掌握并能运用三角形三边的关系的性质.
【导学过程】
【知识回顾】
1、三角形的三个内角的和等于180°； 2、三角形按角分为三类：
（1）锐角三角形 （2）直角三角形 （3）钝角三角形
3、直角三角形的两个锐角互余
【情景导入】
元宵节的晚上，房梁上亮起了彩灯，装有黄色彩灯的电线与装有红色彩灯的电线哪根长呢？说明你的理由。
【新知探究】
探究一、
观察图3-11中的三角形，你能发现他们各自的边上之间有什么关系？
解：三角形的三边有的各不相等，有的两边相等，有的三边相等。
有 相等的三角形叫等腰三角形
有三边都相等的三角形式 三角形，也叫正三角形
总结：三角形按边分
探究二、
（1）任意画一个三角形，量出它的三边长度，并填空：
a=______;b=_______;c=______
（2）计算并比较：
a+b____c; b+c____a; c+a____b
a-b____c; b-c____a; c-a____b
（3）通过以上的计算你认为三角形的三边存在怎样的关系？
解：三角形两边之和 第三边，
三角形两边之差 第三边，
实践：有两根长度分别为4cm和9cm的木棒，用长度为3cm的木棒与它们首尾相连能摆成三角形吗？为什么?用长度为13cm的木棒呢？如要找根木棒与与已知的两根木棒首尾相连成一个三角形,那么那根木棒的长度范围是多少?
解：取长度为3cm的木棒时，由于 + =7<9，出现了两边之和 第三边的情况，所以它们不能摆成三角形。
取长度为13cm的木棒时，由于 + =13，出现了两边之和 第三边的情况，所以它们也不能摆成三角形。
【知识梳理】
你有什么收获？
【随堂练习】
1.⊿ABC三边分别为4，6，x，则x的取值范围是（ ）
A、 B、 C、 D、
2.等腰三角形一边长9cm，另一边长4cm，则它的第三边是_________
3.已知三角形三边满足a>b>c且b=7,c=5,则a的取值范围是_________.
4.等腰三角形的两边长分别为5cm和2cm，第三边为奇数，求第三边长.
5.已知一个三角形两边相等，周长为56cm，两边之比为3：2，求这个三角形各边的长.
6、若设是△ABC的三边，则=
7、已知是△ABC的三边，，且三角形的周长是偶数，（1）求c的值；（2）判断△ABC的形状。
4.1认识三角形
4.1.3三角形的重要线段
【教学目标】
知识与技能
理解三角形的中线、三角形的角平分线和高的概念。
2．掌握三角形的中线、三角形的角平分线和高的性质。
过程与方法
通过观察、想象、推理、交流等活动，发展空间观念、推理能力和有条理地表达能力；
情感、态度与价值观
通过对三角形的认识，感受几何图形的美和几何图形中蕴含的数学知识。
【教学重难点】
重点：、三角形的中线、角平分线和高。
难点：高的画法以及三个定义做计算
【导学过程】
【知识回顾】
1.有 相等的三角形叫等腰三角形
有三边都相等的三角形式 三角形，也叫正三角形
2. 两边之和大于第三边。
两边之差小于第三边。
第三边大于两边之 ,小于两边之 。
【新知探究】
探究一、
1.三角形的“中线”：在三角形中，连接一个顶点与它对边 的线段，叫做这个三角形的 (median).AE是BC边上的中线.
2.（1）在纸上画出一个锐角三角形，确定它的中线.你有什么方法？它有多少条？它们有怎样的位置关系?
（2）钝角三角形和直角三角形的中线又是怎样的？
探究二、
3.三角形的角平分线的定义在三角形中，一个内角的 与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的 叫三角形的角平分线。（注意：“三角形的角平分线”是一条线段）
例：每人准备锐角三角形、钝角三角形和直角三角形纸片各一个。
(1) 你能分别画出这三个三角形的三条角平分线吗?
(2) 你能用折纸的办法得到它们吗?
(3) 在每个三角形中，这三条角平分线之间有怎样的位置关系?
探究三、
4.三角形的高
从三角形的一个 向它的对边所在直线作 ，顶点和垂足之间的 叫做三角形的高线，简称三角形的高.
5.锐角三角形的三条高(如图1)
每人准备一个锐角三角形纸片。
你能用折纸的办法得到它们吗?
这三条高之间有怎样的位置关系？将你的结果与同伴进行交流.
【知识梳理】
三角形的角平分线、中线、高线的定义;
(2) 三角形的角平分线、中线、高线是线段.?
【随堂练习】
1.如图，AD是∠CAE的平分线，∠B=40°，∠DAE=80°，那么∠ACD=（ ）
A、60° B、80° C、70° D、50°
2.在⊿ABC中，AB=AC，D为AC的中点，中线BD把⊿ABC的周长分成15cm和6cm，试求BC的长。
3.如图，在⊿ABC中，∠A=62°,∠B=74° ，CD是∠ACD的角平分线，点E在AC上，且DE//BC.求∠EDC的度数。
4.如图，在⊿ABC中，AD、AE分别是高和角平分线，若∠B=35°，∠C=55°,求∠CAD和∠EAD的度数.
4.3探索三角形全等的条件
4.3.1探索三角形全等的条件1
【教学目标】
知识与技能
1．经历探索三角形全等的“边边边”的条件的过程．
2．了解三角形的稳定性．
过程与方法
经历探索三角形全等条件的过程，体会利用操作、归纳获得数学结论的过程．
情感、态度与价值观
经历探索三角形全等条件的过程中，感受到数学几何图形之美，增强学习数学兴趣。
【教学重难点】
重点：探索三角形全等条件的。
难点：初步掌握证明三角形全等的判定方法。
【导学过程】
【知识回顾】
1.能够完全重合的两个图形成为 图形。
2.如果两个图形全等，它们的 和 一定都相同
3.全等三角形的性质：全等三角形的 相等， 相等。
如图，已知：ΔABC≌ΔDEF. 试找出图中相等的边和角.
【情景导入】
1.只给一个条件(一条边或一个角)画三角形时，大家画出的三角形一定全等吗？
【新知探究】
探究一、
给出两个条件画三角形时，有几种可能的情况？每种情况下作出的三角形一定全等吗？分别按照下面的条件做一做。
(1) 三角形的一个内角为30°，一条边为3cm；
(2) 三角形的两个内角分别为30°和 50°；
(3) 三角形的两条边分别为4cm，6cm.
探究二、
1.如果给出三个条件画三角形，你能说出有哪几种可能的情况吗？
解：三个 ；三条 ；两条 和一个 ；两个 和一条 。
2.（1）已知一个三角形的三个内角分别为40°，60°和80°，你能画出这个三角形吗？把你画的三角形与同伴画出的进行比较，它们一定全等吗？
（2）已知一个三角形的三条边分别为4cm，5cm和7cm，你能画出这个三角形吗？把你画的三角形与同伴画出的进行比较，它们一定全等吗？
解：（1）三个内角对应相等的两个三角形 全等
（2）三边分别______的两个三角形全等，简称为“边边边”或“SSS”。通常写成下面的格式：
在△ABC与△DEF中，
∵
∴△ABC≌△DEF（SSS）
探究三、
已知：如图AB=CD,AD=BC.则∠A与∠C相等吗？为什么？
分析：要说明∠A与∠C相等，可设法使它们在两个可以全等的三角形中，那么，全等三角形的对应角相等,为此变四边形为两个三角形。
解： ∠A=∠C.
连接BD
AB=DC（已知）
∵ AD=BC（已知）
BE=CF（已知）
∴ΔABD≌ΔCDB （SSS）
∴∠A=∠C（全等三角形对应角相等）
【知识梳理】
1.三个内角对应相等的两个三角形 全等
2.三边分别______的两个三角形全等，简称为“边边边”或“ ”。通常写成下面的格式：
在△ABC与△DEF中，
∵
∴△ABC≌ （ ）
【随堂练习】
1.如图，已知在⊿ABC中，AB=AC，D为BC的中点.
求证：⊿ABD与⊿ADC全等。
2.如图，AD=AC，BD=BC，∠D=55°，求∠C的度数。
3.如图，已知AB =DC ，AC =DB，试说明：∠A =∠D．
4.3探索三角形全等的条件
4.3.2探索三角形全等的条件2
【教学目标】
知识与技能
探索出三角形全等的条件“ASA”和“AAS”并能应用它们来判定两个三角形
是否全等。
过程与方法
1、体会利用转化的数学思想和方法解决问题的过程。
2、能够有条理的思考和理解简单的推理过程，并运用数学语言说明问题。
情感、态度与价值观
敢于面对数学活动中的困难，并能通过合作交流解决遇到的问题。
【教学重难点】
重点： 掌握三角形全等条件“ASA”和“AAS”，并能应用它们来判定两个三
角形是否全等。
难点：能够有条理的思考和理解简单的推理过程，并运用数学语言说明问题。
【导学过程】
【知识回顾】
如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的中线，△ABD和△ACD全等吗？
你能说明理由吗？
【情景导入】
提问：一张三角形的纸片，被斯成三部分，究竟用那部分可
画出原图一样的三角形？
【新知探究】
探究一、
两角和它们的夹边
将学生分组小组分工合作完成下列问题：
画一个△ABC使它满足以下条件：
第一组：∠A=90°, ∠B=30°,AB=10cm
第二组： ∠A=60°, ∠B=45°,AB=9cm
学生动手操作，完成问题后，小组交流比较，看看能得到什么结论？学生表述，老师板书：
________________________对应相等的两个三角形全等；
（简写为_____________或者 ______________）
探究二、
如果“两角及一边”条件中的边是其中一角的对边，比如三角形的两个内角分别是60° 和45°，一条边长为10cm，情况会怎样呢？
如果角60°所对的边为10cm，你能画出这个三角形吗？
如果角45°所对的边为10cm，那么按这个条件画出的三角形都全等吗？
结论___________________________对应相等的两个三角形全等
简写为________________________________
思考：若两个三角形具备两角和其中一个角的对边分别相等，哪么这两个三角形全等，你认为对吗？能举例说明吗？
如图，已知，∠C＝∠E，∠1＝∠2，AB＝AD，求证：△ABC≌△ADE
解：∵∠1＝∠2（已知）
∴∠1＋∠DAC＝∠2＋∠DAC
即∠BAC＝∠DAE
在△ABC和△ADC 中
∠C＝∠E （已知）
∠BAC＝ （已证）
AB＝AD （ ）
∴ △ABC≌ （ ）
【知识梳理】
①两角及其夹边分别相等的两个三角形全等，简写为“角边角”或“ASA”
②两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等，简写成“角角边”或“AAS”
【随堂练习】
已知：点D在AB上，点E在AC上，BE、CD 相交于O，AD=AE, ∠B=∠C，求证：BD=CE
2.如图,已知⊿ABE≌⊿ACD,且BF=CF，试说明⊿FEC与⊿FDB全等。
4.3探索三角形全等的条件
4.3.3探索三角形全等的条件3
【教学目标】
知识与技能
明确SAS公理的内容，能用SAS证明两个三角形全等。
过程与方法
通过SAS公理的运用提高学生的逻辑思维能力，通过观察几何图形培养学生识图能力和应用数学知识解决实际问题的能力。
情感、态度与价值观
敢于面对数学活动中的困难，并能通过合作交流解决遇到的问题。
【教学重难点】
重点：明确SAS公理的内容，能用SAS证明两个三角形全等。
难点：能够有条理的思考和理解简单的推理过程，并运用数学语言说明问题。
【导学过程】
【知识回顾】
到目前为止，你能用哪些方法来判定三角形全等？
【情景导入】
根据探索三角形全等的条件，至少需要三个条件，除了上述三种情况外，还有哪种情况？
解：两边一角相等：
（1）两边及 ___ ；（2） ____ 及其一边的对角
【新知探究】
探究一、
（1）两边及夹角三角形两边分别为2.5cm，3.5cm，它们所夹的角为40°，你能画出这个三角形吗？你画的三角形与同伴画的一定全等吗？
（2）以2.5cm，3.5cm为三角形的两边，长度为2.5cm的边所对的角为40°，情况又怎样？动手画一画，你发现了什么？
解：（1）我画的与同伴画的是全等的(如图1)。
（2）我画的与同伴画的不一定全等（如图2）。
总结：①两边及其一边所对的角对应相等，两个三角形 全等。
②三角形全等的判定方法4：两边及其 分别 的两个三角形全等，简写成“ ”或“SAS”。通常写成下面的格式：
在△ABC与△DEF中，
∵
∴△ABC≌△DEF（SAS）
探究二、
小明不小心打翻了墨水，将自己所画的三角形涂黑了，你能帮小明想想办法，画一个与原来完全一样的三角形吗？说说怎么做？
如图：在△ABE和△ACF中，AB=AC, BF=CE.
求证：（1）AF=AE
（2）△ABE≌△ACF
证明：（1）∵AB=AC, BF=CE （已知）
∴AB-BF=AC-CE （ ）
即
在△ABE和△ACF中
∵
∴_________________________________
探究三：
两边及其中一边对角对应相等
请同学们画一个三角形，两边分别为20cm、16cm，且一边的对角为40度。
小组比较交流图形能否重合。
明晰：两边及其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等。
【知识梳理】
三角形全等的判定方法4：两边及其 分别 的两个三角形全等，简写成“ ”或“SAS”。
【随堂练习】
在△ABC中，AB=AC，AD是∠BAC的角平分线。那么BD与CD相等吗？为什么？
解：相等
理由：∵AD是∠BAC的角平分线
∴∠BAD＝ （ ）
AB＝AC
∵ ∠BAD＝∠CAD
AD＝AD
∴△ABD≌△ACD（SAS）
∴BD＝CD
2.如图，AB＝DB，BC＝BE，∠1＝∠2，
求证：△ABE≌△DBC
3.如图，已知点E、F在BC上，且BE=CF，AB=CD，∠B=∠C，求证：AF=DE
课件21张PPT。1.阅读相关内容，完成下列问题.
(1)定义：由不在___________的三条_____首尾顺次相接所组成
的图形叫做三角形.
(2)三角形的表示方法：一般的三角形用符号“___”表示.直角
三角形用符号“_____”表示.同一直线上线段△Rt△自主预习2.探究三角形三角关系.
(1)在纸上任意画一个三角形，测量它的三个内角可得，三个内
角的和是_____.
(2)做一个三角形纸片，将其三个内角剪下拼在一起可以得到一
个___角.
(3)做一个直角三角形的纸片，将其两个锐角剪下拼在一起可得
一个___角. 180°平直【归纳】①三角形的三个内角的和是_____；
②直角三角形的两锐角_____.
自主预习3.三角形按角可分为：_____三角形、_____三角形、_____三角
形.
【点拨】判断三角形中最大内角的度数，就可以判断这一个三
角形的形状.锐角直角钝角自主预习 4.已知三角形中两个内角的度数，能确定三角形的形状吗？
提示：能，根据三角形的内角和是180°，可以确定第三个角的度数，进而确定三角形的形状.
与三角形有关的概念
【例1】如图所示，图中有几个三角形？请分别表示出来.∠AEC, ∠ABD分别是哪些三角形的内角？以BD为边的三角形有哪些? 新知探究【解题探究】(1)①图中较小的三角形有△BEF，△CDF，△BFC.
②两个图形组合为一个三角形的有：△BEC,△BDC,△ABD,△AEC,还有最大的一个三角形是：△ABC. 所以，图中有8个三角形.
(2)以∠AEC为内角的三角形有△AEC.
以∠ABD 为内角的三角形有△BEF,△ABD.
(3)以BD 为边的三角形有△BDC,△ABD.【跟踪训练】
1.若有一条公共边的两个三角形称为一对“共边三角形”，则图中以BC为公共边的“共边三角形”有( )
(A)2对 (B)3对 (C)4对 (D)6对
【解析】选B.△BDC与△BEC、△BDC与△BAC、△BEC与△BAC，共3对.2.如图，在△ABC中，AD,BF,CE相交于O点，则图中的三角形的个数是( )
(A)7个 (B)10个 (C)15个 (D)16个
【解析】选D.最小的有6个，2个组成1个的有3个，3个组成1个的有6个，最大的有1个，则共有6+3+6+1=16(个).3.如图所示，第1个图中有1个三角形，第2个图中共有5个三角形，第3个图中共有9个三角形，依次类推，则第6个图中共有三角形______个.
【解析】第n个图中，三角形的个数是1+4(n-1)=4n-3，所以当n=6时，三角形的个数是21.
答案：21 三角形内角和定理的应用
【例2】如图，△ABC中，∠A=60°，∠B∶∠C=1∶5.求∠B的度数.新知探究【规范解答】设∠B=x°，
因为∠B∶∠C=1∶5，
所以∠C=5x° . ……………………………………………… 2分
因为三角形的三个内角的和是180°,
所以∠A+∠B+∠C=180°,
所以得方程：60+x+5x=180, ………………………………… 4分
解得x=20,
故∠B=20°. ……………………………………………………6分
4.已知△ABC中，∠B是∠A的2倍，∠C比∠A大20°，则∠A等于( )
(A)40° (B)60° (C)80° (D)90°
【解析】选A.设∠A=x，则∠B=2x，∠C=x+20°，则
x+2x+x+20°=180°，解得x=40°，即∠A=40°.5.在△ABC中，∠C=65°，∠B=25°，则这个三角形是_______.
【解析】∠A=180°-∠C-∠B=180°-65°-25°=90°.故为直角三角形.
答案：直角三角形6.如图，已知AD∥BC，∠EAD=50°，∠ACB=40°，则∠BAC=____度.
【解析】因为AD∥BC，∠EAD=50°，
所以∠EBC=∠EAD=50°.
在△ABC中，∠ABC=50°，∠ACB=40°，
∴∠BAC=180°-50°-40°=90°.
答案：90
你有什么收获？知识梳理1.如图，在△ABC中，
∠C＝70°，沿图中虚线截去∠C，则
∠1＋∠2＝( )
(A)360° (B)250°
(C)180° (D)140°随堂练习【解析】选B.因为∠1+∠3=180°，∠2+∠4=180°，
所以∠1+∠2+∠3+∠4=360°.
又因为∠3+∠4=180°-∠C=110°，
所以∠1+∠2=360°-110°=250°. 2. 如图，B处在A处的
南偏西45°方向，C处在A处的南偏东15°
方向，C处在B处的北偏东80°方向，则
∠ACB等于( )
(A)40° (B)75°
(C)85° (D)140°
【解析】选C.由题意知，∠ABC =80°-45°=35°，∠BAC
=45°+15°=60°, ∠C=180°-35°-60°=85°.3.如图所示，图中有____个三角形，____个直角三角形.
【解析】图中有5个三角形，4个直角三角形.
答案：5 44.如图所示，AB∥CD，AD∥BC，∠1=65°，∠2=55°，则∠C=____.
【解析】因为AB∥CD，AD∥BC，所以∠BDC=∠2=55°，∠DBC=∠1=65°，所以∠C=180°-∠BDC-∠DBC=60°.
答案：60°5.如图所示，已知DF⊥AB于F，∠A=40°，∠D=50°，求∠ACB的度数.
【解析】在△BDF中，
∠B=180°-∠BFD-∠D=180°-90°-50°=40°，
在△ACB中，∠A=40°，
故∠ACB=180°-∠A-∠B=180°-40°-40°=100°. 人生的价值，并不是用时间，而是用深度去衡量的。
——列夫·托尔斯泰 结束语课件17张PPT。
1、 三角形的内角和
2、三角形的分类知识回顾1.等腰三角形的相关概念.
(1)等腰三角形：有_____相等的三角形叫做等腰三角形.
(2)等边三角形：_____都相等的三角形是等边三角形，也叫
_________.
(3)关于等腰三角形各部分有其特定的名称.
①相等的两条边称为___，第三边称为_____.
②两腰的夹角称为_____，另两个角(腰与底的夹角)称为_____.两边三边正三角形腰底边顶角底角自主预习2.三角形的边角关系.
(1)三角形任意两边之和_____第三边.
(2)三角形任意两边之差_____第三边.
【归纳】如果三角形的两边为a,b,则第三边x的取值范围是：
|a-b|提示：是.等边三角形是特殊的等腰三角形，即等边三角形是腰和底相等的等腰三角形.
三角形的三边关系及应用
【例】等腰三角形一边长为5 cm，它比另一边短6 cm,求三角形周长.新知探究【解题探究】(1)你能确定5 cm的边是腰还是底吗？
答：不能，故此题可能有两解，即5 cm的边为底或为腰.
(2)①当5 cm的边为腰时，则底边长为5+6=11(cm).
因为5+5=10＜11,所以不能构成三角形.
②当5 cm的边为底边时，此时腰长为5+6=11(cm).
又因为11+5＞11，故能构成三角形.所以三角形周长为5+11+11=27(cm).【跟踪练习】
1.下列长度的三条线段，不能构成三角形的是( )
(A)3，8，4 (B)4，9，6
(C)15，20，8 (D)9，15，8
【解析】选A.因为3+4＜8，所以不能构成三角形；因为4+6＞9，所以能构成三角形；因为8+15＞20，所以能构成三角形；因为8+9＞15，所以能构成三角形.故选A.2. 一个三角形的三边长分别为4，7，x，那么x的取值范围是( )
(A)3＜x＜11 (B)4＜x＜7
(C)-3＜x＜11 (D)x＞3
【解析】选A.因为三角形的三边长分别为4，7，x，∴7-4＜x＜7+4，即3＜x＜11.3.为估计池塘两岸A，B间的距离，杨阳在
池塘一侧选取了一点P，测得PA=16 m，
PB=12 m，那么A，B间的距离不可能是( )
(A)5 m (B)15 m (C)20 m (D)28 m
【解析】选D.因为PA，PB，AB能构成三角形，所以PA-PB＜AB＜PA+PB，即4 m＜AB＜28 m. 4.如果三角形的两边长为2和9，且周长为奇数，那么满足条件的三角形共有( )
(A)1个 (B)2个 (C)3个 (D)4个
【解析】选B.设第三边的边长是x，则7＜x＜11，所以x=8或9或10.而三角形的周长是奇数，因而x=8或10，满足条件的三角形共有2个.知识梳理你有什么收获？1. 下列长度的三条线段，能组成三角形的是( )
(A)1，1，2 (B)3，4，5
(C)1，4，6 (D)2，3，7
【解析】选B.由1+1=2，1+4＜6，2+3＜7，得A，C，D均不正确，故B正确. 随堂练习2.如果三角形的两边长分别为3和5，第三边长是偶数，则第三边长可以是( )
(A)2 (B)3 (C)4 (D)8
【解析】选C.由题意，设第三边为x，则5-3＜x＜5+3，即2＜x＜8，因为第三边长为偶数，所以第三边长是4或6.故选C.随堂练习3.若三角形的两边长分别为2和4，且周长为奇数，则第三边的长是______.
【解析】根据三角形的三边关系，得第三边长应大于4-2=2，而小于4+2=6.又三角形的两边长分别为2和4，且周长为奇数，所以第三边长应是奇数，则第三边长是3或5.
答案：3或5随堂练习4.已知：在△ABC中，AB=2 cm，AC=5 cm，且BC边的长度为偶数(单位：cm)，则BC边的长为______.
【解析】根据三角形的三边关系，得5-2＜BC＜5+2，即3＜BC＜7.又BC长是偶数，则BC=4 cm或6 cm.
答案：4 cm或6 cm随堂练习5.如图，有四个村庄(点)A，B，C，D，
要建一所学校O，使OA+OB+OC+OD最小，
画图说明O在哪里，并说出你的理由.随堂练习【解析】要使OA+OB+OC+OD最小，则点O
是线段AC，BD的交点.
理由如下：如果存在不同于点O的交点P，
连接PA，PB，PC，PD，
那么PA+PC＞AC，即PA+PC＞OA+OC，
同理，PB+PD＞OB+OD，
则PA+PB+PC+PD＞OA+OB+OC+OD，
即点O是线段AC，BD的交点时，OA+OB+OC+OD最小. 一个爱书的人，他必定不致缺少一个忠实的朋友，一个良好的老师，一个可爱的伴侣，一个优婉的安慰者。
——伊萨克·巴罗结束语课件23张PPT。1.有 相等的三角形叫等腰三角形
有三边都相等的三角形式 三角形，也叫正三角形
2. 两边之和大于第三边。
两边之差小于第三边。
第三边大于两边之 ,小于两边之 。知识回顾三角形的三种重要线段的概念及特征 线段一点自主预习中点一点垂足高线高一点探究：三角形的三条高的关系：
如图，画出锐角三角形、直角
三角形和钝角三角形的三条高.
①锐角三角形的三条高相交于三角形___部的___个点.
②直角三角形的三条高相交于三角形的_________.
③钝角三角形的三条高所在直线相交于三角形___部的___个点.
【归纳】三角形的三条高所在的直线相交于一点.
【点拨】三角形的角平分线、高、中线都是线段.内一直角顶点外一【预习思考】
三角形的角平分线和角的平分线是一回事吗？
提示：不是.它们均平分一个角，但三角形的角平分线是一条线段，而角的平分线是一条射线. 三角形的三种重要线段区分
【例1】如图，在△ABC中，∠BCA是钝角，完成下列画图，并用适当的符号在图中表示：
(1)∠ABC的角平分线；
(2)AC边上的中线；
(3)AC边上的高. 新知探究【规范解答】如图所示：
(1)BE为∠ABC的角平分线，可表示为∠ABE＝∠CBE＝ ∠ABC，
或∠ABC＝2∠ABE=2∠CBE. ………………………………… 3分特别提醒：△ABC的AC
边上的高在三角形外，不要画在三角形内，注意在垂足处标上垂直符号.(2)BD为AC边上的中线,可表示为AD＝CD＝ AC.
(3)BF为AC边上的高,可表示为BF⊥AC于点F，或∠AFB=90°.
三角形的三种重要线段识别的两点注意
(1)不要混淆：准确把握三角形三种重要线段的概念，弄清三者的区分.
(2)注意数量关系的推理判断：三角形的角平分线可得到两个相等角，三角形的中线可得到两条相等的线段和两个面积相等的三角形,三角形的高可得到垂直关系或直角.新知探究【跟踪练习】
1.如图所示，在△ABC中，D，E，F是BC边上的三点，且∠1=∠2=∠3=∠4，AE是哪个三角形的角平分线( )
(A)△ABE (B)△ADF
(C)△ABC (D)△ABC，△ADF2.如图，AC⊥BC，CD⊥AB，DE⊥BC，垂足分
别为C，D，E，则下列说法不正确的是( )
(A)AC是△ABC的高
(B)DE是△BCD的高
(C)DE是△ABE的高
(D)AD是△ACD的高3.如果一个三角形的三条高的交点恰是三角形的一个顶点，那么这个三角形是( )
(A)锐角三角形 (B)钝角三角形
(C)直角三角形 (D)都有可能
【解析】选C.一个三角形的三条高的交点恰是三角形的一个顶点，则这个三角形是直角三角形.4、下列说法正确的是( )
①三角形的三条中线都在三角形内部；②三角形的三条角平分线都在三角形内部；③三角形三条高都在三角形的内部.
(A)①②③ (B)①②
(C)②③ (D)①③
【解析】选B.①②正确；而对于三角形的三条高：锐角三角形的三条高在三角形的内部；直角三角形有两条高在边上，一条在内部；钝角三角形有两条高在外部，一条在内部.故③错误. 三角形中三条重要线段的综合应用
【例2】已知在△ABC中，∠C＞∠B,
AD是BC边上的高，AE平分∠BAC，
试说明∠DAE= (∠C-∠B).
【规范解答】因为AD⊥BC,
所以∠BDA=90°,
所以∠BAD=90°-∠B. ……………………………………… 2分新知探究【跟踪练习】
5.如图，AD，BE都是△ABC的高，则与∠CBE一定相等的角是
( )
(A)∠ABE (B)∠BAD (C)∠DAC (D)∠C
【解析】选C.在△BEC和△ADC中，∠C是公共角，∠ADC=∠BEC =90°，所以∠CBE=∠DAC.6.如图，在△ABC中，AD⊥BC，AE平分∠BAC，若∠1=30°，∠2=20°，则∠B=_____.
【解析】因为AE平分∠BAC，所以∠1=∠EAD+∠2，所以∠EAD=∠1-∠2=30°-20°=10°，Rt△ABD中，∠B=90°-∠BAD =90°-30°-10°=50°.
答案：50°知识梳理你有什么收获？1.把三角形的面积分为相等的两部分的是( )
(A)三角形的角平分线
(B)三角形的中线
(C)三角形的高
(D)以上都不对
【解析】选B.三角形的一条中线把三角形分成两个等底同高的三角形，所以把三角形的面积分为相等的两部分的是三角形的中线.随堂练习2.下面四个图形中，线段BE是△ABC的高的图是( )
3.如图，在△ABC中，BC边上的高是______；在△ADC中，DC边上的高是______；在△EBC中，EC边上的高是______.
【解析】△ABC是钝角三角形，BC边上的高是AD；△ADC是直角三角形，DC边上的高是直角边AD；△EBC中, EC边上的高是BG.
答案：AD AD BG4.如图，AD为△ABC的角平分线，DE∥AB交AC于点E，若∠BAC＝
58°，则∠ADE＝______.
【解析】因为AD为△ABC的角平分线，所以∠BAD= ∠BAC=29°.
又因为DE∥AB，所以∠ADE=∠BAD=29°.
答案：29°5.如图，△ACB中，∠ACB=90°，∠1=∠B.
(1)试说明CD是△ABC的高；
(2)如果AC=8，BC=6，AB=10，求CD的长. 【解析】(1)因为∠1+∠BCD=90°，∠1=∠B，所以
∠B+∠BCD=90°，所以∠CDB=90°，
所以△BDC是直角三角形，即CD⊥AB，故CD是△ABC的高.
(2)因为∠ACB=∠CDB=90°，
所以S△ABC = AC·BC= AB·CD.
又因为AC=8，BC=6，AB=10，
所以CD= . 重要的不是知识的数量，而是知识的质量，有些人知道很多很多，但却不知道最有用的东西。
——托尔斯泰 结束语课件9张PPT。指出：与原来完全一样的三角形，即是与原来三角形全等的三角形。
想一想：要画一个三角形与小颖画的三角形全等。需要几个与边或角的大小有关的条件？只知道一个条件（一角或一边）行吗？两个条件呢？三个条件呢？让我们一起来探索三角形全等的条件情境引入做一做：（1）只给出一个条件（一条边或一个角）画三角形时，画出的三角形一定全等吗？ （2）给出两个条件画三角形时，有几种可能的情况？每种情况下作出的三角形一定全等吗？ 按下面的条件画三角形，画完后小组内交流，看所画的三角形是否全等。(其它条件不确定）1）三角形的一个内角为30°，一条边为3cm.
2) 三角形的两个内角分别为30°和45°；
3）三角形的两条边分别为4cm和6cm.新知探究综上所述，只给出一个条件或两个条件时，都不能保证所画出的三角形一定全等。想一想：如果给出三个条件画三角形时，你能说出有哪几种可能的情况吗？有四种可能：三条边、三个角、两边一角和两角一边。做一做：
1）与小组内的同学比较各自手中的三角尺，有没有三个内角对应相等的三角形，它们一定全等吗？和老师手中的三角板相比较呢？2）已知一个三角形的三条边分别为4cm、5cm、7cm，你能画出这个三角形吗？看老师的作图示范，再画出这个三角形，并与同伴画的三角形进行比较？它们一定全等吗？这说明有三个角对应相等的两个三角形不一定全等新知探究由此得出定理：三边对应相等的两个三角形全等，简写为“边边边”或“SSS”这个定理说明，只要三角形的三边的长度确定了，这个三角形的形状和大小就完全确定了，这也是三角形具有稳定性的原理。 介绍三角形稳定性的例子。知识梳理练习：1、如图，AB＝AC，BD＝CD，BH＝CH，图中有几组全等的三角形？它们全等的条件是什么？HDCBA解：有三组。在△ABH和△ACH中 ∵AB=AC，BH=CH，AH=AH ∴△ABH≌△ACH（SSS）；在△ABH和△ACH中∵AB=AC，BD=CD，AD=AD ∴△ABD≌△ACD（SSS）；在△ABH和△ACH中 ∵BD=CD，BH=CH，DH=DH∴△DBH≌△DCH（SSS） 随堂练习练习2。如图，已知AB=CD，BC=DA。你能说明△ABC与△CDA全等吗？你能说明AB∥CD，AD∥BC吗？为什么？ DBAC解：在△ABC与△CDA中，
∵∴△ABC≌△CDA（SSS）
∴∠BAC=∠DCA,∠ACB=∠CAD(全等三角形对应角相等） ∴AB∥CD，AD∥BC（内错角相等，两直线平行）
今天我们经历了画图验证两个三角形全等的过程，探索出两个三角形全等的条件之一“三边对应相等的两个三角形全等”，我们可以利用它来判别两个三角形是否全等。
我们还知道了三角形具有稳定性，只要三角形的三边长度确定了，这个三角形的形状和大小就确定了。在生活 中，三角形的稳定性有广泛的应用。 学贵精不贵博。……知得十件而都不到地，不如知得一件却到地也。
——戴震：《戴东原先生年谱》结束语课件5张PPT。三边对应相等的两个三角形全等，简写为“边边边”或“SSS” 知识回顾如图△ABC是任意一个三角形，画一个三角形△A’B’ C’使A’B’=AB，∠A’ = ∠A， ∠B’= ∠B画法：1.画线段A’ B’ =AB
A’B’C’ 2.在A’B’ 的同旁，分别以A’ B’ 为顶点画 ∠MB’ C’= ∠B， ∠NB’ A’= ∠B’A’M，B’N交于点C’，
得△A’ B’ C’
MN新知探究 1. 角边角 有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等或 “ASA”知识梳理 2.角角边或 “AAS”
已知点D在AB上，点E在AC上，BE和CD相交于点O，AB=BC，∠B= ∠C(如图)，求证：BD=CE.ABCDEO
证明:在△ACD和△ABE中∴AD=AE(全等三角形的对应边相等） 又AB=AC（已知）∴BD=CE（等式的性质）随堂练习 书籍鼓舞了我的智慧和心灵，它帮助我从腐臭的泥潭中脱身出来，如果没有它们，我就会溺死在那里面，会被愚笨和鄙陋的东西呛住。
——《高尔基论青年》结束语课件11张PPT。 到目前为止，我们已学过哪些方法判定两三角形全等？答：边边边（SSS）角边角（ASA）角角边（AAS）根据探索三角形全等的条件，至少需要三个条件，除了上述三种情况外，还有哪种情况？答：两边一角相等那么有几种可能的情况呢？答：两边及夹角或两边及其一边的对角知识回顾 （1）如果“两边及一角”条件中的角是两边的夹角，比如三角形两边分别为2.5cm，3.5cm，它们所夹的角为40° ，你能画出这个三角形吗？你画的三角形与同伴画的一定全等吗？结论：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等，简写为“边角边”或“SAS”新知探究 以2.5cm，3.5cm为三角形的两边，长度为2.5cm的边所对的角为40° ，情况又怎样？动手画一画，你发现了什么？ABCDEF2.5cm3.5cm40°40°3.5cm2.5cm结论：两边及其一边所对的角相等，两个三角形不一定全等新知探究找出全等三角形DCAB△ADC≌△CBA (SAS)自主练习 小明做了一个如图所示的风筝，其中∠EDH=∠FDH, ED=FD ，将上述条件标注在图中，小明不用测量就能知道EH=FH吗？与同桌进行交流。 1、今天我们学习哪种方法判定两三角形全等？答：边角边（SAS） 2、通过这节课，判定三角形全等的条件有哪些？答：SSS、SAS、ASA、AAS3、在这四种说明三角形全等的条件中，你发现了什么？答：至少有一个条件：边相等“边边角”不能判定两个三角形全等知识梳理DCBA1、在△ABC中，AB=AC，AD是∠BAC的角平分线。
求证：BD＝CD证明：∵AD是∠BAC的角平分线（已知）
∴∠BAD＝∠CAD（角平分线的定义）
∵AB＝AC（已知）
∠BAD＝∠CAD（已证）
AD＝AD（公共边）
∴△ABD≌△ACD（SAS）
∴BD＝CD（全等三角形对应边相等）
随堂练习BCDEA如图，已知AB＝AC，AD＝AE。
求证：∠B＝∠CCEABAD证明：在△ABD和△ACE中∴△ABD≌△ACE（SAS）
∴∠B＝∠C（全等三角形
对应角相等）FEDCBA如图，∠B＝∠E，AB＝EF，BD＝EC，那么△ABC与 △FED全等吗？为什么？解：全等。∵BD=EC（已知）
∴BD－CD＝EC－CD。即BC＝ED 在△ABC与△FED中∴△ABC≌△FED（SAS）AC∥FD吗？为什么？∴∠1＝∠2（ ）∴∠3＝∠4（ ）∴AC∥FD（内错角相等，两直线平行4321 小明的设计方案：先在池塘旁取一个能直接到达A和B处的点C，连结AC并延长至D点，使AC=DC，连结BC并延长至E点，使BC=EC，连结CD，用米尺测出DE的长，这个长度就等于A，B两点的距离。请你说明理由。 AC=DC?
∠ACB=∠DCE
BC=EC △ACB≌△DCE(SAS)
AB=DEECBAD如图线段AB是一个池塘的长度，
现在想测量这个池塘的长度，在
水上测量不方便，你有什么好的
方法较方便地把池塘的长度测量
出来吗？想想看。 加紧学习，抓住中心，宁精勿杂，宁专勿多。
——《周恩来选集》 结束语
