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2025广东版数学中考专题
第六章 圆
6.1 圆的性质及与圆有关的位置关系
基础练
1．[2024佛山二模，]如图，在中，直径弦，是圆上一点，若，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】，，
，
直径弦，
，
，
.
2．[2023广州二模，]如图，是的直径，，都是上的点，若，则的度数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】为的直径，
，
，
，
．
3．[2024广州二模，]如图，，是的弦，，是的半径，点为上任意一点（点不与点重合），连接．若，则的度数可能是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】如图，连接，
，
，
，
，
点为上任意一点（点不与点B重合），
，
当点不与点重合时，，当点与点重合时，，
.
4．[2024佛山一模，]如图，、、三点在上.如果，那么等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】如图，在优弧上取一点D，连接、，
由圆周角定理得，
，
.
5．[2024湖南长沙，]如图，在中，弦的长为8，圆心到的距离，则的半径长为（ ）
A. 4 B. C. 5 D.
【答案】B
【解析】由题知，，
，
在中，，
.
6．[2024东莞三模，]如图，是的直径，是弦（点不与点，点重合，且点与点位于直径异侧），若，则__.
【答案】35
【解析】，
，
.
7．[2023揭阳一模，]往直径为的圆柱形容器内装入一些水以后，截面如图，若水面宽，则水的最大深度为__.
【答案】16
【解析】连接，过点作于点，交于点，如图.
，，
，
的直径为，
，
在中，，
，
即水的最大深度为.
8．[2024佛山三模，]石拱桥采用圆弧形设计，不仅赋予了石拱桥独特的美学魅力，而且展现了我国古代工匠对力学原理的深刻理解和应用.如图，拱桥的跨度，拱高，则半径为__.
【答案】10
【解析】，，
，
设，则，
在中，，即，
解得，
即半径为.
9．[2024江苏苏州，]如图，是的内接三角形，若，则__.
【答案】62
【解析】连接，
，，
，
，
.
10．[2024陕西，]如图，是的弦，连接，，是所对的圆周角，则与的度数的和是________.
【答案】
【解析】是所对的圆周角，
.
，
.
又，
，
，
即.
11．[2024广州二模，]如图，，是的切线，点，为切点，是的直径，.求的度数.
【解析】连接，
则，
，
，
，分别是的切线，
，，
即，
四边形的内角和为，
.
12．[2024四川南充，]如图，在中，是直径，是弦，点是上一点，，，交于点，点为延长线上一点，且.
（1） 求证：是的切线；
（2） 若，，求的半径长.
【解析】
（1） 证明：，.，，，即，.是的半径，是的切线.
（2） 如图，连接.
，.是直径，，.在中，.，，.又是直径，的半径长为.
提升练
13．[2024广州二模，]如图，是的直径，直线与相切于点，过，分别作，，垂足分别为点，，连接，，若，，则的面积为（ ）
A. 4 B. C. 6 D.
【答案】D
【解析】连接，
直线与相切于点C，
，
，
在中，，，
，，
，
，
，
是等边三角形，
，
的半径为，
，
是的直径，
，
在中，
，
的面积.
14．[2023中山一模，]如图，的直径的延长线与过点的切线相交于点，点为上一点，且，则的度数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】如图，连接，
，
，
是的切线，
，
.
15．[2024湖北武汉，]如图，四边形内接于，，，，则的半径是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】延长至点，使，连接并延长交于点，连接，，.
四边形内接于，
，
.
，
，，
，，是的直径，
，
.
，，
，
，
是等腰直角三角形.
，
.
是的直径，
，
，
，
，即的半径为.
16．[2023深圳模拟，]如图，是的直径，，，点是的中点，是直径上的动点，则的最小值为（ ）
A. B. C. 1 D. 2
【答案】B
【解析】作点B关于的对称点C，连接交于点，此时的值最小，最小值等于的长．
连接，，
，
.
由对称可知，，
又是的中点，，
，
，
又，
，则的最小值为.
17．[2024广州一模，]如图，是的直径，是的弦，，垂足为，连接并延长，与过点的切线相交于点，连接.若的半径为5，，则的长是（ ）
A. B. 13 C. D. 14
【答案】C
【解析】如图，连接，
是的直径，，
，
，
是的直径，的半径为5，
，，
，
是圆的切线，
，
，
，
，
即，
解得，
.
18．[2024广州二模，]如图，圆与正方形的两边，相切，且与圆相切于点．若圆的半径为2，且，则的长度为____．
【答案】4
【解析】设与正方形的两边，的切点为、，连接、，
四边形是正方形，
，，
圆与正方形的两边、相切，
，
，
四边形是正方形，
，
和与圆相切，
.
19．[2024江苏苏州，]如图，中，，为中点，，，是的外接圆.
（1） 求的长；
（2） 求的半径.
【解析】
（1） ，，，，，为中点，，，.
（2） 过点作于点，连接，并延长交于，连接，
在中，，，，，，，设，则，，在中，，，即，解得，（舍去），，，与都是所对的圆周角，，为的直径，，，，的半径为.
20．[2024江苏盐城，]如图，点在以为直径的上，过点作的切线，过点作，垂足为，连接、.
（1） 求证：;
（2） 若，，求的半径.
【解析】
（1） 证明：连接，如图所示.
是的切线，点在以为直径的上，，，，，，，，，，，，.
（2） ，，，，，即，，的半径为.
21．[2023深圳一模，]如图，线段是的直径，延长至点，使，点是线段的中点，交于点，点是上一动点（不与点，重合），连接，，.
（1） 求证：是的切线.
（2） 小明在研究的过程中发现是一个确定的值.请回答这个确定的值是多少，并对小明发现的结论加以证明.
【解析】
（1） 证明：如图，连接、，
点是线段的中点，交于点，垂直平分，，.
证法一：在中，，，是等边三角形，，，且为的外角，.，.，是的半径，是的切线.
证法二：，，，又，，，是的半径，为的切线.
（2） 这个确定的值是.证明如下：连接，如图.
由已知可得.，又，，.
22．[2024惠州二模，]综合探究
如图，已知，以为直径作半圆，半径绕点顺时针旋转，点的对应点为点，当点与点重合时停止旋转.连接并延长到点，使得，过点作于点，连接，.
图1 图2 图3
（1） 如图1，当点与点重合时，判断的形状，并说明理由；
（2） 如图2，当时，求的长；
（3） 如图3，若点是线段上一点，连接，当与半圆相切时，判断与的位置关系，并说明理由.
【解析】
（1） 是等边三角形，理由如下：是半圆的直径，，又，，点与点重合，，，，，，是等边三角形.
（2） ，，当点在上时，，，由（1）知，又，在和中，由勾股定理得，即，解得，；当点在上时，同理可得，解得，.综上所述，的长为或.
（3） .理由如下：连接.点是的中点，点是的中点，是的中位线，，又与半圆相切，，.
6.2 与圆有关的计算
基础练
1．[2024佛山三模，]如图，直角三角尺的角的顶点落在直径为6的上，两边与分别交于、两点，则的长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】如图，连接，，
，
，
又，
的长为.
2．[2023山西，]中国高铁的飞速发展，已成为中国现代化建设的重要标志.下图是高铁线路在转向处所设计的圆曲线（即圆弧），高铁列车在转弯时的曲线起点为，曲线终点为，过点，的两条切线相交于点，列车在从到行驶的过程中转角为.若圆曲线的半径，则这段圆曲线的长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】过点A，B的两条切线相交于点C，
，
，又，
.
圆曲线的长为，故选B.
3．[2024重庆A卷，]如图，在矩形中，分别以点和为圆心，长为半径画弧，两弧有且仅有一个公共点.若，则图中阴影部分的面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】如图，连接，必过公共点，
，，，故选D.
4．[2024佛山一模，]我国魏晋时期的数学家刘徽首创“割圆术”：通过圆内接正多边形割圆，边数越多割得越细，正多边形的周长就越接近圆的周长.如图，由圆内接正六边形可算出.若利用圆内接正十二边形来计算圆周率，则圆周率约为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】如图，连接，，过点作，垂足为，设的半径为，
十二边形是圆内接正十二边形，
，
又，，
，
在中，，，
，
，
正十二边形的周长为，
.
5．[2023中山一模，]已知圆锥的母线长为8，底面半径为6，则此圆锥的侧面积是________.
【答案】
【解析】圆锥的侧面积.
6．[2024江苏盐城，]已知圆锥的底面半径为4，母线长为5，该圆锥的侧面积为________.
【答案】
【解析】该圆锥的侧面积.
7．[2024广州二模，]如图，从一块直径是2的圆形铁皮上剪出一个圆心角为的扇形，如果将剪下来的扇形围成一个圆锥，则圆锥的底面圆的半径为________.
【答案】
【解析】连接，如图，
，
为的直径，即，
，为等腰直角三角形，
，
设该圆锥的底面圆的半径为，
根据题意得，
解得，
即该圆锥的底面圆的半径为.
8．[2024江西，]如图，是半圆的直径，点是弦延长线上一点，连接，，.
（1） 求证：是半圆的切线；
（2） 当时，求的长.
【解析】
（1） 证明：方法一：是半圆的直径，.，.，，.点是半径的外端点，是半圆的切线.
方法二：是半圆的直径，，.，，，.点是半径的外端点，是半圆的切线.
（2） 连接.
在中，，，，，，，，的长.因此，的长为.
9．（）如图，是的直径，是的切线，为上的一点，，延长交的延长线于点，
（1） 求证：为的切线；
（2） 若，求图中阴影部分的面积（结果保留）.
【解析】
（1） 证明：连接、，
点在圆上，是的切线，为切点，，，在和中，，，又为的半径，为的切线.
（2） 由题知，由（1）知，在中，，，．，，.
提升练
10．[2024惠州二模，]如图，扇形纸片的半径为3，沿折叠扇形纸片，点恰好落在上的点处，图中阴影部分的面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】沿折叠扇形纸片，点恰好落在上的点C处，
，，
，
四边形是菱形，
连接交于D，
，
是等边三角形，
，
，，
，
，
，
.
11．[2023福建，]我国魏晋时期数学家刘徽在《九章算术注》中提到了著名的“割圆术”，即利用圆的内接正多边形逼近圆的方法来近似估算，指出“割之弥细，所失弥少.割之又割，以至于不可割，则与圆周合体，而无所失矣”.“割圆术”孕育了微积分思想，他用这种思想得到了圆周率的近似值为3.1416.如图，的半径为1，运用“割圆术”，以圆内接正六边形面积近似估计的面积，可得的估计值为，若用圆内接正十二边形作近似估计，可得的估计值为（ ）
A. B. C. 3 D.
【答案】C
【解析】根据题意画出圆内接正十二边形，如图，可知，，
过点作，垂足为B.
在中，，
，
.
，
.
12．[2024山东烟台，]如图，在边长为6的正六边形中，以点为圆心，以的长为半径作，剪下图中阴影部分做一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面半径为______.
【答案】
【解析】多边形是正六边形，
，，
，
同理，，
.
如图，过点作于点，则，
在中，，
，
设圆锥的底面圆的半径为，则，
.
方法总结
本题考查正多边形的性质，求圆锥的底面半径，先求出正六边形的一个内角的度数，进而求出扇形的圆心角的度数，过点 作，求出 的长，再利用圆锥底面圆的周长等于扇形的弧长，进行求解即可.准确判断扇形弧长为围成圆锥的底面周长是解决问题的关键.
13．[2023东莞二模，]如图所示，矩形纸片中，，把它分割成正方形纸片和矩形纸片后，分别裁出扇形和矩形内半径最大的圆，恰好能围成一个圆锥，则的长为____.
【答案】4
【解析】设，
则，
根据题意，得，
解得，即的长为.
14．[2024山西，]如图1是小区围墙上的花窗，其形状是扇形的一部分，图2是其几何示意图（阴影部分为花窗）.通过测量得到扇形的圆心角为，，点，分别为，的中点，则花窗的面积为______________.
图1 图2
【答案】
【解析】点，分别为，的中点，
.
，.
，
.
15．[2024东莞三模，]如图，在正方形中，对角线的长为，以点为圆心，长为半径画弧交于点，则图中阴影部分的面积为__________.
【答案】
【解析】四边形是正方形，
，，，
，
，
.
16．[2024山东菏泽，]如图，在四边形中，，，.以点为圆心，以为半径作交于点，以点为圆心，以为半径作交于点，连接交于另一点，连接.
（1） 求证：为所在圆的切线；
（2） 求图中阴影部分的面积.（结果保留）
【解析】
（1） 证明：如图，连接，
，，...，四边形是平行四边形..是等边三角形.，.又，...是所在圆的半径，为所在圆的切线.
（2） 如图，过作于，
在中，.由（1）易知.四边形为平行四边形，，，，. .
17．[2024佛山一模，]如图，点是正方形的边的延长线上一点，且，连接交于点，以点为圆心，为半径作，交线段于点.
（1） 求证：是的切线；
（2） 若，求阴影部分的面积.
【解析】
（1） 证明：过作于，
四边形是正方形，，，，，，，，，点在上，是的切线.
（2） 四边形是正方形，，是等腰直角三角形，，，，，，，又，.
微专题七 与圆有关的阴影部分面积求法
1．如图，为半圆内一点，为圆心，直径长为，，，将绕圆心逆时针旋转至，点在上，则边扫过区域（图中阴影部分）的面积为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】，是绕圆心逆时针旋转得到的，
，，
，，
，
，，，，
，
，
阴影部分面积.
2．[2023江苏连云港]如图，矩形内接于，分别以、、、为直径向外作半圆.若，，则阴影部分的面积是（ ）
A. B. C. D. 20
【答案】D
【解析】如图，连接，则过点，在中，，，.
为直径的圆为直径的圆为直径的圆.
3．如图，在边长为6的菱形中，，以点为圆心，菱形的高为半径画弧，交于点，交于点，则图中阴影部分的面积是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】四边形是菱形，，
，，
是菱形的高，，
，
阴影部分的面积菱形的面积-扇形的面积．
4．如图，在中，，，，以点为圆心，长为半径画弧，交于点，以点为圆心，长为半径画弧，交于点，交于点，则图中阴影部分的面积为__________.
【答案】
【解析】设，则，
在中，，
，
由题意得，，
.
5．[2023重庆A卷]如图，是矩形的外接圆，若，，则图中阴影部分的面积为______________.（结果保留）
【答案】
【解析】连接，易知过圆心，，
，的半径为，
.
6．[2023江苏苏州]如图，在中，，，，垂足为，.以点为圆心，长为半径画弧，与，，分别交于点，，.若用扇形围成一个圆锥的侧面，记这个圆锥底面圆的半径为;用扇形围成另一个圆锥的侧面，记这个圆锥底面圆的半径为，则________.（结果保留根号）
【答案】
【解析】在中，，，
，则，
，.
，，，
，
.
由扇形为圆锥的侧面，得，解得，
由扇形为圆锥的侧面，得，解得.
.
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第六章 圆
6.1 圆的性质及与圆有关的位置关系
基础练
1．[2024佛山二模，]如图，在中，直径弦，是圆上一点，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
2．[2023广州二模，]如图，是的直径，，都是上的点，若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
3．[2024广州二模，]如图，，是的弦，，是的半径，点为上任意一点（点不与点重合），连接．若，则的度数可能是（ ）
A． B． C． D．
4．[2024佛山一模，]如图，、、三点在上.如果，那么等于（ ）
A． B． C． D．
5．[2024湖南长沙，]如图，在中，弦的长为8，圆心到的距离，则的半径长为（ ）
A．4 B． C．5 D．
6．[2024东莞三模，]如图，是的直径，是弦（点不与点，点重合，且点与点位于直径异侧），若，则__.
7．[2023揭阳一模，]往直径为的圆柱形容器内装入一些水以后，截面如图，若水面宽，则水的最大深度为__.
8．[2024佛山三模，]石拱桥采用圆弧形设计，不仅赋予了石拱桥独特的美学魅力，而且展现了我国古代工匠对力学原理的深刻理解和应用.如图，拱桥的跨度，拱高，则半径为__.
9．[2024江苏苏州，]如图，是的内接三角形，若，则__.
10．[2024陕西，]如图，是的弦，连接，，是所对的圆周角，则与的度数的和是________.
11．[2024广州二模，]如图，，是的切线，点，为切点，是的直径，.求的度数.
12．[2024四川南充，]如图，在中，是直径，是弦，点是上一点，，，交于点，点为延长线上一点，且.
（1） 求证：是的切线；
（2） 若，，求的半径长.
提升练
13．[2024广州二模，]如图，是的直径，直线与相切于点，过，分别作，，垂足分别为点，，连接，，若，，则的面积为（ ）
A．4 B． C．6 D．
14．[2023中山一模，]如图，的直径的延长线与过点的切线相交于点，点为上一点，且，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
15．[2024湖北武汉，]如图，四边形内接于，，，，则的半径是（ ）
A． B． C． D．
16．[2023深圳模拟，]如图，是的直径，，，点是的中点，是直径上的动点，则的最小值为（ ）
A． B． C．1 D．2
17．[2024广州一模，]如图，是的直径，是的弦，，垂足为，连接并延长，与过点的切线相交于点，连接.若的半径为5，，则的长是（ ）
A． B．13 C． D．14
18．[2024广州二模，]如图，圆与正方形的两边，相切，且与圆相切于点．若圆的半径为2，且，则的长度为____．
19．[2024江苏苏州，]如图，中，，为中点，，，是的外接圆.
（1） 求的长；
（2） 求的半径.
20．[2024江苏盐城，]如图，点在以为直径的上，过点作的切线，过点作，垂足为，连接、.
（1） 求证：;
（2） 若，，求的半径.
21．[2023深圳一模，]如图，线段是的直径，延长至点，使，点是线段的中点，交于点，点是上一动点（不与点，重合），连接，，.
（1） 求证：是的切线.
（2） 小明在研究的过程中发现是一个确定的值.请回答这个确定的值是多少，并对小明发现的结论加以证明.
22．[2024惠州二模，]综合探究
如图，已知，以为直径作半圆，半径绕点顺时针旋转，点的对应点为点，当点与点重合时停止旋转.连接并延长到点，使得，过点作于点，连接，.
图1 图2 图3
（1） 如图1，当点与点重合时，判断的形状，并说明理由；
（2） 如图2，当时，求的长；
（3） 如图3，若点是线段上一点，连接，当与半圆相切时，判断与的位置关系，并说明理由.
6.2 与圆有关的计算
基础练
1．[2024佛山三模，]如图，直角三角尺的角的顶点落在直径为6的上，两边与分别交于、两点，则的长为（ ）
A． B． C． D．
2．[2023山西，]中国高铁的飞速发展，已成为中国现代化建设的重要标志.下图是高铁线路在转向处所设计的圆曲线（即圆弧），高铁列车在转弯时的曲线起点为，曲线终点为，过点，的两条切线相交于点，列车在从到行驶的过程中转角为.若圆曲线的半径，则这段圆曲线的长为（ ）
A． B． C． D．
3．[2024重庆A卷，]如图，在矩形中，分别以点和为圆心，长为半径画弧，两弧有且仅有一个公共点.若，则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
4．[2024佛山一模，]我国魏晋时期的数学家刘徽首创“割圆术”：通过圆内接正多边形割圆，边数越多割得越细，正多边形的周长就越接近圆的周长.如图，由圆内接正六边形可算出.若利用圆内接正十二边形来计算圆周率，则圆周率约为（ ）
A． B． C． D．
5．[2023中山一模，]已知圆锥的母线长为8，底面半径为6，则此圆锥的侧面积是________.
6．[2024江苏盐城，]已知圆锥的底面半径为4，母线长为5，该圆锥的侧面积为________.
7．[2024广州二模，]如图，从一块直径是2的圆形铁皮上剪出一个圆心角为的扇形，如果将剪下来的扇形围成一个圆锥，则圆锥的底面圆的半径为________.
8．[2024江西，]如图，是半圆的直径，点是弦延长线上一点，连接，，.
（1） 求证：是半圆的切线；
（2） 当时，求的长.
9．（）如图，是的直径，是的切线，为上的一点，，延长交的延长线于点，
（1） 求证：为的切线；
（2） 若，求图中阴影部分的面积（结果保留）.
提升练
10．[2024惠州二模，]如图，扇形纸片的半径为3，沿折叠扇形纸片，点恰好落在上的点处，图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
11．[2023福建，]我国魏晋时期数学家刘徽在《九章算术注》中提到了著名的“割圆术”，即利用圆的内接正多边形逼近圆的方法来近似估算，指出“割之弥细，所失弥少.割之又割，以至于不可割，则与圆周合体，而无所失矣”.“割圆术”孕育了微积分思想，他用这种思想得到了圆周率的近似值为3.1416.如图，的半径为1，运用“割圆术”，以圆内接正六边形面积近似估计的面积，可得的估计值为，若用圆内接正十二边形作近似估计，可得的估计值为（ ）
A． B． C．3 D．
12．[2024山东烟台，]如图，在边长为6的正六边形中，以点为圆心，以的长为半径作，剪下图中阴影部分做一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面半径为______.
13．[2023东莞二模，]如图所示，矩形纸片中，，把它分割成正方形纸片和矩形纸片后，分别裁出扇形和矩形内半径最大的圆，恰好能围成一个圆锥，则的长为____.
14．[2024山西，]如图1是小区围墙上的花窗，其形状是扇形的一部分，图2是其几何示意图（阴影部分为花窗）.通过测量得到扇形的圆心角为，，点，分别为，的中点，则花窗的面积为______________.
图1 图2
15．[2024东莞三模，]如图，在正方形中，对角线的长为，以点为圆心，长为半径画弧交于点，则图中阴影部分的面积为__________.
16．[2024山东菏泽，]如图，在四边形中，，，.以点为圆心，以为半径作交于点，以点为圆心，以为半径作交于点，连接交于另一点，连接.
（1） 求证：为所在圆的切线；
（2） 求图中阴影部分的面积.（结果保留）
17．[2024佛山一模，]如图，点是正方形的边的延长线上一点，且，连接交于点，以点为圆心，为半径作，交线段于点.
（1） 求证：是的切线；
（2） 若，求阴影部分的面积.
微专题七 与圆有关的阴影部分面积求法
1．如图，为半圆内一点，为圆心，直径长为，，，将绕圆心逆时针旋转至，点在上，则边扫过区域（图中阴影部分）的面积为（ ）
A． B．
C． D．
2．[2023江苏连云港]如图，矩形内接于，分别以、、、为直径向外作半圆.若，，则阴影部分的面积是（ ）
A． B． C． D．20
3．如图，在边长为6的菱形中，，以点为圆心，菱形的高为半径画弧，交于点，交于点，则图中阴影部分的面积是（ ）
A． B． C． D．
4．如图，在中，，，，以点为圆心，长为半径画弧，交于点，以点为圆心，长为半径画弧，交于点，交于点，则图中阴影部分的面积为__________.
5．[2023重庆A卷]如图，是矩形的外接圆，若，，则图中阴影部分的面积为______________.（结果保留）
6．[2023江苏苏州]如图，在中，，，，垂足为，.以点为圆心，长为半径画弧，与，，分别交于点，，.若用扇形围成一个圆锥的侧面，记这个圆锥底面圆的半径为;用扇形围成另一个圆锥的侧面，记这个圆锥底面圆的半径为，则________.（结果保留根号）
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