中小学教育资源及组卷应用平台
2025广东版数学中考专题
第二章 方程（组）与不等式（组）
2.1 一元一次方程和一元二次方程
基础练
1．[2024深圳模拟，]下列变形，正确的是 （ ）
A. 移项，得
B. 去括号，得
C. 合并同类项，得
D. 去分母，得
【答案】C
2．[2024佛山一模，]方程的根为 （ ）
A. B. 0 C. 1 D. 2
【答案】A
3．[2024佛山三模，]小明做作业时发现方程已被墨水污染，电话询问老师后知道方程的解为且被墨水遮盖的是一个常数．则该常数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】设被墨水遮盖的常数是，
方程的解是，
，解得.
4．[2023佛山模拟，]已知是方程的根，则代数式的值为 （ ）
A. 4044 B. C. 2024 D.
【答案】A
【解析】是方程的根，，
即，
.
5．[2024福建，]2024年我国国民经济开局良好，市场销售稳定增长，社会消费增长较快，第一季度社会消费品零售总额120327亿元，比去年第一季度增长,求去年第一季度社会消费品零售总额.若将去年第一季度社会消费品零售总额设为亿元，则符合题意的方程是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
6．[2024深圳模拟，]春节期间电影《热辣滚烫》上映的第一天票房约为3亿元，第二天、第三天单日票房持续增长，三天累计票房为9.63亿元，若第二天、第三天单日票房增长率相同，设平均每天票房的增长率为，则根据题意，下列方程正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】第一天票房约为3亿元，且平均每天票房的增长率为，第二天票房约为亿元，第三天票房约为亿元．根据题意得．
7．[2024东莞三模，]若关于的方程有实数根，则实数的取值范围是________.
【答案】
【解析】关于的方程有实数根，，解得.
8．[2024广州一模，]关于的一元二次方程有两个实数根，则的取值范围是____________________.
【答案】且
【解析】由题意知且，
解得且．
则的取值范围是且．
9．[2024广州一模，]解方程：.
【解析】，
或，
，.
10．[2024广州一模，]已知.
（1） 化简；
（2） 若，是方程的两个根，求的值．
【解析】
（1） .
（2） ，是方程的两个根，，.
11．[2024吉林长春，]《九章算术》是我国第一部自成体系的数学专著，其中“盈不足术”记载：今有共买金，人出四百，盈三千四百；人出三百，盈一百.问人数、金价各几何？译文：今有人合伙买金，每人出400钱，剩余3400钱；每人出300钱，剩余100钱.问合伙人数和金价各是多少？请解答这个问题.
【解析】设合伙人数为，
由题意得，
解得，
.
答：合伙人数为33，金价为9800钱.
提升练
12．[2024河北，]淇淇在计算正数的平方时，误算成与2的积，求得的答案比正确答案小1，则（ ）
A. 1 B. C. D. 1或
【答案】C
【解析】由题意得，，解得或，为正数，.
13．[2024广州一模，]已知关于的一元二次方程有两个实数根,，且满足，则的值是（ ）
A. B. 1 C. D. 1或
【答案】C
【解析】关于的一元二次方程有两个实数根，，
，，，
，
，
，
，
，
经检验，时，，符合题意.
故的值为.
14．[2024广州一模，]如图，是三条角平分线的交点，过作，分别交、于点、，设,,，关于的方程的根的情况是（ ）
A. 一定有两个相等的实数根
B. 一定有两个不相等的实数根
C. 有两个实数根，但无法确定是否相等
D. 没有实数根
【答案】B
【解析】平分，，，，，，，是的内角平分线的交点，，，，，，即，，关于的方程的根的情况是一定有两个不相等的实数根.
15．[2024广州，]定义新运算：例如：,.若,则的值为____________________.
【答案】或
【解析】①当时，，解得或（舍）.
②当时，，解得.
综上所述，的值是或.
16．[2024佛山三模，]关于的方程的两个根都是正整数且，则方程的两个根是______.
【答案】2和24
【解析】设方程的两个根为，，
，，
，，，由题意知，，，.
17．[2023广东模拟,]2023年是农历癸卯年（兔年），兔子挂件成了热销品．某商店准备购进，两种型号的兔子挂件．已知购进型号兔子挂件3件和型号兔子挂件4件共需220元，且型号兔子挂件每件比型号兔子挂件贵15元．
（1） ，两种型号的兔子挂件每件进价分别为多少元？
（2） 该商店计划购进，两种型号的兔子挂件共50件，且，两种型号的兔子挂件每件售价分别定为48元，30元．假设购进的兔子挂件全部售出，若商店计划获得的利润超过310元，则型号兔子挂件至少要购进多少件？
【解析】
（1） 设型号兔子挂件每件进价为元，则型号兔子挂件每件进价为元，根据题意得，解得，.答：型号兔子挂件每件进价为40元，型号兔子挂件每件进价为25元.
（2） 设购进型号兔子挂件件，则购进型号兔子挂件件，则，解得.答：型号兔子挂件至少要购进21件.
18．[2024深圳模拟，]随着重庆动物园的熊猫新馆建成和使用，相应的熊猫文创物品类型更加丰富．某店有、两种熊猫玩偶，已知每个款熊猫玩偶的售价是每个款熊猫玩偶售价的倍，顾客用150元购买款熊猫玩偶的数量比用150元购买款熊猫玩偶的数量少1个．
（1） 每个款熊猫玩偶的售价为多少元？
（2） 经统计，该店每月卖出款熊猫玩偶100个，每个款熊猫玩偶的利润为16元．为了尽快减少库存，该店决定采取适当的降价措施．调查发现，每个款熊猫玩偶的售价每降低2元，那么平均每月可多售出20个．该店想每月销售款熊猫玩偶的利润达到1200元，则每个款熊猫玩偶应降价多少元？
【解析】
（1） 设每个款熊猫玩偶的售价为元，则每个款熊猫玩偶的售价为元，由题意得，解得，经检验，是原方程的解，且符合题意.答：每个款熊猫玩偶的售价为25元.
（2） 设每个款熊猫玩偶应降价元，由题意得，整理得，解得，（舍去）.答：每个款熊猫玩偶应降价10元．
2.2 分式方程
基础练
1．[2024广州一模，]分式方程的解是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
2．[2023深圳模拟,]已知关于的分式方程的解是，则的值为（ ）
A. 3 B. C. D. 1
【答案】B
【解析】把代入分式方程中，得，整理得，解得.
3．[2024广州一模，]某运输公司运输一批货物，已知大货车比小货车每辆多运输5吨货物，且大货车运输75吨货物所用车辆数与小货车运输50吨货物所用车辆数相同，设每辆大货车运输吨货物，则可列方程为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
4．[2024佛山一模，]佛山是国内首个被授予“中国龙舟龙狮运动名城”称号的城市，“争先奋进，赛龙夺锦”的龙舟文化内核近年来成了佛山文化品牌形象和城市精神内涵的重要元素．已知2023年2月佛山某区龙舟赛的总赛程为，在同一场比赛中龙舟队的平均速度是队的1.2倍，最终队到达终点的时间比队提前20分钟，若设队的平均速度是，则可列方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
5．[2024深圳二模，]甲乙两地间公路长300千米，为适应经济发展，甲地通往乙地的客车的速度比原来增加了40千米/时，所用时间缩短了1.5小时．若设客车原来的速度为每小时千米，则下列方程中符合题意的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
6．[2023佛山一模,]解方程：.
【解析】去分母得，解得，
检验：当时，，
是增根，原分式方程无解．
7．[2024广州二模，]解分式方程：.
【解析】去分母得，
解得，
检验：当时，，
故原方程的解为．
8．[2024惠州二模，]某中学为了让学生体验农耕劳动，开辟了一处耕种园，需要采购一批菜苗开展种植活动．据了解，市场上每捆种菜苗的价格是菜苗基地的倍，用300元在市场上购买的种菜苗比在菜苗基地购买的少3捆．求菜苗基地每捆种菜苗的价格.
【解析】设菜苗基地每捆种菜苗的价格是元，
由题意得，
解得，
经检验，是原方程的解，且符合题意.
答：菜苗基地每捆种菜苗的价格是20元．
9．[2024云南，]某旅行社组织游客从地到地的航天科技馆参观，已知地到地的路程为300千米，乘坐型车比乘坐型车少用2小时，型车的平均速度是型车的平均速度的3倍，求型车的平均速度.
【解析】设型车的平均速度为千米/时，则型车的平均速度为千米/时，
根据题意得，
解得.
经检验，是原分式方程的解，且符合题意.
答：型车的平均速度为100千米/时.
10．[2024河源一模，]某公司不定期为员工购买某预制食品厂生产的杂酱面、牛肉面两种食品．现该公司分别花费1080元、1200元购买杂酱面、牛肉面两种食品，已知购买杂酱面的份数比牛肉面的份数多，每份牛肉面的价格比每份杂酱面的价格贵5元，求每份牛肉面的价格.
【解析】设每份杂酱面的价格为元，则每份牛肉面的价格为元，
由题意得，解得.
经检验，是原方程的解，且符合题意，
每份牛肉面的价格为（元）.
答：每份牛肉面的价格为20元.
提升练
11．[2024中山三模，]定义一种新运算：对于任意非零实数，，，若，则的值为________.
【答案】
【解析】，
，
，，
整理得，，
经检验，是方程的解，
故答案为.
12．[2024重庆A卷，]若关于的不等式组至少有2个整数解，且关于的分式方程的解为非负整数，则所有满足条件的整数的值之和为__.
【答案】16
【解析】解不等式组得关于的不等式组至少有2个整数解，，解得.解分式方程，得，
分式方程的解为非负整数，
，，
，，符合条件的的值为2，6，8，.
13．[2023广州一模，]某班组织同学乘大巴车前往研学基地开展爱国教育活动，基地距离学校，队伍8：00从学校出发．张老师因有事情，8：30从学校自驾小车以大巴车1.5倍的速度追赶，追上大巴车后继续以原速度行驶，结果比队伍提前到达基地．
（1） 大巴车与小车的平均速度分别是多少？
（2） 张老师追上大巴车的地点距离基地有多远？
【解析】
（1） 设大巴车的平均速度是，则小车的平均速度是，由题意得,解得.经检验,是原方程的解，且符合题意，.答：大巴车的平均速度是，小车的平均速度是.
（2） 设张老师追上大巴车的地点距离基地，由题意得,解得.答：张老师追上大巴车的地点距离基地．
14．[2023广州一模，]为了减少工人在搬运化工原料时受到的伤害，某物流公司决定引进机器人，一个机器人比一个工人每小时多搬运420千克化工原料，一个机器人搬运900千克化工原料所用的时间与10个工人搬运600千克化工原料所用的时间相等．
（1） 一个机器人与一个工人每小时分别搬运多少千克化工原料？
（2） 现在需要搬运化工原料3600千克，有3个机器人参与搬运，至少还需要安排多少个工人才能在2小时内搬运完毕？
【解析】
（1） 设一个工人每小时搬运千克化工原料，则一个机器人每小时搬运千克化工原料，根据题意得,解得.经检验，是所列方程的解，且符合题意..答：一个机器人每小时搬运450千克化工原料，一个工人每小时搬运30千克化工原料.
（2） 设需要安排个工人搬运，根据题意得，解得.答：至少还需要安排15个工人才能在2小时内搬运完毕．
15．[2023东莞二模，]金师傅近期准备换车，他看中了价格相同的两款国产车．
燃油车 油箱容积：40升 油价：9元/升 续航里程：千米 每千米行驶费用：元 新能源车 电池电量：60千瓦时 电价：0.6元/千瓦时 续航里程：千米 每千米行驶费用： 元
（1） 用含的代数式表示新能源车每千米行驶的费用.
（2） 若燃油车的每千米行驶费用比新能源车多0.54元．
① 分别求出这两款车每千米的行驶费用；
② 若燃油车和新能源车每年的其他费用分别为4 800元和7 500元，则每年行驶里程为多少千米时，新能源车的年费用较低？（年费用年行驶费用年其他费用）
【解析】
（1） .
（2） ① 燃油车每千米的行驶费用比新能源车多0.54元，，解得.经检验，是原分式方程的解且符合题意，，.答：燃油车每千米行驶费用为0.6元，新能源车每千米行驶费用为0.06元.
② 设每年行驶里程为千米，由题意得，解得.答：当每年行驶里程大于5 000千米时，新能源车的年费用较低.
16．[2024深圳二模，]烟花爆竹的发明与火药技术的使用息息相关．最初的爆竹是由唐朝的李畋发明的，他利用火药、纸筒等材料制作爆竹，目的是产生巨大声响以驱鬼辟邪，烟花爆竹不仅在重要节日时用来表示庆贺，还承载着中国人迎祥纳福的美好愿望．小红的爸爸是一家烟花爆竹店的老板，在春节前购进甲、乙两种烟花，用3120元购进甲种烟花与用4200元购进乙种烟花的数量相同，乙种烟花进货单价比甲种烟花进货单价多9元．
（1） 求甲、乙两种烟花的进货单价.
（2） 小红的爸爸打算再购进甲、乙两种烟花共1000个，其中乙种烟花的购货数量不少于甲种烟花数量的3倍，如何进货费用最少？并求出最少的费用.
【解析】
（1） 设甲种烟花进货单价为元，则乙种烟花的进货单价为元，由题意得,解得，经检验，是原方程的解，且符合题意，.答：甲种烟花进货单价为26元，乙种烟花的进货单价为35元.
（2） 设购买甲种烟花个，总费用为元，则购买乙种烟花个，根据题意得， 乙种烟花的购货数量不少于甲种烟花数量的3倍，，解得，，随的增大而减小， 当时，取最小值，为32750，（个）.答：购买甲种烟花250个，购买乙种烟花750个时，费用最少，最少的费用为32750元.
2.3 二元一次方程（组）
基础练
1．[2023深圳二模，]某大型企业为奖励年度优秀员工，预定了某足球比赛中小组赛和决赛两个阶段的门票共20张作为奖品，总价为35 000元．已知小组赛门票每张1 050元，决赛门票每张3 850元，设该企业预定了小组赛门票张，决赛门票张，根据题意可列方程组为 （ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
2．[2024湖北，]我国古代数学著作《九章算术》中记载了一个关于“方程”的问题：“今有牛五、羊二，直金十两.牛二、羊五，直金八两.问牛羊各直金几何？”译文：“今有牛5头，羊2头，共值金10两.牛2头，羊5头，共值金8两.问牛、羊每头各值金多少？”若设牛每头值金两，羊每头值金两，则可列方程组是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
3．[2024广州二模，]《孙子算经》中有一道题：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸，屈绳量之，不足一尺，木长几何？”意思是：用绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺，将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺，问长木长多少尺？设绳子长尺，长木长尺，则可列方程组为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
4．[2023深圳模拟，]已知是方程的一个解，那么______.
【答案】0
5．[2024广州二模，]解方程组：
【解析】
②①得，，解得，
把代入①得，，
解得，
方程组的解为
6．[2024江苏苏州，]解方程组：
【解析】
②①得，，解得，
将代入①得，
方程组的解是
7．[2024山西,]当下电子产品更新换代速度加快，废旧智能手机数量不断增加.科学处理废旧智能手机，既可减少环境污染，还可回收其中的可利用资源.据研究，从每吨废旧智能手机中能提炼出的白银比黄金多760克.已知从2.5吨废旧智能手机中提炼出的黄金，与从0.6吨废旧智能手机中提炼出的白银克数相等.求从每吨废旧智能手机中能提炼出黄金与白银各多少克.
【解析】设从每吨废旧智能手机中能提炼出黄金克，白银克.
根据题意，得
解得
答：从每吨废旧智能手机中能提炼出黄金240克，白银1 000克.
提升练
8．[2024四川南充，]我国古代《算法统宗》里有这样一首诗“我问开店李三公，众客都来到店中.一房七客多七客，一房九客一房空.”诗中后面两句的意思是：如果每一间客房住7人，那么有7人无房可住；如果每一间客房住9人，那么就空出一间客房.设有客房间，客人人，则可列方程组为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】根据每一间客房住7人，那么有7人无房可住得，根据每一间客房住9人，那么就空出一间客房得，所以选项D中方程组符合题意.
9．[2023深圳二模，]《算法统宗》是我国明代数学家程大位的主要著作.在这部著作中，许多数学问题都是以歌诀形式呈现的．“甜果苦果”就是其中一首．“九百九十九文钱，甜果苦果买一千，四文钱买苦果七，十一文钱九个甜，甜苦两果各几个？请君布算莫迟疑！”大意是说：用999文钱共买了1 000个甜果和苦果，其中4文钱可以买苦果7个，11文钱可以买甜果9个，请问甜、苦果各买几个？若设买苦果个，甜果个，可列方程组为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
10．[2024深圳二模，]成语“朝三暮四”讲述了一位老翁喂养猴子的故事，老翁为了限定猴子的食量，分早晚两次投喂，早上的粮食是晚上的，猴子们对于这个安排很不满意，于是老翁进行调整，从晚上的粮食中取2千克放在早上投喂，这样早上的粮食是晚上的，猴子们对这样的安排非常满意．设调整前早上的粮食是千克，晚上的粮食是千克，则可列方程组为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】 调整前早上的粮食是千克，晚上的粮食是千克，且早上的粮食是晚上的，， 老翁从晚上的粮食中取2千克放在早上投喂， 早上的粮食为千克，晚上的粮食为千克， 调整后早上的粮食是晚上的，, 选项B符合题意.
11．[2023广东模拟,]我国古代数学名著《算法统宗》中有一个问题：“一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大小和尚各几丁？”意思是：有100个和尚分100个馒头，若大和尚每人分3个，小和尚每3人分一个，正好分完．则小和尚人数为（ ）
A. 30 B. 45 C. 60 D. 75
【答案】D
【解析】设大和尚有人，小和尚有人，根据题意得
解得 小和尚有75人.
12．[2023四川南充，]关于,的方程组的解满足，则的值是（ ）
A. 1 B. 2 C. 4 D. 8
【答案】D
【解析】方程组中两个方程相减得，，
，，
.
13．[2024深圳二模，]如图1，“幻方”源于我国古代夏禹时期的“洛书”．把“洛书”用今天的数学符号翻译出来，就是一个三阶幻方.三阶幻方中，要求每行、每列及对角线上的三个数的和都相等．小明在如图2的格子中填入了代数式，若它们能满足三阶幻方要求，则________.
图1 图2
【答案】
【解析】由题意得
解得
.
14．[2024惠州模拟，]某中学计划购买消毒液和洗手液两种物品．购买10瓶消毒液和3瓶洗手液需用180元；购买4瓶消毒液和6瓶洗手液需用120元．
（1） 消毒液和洗手液的单价各是多少元？
（2） 学校决定购买消毒液和洗手液共110瓶，且总费用不超过1 350元，则最多可以购买多少瓶消毒液？
【解析】
（1） 设消毒液的单价是元，洗手液的单价是元，根据题意得解得答：消毒液的单价是15元，洗手液的单价是10元.
（2） 设购买瓶消毒液，则购买瓶洗手液，根据题意得，解得，的最大值为50．答：最多可以购买50瓶消毒液.
15．[2023佛山一模，]我国古代数学著作《九章算术》中记载了这样一个问题：“今有甲、乙二人，持钱不知其数．甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而亦钱五十．问甲、乙持钱各几何？”题目大意是：今有甲、乙二人，各带了若干钱．如果甲得到乙所有钱的一半，那么甲共有钱50；如果乙得到甲所有钱的，那么乙也共有钱50，问甲、乙二人各带了多少钱？
（1） 求甲、乙两人各带的钱数；
（2） 已知作业本的价格为2.5元/本，开学之际，文具店开展促销活动，消费满50元就可以打八折，若小明、小颖去文具店购买作业本，两人带的钱数（单位：元）恰好分别等于甲、乙两人各带的钱数，那么他们合起来购买可以比单独购买多买多少本作业本？
【解析】
（1） 设甲带的钱数为，乙带的钱数为，根据题意，得解得答：甲带的钱数为37.5，乙带的钱数为25.
（2） （本）.，取正整数31，（本）.答：他们合起来购买可以比单独购买多买6本作业本.
2.4 不等式与不等式组
基础练
1．[2024吉林长春，]不等关系在生活中广泛存在.如图，、分别表示两位同学的身高，表示台阶的高度.图中两人的对话体现的数学原理是（ ）
A. 若,则 B. 若,,则
C. 若,,则 D. 若,,则
【答案】A
2．[2023佛山二模，]已知，下列不等式一定成立的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
3．[2023中山一模，]不等式的解集在数轴上表示为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】去括号，得，移项，得，系数化为1，得.
4．[2024佛山二模，]不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】解不等式①得，解不等式②得， 原不等式组无解， 选项C符合题意.
5．[2023佛山一模，]某环保知识竞赛一共有20道题，规定：答对一道题得5分，答错或不答一道题扣1分．在这次竞赛中，小明被评为优秀（大于或等于85分），则小明至少答对了______道题（ ）
A. 17 B. 18 C. 19 D. 16
【答案】B
【解析】设小明答对了道题．则，解得，
小明至少答对了18道题.
6．[2024深圳模拟，]关于的不等式的解集是________.
【答案】
7．[2024佛山一模，]解不等式组请按下列步骤完成解答.
（1） 解不等式①，得__________；
（2） 解不等式②，得________；
（3） 把不等式①和②的解集在数轴上表示出来；
（4） 原不等式组的解集是____________.
【解析】（1）
（2）
（3） 不等式①和②的解集在数轴上表示如图所示.
（4）
8．[2024江苏扬州，]解不等式组并求出它的所有整数解的和.
【解析】解不等式，得，解不等式，得，
则不等式组的解集为，
不等式组的所有整数解为1，2，3，所有整数解的和为．
提升练
9．[2024东莞三模，]不等式组的整数解的个数是（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】C
【解析】解不等式得，解不等式得．则不等式组的解集是．则整数解是2、3、4，共有3个．
10．[2024山东烟台，]关于的不等式有正数解，的值可以是________________________________________（写出一个即可）.
【答案】0（答案不唯一，取的值均可）
【解析】原不等式整理得，解得，
原不等式有正数解，
，解得，
故取的实数即可.
11．[2024佛山三模，]“红缬退风花著子，绿针浮水稻抽秧”是宋朝诗人姚孝锡所作．诗中的“水稻”是我国种植的重要粮食作物．某村在政府的扶持下建起了水稻种植基地，准备种植甲、乙两种水稻，若种植30公顷甲种水稻和50公顷乙种水稻，总收入为42万元；若种植50公顷甲种水稻和30公顷乙种水稻，总收入为38万元．
（1） 求这两种水稻平均每公顷收入各是多少万元；
（2） 村里规划种植这两种水稻共250公顷，且甲种水稻的种植面积不少于乙种水稻种植面积的1.5倍，问甲种水稻的种植面积最少是多少？
【解析】
（1） 设甲种水稻平均每公顷收入是万元，乙种水稻平均每公顷收入是万元，根据题意得解得答：甲种水稻平均每公顷收入是0.4万元，乙种水稻平均每公顷收入是0.6万元．
（2） 设种植甲种水稻公顷，则种植乙种水稻公顷，由题意得，解得.答：甲种水稻的种植面积最少是150公顷．
12．[2023广州二模，]某校九年级组织各班级同学（每班人数都大于40但不超过50）观看电影，由各班班长负责买票，票价为每张40元．在询问买团体票的优惠情况时，售票员说：“40人以上的团体票有两个优惠方案可选择：方案一是全班同学的票价均打7折；方案二是班级中可有6人免费，剩余同学的票价均打8折．”
（1） 三班班长说：“我们班无论选择何种方案，付的钱数都是一样的．”则三班人数为__.
（2） 若二班班长通过比较发现二班采用方案一比较优惠，求二班的人数．
【答案】（1） 48
【解析】
（1） 详解：设三班有人，根据题意得，解得．故三班人数为48.
（2） 设二班有人，根据题意得，，解得， 每班人数都大于40但不超过50， 二班人数可能是49或50.
13．[2023清远一模，]现有、两种商品，已知购买一件商品要比购买一件商品少30元，用160元全部购买商品的数量与用400元全部购买商品的数量相同．
（1） 、两种商品的价格分别是每件多少元？
（2） 如果小亮准备购买、两种商品共10件，总费用不超过380元，且不低于300元，则有几种购买方案？哪种方案总费用最低？
【解析】
（1） 设商品的价格为每件元，则商品的价格为每件元，根据题意，得，解得，经检验，是原方程的解且符合题意..答：商品的价格为每件20元，商品的价格为每件50元.
（2） 设购买商品件，则购买商品件，由题意得，解得.因为为正整数，所以可取4，5，6.故有三种购买方案：①购买商品4件，商品6件，总费用为（元）；②购买商品5件，商品5件，总费用为（元）；③购买商品6件，商品4件，总费用为（元）.方案③总费用最低．
14．[2024深圳二模，]某玩具商场内有形形色色的玩具，其中，两种玩具最受孩子们欢迎．已知1个种玩具和2个种玩具共卖360元，2个种玩具和3个种玩具共卖640元．
（1） ，两种玩具的单价各是多少元？
（2） 某机构计划团购，两种玩具共15个，其中种玩具的数量不超过种玩具数量的，则该机构购买多少个种玩具总费用最少？最少总费用为多少元？
【解析】
（1） 设种玩具的单价为元，种玩具的单价为元．由题意得解得答：种玩具的单价为200元，种玩具的单价为80元．
（2） 设购买种玩具个，则购买种玩具个．由题意得，解得．设总费用为元，则.，随的增大而增大， 当时，取最小值，为2 400.答：当购买10个种玩具时总费用最少，最少总费用为2 400元.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台
2025广东版数学中考专题
第二章 方程（组）与不等式（组）
2.1 一元一次方程和一元二次方程
基础练
1．[2024深圳模拟，]下列变形，正确的是 （ ）
A．移项，得
B．去括号，得
C．合并同类项，得
D．去分母，得
2．[2024佛山一模，]方程的根为 （ ）
A． B．0 C．1 D．2
3．[2024佛山三模，]小明做作业时发现方程已被墨水污染，电话询问老师后知道方程的解为且被墨水遮盖的是一个常数．则该常数是（ ）
A． B． C． D．
4．[2023佛山模拟，]已知是方程的根，则代数式的值为 （ ）
A．4044 B． C．2024 D．
5．[2024福建，]2024年我国国民经济开局良好，市场销售稳定增长，社会消费增长较快，第一季度社会消费品零售总额120327亿元，比去年第一季度增长,求去年第一季度社会消费品零售总额.若将去年第一季度社会消费品零售总额设为亿元，则符合题意的方程是（ ）
A． B．
C． D．
6．[2024深圳模拟，]春节期间电影《热辣滚烫》上映的第一天票房约为3亿元，第二天、第三天单日票房持续增长，三天累计票房为9.63亿元，若第二天、第三天单日票房增长率相同，设平均每天票房的增长率为，则根据题意，下列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
7．[2024东莞三模，]若关于的方程有实数根，则实数的取值范围是________.
8．[2024广州一模，]关于的一元二次方程有两个实数根，则的取值范围是____________________.
9．[2024广州一模，]解方程：.
10．[2024广州一模，]已知.
（1） 化简；
（2） 若，是方程的两个根，求的值．
11．[2024吉林长春，]《九章算术》是我国第一部自成体系的数学专著，其中“盈不足术”记载：今有共买金，人出四百，盈三千四百；人出三百，盈一百.问人数、金价各几何？译文：今有人合伙买金，每人出400钱，剩余3400钱；每人出300钱，剩余100钱.问合伙人数和金价各是多少？请解答这个问题.
提升练
12．[2024河北，]淇淇在计算正数的平方时，误算成与2的积，求得的答案比正确答案小1，则（ ）
A．1 B． C． D．1或
13．[2024广州一模，]已知关于的一元二次方程有两个实数根,，且满足，则的值是（ ）
A． B．1 C． D．1或
14．[2024广州一模，]如图，是三条角平分线的交点，过作，分别交、于点、，设,,，关于的方程的根的情况是（ ）
A．一定有两个相等的实数根
B．一定有两个不相等的实数根
C．有两个实数根，但无法确定是否相等
D．没有实数根
15．[2024广州，]定义新运算：例如：,.若,则的值为____________________.
16．[2024佛山三模，]关于的方程的两个根都是正整数且，则方程的两个根是______.
17．[2023广东模拟,]2023年是农历癸卯年（兔年），兔子挂件成了热销品．某商店准备购进，两种型号的兔子挂件．已知购进型号兔子挂件3件和型号兔子挂件4件共需220元，且型号兔子挂件每件比型号兔子挂件贵15元．
（1） ，两种型号的兔子挂件每件进价分别为多少元？
（2） 该商店计划购进，两种型号的兔子挂件共50件，且，两种型号的兔子挂件每件售价分别定为48元，30元．假设购进的兔子挂件全部售出，若商店计划获得的利润超过310元，则型号兔子挂件至少要购进多少件？
18．[2024深圳模拟，]随着重庆动物园的熊猫新馆建成和使用，相应的熊猫文创物品类型更加丰富．某店有、两种熊猫玩偶，已知每个款熊猫玩偶的售价是每个款熊猫玩偶售价的倍，顾客用150元购买款熊猫玩偶的数量比用150元购买款熊猫玩偶的数量少1个．
（1） 每个款熊猫玩偶的售价为多少元？
（2） 经统计，该店每月卖出款熊猫玩偶100个，每个款熊猫玩偶的利润为16元．为了尽快减少库存，该店决定采取适当的降价措施．调查发现，每个款熊猫玩偶的售价每降低2元，那么平均每月可多售出20个．该店想每月销售款熊猫玩偶的利润达到1200元，则每个款熊猫玩偶应降价多少元？
2.2 分式方程
基础练
1．[2024广州一模，]分式方程的解是（ ）
A． B． C． D．
2．[2023深圳模拟,]已知关于的分式方程的解是，则的值为（ ）
A．3 B． C． D．1
3．[2024广州一模，]某运输公司运输一批货物，已知大货车比小货车每辆多运输5吨货物，且大货车运输75吨货物所用车辆数与小货车运输50吨货物所用车辆数相同，设每辆大货车运输吨货物，则可列方程为（ ）
A． B． C． D．
4．[2024佛山一模，]佛山是国内首个被授予“中国龙舟龙狮运动名城”称号的城市，“争先奋进，赛龙夺锦”的龙舟文化内核近年来成了佛山文化品牌形象和城市精神内涵的重要元素．已知2023年2月佛山某区龙舟赛的总赛程为，在同一场比赛中龙舟队的平均速度是队的1.2倍，最终队到达终点的时间比队提前20分钟，若设队的平均速度是，则可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
5．[2024深圳二模，]甲乙两地间公路长300千米，为适应经济发展，甲地通往乙地的客车的速度比原来增加了40千米/时，所用时间缩短了1.5小时．若设客车原来的速度为每小时千米，则下列方程中符合题意的是（ ）
A． B．
C． D．
6．[2023佛山一模,]解方程：.
7．[2024广州二模，]解分式方程：.
8．[2024惠州二模，]某中学为了让学生体验农耕劳动，开辟了一处耕种园，需要采购一批菜苗开展种植活动．据了解，市场上每捆种菜苗的价格是菜苗基地的倍，用300元在市场上购买的种菜苗比在菜苗基地购买的少3捆．求菜苗基地每捆种菜苗的价格.
9．[2024云南，]某旅行社组织游客从地到地的航天科技馆参观，已知地到地的路程为300千米，乘坐型车比乘坐型车少用2小时，型车的平均速度是型车的平均速度的3倍，求型车的平均速度.
10．[2024河源一模，]某公司不定期为员工购买某预制食品厂生产的杂酱面、牛肉面两种食品．现该公司分别花费1080元、1200元购买杂酱面、牛肉面两种食品，已知购买杂酱面的份数比牛肉面的份数多，每份牛肉面的价格比每份杂酱面的价格贵5元，求每份牛肉面的价格.
提升练
11．[2024中山三模，]定义一种新运算：对于任意非零实数，，，若，则的值为________.
12．[2024重庆A卷，]若关于的不等式组至少有2个整数解，且关于的分式方程的解为非负整数，则所有满足条件的整数的值之和为__.
13．[2023广州一模，]某班组织同学乘大巴车前往研学基地开展爱国教育活动，基地距离学校，队伍8：00从学校出发．张老师因有事情，8：30从学校自驾小车以大巴车1.5倍的速度追赶，追上大巴车后继续以原速度行驶，结果比队伍提前到达基地．
（1） 大巴车与小车的平均速度分别是多少？
（2） 张老师追上大巴车的地点距离基地有多远？
14．[2023广州一模，]为了减少工人在搬运化工原料时受到的伤害，某物流公司决定引进机器人，一个机器人比一个工人每小时多搬运420千克化工原料，一个机器人搬运900千克化工原料所用的时间与10个工人搬运600千克化工原料所用的时间相等．
（1） 一个机器人与一个工人每小时分别搬运多少千克化工原料？
（2） 现在需要搬运化工原料3600千克，有3个机器人参与搬运，至少还需要安排多少个工人才能在2小时内搬运完毕？
15．[2023东莞二模，]金师傅近期准备换车，他看中了价格相同的两款国产车．
燃油车 油箱容积：40升 油价：9元/升 续航里程：千米 每千米行驶费用：元 新能源车 电池电量：60千瓦时 电价：0.6元/千瓦时 续航里程：千米 每千米行驶费用： 元
（1） 用含的代数式表示新能源车每千米行驶的费用.
（2） 若燃油车的每千米行驶费用比新能源车多0.54元．
① 分别求出这两款车每千米的行驶费用；
② 若燃油车和新能源车每年的其他费用分别为4 800元和7 500元，则每年行驶里程为多少千米时，新能源车的年费用较低？（年费用年行驶费用年其他费用）
16．[2024深圳二模，]烟花爆竹的发明与火药技术的使用息息相关．最初的爆竹是由唐朝的李畋发明的，他利用火药、纸筒等材料制作爆竹，目的是产生巨大声响以驱鬼辟邪，烟花爆竹不仅在重要节日时用来表示庆贺，还承载着中国人迎祥纳福的美好愿望．小红的爸爸是一家烟花爆竹店的老板，在春节前购进甲、乙两种烟花，用3120元购进甲种烟花与用4200元购进乙种烟花的数量相同，乙种烟花进货单价比甲种烟花进货单价多9元．
（1） 求甲、乙两种烟花的进货单价.
（2） 小红的爸爸打算再购进甲、乙两种烟花共1000个，其中乙种烟花的购货数量不少于甲种烟花数量的3倍，如何进货费用最少？并求出最少的费用.
2.3 二元一次方程（组）
基础练
1．[2023深圳二模，]某大型企业为奖励年度优秀员工，预定了某足球比赛中小组赛和决赛两个阶段的门票共20张作为奖品，总价为35 000元．已知小组赛门票每张1 050元，决赛门票每张3 850元，设该企业预定了小组赛门票张，决赛门票张，根据题意可列方程组为 （ ）
A． B．
C． D．
2．[2024湖北，]我国古代数学著作《九章算术》中记载了一个关于“方程”的问题：“今有牛五、羊二，直金十两.牛二、羊五，直金八两.问牛羊各直金几何？”译文：“今有牛5头，羊2头，共值金10两.牛2头，羊5头，共值金8两.问牛、羊每头各值金多少？”若设牛每头值金两，羊每头值金两，则可列方程组是（ ）
A． B．
C． D．
3．[2024广州二模，]《孙子算经》中有一道题：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸，屈绳量之，不足一尺，木长几何？”意思是：用绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺，将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺，问长木长多少尺？设绳子长尺，长木长尺，则可列方程组为（ ）
A． B．
C． D．
4．[2023深圳模拟，]已知是方程的一个解，那么______.
5．[2024广州二模，]解方程组：
6．[2024江苏苏州，]解方程组：
7．[2024山西,]当下电子产品更新换代速度加快，废旧智能手机数量不断增加.科学处理废旧智能手机，既可减少环境污染，还可回收其中的可利用资源.据研究，从每吨废旧智能手机中能提炼出的白银比黄金多760克.已知从2.5吨废旧智能手机中提炼出的黄金，与从0.6吨废旧智能手机中提炼出的白银克数相等.求从每吨废旧智能手机中能提炼出黄金与白银各多少克.
提升练
8．[2024四川南充，]我国古代《算法统宗》里有这样一首诗“我问开店李三公，众客都来到店中.一房七客多七客，一房九客一房空.”诗中后面两句的意思是：如果每一间客房住7人，那么有7人无房可住；如果每一间客房住9人，那么就空出一间客房.设有客房间，客人人，则可列方程组为（ ）
A． B．
C． D．
9．[2023深圳二模，]《算法统宗》是我国明代数学家程大位的主要著作.在这部著作中，许多数学问题都是以歌诀形式呈现的．“甜果苦果”就是其中一首．“九百九十九文钱，甜果苦果买一千，四文钱买苦果七，十一文钱九个甜，甜苦两果各几个？请君布算莫迟疑！”大意是说：用999文钱共买了1 000个甜果和苦果，其中4文钱可以买苦果7个，11文钱可以买甜果9个，请问甜、苦果各买几个？若设买苦果个，甜果个，可列方程组为（ ）
A． B．
C． D．
10．[2024深圳二模，]成语“朝三暮四”讲述了一位老翁喂养猴子的故事，老翁为了限定猴子的食量，分早晚两次投喂，早上的粮食是晚上的，猴子们对于这个安排很不满意，于是老翁进行调整，从晚上的粮食中取2千克放在早上投喂，这样早上的粮食是晚上的，猴子们对这样的安排非常满意．设调整前早上的粮食是千克，晚上的粮食是千克，则可列方程组为（ ）
A． B．
C． D．
11．[2023广东模拟,]我国古代数学名著《算法统宗》中有一个问题：“一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大小和尚各几丁？”意思是：有100个和尚分100个馒头，若大和尚每人分3个，小和尚每3人分一个，正好分完．则小和尚人数为（ ）
A．30 B．45 C．60 D．75
12．[2023四川南充，]关于,的方程组的解满足，则的值是（ ）
A．1 B．2 C．4 D．8
13．[2024深圳二模，]如图1，“幻方”源于我国古代夏禹时期的“洛书”．把“洛书”用今天的数学符号翻译出来，就是一个三阶幻方.三阶幻方中，要求每行、每列及对角线上的三个数的和都相等．小明在如图2的格子中填入了代数式，若它们能满足三阶幻方要求，则________.
图1 图2
14．[2024惠州模拟，]某中学计划购买消毒液和洗手液两种物品．购买10瓶消毒液和3瓶洗手液需用180元；购买4瓶消毒液和6瓶洗手液需用120元．
（1） 消毒液和洗手液的单价各是多少元？
（2） 学校决定购买消毒液和洗手液共110瓶，且总费用不超过1 350元，则最多可以购买多少瓶消毒液？
15．[2023佛山一模，]我国古代数学著作《九章算术》中记载了这样一个问题：“今有甲、乙二人，持钱不知其数．甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而亦钱五十．问甲、乙持钱各几何？”题目大意是：今有甲、乙二人，各带了若干钱．如果甲得到乙所有钱的一半，那么甲共有钱50；如果乙得到甲所有钱的，那么乙也共有钱50，问甲、乙二人各带了多少钱？
（1） 求甲、乙两人各带的钱数；
（2） 已知作业本的价格为2.5元/本，开学之际，文具店开展促销活动，消费满50元就可以打八折，若小明、小颖去文具店购买作业本，两人带的钱数（单位：元）恰好分别等于甲、乙两人各带的钱数，那么他们合起来购买可以比单独购买多买多少本作业本？
2.4 不等式与不等式组
基础练
1．[2024吉林长春，]不等关系在生活中广泛存在.如图，、分别表示两位同学的身高，表示台阶的高度.图中两人的对话体现的数学原理是（ ）
A．若,则 B．若,,则
C．若,,则 D．若,,则
2．[2023佛山二模，]已知，下列不等式一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．
3．[2023中山一模，]不等式的解集在数轴上表示为（ ）
A． B．
C． D．
4．[2024佛山二模，]不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
5．[2023佛山一模，]某环保知识竞赛一共有20道题，规定：答对一道题得5分，答错或不答一道题扣1分．在这次竞赛中，小明被评为优秀（大于或等于85分），则小明至少答对了______道题（ ）
A．17 B．18 C．19 D．16
6．[2024深圳模拟，]关于的不等式的解集是________.
7．[2024佛山一模，]解不等式组请按下列步骤完成解答.
（1） 解不等式①，得__________；
（2） 解不等式②，得________；
（3） 把不等式①和②的解集在数轴上表示出来；
（4） 原不等式组的解集是____________.
8．[2024江苏扬州，]解不等式组并求出它的所有整数解的和.
5·3 提升练
9．[2024东莞三模，]不等式组的整数解的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
10．[2024山东烟台，]关于的不等式有正数解，的值可以是________________________________________（写出一个即可）.
11．[2024佛山三模，]“红缬退风花著子，绿针浮水稻抽秧”是宋朝诗人姚孝锡所作．诗中的“水稻”是我国种植的重要粮食作物．某村在政府的扶持下建起了水稻种植基地，准备种植甲、乙两种水稻，若种植30公顷甲种水稻和50公顷乙种水稻，总收入为42万元；若种植50公顷甲种水稻和30公顷乙种水稻，总收入为38万元．
（1） 求这两种水稻平均每公顷收入各是多少万元；
（2） 村里规划种植这两种水稻共250公顷，且甲种水稻的种植面积不少于乙种水稻种植面积的1.5倍，问甲种水稻的种植面积最少是多少？
12．[2023广州二模，]某校九年级组织各班级同学（每班人数都大于40但不超过50）观看电影，由各班班长负责买票，票价为每张40元．在询问买团体票的优惠情况时，售票员说：“40人以上的团体票有两个优惠方案可选择：方案一是全班同学的票价均打7折；方案二是班级中可有6人免费，剩余同学的票价均打8折．”
（1） 三班班长说：“我们班无论选择何种方案，付的钱数都是一样的．”则三班人数为__.
（2） 若二班班长通过比较发现二班采用方案一比较优惠，求二班的人数．
13．[2023清远一模，]现有、两种商品，已知购买一件商品要比购买一件商品少30元，用160元全部购买商品的数量与用400元全部购买商品的数量相同．
（1） 、两种商品的价格分别是每件多少元？
（2） 如果小亮准备购买、两种商品共10件，总费用不超过380元，且不低于300元，则有几种购买方案？哪种方案总费用最低？
14．[2024深圳二模，]某玩具商场内有形形色色的玩具，其中，两种玩具最受孩子们欢迎．已知1个种玩具和2个种玩具共卖360元，2个种玩具和3个种玩具共卖640元．
（1） ，两种玩具的单价各是多少元？
（2） 某机构计划团购，两种玩具共15个，其中种玩具的数量不超过种玩具数量的，则该机构购买多少个种玩具总费用最少？最少总费用为多少元？
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
